- Bµi to¸n chøng minh nhiÒu ®iÓm th¼ng hµng, nhiÒu ®êng th¼ng ®ång quy ngoµi nh÷ng c¸ch ph©n tÝch t×m lêi gi¶i quen thuéc ta cã thªm c¸ch ph©n tÝch t×m lêi gi¶i theo híng sö dông kÕt qña[r]
(1)A- Đặt vấn đề I - Lý chọn đề tài
1 C¬ së lÝ luËn:
Định lý Talet định lý hình học cổ điển giữ vai trị quan trọng chơng trình tốn THCS Dịnh lý Talet đợc sử dụng nhiều giải toán, đặc biệt toán có liên quan đến đoạn thẳng tỉ số hai đoạn thẳng
Thông qua việc vận dụng định lý Talet vào giải tốn ta ơn lại cho học sinh tính chất tỷ lệ thức kỹ biến đổi đại số, chứng minh đẳng thức, giải phơng trình, chứng minh đờng thẳng song song, diện tích đa giác
Vận dụng định lý Talet vào giải tốn ngồi việc học sinh đợc rèn luyện kỹ tốn học, chủ yếu cịn đợc nâng cao mặt t toán học Các thao tác t nh: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, đặc biệt hoá, … thờng
xuyên đợc rèn luyện phát triển. 2 Cơ sở thực tiễn.
Từ năm học 2001 – 2002 đến nay, đợc giao nhiệm vụ giảng dạy mơn Tốn Qua thực tế giảng dạy nhận thấy khả vận dụng định lý Talet vào giải toán học sinh hạn chế Khi học phần này, học sinh cịn khó khăn:
- Việc sử dụng kỹ biến đổi đại số vào hình cịn lúng túng hay mắc sai lầm
- Kỹ phân tích giả thiết, kết luận tốn để vẽ thêm yếu tố phụ, tìm lời giải cho tốn cịn chậm hạn chế
- Khả vận dụng toán cho toán khác, kỹ chuyển đổi toán, khai thác toán theo hớng đặc biệt hoá, khái quát hoá cha cao - Học sinh cha có thói quen tổng hợp ghi nhớ tri thức phơng pháp qua tốn, dạng tốn
3 KÕt ln kh¸i qu¸t.
Nhận thức rõ đợc vị trí tầm quan trọng chuyên đề: “Một số dạng tập ứng dụng định lí Talet” chơng trình Tốn THCS Thơng qua thực tế giảng dạy kết hợp với số sách viết chuyên đề nhà giáo khác, nghiên cứu thực đề tài
II –- Mục đích nghiên cứu
(2)- Nắm vứng nội dụng định lý Talet tam giác định lý Talet tổng quát
- Trang bị cho học sinh cách có hệ thống dạng tập phơng pháp giải Qua rèn luyện cho học sinh kỹ tính tốn, vẽ hình, phân tích, tổng hợp,…
- Rèn luyện phát triển cho học sinh phẩm chất trí tuệ, thao tác t duy: So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, khái qt hố,…
III - §èi tợng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu:
1 §èi tỵng:
Đối tợng nghiên cứu thực đề tài học sinh lớp
2 Phạm vi nghiên cứu:
Trong phm vi nghiờn cu đề tài, nêu số dạng tập vận dụng địng lí Talet mà học sinh thờng gặp giải toán
Trong dạng tập có định hớng chung cách giải, ví dụ có bớc hớng dẫn tìm lời giải
Do điều kiện thực tế học chuyên đề học sinh đợc học số chuyên đề có liên quan: Tỉ lệ thức, diện tích đa giác, bất đẳng thức hình học, … nên phạm vi nghiên cứu đề tài không nhắc lại kiến thức để giải dạng tốn mà học sinh đợc vận dụng kiến thức vào giải tóan
IV Phơng pháp nghiên cứu: Phơng pháp nghiên cứu chủ yếu là:
- Phơng pháp thực nghiệm
- Phơng pháp phân tích tổng hợp
- Phng pháp đặc biệt hoá - Khái quát hoá B – Nội dung phơng pháp
I - KiÕn thøc
1 Đoạn thẳng tỉ lệ. a) Tỉ số hai đoạn thẳng
- T s hai on thẳng tỉ số độ dài chúng với đơn vị đo
Nh tỉ số hai đoạn thẳng không phụ thuộc vào đơn vị mà ta chọn b) Đoạn thẳng tỉ lệ:
AB CD=
A'B'
C'D' - Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ vµ
C’D’ nÕu ta cã hƯ thøc:
AB CD=
(3)AB vµ CD tØ lƯ víi A’B’ vµ C’D’
TØ lƯ thøc đoạn thẳng có tính chất nh tỉ lệ thức số
*1 Tích trung tỉ tích ngoại tỉ
AB CD=
A'B' C'D'
AB C’D’ = AB CD *2 Có thể hoán vị trung, ngoại tỉ:
=>
*3 C¸c tÝnh chÊt cđa d·y tØ sè b»ng nhau:
AB CD=
A'B' C'D' =>
AB± CD
CD =
A'B'± C'D'
C'D' =
AB A'B'
CDC'D' (CDCD') 2 Định lý Talet tam giác
2.1. Định lý thuận:
Nu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại định hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ
AB' AB =
AC' AC
ABC BCB’C’ =>
2.2 Định lý đảo
AB' AB =
AC'
AC Nếu đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác định
trên hai cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ đờng thẳng song song với cạnh lại tam giác
ABC, => B’C’BC
AB' AB =
AC' AC
Tãm t¾t: ABC, B’C’BC D'
C' B' A' CD AB
D' C'
CD B' A'
AB
CD D' C' AB
B' A'
AB CD B' A'
D' C'
A
C C’
B’
(4)Chú ý: Định lí Talet thuận đảo ba trờng hợp hình vẽ sau:
2.3 HƯ qu¶: AB'
AB= B'C' BC =
C ' A
CA Một đờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song
với cạnh cịn lại tạo thành tam giác có cạnh tơng ứng tỉ lệ với cạnh lại tam giác cho
ABC, BCBC =>
Định lý Talet tổng quát:
3.1 Định lý thuận: AB
BC = A'B'
B'C' Nhiều đờng thẳng song song định hai cát tuyến bất
kỳ đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ a//b//c =>
BC ' '\} \} \} \{ AB''
❑ AB BC=¿
Ta chứng minh định lý cách qua A kẻ đờng thẳng song song với d’ Đờng thẳng cắt b, c theo thứ tự B’’,C’’ Dễ dàng chứng minh đợc AB”=A’B’, B’’C’’ = B’C’ Sau áp dụng định lý Talet tam giác vào ACC’’ để có:
tõ ®©y suy kÕt luËn
AB BC =
A'B' B'C'
3.2 Định lý đảo
Cho đờng thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến d, d’ điểm theo thứ tự; A, B, C A’, B’, C’ thoả mãn đẳng thức tỉ lệ:
AB BC =
A'B' B'C'
AB BC=
A'B'
B'C' mà đờng thẳng a, b, c song song với
nhau đờng thẳng a, b, c song song với a//b => a//b//c
A
C C’
B’
B
A
C’
C B
B’
A
C
C’ B’
B
d d’
A A’
a b c
B’
C
’
B”
C”
(5)3.3 Hệ (các đờng thẳng đồng quy cắt hai đờng thẳng song song) - Nhiều đờng thẳng đồng quy định hai đờng thẳng song song đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ
AB BC =
BC B'C'=
AC
A'C' a//b =>
Ng
ợc lại : Nếu nhiều đờng thẳng không song song định hai đờng thẳng song song đoạn thẳng tơng ứng tỉ lệ chúng đồng quy điểm
=> AA’, BB’, CC’ đồng quy điểm O
II – Các dạng tập ứng dụng định lý Talet a
b= c
d Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng - tỉ số hai đoạn thẳng
Định lý Talet cho ta mối quan hệ độ dài đoạn thẳng:
Cho nên muốn vận dụng định lý Talet vào tính tốn độ dài đoạn thẳng hay tỉ số hai đoạn thẳng ta thờng:
+ Ghép đoạn thẳng cần tính độ dài vào hệ thức định lý Talet
+ Sử dụng định lý Talet chuyển tỉ số cần tính tỉ số hai đoạn thẳng biết tính đợc nhờ tính chất tỉ lệ thức
VÝ dơ 1: ABC nhän cã AC>AB, AC=45cm
§êng cao AH Đờng trung trực BC cắt cạnh AC N, biÕt HB = 15 cm;HC = 27 cm
TÝnh CN = ?
* H íng dẫn tìm lời giải:
CN CA=
CI
CH Theo giả thiết tốn có hai đờng thẳng song song cha?
áp dụng định lý Talet CN đợc ghép vào hệ thức nào?
a b c
A A’
B’
B
C C’
O A
b
B C
C’ B’ A’
O a
b
A B C
A’ B’ C’ AC
AC' AB AB
AB'
AB
H A
B C
I
(6)Trong hệ thức đó: CI, CA, CH biết cha?
Giải (tóm tắt):
Gọi I trung ®iĨm cđa BC, NI lµ trung trùc BC AH BC
NC AC=
IC HC
Suy ra:
BC =21
Trong đó: AC = 45; HC = 27; IC =
CN 45 =
21
27 => CN=35 cm
* Nhận xét: Từ giả thiết toán ta suy đợc hai đờng thẳng song song: NI //AH cách áp dụng định lý Talet thuận ta tính đợc NC
MA MD=
2
5 VÝ dô 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD), điểm M thuộc cạnh
AD cho , vẽ đờng thẳng MN song song với AB biết AB = 28, CD = 70
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Giả thiết tốn có đờng song song: AB//MN//DC
u cầu tốn tính MN = ? Trên hình vẽ MN cha đợc ghép vào định lí định lý Talet
=> NI//AH
A B
C D
I O P
(7)Ta tìm cách tạo tam giác để vận dụng định lý Talet H
ớng : Nối AC cắt MN O áp dụng định lý Talet vào tam giác ADC, ABC MO, ON tính đợc Từ tính đợc MN
H
ớng : Qua A kẻ đờng thẳng AI//BC, I DC AI cắt MN P PM = AB = 28
áp dụng định lý Talet vào tam giác ADI ta tính c PM
Lời giải: (tóm tắt theo hớng 2) Kẻ AI//BC, I DC, AI cắt MN P
Tứ giác ABNP hình bình hành nên AB = PN AB = 28
Trong ADI: PM//AD áp dụng hệ định lý Talet ta có:
PM DI =
AM AD AM MD=
2 5⇒
AM AD =
2
7 ⇒
PM DI =
2
Theo gi¶ thiÕt:
¿
PM=2
7 42=12
¿
Mặt khác DI = DC AB = 42
Suy ra: (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: MN = 40 cm
Nhận xét: Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet tam giác
KE
KD VÝ dô 3: ABC cã AC = AB LÊy D AB, E AC cho CE
= BD, DE c¾t BC t¹i K TÝnh
KE
KD * H ớng dẫn tìm lời giải : KE
KD
KE
KD Bài toán yêu cầu tình tỉ số Giả thiết toán cha
cho ta tính đợc trực tiếp tỉ số Vậy ta phải tìm cách chuyển tỉ số tỉ số biết
KE
KD Muốn làm đợc điều ta cần vận dụng định lý Talet Nhng vấn
để đặt phải có đờng thẳng song song mong muốn vận dụng đợc định lý Talet, nhng vẽ nh nào? Vẽ thêm đờng thẳng song song cần đạt đợc yêu cầu:
AB AC=
1
3 + Tỉ số đợc chuyển thành tỉ số mà tỉ số có liên
hệ với tỉ số biết ( )
+ Sử dụng đợc giả thiết: BD = EC Cách 1: Qua E kẻ EF // AB, F BC
(8)C¸ch 2: Qua D kẻ DI // AC, I BC Cách 3: Qua D kẻ DK // BC, K AC Cách 4: Qua E kẻ EH // BC, H AB
* Lời giải tóm tắt (theo cách 1): Kẻ EF //AB, F BC
KE KD=
EF
CE áp dụng hệ định lý Talet vào tam giác: KE
KD= EF BD
KE KD=
1
3 + KDB: cã tØ sè: mµ BD = CE nªn
suy ra: (1)
EF AB=
CE AC ⇒
EF EC=
AB AC=
1
+ ABC (cã EF //AB): (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
BD BC =
3 7,
AE EC=
2
5 Nhận xét: Ví dụ ta vẽ thêm đờng thẳng song song
để vận dụng đợc định lý Talet hệ
VÝ dô 4: ABC, lÊy D BC, E AC, cho AI
ID AD cắt BE I Tính AI
ID
BD BC=
3 7,
AE EC=
2
5 * H íng dẫn tìm lời giải:
T t s cn tớnh tỉ số biết Ta vẽ thêm đ -ờng thẳng song song: Qua D kẻ DM //BE, với M AC
Lêi gi¶i :
EM EC =
BD BC =
7 VÏ DM//BE, M AC, BEC cã DM//BE (theo gi¶ thiÕt)
áp dụng định lý Talet ta có:
AI ID =
AE EM AE EM=
AE EC :
EM EC =
:
7=
14
15 ADM có: IE//DM theo định lý Talet
tam giác ta có: Mà
AI ID=
14 15
(9)VÝ dô 5: ABC cã BAC = 120o, AB = cm, AC = 12cm, phân
giác BAC cắt BC D Tính AD
* H ớng dẫn tìm lời giải :
DB DC=
AB AC=
1
AD phân giác góc BAC, mà BAC = 120o nªn BAD
=DAC = 60o Sử dụng tính chất đờng phân giác ta đợc: , nên ta vẽ thêm đờng phụ để tạo tam giác : DE//AB ADE đều, ta chuyển từ việc tính AD v tớnh AE
* Lời giải tóm tắt:
DE AB=
CE AC ⇒
x 6=
12-x
12 ⇒x=4 cm Kẻ DE //AB, với E AC ADE đều,
đặt AD = DE = AE = x (x>0) ABC có DE//AB =>
Kết luận 1: Nh để vận dụng định lý Talet vào tính tốn độ dài đoạn thẳng, tỉ số đoạn thẳng ta cần ý:
+ Từ giả thiết phát đờng thẳng song song, ghép đoạn thẳng hay tỉ số cần tính vào hệ thức định lý Talet
+ Sö dơng tÝnh chÊt cđa tØ lƯ thøc
+ Vẽ thêm đờng phụ để vận dụng định lý Talet tam giác + Vẽ thêm đờng thẳng song song tạo thành cặp đoạn thẳng tỉ lệ + Trong thực hành ta cần đặt đại lợng cần tính x, sau dùng biến đổi đại số để tìm x
A B
C B
(10)D¹ng 2: Chøng minh hƯ thøc đoạn thẳng
Dng bi chng minh h thc đoạn thẳng dạng tập hay khó Nếu nh lớp 7, hệ thức đoạn thẳng đơn giản: Chứng minh đoạn thẳng nhau, chứng minh đoạn thẳng tổng hai đoạn thẳng khác,… lên lớp 8, học sinh sau học song diện tích đa giác, định lý Talet lớp tập chứng minh hệ thức đoạn thẳng trở lên đa dạng phong phú
2.1 Chứng minh a = b, b + d = mc(a,b,c,d độ dài đoạn thẳng, m số)
a c=
b c
b c+
d
c=m Để chứng minh a = b hay b + d = mc
biết nhiều cách làm: Tam giác nhau, tính chất cộng đoạn thẳng, … phân tích việc chứng minh hệ thức theo lối sử dụng định lý Talet
+ §Ĩ chøng minh a = b ta chøng minh b»ng c¸ch chän đoạn thẳng c cách hợp lý
b c ,
d
c + §Ĩ chøng minh b + d = mc ta chøng minh Sö
dụng định lý Talet chuyển tỉ số tỉ số để thực phép cộng rút gọn
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB//CD), AC cắt BD O Qua O kẻ đờng thẳng d// AB, d cắt AD M, d cắt BC N Chứng minh OM=ON.
* H ớng dẫn tìm lời giải:
OM AB ,
ON AB
OM AB =
ON
AB Giả thiết toán cho ta MN//AB//DC,
chứng minh OM = ON Ta chọn AB (hoặc DC) để lập tỉ số v chng minh
* Lời giải tóm tắt:
OM AB =
DO
DB Ta có OM//AB, ON//AB (giả thiết), áp dụng hệ cña
định lý Talet vào tam giác:
+ ABD: (1)
ON AB =
CO CA
+ ABC: (2)
A B
C D
M N
(11)ABCD hình thang: AB//CD, áp dụng hệ định lý Talet vào DOC:
DO DB =
CO
CA (3)
OM AB =
ON
AB ⇒OM=ON
Tõ (1), (2) (3) suy ra: (Đpcm)
* Khai thác toán: Ta chứng minh toán tổng quát
ABCD hình thang, có MN//AB//DC, M AD, N BC MN c¾t BD, AC lần lợt P Q Chứng minh PM = QN
Chứng minh toán hoàn toàn t¬ng tù nh VD1
Ví dụ 2: ABC, trung tuyến AD, điểm P di động cạnh BC, qua P kẻ đờng thẳng d // AD, d cắt AB, AC theo thứ tự M N. Chứng minh:
PM + PN = AD
* H ớng dẫn tìm lời giải:
PM AD +
PN
AD=2 Hệ thức cần chứng minh: PM + PN = AD đợc chuyển v
hệ thức dới dạng tỉ số đoạn thẳng:
PM AD ,
PN
AD Giả thiết tốn cho PN//AD, nh ta sử dụng định
lý Talet để chuyển tỉ số tỉ số thực phép cộng:
PM AD=
BP BD ,
PN AD=
BC DC
, với BD = DC ta đợc Đpcm * Lời giải:
Theo giả thiết PM//AD, PN//AD áp dụng hệ định lý Talet vào tam giác:
PM AD=
BP BD
PN AD=
BC
DC ⇒
PM AD+
PN AD=
BP BD+
PC DC=
BP+PC
BD =
BC
BD=2 +
ABD:
M N
A
C
D
P
B
A B
C D
M N
P Q
(12)+ CNP: (vì D trung điểm BC)
Vậy PM + PN = 2.AD (§pcm)
* Nhận xét: Hệ thức cần chứng minh quen thuộc với học sinh , nhng làm theo cách quen thuộc biết khó khăn, cịn vận dụng định lý Talet cách hợp lý vấn đề đợc giải đơn giản gọn gàng
a b=
c d
a b=
c
d 2.2 Chứng minh hệ thức dạng và dạng biến đổi a.d = b.c, a2 = bc (với a, b, c, d độ dài đoạn thẳng).
a b=
c
d Định lý Talet cho ta hệ thức: nên ngời ta thêng sư dơng
định lý Talet vào chứng minh hệ thức đoạn thẳng dạng : , a.d = b.c, a2 = bc, giả thiết cho ta đờng thẳng song song.
VÝ dụ 1: Cho tứ giác ABCD, F AC, kẻ EF//DC, FG//BC , E AD, G AB Chøng minh r»ng AE.BG = DE.AG
EA ED =
AG
BG * H íng dÉn tìm lời giải:
Hệ thức cần chứng minh EA.BG = DE.AG
EA ED =
AF
FC giả thiết cho EF//DC nên: AG
GB = AF FC
GF//BC nªn:
Kết hợp điều ta đợc Đpcm
EA ED =
AF
FC * Lêi gi¶i:
ADC cã: EF//DC =>
AG GB =
AF
FC ABC cã: FG//BC => AE
ED= AG GB
OE OD=
OH
OE nªn suy (1) => AE GB = DE
AG (§pcm)
* Nhận xét:Từ (1) theo định lý Talet đảo => EG//BD
Ví dụ 2: Cho góc nhọn xOy, Ox lấy điểm D E, đờng thẳng d1 qua D cắt cạnh Oy F Đờng thẳng d2 qua E song song với
d1 c¾t Oy G Đờng thẳng d3 qua G song song với EF cắt Ox H.
Chứng minh OE2 = OD.OH. * H íng dÉn t×m lêi gi¶i:
D
A
G A
B
C F
(13)OE OD ,
OH
OE Chuyển hệ thức cần chứng minh dạng: , sử dụng định
lý Talet ta chuyển đợc tỉ số tỉ số không?
OE OD=
OG OF ;
OH OE =
OG OF
* Lêi gi¶i:
OE OD=
OG
OF áp dụng định lý Talet vào OEG:
DF//GE => (1)
OG OF =
OH OE
OE OD=
OH
OE áp dụng định lý Talet vào OGH:
EF//GH => (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra: => OE2 = OH.OD
a b+
c d=m;
a b+
c d=m
p q a
b, c
d 2.3 Chứng minh hệ thức dạng (a,b,c,d độ dài đoạn thẳng, m số)
Sử dụng định lý Talet chuyển tỉ số tỉ số đoạn thẳng đờng thẳng tìm cách cộng tỉ số Muốn vận dụng đợc định lý Talet phải có đờng thẳng song song nhiều trờng hợp ta phải vẽ thêm đờng thẳng song song cách hợp lý
MN BC +
MP
AD=1 Ví dụ 1: Tứ giác ABCD B = D = 90o Từ
điểm M đờng chéo AC kẻ MN AB, MP CD (N AB, P CD) Chứng minh :
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Nếu thực phép biến đổi đại số ta đợc hệ thức: MN AD + MP BC = AD BC
Rõ ràng tích MN AD, MP BC cha nói nên đại lợng hình học để ta làm trung gian cho việc chứng minh hệ thức
MN BC ,
MP
AD Giả thiết toán cho ta đờng thẳng song song, có, ta
hãy tìm cách chuyển tỉ số tỉ số trờn cựng mt ng thng
Lời giải tóm tắt :
MN BC =
AM
AC Tõ gi¶ thiÕt suy ra: MN//BC, MP//AD
Trong ABC, MN//BC =>
MP AD=
CM AC
Trong ACD, MP//AD =>
O D E H x
d2 d3 d1
F
G y
A N B
C P
(14)MN BC +
AP AD=
AM+CM
AC =1 Suy ra: => §pcm
Nhận xét: Trong toán bỏ điều kiện B = D = 90o các giả thiết khác phải thay đổi nh để hệ thức đúng?
AB AM+
AC
AN=3 Ví dụ 2: ABC, G trọng tâm d đờng thẳng qua G cắt cạnh AB, AC theo thứ tự M N Chứng minh rng
* H ớng dẫn tìm lời giải :
AB AM ,
AC AN
Ta phải tìm cách cộng tỉ số cách chuyển chúng tỉ số có mẫu, muốn ta phải sử dụng định lí Talet Nhng vấn đề đặt cha có đờng thẳng song song
Vậy ta phải vẽ thêm đờng thẳng song song
AB AM+
AC AN=
AB AM+
AI AM=
AI+AB
AM ớng 1H : Qua C vẽ đờng thẳng song
song với d, đờng thẳng cắt AB I, đó:
đến ta cần chứng minh AI + AB = AM
AB AM+
AC AN=
AF AG+
AE AG=
AF+AE
AG ớng 2H : Qua B, C vẽ đờng thẳng
song song với d, chúng cắt AG lần lợt E F Khi đó: ta phải chứng minh AE + AF = AG
Lêi gi¶i (theo híng 2)
Qua B C kẻ đờng thẳng song song với d, đờng thẳng cắt AG theo thứ tự E F
Gọi D giao điểm AG với BC D trung điểm BC Ta có DEC = DFB (G.C.G)
=> DE = DF => AE+AF = 2AD mµ G lµ träng t©m cđa ABC => AD = 3/2 AG
AC AN=
AE
AG AEC cã: GN//CE => AB
AM+ AC AN=
AE+AF
AG (2)
=> AE + AF = 3.AG (1)
=>
A
B C
N G
E D
F M
(15)AB AM=
AF
AG ABF cã: MG//PF => AC
AN + AB AN=3
Từ (1) (2) suy ra: (Đpcm)
NhËn xÐt:
- Điểm quan trọng toán vẽ thêm đờng thẳng song song, ghi nhớ cách vẽ đờng thẳng song song để chuyển tỉ số tỉ số có mẫu
- Hãy giải toán theo hớng vẽ đờng phụ số
AC AN +
AB AM=2
AD
AG - G điểm đoạn AD hệ thức
toán thay đổi nh nào?
( )
VÝ dô 3: ABC, trung tuyÕn BM cắt phân giác CD Q QC
QD − AC
BC=1 Chøng minh:
* H ớng dẫn tìm lời giải:
QC QD ,
AC BC AC BC=
DA
DB Ta tìm cách chuyển tỉ số tỉ số có mẫu
Giả thiết cho CD phân giác góc ACB, nên
QC QD ,
AD DB
MA
MC=1 Nhng hai tØ sè còng cha cã cïng mÉu nh vËy ta
phải tiếp tục biến đổi tỉ số M trung điểm AC
QC QD ,
AD
DB Ta chuyÓn tỉ số AC cách qua D kẻ đ
-ng thng song song vi BM cắt AC I đó:
QC QD −
AC BC=
QC QD−
AD DB=
CM MI −
AI MI=
CM-AI MI
Việc chứng minh CM- AI = IM đơn giản
A
M I
C B
D F
(16)Lêi gi¶i :
Qua D kỴ DI //BM, víi I AC, I nằm A M
AD DB =
AI
IM áp dụng định lí Talet vào tam giác:
+ ABM, cã DI//BM:
QC QD=
CM
MI + CDI, cã QM//DI: QC
QD − AD DB=
CM−AI
MI =
AM−AI
MI =
MI MI=1
Do ta đợc: (1)
AD DB =
AC BC
Mặt khác CD phân giác cña gãc ACB => (2)
NA NC +
PA PB=
IA IM
AC NC +
AB PB =2+
IA IM QC
QD − AC
BC=1 Kết hợp (1) (2) suy ra: (§pcm)
Chú ý: Ta giải tốn cách vẽ đờng phụ AF//BM, F CD
VÝ dơ 4: Cho ABC, ®iĨm I thuộc miền tam giác, IA, IB, IC cắt BC, CA, AB theo thø tù t¹i M, N, P Chøng minh r»ng:
a) b)
* H ớng dẫn tìm lời giải:
NA NC ,
PA PB,
IA
IM Các đờng thẳng AM, BN, CP đồng quy I Ta tìm cách
chun c¸c tØ sè
cách qua A vẽ đờng thẳng song song với BC * Lời giải:
Qua A vẽ đờng thẳng d//BC, d cắt NB, CP theo thứ tự E, F a) áp dụng hệ định lý Talet:
NA NC =
AE
BC + NBC: AE//BC => (1) PA
PB= AF BC
+ PBC: AF//BC => (2)
NA NC +
PA PB=
AE+AF
BC =
EF
BC Tõ (1) vµ (2) suy ra: (3)
EF BC=
EI IB=
AI IM
+ IBC, EF//BC = > (4)
A E
N
C M
B
(17)NA NC + PA PB= IA IM
Tõ (3) vµ (4) suy ra: (§pcm)
AC CN +
AB BP =
AN+CN
CN +
AP+BP
BP =2+ AN CN +
PA PB
b) Ta cã: (*)
AN CN +
PA PB=
IA
IM Theo c©u a:
(**)
Tõ (*) (**) => Đpcm
Ví dụ 5: ABC, O điểm thuộc miền tam giác, qua O kỴ HF//BC, DE//AB, MK//AC víi H, K AB; E, M BC; D, F AC.
Chøng minh r»ng: AK
AB + BE BC+
CF
CA=1 a)
DE AB +
FH BC+
MK
CA =2 b)
* H íng dẫn tìm lời giải:
BE BC
AK AB ,
CF
CA Giả thiết cho đờng thẳng song song, ta cố định
trong tỉ số hệ thức cần chứng minh chẳng hạn: HÃy tìm cách chuyển tỉ số
vỊ c¸c tØ sè cã cïng mÉu BC
Lời giải (tóm tắt)
AK AB =
MC
BC a) KM//AC = > CF CA= CI CB= EM BC
Qua F kỴ FI//AB, I BC: vËy suy ra:
AK AB + BE BC+ CF CA= MC BC + BE BC+ EM BC = BC BC=1 AK
AB + BE BC+
CF CA=1
VËy (§pcm)
FH BC=
AH AB
b) FH//BC =>
KM AC = BK AB AD= AB+ AC KM//AC => FH BC+ MK AC + DE AB= AH AB + BK AB+
AK+BH
AB =
AH+HB
AB +
AK+KB
AB =2
nên ta đợc: (Đpcm)
Chú ý: Với giả thiết tốn ta cịn chứng minh đợc nhiều hệ thức khác
(18)2.4 Các hệ thức dạng khác
Trong gii toỏn nhiu ta gặp hệ thức chứng minh cha dạng mà xét Nhng cách biến đổi đại số ta chuyển đợc hệ thức dạng quen thuộc hệ thức dạng tỉ số đoạn thẳng để vận dụng định lí Talet
1 AD <
1 AB +
1
AC VÝ dụ 1: Cho ABC, phân giác AD chứng minh r»ng:
a) NÕu A = 120o th×
1 AD <
1 AB +
1
AC b) NÕu A < 120oth×
AD > AB +
1 AC
c) NÕu A > 120o th×
1 a=
1 b+
1
c H íng dÉn tìm lời giải:
Hệ thức cần chứng minh có d¹ng cã thĨ chun vỊ hƯ thøc ë d¹ng tØ số đoạn thẳng:
1 a=
1 b+
1 c<=>
a b+
a
c=1 D¹ng 1:
a= b+
1 c<=>
1 a=
b+c
bc <=> b a=
b+c
c
D¹ng 2:
ở ví dụ ta biến đổi hệ thức cần chứng minh dạng Qua C kẻ CF //AD, F AB, ta có nhận xét AFC? Độ dài BF?
áp dụng định lí Talet vào BFC ta c pcm
Lời giải (tóm tắt):
Qua C kỴ CF //AD, F AB, ta cã: F = DAB = 60o (1) FCA =CAD = 60o (2)
Từ (1) (2) suy AFC =>AF=FC=AC =>BF =AB+AF=AB + AC
AD FC =
BA
BF AD =
AC AB
AB+AC áp dụng hệ định lý Talet vào BFC,
AD//FC:
AD AC =
AB
AB+AC hay =>
1 AD=
AB+AC
AB AC = AB+
1 AC
Suy ra: (§pcm)
A
F
C D
(19) AFC cịn tam giác đặc biệt BAC khác 120o từ hệ thức câu a) thay đổi nh nào? Ta vận dụng hệ thức câu a) vào chứng minh bất đẳng thức cầu b), câu c) không?
AD CF =
AB BF =
AB
AB+AC=> AD=
CF AB
AB+AC b) AFC cân (do F = ACF = BAC/2) =>AF=AC nên: BF =AB + AC
BFC cã AD//FC =>
AD>AC AB
AC+AB=>
1 AD<
1 AB+
1
AC Do AFC cân A cã gãc FAC >
60o => F < 60o=> FC > AC nên :
(Đpcm) AD > AB + AC
c) Khi BAC > 120o lập luận tơng tự ta đợc
Khai thác tốn ABC có BC = a, CA = b, AB = c, độ dài đờng phân giác tơng ứng la, lb, lc Chứng minh rằng:
2bc
b+c a) la <
1 l+ l+ l> a+ b+ c b)
Nhận xét: Hãy tìm cách biến đổi hệ thức cần chứng minh dạng tỉ số đoạn thẳng, từ hệ thức cho ta cách vẽ đờng phụ phù hợp,
VÝ dô 2: ABC, M BC, chøng minh: MA.BC < MC AB + BM AC
* H ớng dẫn tìm lời giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh đợc đa dạng tỉ số :
MC AB BC MA +
MB AC BC MA >1 MB
BC , MC BC
Trong tỉ số hai đoạn thẳng có xuất tỉ số gợi cho ta vẽ đờng phụ nh nào? (từ M k MN//AB, N AC)
Lời giải tóm tắt: KỴ MN//AB, N AC
MC BC = MN AB => MC BC AB MA= MN AB AB MA= MN
MA áp dụng hệ định lý Talet
ABC ta đợc: + MB BC = AN AC => MB BC AC MA= AN AC AC MA= AN MA + MC BC AB MA+ MB AC BC MA=
MN+AN
MA > MA
MA=1 => MC AB+MB AC>MA BC VËy suy
(20)(Đpcm)
Nhận xét: Đờng phụ MN//AB điểm quan trọng trình giải toán
BP PC
CQ QA
AR
RB =1 Ví dụ 3: Cho ABC, đờng thẳng cắt BC, CA, AB lần lợt P, Q, R Chứng minh
H
íng dÉn t×m lêi gi¶i:
BP
PC Hệ thức cần chứng minh có dạng tích tỉ số hai đoạn thẳng
Muốn rút gọn ta phải tìm cách chuyển tỉ số vê tỉ số mới, cố định tỉ số
CQ QA ,
AR
RB chẳng hạn Ta phải vẽ đờng phụ cho chuyển đợc
c¸c tØ sè
vỊ c¸c tØ sè cã xuất đoạn thẳng PB, PC
CQ QA=
PC AM,
AR RB =
AM PB
Qua A kẻ AM//BC, M RP Khi Kết hợp kết lại ta đợc Đpcm
QC QA=
PC
AM Lời giải: Qua A kẻ AM//BC, áp dụng hệ định lý Talet:
+ QPC, cã MA//BC =>
RA RB =
AM PB
+ RPB, cã AM//PB =>
PB PC
QC QA
RA RB=
PB PC
PC AM
AM PB =1
VËy suy ra:
(§pcm)
Chó ý:
+ Ví dụ tơng ứng với phần thuận định lí Mê-Nê-La-Uýt
+ Phần đảo tốn đúng, cho ta cách chứng minh điểm thẳng hàng
VÝ dơ 4: ABC, O thc miỊn tam giác, AO, BO, CO cắt các cạnh BC, CA, AB theo thø tù t¹i P, Q, R Chøng minh r»ng:
PB PC
QC QA
RA RB=1
* H ớng dẫn tìm lời giải:
ng thức cần chứng minh giống với đẳng thức ta chứng minh đợc ví dụ có thay đổi giả thiết từ điểm thẳng hàng thành đ ờng thẳng đồng quy, áp dụng cách vẽ đờng phụ tơng tự nh ví dụ
B
A
R
M Q
(21)Lêi gi¶i:
.QC QA=
BC
AM Qua A vẽ đờng thẳng d // BC, d cắt PQ , CR lần lợt M
vµ N
QBC cã AM//BC => (1)
.RA RB=
AN BC
RBC cã AN//BC => (2)
.PB AM=
PO OA=
PC AN=>
BP PC=
AM
AN Do MN//BC nên:
(3) Từ (1), (2) (3) suy ra:
.PB PC
CQ QA
RA RB =
AM AN
BC AM
AN BC =1
(§pcm)
Chó ý:
+ Ví dụ ứng với phần thuận định lí Xê-va, việc chứng minh tốn thực theo cách vẽ đờng phụ khác hay tam giác đồng dạng
+ Phần đảo tốn nêu cho ta cách chứng minh đờng thẳng đồng quy
Kết luận 2: Sử dụng định lí Talet phơng pháp thờng dùng chứng minh hệ thức đoạn thẳng đặc biệt hệ thức có dạng tỉ số hay tích đoạn thẳng Muốn vận dụng đợc định lí Talet vào giải tập dạng cần ý:
- Biến đổi hệ thức cần chứng minh hệ thức có xuất tỉ số hai đoạn thẳng
- Vẽ thêm đờng thẳng song song để vận dụng định lí Talet chuyển tỉ số có mặt hệ thức cần chứng minh tỉ số theo h-ớng thu gọn đợc vế hệ thức từ chứng minh đợc hệ thức
B
A M
Q
C P
(22)D¹ng 3:
Chứng minh hai đờng thẳng song song
nhiều đờng thẳng đồng quy, nhiều điểm thẳng hàng
ở lớp để chứng minh hai đờng thẳng song song ta phải tìm mối quan hệ góc mối quan hệ đờng thẳng Nên lớp 8, sau học song định lí Talet đảo, từ hệ thức độ dài đoạn thẳng cho ta kết luận đờng thẳng song song
.AM AB =
AN
AC => MN // BC ABC,
Nh định lí Talet đảo cho ta thêm cách chứng minh đờng thẳng song song
VÝ dô 1:
ABC, trung tuyÕn AM, phân giác AMC cắt AC H, phân giác góc AMB cắt AB K Chứng minh HK // BC
.AH HC =
AK
KB H ớng dẫn tìm lời giải:
chng minh KH//BC ta chứng minh , tìm cách chuyển tỉ số hai vế đẳng thức tỉ số cách sử dụng tính chất đờng phân giác tam giác
Lêi gi¶i:
.AK KB =
AM MB
Theo giả thiết: MK phân gi¸c cđa AMB =>
.AH HC =
AM
MC MH phân giác góc AMC suy ra: AH
HC = AK
KB => KH // BC
Mà MB = MC (theo giả thiết) nên suy ra:
(định lí Talet đảo)
Ví dụ 2: Qua giao điểm O đờng chéo tứ giác ABCD, kẻ đ-ờng thẳng tuỳ ý cắt cạnh AB M CD N Đđ-ờng thẳng qua M song
B
A
N
C M
B
A
H
C K
(23)song với CD cắt AC E đờng thẳng qua N song song với AB cắt BD ở F Chứng minh BE//CF.
* H ớng dẫn tìm lời giải:
.OB OF=
OE
OC BE//CF OB
OF= OE
OC Hãy sử dụng đờng thẳng song song giả thiết định
lí Talet để chứng minh hệ thức
.OB OF=
OM
ON * Lời giải tóm tắt:
Theo gi¶ thiÕt MB//NF => (1)
.OE OC=
OM ON
NC//ME => (2)
.OB OF=
OE
OC=> BE // CF
Tõ (1) vµ (2) suy ra:
(Định lí Talet đảo)
.a b=
c
d Nhận xét: Ta chuyển từ yêu cầu chứng minh đờng thẳng song
song vỊ chøng minh hƯ thøc d¹ng
VÝ dô 3: Cho ABC, cã AB + AC = 2.BC.
Gọi I giao điểm đờng phân giác trong, G trọng tâm
ABC (I kh¸c G) Chøng minh r»ng IG // BC AI
ID= AG
GM
AI
ID=2 * H ớng dẫn tìm lời giải: AB+AC
BC =2 §Ĩ chøng minh IG // BC, ta ph¶i chøng minh
hay
Tõ gi¶ thiÕt cđa toán suy ra:
.AB+AC
BC =
AI
ID H·y chøng minh , b»ng c¸ch sư dông tÝnh
chất đờng phân giác * Lời giải:
Gọi AI cắt BC D, AG cắt BC M Nối B với I, C với I sử dụng tính chất đờng phân giác tam giác ta đợc:
.AI ID=
AB BD=
AC CD=
AB+AC
BD+CD =
AB+AC
BC (1)
O
A D
F
N
C B
M E
G A
B
D M C
(24)Theo gi¶ thiÕt AB + AC = BC => (2)
.AI
ID=2 AG
GM=2 AG GM=
AI
ID =>IG // BC
Tõ (1) vµ (2) suy (3)
Vì G trọng tâm ABC nên: (4)
Từ (3) (4) suy ra: (Đpcm)
* Chó ý:
+ Bài tốn đảo toán đúng: Từ IG//BC => AB+ AC = 2.BC
+ Nếu thay giả thiết AB + AC = 2.BC giả thiết AB + AC < 2.BC kết luận tốn thay đổi nh nào? (IG cắt tia MC)
Ví dụ 4: ABC nhọn, đờng cao AD, BE, CF đồng quy H. Gọi M, N, P, Q lần lợt hình chiếu M AB, BE, CF, CA Chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng.
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Yờu cu bi toán chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng Giả thiết tốn cho đờng thẳng vng góc, từ có đờng thẳng song song Hãy chứng minh M, N, P, Q thẳng hàng cách chứng minh nằm đờng thẳng song song với EF
.AE EQ=
AH
HD * Lời giải tóm tắt:
Từ giả thiết suy ra: HE // DQ => (1)
.AF FM=
AH HD
HF/ / DM => (2)
.AE EQ=
AF
FM => EF // MQ Tõ (1) vµ (2) suy ra: (*) BM
BF = BD BC
DM // CF suy ra: (3)
.BN BE =
BD BC
DN // CE suy ra: (4)
Tõ (3) vµ (4) suy ra: MN // EF (**)
.CQ QE=
CD
DB DQ // BE suy ra: (5)
.CP PF =
CD DB
DP // BF suy ra: (6)
.CP PF =
CQ
QE => PQ // EF
Tõ (5) vµ (6) suy ra: (***)
A
B M
F
H N
D C
(25)M A
B C
N X
Y
Kết hợp (*), (**) (***) suy ra: M, N, P , Q thẳng hàng
* Nhn xột: Chứng minh điểm thẳng hàng cách chứng minh chúng nằm đờng thẳng cố định
Cho ABC, lấy M thuộc cạnh BC, đờng thẳng d qua M cắt AC N cắt AB P
Gọi X, Y lần lợt đỉnh thứ t hình bình hành MNXP, MPYC Chứng minh rằng: A, X, Y thẳng hàng
Híng dẫn tìm lời giải:
Bi toỏn yờu cu chng minh điểm thẳng hàng, giả thiết cho XN//BC//BY BP cắt CN A ta chứng minh điểm A, X, Y thẳng hàng cách sử dụng kết suy từ định lí Talet
* Lời giải:
Xét trờng hợp N thuộc tia AC, P thuéc tia AB
.EX XN=
EB BP
EB BP=
MN
NP
NC CF =
MN
NP
NC CF =
PY YF
EX XN=
PY
YF Gọi E, F lần
l-ợt giao điểm NX với AB PY với AC Theo giả thiết MNXP hình bình hành:
BX // MN hay BX // PN suy ra: (1)
BM // EN suy ra: (2)
MC // PF suy ra: (3)
PN // YC suy ra: (4)
Tõ (1), (2), (3) vµ (4) suy ra: (*) mµ X EN, Y BF, NE // BF, PE cắt FN A (**) Từ (*) (**) suy ra: A, X, Y thẳng hàng
Các trờng hợp lại chứng minh hoàn toàn tơng tự
.MX XN =
YB YC
¿
.ME AO=
DM DO
¿
NhËn xÐt : Ta có thêm cách chứng minh điểm thẳng hàng: ABC, MN //BC, X MN, Y BC thoả mÃn
thì A, X, Y thẳng hµng
M
A
N
C
F Y
P B
(26)Ví dụ 6: Cho tứ giác ABCD, vẽ đờng thẳng d1//d2 // AC d1 cắt AD, BC theo thứ tự E F d2 cắt BA, BC theo thứ tự G H (GH khác EF) Chứng minh EG, DB, HF đồng quy.
* H íng dẫn tìm lời giải:
.ME MF=
NG
NH Theo gi¶ thiÕt
EF // AC // GH yêu cầu toán phải chứng minh GE , BD, HF đồng quy, ta suy nghĩ đến việc sử dụng hệ định lí Talet tổng quát, EG, BD, FH đồng quy nh ta chứng minh đợc hệ thc
* Lời giải tóm tắt:
.ME AO=
DM
DO Gọi M, O, N lần lợt giao điểm EF, AC, GH với BD
ME // AO suy ra: (1)
.MF OC =
DM DO
MF // OC suy (2)
.MF OC =
ME
AO
MF ME=
OC
OA
NH NG=
OC OA
Tõ (1) vµ (2) suy ra: hay (*)
.NH NG=
MF
ME Chứng minh tơng tự ta đợc (**)
Tõ (*) vµ (**) suy ra:
mà EF // GH nên suy ra: GE, BD, HF đồng quy
Nhận xét: Hệ định lý Talet tổng quát cho ta cách chứng minh đờng thẳng đồng quy
ở tốn GH = EF đờng thẳng GE, BD, HF có mối quan hệ với nh nào?
VÝ dô 7: Cho hình thang ABCD (AB < CD), AD cặt BC I, AC cắt BD O M, N lần lợt trung điểm AB, DC Chứng minh I, M, O, N thẳng hàng.
õy l mt bi tập đơn giản, việc chứng minh sử dụng định lí Talet tam giác hay phơng pháp diện tích ta trình bày lời giải theo cách sử dụng hệ định lí Talet tổng quát
Lêi gi¶i:
C
H
B G
A E
D M O N
F
O A
I
B
C N
D
(27).MB ND =
MA
NC Theo gi¶ thiÕt M trung điểm AB, N trung điểm
cđa DC, nªn suy ra:
Mà AB // DC suy ra: MN, BD, AC đồng quy hay O MN (1)
.MA ND =
MB NC
Lại có: mà AB// DC nên suy AD, MN, BC đồng quy
hay I MN
(2)
Tõ (1) (2) suy ra: I, M, O, N thẳng hàng * NhËn xÐt:
- Bài toán đợc vận dụng nhiều giải toán với tên gọi Bổ đề hình thang.
Hãy sử dụng Bổ đề hình thang để dựng trung điểm đoạn thẳng mà dùng thớc
KÕt luËn sè 3:
- Định lí Talet đảo cho ta cách chứng minh đờng thẳng song song Khi gặp toán chứng minh hai đờng thẳng song song ta có thêm cách phân tích để tìm lời giải, chuyển từ chứng minh đờng thẳng song song chứng minh hệ thức on thng
(28)Dạng 4: Định lí Talet toán diện tích
Cỏc cơng thức diện tích cho ta mối quan hệ độ dài đoạn thẳng Do ta biểu thị độ dài đoạn thẳng, tỉ số độ dài hai đoạn thẳng, tích độ dài hai đoạn thẳng qua diện tích đa giác
Hệ thức đinh lí Talet có dạng tỉ lệ thức tỉ số hai đoạn thẳng Việc vận dụng định lí Talet cách hợp lí linh hoạt giúp ta chuyển đợc tỉ số diện tích hai đa giác tỉ số hai đoạn thẳng, bớc quan trọng trình giải tốn
Ta cã nhËn xÐt sau:
NhËn xÐt 1 : Cho ABC, trªn AB AC theo thứ tự lấy điểm B1 C1 thì:
S(ABC) S(AB1C1)
=AB AC
AB1 AC1
a a+b¿
2
.S(BMD) S(ABC)=¿
2.S(ABC) S(AB1C1)
=AB CH
AB1.C1H1 Chøng minh: KỴ CH AB, CH1 AB ; H,H1 AB ta cã:
(1)
Ta có CH// C1H1, áp dụng hệ định lý Talet vào AHC ta đợc:
.CH C1H1=
AC AC1
(2)
S(ABC) S(AB1C1)
=AB AC
AB1 AC1 Thay (2) vào (1) ta đợc: (Đpcm)
NhËn xÐt 2: ABC, MN // BC, M AB, N AC th×:
AB AM ¿
2
S(ABC) S(AMN)=¿
Chøng minh:
S(ABC)
S(AMN)
=AB AC
AM AN áp dụng nhận xét ta đợc
(3)
.AB AM=
AC
AN Do MN//BC, áp dụng định lý Talet ta có:
(4)
B
A
C H
H 1 B
1 C
1
M N
A
(29).S(ABC)
S(MNP)
=AB AC
MN MP NhËn xÐt 3: NÕu hai tam giác ABC MNP có
M = A :
VÝ dô 1: ABC, M BC, Qua M kỴ MD // AC, ME // AB, D
AB,
E AC , biÕt S(BMD) = a2, S(MEC) = b2 TÝnh S(ABC) * H ớng dẫn tìm lời giải:
Theo gi thiết toán MD // AC, ME // AB, áp dụng nhận xét ta đợc:
áp dụng nhận xét ta đợc:
S(BDM) S(ABC)
=BM
BC
BM BC ¿
2
S(BDM) S(ABC)= BM
BC Mà S(BMD) = a2
Để tÝnh S(ABC) ta chØ cÇn tÝnh tØ sè: H·y sư dơng gi¶ thiÕt S(MEC) = b2. * Lêi gi¶i tãm t¾t:
Theo giả thiết MD // AC, áp dụng nhận xét ta đợc: (1)
Lại có MD // AC nên DMB = C, áp dụng nhận xét ta đợc:
a b¿
2=>BM
MC= a b BM
MC ¿
2 =¿
MB MC¿
2
=>¿
.S(BMD) S(MEC)=
MB MD CE CM =
AE BM CE MC =¿ BM
BC = a a+b
Suy ra: (2)
a a+b¿
2
S(BDM) S(ABC)=¿
Thay (2) vào (1) ta đợc :
Mà S(BMD) = a2 nên suy S(ABC) = (a +b)2.
Khai thác toán:
a+b2 ¿ ¿
+ Tính diện tích hình bình hành ADME theo a b Xác định vị trí M cho diện tích ADME lớn (Gợi ý: SADME=2.ab )
Khi điểm M nằm ngồi đoạn BC diện tích ABC đợc tính nh nào?
Ví dụ : ABC, M thuộc tia đối tia BC, kẻ MD // AC, ME // AD, D AB, E AC Biết S(BMD) = a2, S(MEC) = b2 Tính S(ABC)
* Lời giải:
Qua B kẻ BF // AC, F ME, BFM = MDB => S(BFM)= S(MBD) nên S(BFM) = a2 Đặt S(ABC) = x2 (víi x>0)
Vì B nằm M C, áp dụng ví dụ ta đợc S(MEC) = (a + x)
A
C E
M B
(30)mµ S(MEC) = b2 (theo gi¶ thiÕt) suy ra: b2 = (a+x)2 => b= a+x => x=b-a
=> x2 = (b – a)2 VËy S(ABC) = (b – a)2
Nh M đờng thẳng BC mà M không thuộc cạnh BC : S(ABC) = (b – a)2
VÝ dơ 3: ABC, M thc miỊn tam giác Qua M kẻ PQ//BC; EF//AC; DK//AB, với P, E AB; D, Q AC; K, F BC BiÕt S(MPE) = a2;
S(MDQ) = b2; S(MKF) = c2, víi a,b,c >0.
TÝnh S(ABC).
* H ớng dẫn tìm lời giải:
Gi thiết tốn giả thiết ví dụ có nhiều điểm giống Liệu ta sử dụng kết ví dụ vào giải tốn đợc khơng?
Trên hình vẽ ta có tính đợc diện tích tam giác: APQ; BEF; CDK khơng?
Lêi gi¶i:
áp dụng kết ví dụ ta đợc : S(APQ) = (a+b)2;
S(BEF) = (a+c)2; S(CDK) = (b+c)2
Mµ S(ABC) = S(APQ) + S(BEF) + S(CDK) – S(MEP)– S(MDQ) – S(MKF)
Nªn suy ra: S(ABC) = (a+b)2 + (a+c)2+ (b+c)2- a2 – b2 – c2 = (a+b+c)2 VËy S(ABC) = (a+b+c)2 (*)
Khai thác tốn: Xác định vị trí M cho:
S(AEMD) + S(BPMK) + S(MFCQ) đạt giá trị lớn
Vẫn với giả thiết nh ví dụ nhng điểm M thuộc miền ngồi tam giác đẳng thức (*) thay đổi nh nào?
CN ND=2
BM
MC S(APQ)= 2S(AMN)
1
2 VÝ dô 4: Cho hình bình hành ABCD trên cạnh BC CD lần lợt lấy điểm M, N cho:
E A F
M D
B C
A D
Q
C B
P E
M
F K
c2
(31)Gäi P vµ Q theo thø tù giao điểm AM AN với BD Chứng minh rằng:
* H ớng dẫn tìm lời giải:
¸p dơng nhËn xÐt ta cã:
S(APQ) S(AMN)
=AP AQ
AM AN= AP AM
AQ AN CN
ND=2 BM
MC Ta phải chứng minh tích hai tỉ số
Giả thiết toán đờng thẳng song song cho phép ta vận dụng định lý Talet:
BM MC=k
CN ND=2k
AP PM= AD BM => AP AM= AD
AD+BM=
BC BC+BM
BM
MC=k=> BC BM=
k+1
k
BC
BC+BM=
k+1
2k+1
AP AM=
k+1
2k+1 * Lêi gi¶i:
Đặt (k>0)
S(APQ) S(AMN)
=AP AQ
AM AN
¸p dơng nhËn xÐt ta cã: (*)
Theo định lí Talet ta có: (1)
Mặt khác:
Suy ra: (2)
Từ (1) (2) suy ra: (3)
AQ QN = AB DN=> AQ AN= AB
AB+DN=
DC
DC+DN=
2k+1
2k+2
T¬ng tù: (4)
S(APQ) S(AMN)
= k+1
2k+1
2k+1
2k+2=
1
Thay (3), (4) vµo (**) suy (§pcm)
AB AC¿
2
MB NB MC NC=¿
VÝ dô 5: Cho ABC, cạnh BC lấy hai điểm M N.
Chøng minh r»ng: MAB = NAC * H ớng dẫn tìm lời giải:
AB AC¿
2
MB NB MC NC=¿
Đây toán yêu cầu chứng minh hai chiÒu: ( =>) MAB = NAC =>
D
B M C
N Q
P
A
(32)AB AC¿
2
MB NB MC NC=¿
( <=) => MAB = NAC
+ Để chứng minh (=>) vận dụng nhận xét 1, 2, 3, ý đến giả thiết MAB = NAC
+ §Ĩ chøng minh (<=) ta lấy điểm N BC MAB = N’AC H·y chøng minh N N’
Lêi gi¶i:
(=>) Giả sử MAB = NAC, kẻ đờng cao AH, áp dụng nhận xét 3:
S(MAB) S(NAC)
=AM AB
AN AC
S(NAB) S(MAC)
=AN AB
AM AC S(MAB)
2 S(NAC)
=AH MB
AH NC =
MB
NC =>
MB
NC =
AM AB AN AC
L¹i có : (1)
Mặt khác: Vì MAB = NAC nên: NAB= MAC, áp dụng nhận xét ta cã:
2.S S(MAC)=
AH NB AH MC=
NB MC=>
NB MC=
AN AB AM AC
L¹i cã: (2)
AB AC¿
2
MB NB
MC NCTõ (1) vµ (2) suy ra: =¿
(§pcm)
AB AC¿
2
MB NB MC NC=¿
AB AC¿
2
MB N ' B MC N ' C=¿
N ' B N ' C=
NB
NC =>N ≡ N '=>∠MAB=∠NAC AB
AC ¿
2
=>DB DC=
AB AC DB
DC¿
2 =¿ ¿
(<=): Gi¶ sư: ,
Trên cạnh BC lấy N cho: MAB= NAC Theo phần suy ra:
Kết hợp với (=>) suy ra: (§pcm)
Nhận xét: Khi M N trùng với chân đờng phân giác AD BAC :
Vậy ví dụ mở rộng tính chất quen thuộc đờng phân giác Kết luận 4: Vận dụng định lý Talet vào giải tốn diện tích dạng tốn hay khó Muốn làm tốt dạng tốn cần ý đến tính chất diện tích đa giác, cơng thức tính diện tích đa giác, định lí Talet đặc biệt ý đến nhận xét 1, 2, Việc vận dụng hợp lí, linh hoạt định lí Talet nhận xét 1, 2, cho phép ta giải đợc nhiều tốn diện tích đa giác tơng đối phức tạp
(33)III Một số tập áp dơng.–
Bài 1:Hình thang ABCD (AB//CD), có AB = 28 cm, CD = 70cm, AD = 35cm, đờng thẳng song song với hai đáy cắt cạnh AD, BC theo thứ tự E F, biết DE = 10 cm Tính EF ?
AK KC
1 AE=
1 AK+
1 AG
A ' M A ' G +
B ' M B ' G+
C ' M
C ' G =3 Bài 2: Cho ABC, điểm D
chia BC theo tØ sè 1/2, ®iĨm O chia AD theo tØ sè 3/2 Gäi K lµ giao ®iĨm cđa BO vµ AC TÝnh :
Bài 3: Một đờng thẳng d qua đỉnh A hình bình hành ABCD, cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng:
a) AE2 = EK.EG b)
Bài 4: Cho ABC đều, trọng tâm G, M điểm nằm bên tam giác, đờng thẳng MG cắt đờng thẳng BC, AC, AB theo thứ tự A’, B’ , C’ Chứng minh:
Bµi 5:
CN
ND=2 a) Cho hình bình hành ABCD, M trung điểm BC, điểm N
trên cạnh CD cho:
Gäi giao ®iĨm cđa AM, AN víi BD lµ P, Q Chøng minh:
S(APQ)=1
2S(AMN) CN
ND=2
CN ND=2
BM
MC b) Chứng minh kết luận câu a)
nếu thay điều kiện : M trung điểm BC, N cạnh CD cho: điều kiện tổng quát M cạnh BC, N cạnh CD cho
Bi 6: Cho ABC, I giao điểm đờng phân giác , G trọng tâm ABC, biết AB = 8cm, AC = 12 cm, BC = 10 cm,
a) Chøng minh: IG // BC b) TÝnh IG = ?
BM MC
¿❑
❑= CN CA=
AP
AB=k(k>0)
Bµi 7: Cho ABC, cạnh BC, CA AB lần lợt lấy điểm M, N P cho:
a) Chứng minh rằng: AM, BN, CP độ dài ba cạnh tam giác mà ta kí hiệu (k)
(34)C- KÕt qu¶
Sau dạy xong chuyên đề cho học sinh khá, giỏi khối 8, tiến hành khảo sát qua kiểm tra thu đợc kết c th nh sau:
Năm học Điểm giỏi điểm điểm TB điểm Yếu
2002 - 2003 20% 30% 25% 25%
2003 – 2004 35% 28% 22% 15%
2004 - 2005 42% 36% 20% 8%
Nhận xét: Năm học 2002 – 2003 áp dụng thử nghiệm đề tài tỉ lệ học sinh khá, giỏi tăng, số học sinh yếu giảm so với năm học trớc
- Từ năm học 2003 – 2004, kết hợp áp dụng đề tài từ tiết học lớp với buổi học chuyên đề Kết thu đợc tơng đối tốt, số học sinh khá, giỏi tăng lên rõ rệt, số học sinh yếu giảm Đa số em học sinh chủ động linh hoạt sáng tạo gặp dạng tốn áp dụng định lí Talet nói riêng tình tốn học nói chung
D – bµi häc kinh nghiƯm
1 Đối với thày:
Khi thc hin ti này, đề tài quan trọng chơng trình tốn nhng khó khăn với học sinh Tơi nhận thấy điều thành cơng là: Đã tạo cho học sinh thói quen phân tích tìm lời giải cho dạng tốn vận dụng định lý Talet nói riêng tình tốn học nói chung Đặc biệt tạo điều kiện cho học sinh rèn luyện phát huy sức sáng tạo
Qua thực chun đề này, tơi rút cho số học ph-ơng pháp giảng dạy nh ý thức nghề nghiệp
Một là: Muốn dạy học sinh giải toán sáng tạo, ngời giáo viên dạy tốn phải thờng xun tự giải tốn có kế hoạch giải toán cho ngày đặn
(35)cho em phát huy sức sáng tạo tránh tình trạng áp đặt lối suy nghĩ cho học trị
2 §èi víi häc sinh.
Chuyên đề: Các dạng toán vận dụng định lý Talet chuyên đề rộng, dạng tập phong phú đa dạng Vận dụng định lý Talet bớc đột phá qúa trình giải tập nhng để giải đợc tập hình học ta phải sử dụng nhiều kiến thức, kỹ toán học khác Do vậy, học sinh phải khơng ngừng ơn tập, tích luỹ cho kiến thức, đặc biệt kiến thức phơng pháp
Một là: Học lớp cách tích cực, chủ động, cố gắng nắm đợc hệ thống toàn bài, cách đặt vấn đề thày giáo Cần phối hợp nghe, suy nghĩ, ghi chép Nên mạnh dạn phát biểu ý kiến, cách tốt thể hoạt động t thân
Hai là: Ln tìm tịi sáng tạo giải tốn, qúa trình giải tốn q trình rèn luyện phơng pháp suy luận khoa học, q trình tự nghiên cứu sáng tạo Khơng nên coi thờng tập đơn giản, nắm đợc “điểm nút” qúa trình giải tốn đờng đặc biệt hoá, tổng quát hoá, tơng tự hoá giúp ta hái lợm đợc nhiều điều thú vị, từ toán đơn giản
Ba là: Vẽ thêm yếu tố phụ trình giải tập hình học khâu quan trọng Để vận dụng định lý Talet vào giải tốn ta có phơng pháp vẽ thêm đờng thẳng song song,…
E - Những vấn đề bỏ ngỏ điều kiện thực đề tài
1 Những vấn đề cịn bỏ ngỏ.
(36)Ngồi ra, ta nghiên cứu sâu bốn dạng toán vận dụng định lý Talet trình bày trên, ta dạy cho học sinh khối 9, tuỳ theo mức độ nhận thức học sinh
2 Điều kiện thực đề tài
Tuỳ theo đối tợng học sinh ta lựa chọn hệ thống tập cho phù hợp
ở học sinh trung bình ta dạy cho em Ví dụ 1, Ví dụ dạng tốn, cịn đối tợng học sinh khá, giỏi, em có kỹ giải tốn khá, ta hồn thành tồn chuyên đề cho em
Để thực tốt nội dung đề tài này, trớc giáo viên cần dạy cho học sinh số chuyên cú liờn quan
+ Diện tích đa giác + TØ lÖ thøc
G – kÕt luËn
Trong thời gian giảng dạy trờng THCS Trần Cao, qua học hỏi kinh nghiệm thày cô giáo bạn đồng nghiệp, viết đề tài với mong muốn đợc trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm q trình dạy tốn Trong phạm vi đề tài cố gắng hệ thống lại bốn dạng tập vận dụng định lý Talet mà học sinh thờng gặp tình giải tốn
Đề tài đợc thử nghiệm với học sinh khối cho kết tốt Học sinh nắm dạng tập phơng pháp phân tích đề tìm lời giải cho tốn Qua giúp em ln chủ động sáng tạo trình giải tình tốn học
Đề tài đợc hồn thành với hớng dẫn, giúp đỡ tận tình thày
Nguyễn Văn Khải Giảng viên trờng Đại học S phạm Hµ Néi
Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thày mong tiếp tục nhận đợc phê bình đánh giá thày Tuy có cố gắng tìm tịi, nghiên cứu nhng trình độ thời gian có hạn chắn đề tài cịn có thiếu sót, hạn chế Em mong đợc góp ý, phê bình thày bạn đồng nghiệp để nội dung đề tài đợc phong phú đầy đủ
(37)