Treân ñoaïn AM vaø MB döïng veà moät phía ñoái vôùi AB caùc hình vuoâng AMEF vaø MBCD.. Ñöôøng troøn ngoaïi tieáp 2 hình vuoâng caét nhau taïi ñieåm thöù hai laø N.[r]
(1)ĐƯỜNG TRỊN – HÌNH VNG
1/ Cho hình vng ABCD Đường kính CD đường trịn tâm A , bán kính AD cắt M ( M không trùng với D ) Chứng minh đường thẳng DM qua trung điểm cạnh BC
HƯỚNG DẪN B
O
A D
DM dây chung hai đường tròn AO DI
OAD = CDI ; AD = CD ADO = DCI IC = OD = ½ BC
2/Cho hình vng ABCD nội tiếp đường trịn tâm O , bán kính R M điểm đường tròn
a/Chứng minh MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 24R4
b/ Chứng minh MA MB MC MD 6R2
HƯỚNG DẪN
B C
A D
a/ MA4 + MC4 = ( MA2 + MC2 ) – 2MA2 MC2 = AC4 – 2MH2 AC2 = 16R4 – 8R2.MH2 Chứng minh tương tự ta có : MB4 + MD4 = 16R4 – 8R2.MK2
MA4 + MB4 + MC4 + MD4 = 32R4 – 8R2 ( MH2 + MK2 ) = 32R4 – 8R2.R2
= 24R4
b/ p dụng Bất đẳng thức Cơsi ta có : (MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 )
2√(MA4+MB4)(MC4+MD4) Vì MA4 + MB4
2√MA4 MB4=2MA2 MB2 MC4 + MD4
2√MC4 MD4=2 MC2 MD2
(MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 ) 2√MA2 MB2 MC2 MD2
(MA4 + MB4 ) + ( MC4 + MD4 )
4MA.MB.MC.MD 4MA.MB.MC.MD 24R4
MA.MB.MC.MD 6R4 Dấu “=” xảy MA = MB = MC = MD điều
này xảy nên : MA.MB.MC.MD < 6R4
3/Cho hình vng ABCD Dựng nửa đường trịn tâm I , đường kính AD cung AC tâm D , bán kính DA Tia DE gặp nửa đường tròn ( I ) K Kẻ EF vng góc với AB
Chứng minh EK = EF
HƯỚNG DẪN
M
C I
M
K
H O
(2)Nhận xét : EF AB , EK AK
cần chứng minh AE phân giác góc BAD
Đường trịn (D ) tiếp xúc với AB A ADE = 2FAE (1)
ADE = KAF = FAE + EAK (2) Từ (1) (2) ta có : FAE = EAK
3/ Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai cạnh AB AD lấy hai điểm di động E , F cho : AE + EF + FA = 2a
a/ Chứng tỏ đường thẳng EF ln tiếp xúc với đường trịn cố định b/ Tìm vị trí E , F cho diện tích CEF lớn
A E B K HƯỚNG DẪN
H F
D C
a/ Trên tia đối BA lấy K cho BK = DF Vẽ CH EF , H EF
DFC = DKC ( DF = BK ; FDC = KBC = 900 ; DC = BC )
CF = CK
Vì EF = 2a – ( EA + FA ) = ( AB + AD ) – ( EA + FA ) = AB – EA + AD – FA = EB + FD = EB + BK
Do CEF = CEK ( c.c.c)
Suy đường cao CH CB
CH không đổi , C cố định , CH EF EF ln tiếp xúc với đường trịn cố định (
C , a )
b/ HCF = DCF ( H = D = 900 ; CF chung ; CH = CD = a ) SHCF = SDCF
Chứng minh tương tự ta có : SHCE = SBCE SHCF + SHCE = SDCF + SBCE
SCEF = ½ SCDFEB SCEF = ½ ( a2 – SAEF )
SAEF SCEF ½ a2 Dấu “ = “ xảy SAEF =
E B , F A E A , F D
Vậy E B , F A E A , F D SCEF đạt giá trị lớn
5/ Trên đoạn AB lấy M tùy ý Trên đoạn AM MB dựng phía AB hình vng AMEF MBCD Đường trịn ngoại tiếp hình vng cắt điểm thứ hai N
a/Chứng minh AN qua đỉnh hình vng thứ hai b/Tìm quỹ tích N M di chuyển AB
c/Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn nối tâm hai hình vuông
HƯỚNG DẪN F E
E K
C D
(3)
A M B
a/ BD cắt AE H AHB có : HAB = HBA = 450 HB AH
Xét AEB ta có : EM AB ; BH AE AD BE taïi N
Mà DNB = 900 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
DN BE N ba điểm A , D , N thẳng hàng
điều phải chứng minh
b/ Quĩ ttích N nửa đường trịn đường kính BD
c/ Quĩ tích I đường trung trực đoạn thẳng PQ Khi M trùng với B I trùng với tâm hình vng AMEF
.
D C
I