Giáo trình Vận trù học - Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

Các mô hình mạng ( Network Model ) ñược phát triển lần ñầu vào năm 1958 với sự trợ giúp của công ti tư vấn Booz, Allen và Hamilton. Tại Việt Nam, từ nhiều năm trước ñây các hoạt ñộng [r]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO

TRƯỜNG ðẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI PGS TS NGUYỄN HẢI THANH

VẬN TRÙ HỌC

Giáo trình cho ngành Tin học Cơng nghệ thơng tin

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 2

MỤC LỤC

Trang

LỜI NÓI ðẦU 7

CHƯƠNG I MỞðẦU

1 Giới thiệu về Vận trù học / Khoa học quản lí

1.1 Vai trò Vận trù học

1.2 Các bước áp dụng Vận trù học 10 1.3 Quá trình phát triển Vận trù học 11 2 Các ứng dụng phương pháp ñịnh lượng cơ bản của Vận trù học 12

2.1 Một số ứng dụng 12

2.2 Các phương pháp ñịnh lượng 14

2.3 Hệ thơng tin quản lí 14

CHƯƠNG II MỘT SỐ MƠ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 16

1 Mơ hình quy hoạch tuyến tính 16

1.1 Phát biểu mơ hình quy hoạch tuyến tính 16 1.2 Phương pháp đơn hình giải BTQHTT dạng tắc 19 1.3 Phương pháp đơn hình hai pha giải BTQHTT

dạng tổng quát 23

1.4 Phương pháp cắt Gomory giải BTQHTT nguyên 29 1.5 Một số ứng dụng phương pháp đơn hình 33

2 Mơ hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 35

2.1 Các khái niệm 35

2.2 Phương pháp tổng quát giải BTQHTT ña mục tiêu 37 2.3 Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT

ña mục tiêu 39

2.4 Một ứng dụng mơ hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 44

3 Mơ hình tối ưu phi tuyến ñơn ña mục tiêu 45

3.1 Một số khái niệm 45

3.2 Một số phương pháp giải toán tối ưu phi tuyến

ñơn mục tiêu ứng dụng 47

3.3 Một số phương pháp giải toán tối ưu phi tuyến

BÀI TẬP CHƯƠNG II 54

CHƯƠNG III CÁC MƠ HÌNH MẠNG 57

1 Mơ hình mạng vận tải 57

1.1 Phát biểu toán vận tải 57 1.2 Tạo phương án vận tải xuất phát 58 1.3 Phương pháp phân phối giải toán vận tải 60 1.4 Phương pháp phân phối cải biên giải toán vận tải 62

2 Mơ hình mạng PERT 66

2.1 Các khái niệm PERT 66 2.2 Sơ ñồ PERT với số liệu ngẫu nhiên 71 2.3 ðiều chỉnh dự án kế hoạch số hoạt ñộng bị phá vỡ 73 2.4 Tính thời gian rút gọn tối ưu phương pháp đơn hình 74 2.5 Áp dụng mạng PERT phân tích chi phí

quản lí tài dự án 75

3 Một số mơ hình mạng khác 77

3.1 Bài toán khung tối thiểu 77 3.2 Bài toán tìm đường ngắn quy hoạch động 79 3.3 Mơ hình mạng trung chuyển hàng 86 3.4 Bài tốn tìm luồng cực đại 88

BÀI TẬP CHƯƠNG III 90

CHƯƠNG IV GIỚI THIỆU LÍ THUYẾT MƠ PHỎNG VÀ

MƠ HÌNH HÀNG CHỜ 96

1 Mục đích cơng cụ của mô phỏng 96

1.1 Khái niệm mô ngẫu nhiên 96 1.2 Các công cụ chủ yếu mô 97 1.3 Mô số phân phối xác suất 98

2 Áp dụng mô phỏng ngẫu nhiên 101

2.1 Vai trò phương pháp mô 101 2.2 Các bước cần tiến hành áp dụng mô 102 2.3 Một số ví dụ áp dụng phương pháp mơ 102

3 Một số vấn đề về mơ hình hàng chờ 112

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 4

3.2 Các số cần khảo sát 115

3.3 Tính tốn số 116

3.4 Áp dụng mô cho số hệ thống hàng chờ 118

BÀI TẬP CHƯƠNG IV 127

CHƯƠNG V PHÂN TÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG 131

1 Các khái niệm cơ bản về xích Markov 131

1.1 Một số ñịnh nghĩa 131

1.2 Ma trận xác suất chuyển trạng thái phân phối dừng 132 1.3 Các tính chất định lí 137

2 Một sốứng dụng của phân tích Markov 138

2.1 Tìm cân thị phần 138

2.2 Chính sách thay vật tư thiết bị 138 2.3 Phân tích Markov dự báo thất thu cho

các hợp ñồng thực trước 140 2.4 Tìm phân phối giới hạn cho hệ thống kĩ thuật 142 2.5 2.5 Một ứng dụng trình sinh−tử cho hệ thống hàngchờ 147

3 Mơ phỏng xích Markov 149

3.1 Mơ xích Markov thời gian rời rạc 149 3.2 Mơ xích Markov thời gian liên tục 151

BÀI TẬP CHƯƠNG V 152

CHƯƠNG VI MỘT SỐ MƠ HÌNH RA QUYẾT ðỊNH VÀ ỨNG DỤNG 158

1 Ra quyết định mơi trường bất định 158

1.1 Một số khái niệm 158 1.2 Ra định mơi trường bất định nghiêm ngặt 160 1.3 Ra định mơi trường rủi ro 163

2 Phân tích quyết định Bayes 167

4.1 Khái niệm hàm thỏa dụng 174 4.2 Tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối đa 175

5 Lí thuyết trị chơi ứng dụng 179

5.1 Một số khái niệm lí thuyết trị chơi 179 5.2 Trị chơi hai người – tổng không với chiến lược 181 5.3 Trị chơi hai người – tổng khơng với chiến lược hỗn hợp 182 5.4 Lời giải ñồ thị cho trị chơi cỡ 2×N M×2 186 5.5 Giới thiệu trò chơi nhiều người 188

BÀI TẬP CHƯƠNG VI 190

CHƯƠNG VII CÁC MÔ HÌNH QUẢN LÍ HÀNG DỰ TRỮ 193

1 Các khái niệm cơ bản 193

1.1 Các chức việc dự trữ hàng 193 1.2 Hệ thống quản lí hàng dự trữ theo phân loại giá trị ABC 193 1.3 Mơ hình quản lí hàng dự trữ tổng qt 194 2 Một số mơ hình tất định quản lí hàng dự trữ 196 2.1 Mơ hình tĩnh Wilson với mặt hàng 196 2.2 Mơ hình tĩnh mặt hàng với dự trữ ñệm 199 2.3 Mơ hình tĩnh mặt hàng với giá chiết khấu 200 2.4 Mơ hình tĩnh nhiều mặt hàng với diện tích kho hạn chế 202 2.5 Mơ hình động mặt hàng N chu kì 204

3 Mơ hình lập kế hoạch sản xuất N chu kì 207

3.1 Mơ hình lập kế hoạch khơng cho phép nợ hàng 208 3.2 Mơ hình lập kế hoạch cho phép nợ hàng 209 4 Một số mơ hình xác suất quản lí hàng dự trữ 210 4.1 Mơ hình xác suất với chế độ báo cáo theo dõi thường xun 210 4.2 Mơ hình xác suất chu kì 213 4.3 Mơ hình xác suất nhiều chu kì 218

BÀI TẬP CHƯƠNG VII 224

PHẦN PHỤ LỤC 229

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 6

LỜI NÓI ðẦU

Vận trù học (Operations Research) được xem một cơng cụ ñịnh lượng nền tảng

của Khoa học quản lí mà đó phương pháp kĩ thuật của Tốn học

cơng cụ tính tốn, lưu trữ xử lí dữ liệu của Tin học được áp dụng để mơ hình hóa,

phân tích tìm lời giải cho tốn quyết định, nhằm hỗ trợ bộ máy quản lí đưa quyết định hợp lí nhất Trên thế giới việc nghiên cứu ứng dụng Vận trù

học ngày phát triển sâu rộng với nhiều tạp chí chun ngành nổi tiếng, mơn Vận

trù học ñược giảng dạy với thời lượng lớn bao gồm nhiều nội dung phong phú

cấp thiết nhiều chương trình đào tạo ñại học cao học

Hiện nay, những môn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế - quản lí nói chung

và phương pháp tốn - tin ứng dụng mơ hình hóa phân tích tốn

quyết định nói riêng được đưa vào giảng dạy chương trình đào tạo đại học

trong nước ðối với sinh viên ngành Tin học, Cơng nghệ thơng tin

Tốn - Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế - quản lí thực sự cần thiết cho

cương vị làm việc sau này, ñặc biệt cương vị CIO (Chief Information Officer -

Giám ñốc Thơng tin) Trong chương trình đào tạo ngành Tin học của Khoa Công

nghệ thông tin, Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức bao gồm Tối ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Các phương pháp toán kinh tế Vận trù

học Giáo trình “Vận trù học” với thời lượng 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu nhằm

trước hết phục vụ việc dạy học môn học cho sinh viên năm thứ ba hoặc năm

thứ tư ngành Tin học Hi vọng rằng, sau trường kĩ sư Tin học sẽ áp dụng

triển khai phương pháp vận trù học ñược một cách rộng rãi với nhiều hiệu quả

thiết thực việc xây dựng hệ thống thơng tin quản lí phần mềm tính

tốn cho tốn quản lí, quản trị kinh doanh kinh tế - cơng nghệ khác

Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm được một số mơ hình vận trù học cơ bản,

biết cách vận dụng phương pháp kĩ thuật tốn học, quy trình tính tốn

khoa học thích hợp để phân tích xử lí mơ hình đó Các chủđề giáo trình

bao gồm: Một số mơ hình tối ưu (Optimization Model) như mơ hình quy hoạch

tuyến tính cũng như phi tuyến đơn ña mục tiêu ñược ñề cập tới Chương II

Chương III giới thiệu về mơ hình mạng (Network Model) với toán về mạng

vận tải, mạng PERT, về quy hoạch ñộng áp dụng tìm đường đi ngắn nhất

và mô phỏng ngẫu nhiên (Stochastic Simulation) được trình bày Chương IV

Chương V giới thiệu khái niệm cơ bản ứng dụng của xích Markov (Markov

Chain) Chương VI kiến thức cơ sở của lí thuyết quyết ñịnh (Decision Theory)

như quy tắc quyết định mơi trường bất định rủi ro, phân tích quyết định Bayes, quyết định lí thuyết trị chơi Chương VII trình bày về mơ hình

quản lí hàng dự trữ (Inventory Management Model), một vấn ñề quan trọng phát sinh

trong quản lí tài nguyên nguồn lực của doanh nghiệp ðây chủ ñề chủ

yếu nhất của môn Vận trù học mà sinh viên ngành Tin học, Công nghệ thông tin

và Tốn - Tin ứng dụng tại trường đại học nước bắt buộc phải học Phần

bài tập sau từng chương giúp sinh viên củng cố kiến thức ñã học thực hành áp

dụng quy trình tính tốn khoa học Những sinh viên có thể tự học sâu thêm

bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt Internet viết

các phần mềm nhỏ

Giáo trình cũng có thể ñược lấy làm tài liệu tham khảo hay dạy học

phương pháp toán ứng dụng hay mơ hình hóa cho chun ngành như: Quản lí đất đai, Kinh tế nơng nghiệp, Cơ điện một số chuyên ngành quản lí − kinh tế− cơng

nghệ khác ở bậc đại học hoặc cao học

Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Gillet B E., Introduction to

Operations Research, McGraw Hill, New York, 1990; Taha H A., Operations

Research, MacMillan Publishing Company, New York, 1989; Levin R I., Rubin D S and Stinson J P., Quantitative approaches to management, McGraw Hill, New York,

1986; Phan Quốc Khánh, Vận trù học, Nxb Giáo dục, 2004; Tạp chí Ứng dụng Toán

học, Hội Ứng dụng Toán họcViệt Nam, 2003 - 2007

Trong trình biên soạn, tác giả rất cố gắng nhưng có lẽ khơng tránh khỏi

sai sót Tác giả xin chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp chỉnh sửa bản thảo

giảng môn học của đồng nghiệp Khoa Cơng nghệ thơng tin sinh viên

ngành Tin học khóa K47, K48, K49, K50 của Trường ðại học Nông nghiệp Hà

Nội ln mong muốn tiếp tục nhận được nhiều góp ý của nhà khoa học,

giảng viên sinh viên để cho giáo trình được hồn chỉnh hơn, xác hơn sinh ñộng hơn

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 8

Chương I

MỞ ðẦU

1 GIỚI THIỆU VỀ VẬN TRÙ HỌC VÀ KHOA HỌC QUẢN LÍ 1.1 Vai trị của Vận trù học

Vận trù học (Operations Research − OR) là ngành học nghiên cứu hoạt động hợp lí Việc tổ chức tiến hành hoạt ñộng nhiều lĩnh vực kinh tế, xã hội, quốc phòng, kinh doanh, sản xuất, dịch vụ địi hỏi nhà quản lí phải vận dụng

cách thích hợp điều kiện cho phép để trù tính ñưa ñịnh

ðối với máy quản lí cấp doanh nghiệp, tập đồn, cơng ti , định trách nhiệm then chốt Quá trình định bắt đầu máy quản lí phát vấn đề đĩ cần quan tâm tới Sau đĩ, cần xác định rõ vấn đề, phát biểu mục tiêu phải hướng tới điều kiện hạn chế (cịn gọi điều kiện ràng buộc) tìm kiếm đánh giá phương án Cuối cùng, phải chọn phương án hành động coi hợp lí nhằm giải vấn đề cách tốt Năng lực máy quản lí thể khả phát vấn đề giải tốn định phát sinh

Một q trình định q trình phân tích tổng hợp thơng tin, có hình thứcđịnh tính hay định lượng Với cách tiếp cận định tính, người quản lí

có thể dựa vào nhận định chủ quan kinh nghiệm sẵn có để đưa định Trong số trường hợp, cách tiếp cận có tính “trực giác” giúp ñưa ñược ñịnh ñủ tốt Tuy nhiên, nhiều trường hợp khác, cách tiếp cận định lượng có hiệu thật việc trợ giúp q trình định Cách tiếp cận định lượng thường nhà quản lí thực trường hợp sau:

- Vấn ñề ñặt phức tạp bao gồm nhiều biến cần phải thiết lập mơ hình tốn học sử dụng cơng cụ định lượng để tìm ñược phương án giải

- Các liệu liên quan tới vấn đề cần khảo sát có dạng liệu số mục tiêu cần hướng tới có tính chất định lượng, chẳng hạn cần nâng cao hay hạ thấp số ñấy

- Vấn đề đặt có tính chất “lặp”, tức q trình giải vấn đề bao gồm số cơng đoạn/thủ tục lặp lặp lại nhiều lần vậy, tiếp cận định lượng giúp người quản lí tiết kiệm thời gian chi phí

Có thể nói, Vận trù học cơng cụ định lượng tảng Khoa học quản lí

(Management Science − MS), mà phương pháp kĩ thuật Tốn học cơng cụ tính tốn, lưu trữ xử lí liệu Tin học áp dụng để mơ hình hóa, phân tích tìm lời giải cho tốn định, nhằm hỗ trợ máy quản lí đưa đưa ñịnh ñúng ñắn ñiều kiện nguồn lực tài ngun hạn chế Vì vậy, Vận trù học có vai trò quan trọng việc thiết lập kế hoạch dài hạn, phát triển chiến lược chủ ñạo việc hỗ trợ hoạt ñộng diễn hàng ngày nhiều lĩnh vực

Vận trù học ngành học vừa có tính khoa học vừa có tính nghệ thuật Với tư cách khoa học, Vận trù học nghiên cứu thiết lập mơ hình tốn học vấn ñề phát sinh từ thực tế phương pháp tốn học/các thuật giải để giải mơ hình ñặt Tuy nhiên, Vận trù học nghệ thuật, thành cơng q trình định phụ thuộc phần lớn vào tính sáng tạo lực nhà phân tích định Việc thu thập số liệu, thiết lập mơ hình triển khai phương án tìm thực tế phụ thuộc vào khả chuyên gia hay nhóm chuyên gia làm Vận trù học việc khai thác ñược thông tin xác thực xây dựng ñược giao tiếp tin cậy với máy quản lí

1.2 Các bước áp dụng Vận trù học

Các bước áp dụng Vận trù học để thiết lập giải mơ hình phát sinh từ thực tế tóm lược sau:

− Khảo sát thực tế phát hiện vấn ñề. Tại bước này, cần áp dụng hoàn thiện

các kĩ như: biết lắng nghe, ñiều tra khảo sát liệu, biết phân tích hoạt ñộng thực tế phân biệt ñược yếu tố quan trọng với chi tiết thứ yếu

− Phân tích vấn đề xây dựng mơ hình. Trước hết cần xác định rõ mục tiêu

nghiên cứu định dạng rõ tốn phát sinh phương án giải quyết, từ xác định yếu tố liên quan mà nhà quản lí kiểm sốt Nói cách khác, cần xác định mục tiêu ñiều kiện hạn chế/ñiều kiện ràng buộc dạng định tính Sau lựa chọn biến định xây dựng mơ hình tốn học phù hợp, phản ánh ñược thực tế khách quan

− Thu thập số liệu ñầu vào xác ñịnh phương pháp giải quyết. Căn mơ hình

xây dựng ñược cần thu thập số liệu ñầu vào cần thiết, ñộ tin cậy số liệu ñầu vào ảnh hưởng ñáng kể tới kết ñầu mơ hình Với mơ hình xây dựng cần tìm phương pháp giải thích hợp dựa phương pháp ñã biết phát triển phương pháp

− Xác định quy trình giải/thuật giải chọn lựa phương án hợp lí. Có thể giải mô

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 10

− Kiểm thử mơ hình đánh giá phương án tìm được. Trong trường hợp phương án

tìm kéo theo kết bất thường mặt tính tốn khơng phù hợp với thực tế, cần kiểm tra chỉnh sửa lại mơ hình, rà sốt lại số liệu đầu vào bước tính tốn hay chọn lựa phương án Sau giải lại mơ hình để tìm phương án phù hợp

− Triển khai phương án tìm được thực tế. Trong tồn q trình

ñịnh, chuyên gia Vận trù học cần quan hệ chặt chẽ với nhà quản lí, giải thích rõ ràng tác dụng mơ hình đặt ðể phương án cuối ñược triển khai thực tế, cần có báo cáo chi tiết giúp máy quản lí hiểu rõ hiệu thiết thực mà phương án mang lại Tuy nhiên, cần nêu rõ ñiều kiện ñảm bảo cần thiết phân tích rõ yếu tố lợi nhuận/chi phí/rủi ro phương án

1.3 Quá trình phát triển của Vận trù học

Những tiến nhân loại ñạt ñược vài kỉ vừa qua giai đoạn có phần đóng góp quan trọng phương pháp khoa học việc giải vấn ñề kinh tế, xã hội Phương pháp luận khoa học, trước ñây thường ñược biết tới vấn ñề Khoa học tự nhiên, ñược ứng dụng rộng rãi lĩnh vực Khoa học quản lí như: lập kế hoạch, tổ chức kiểm sốt hoạt động

Từ hàng vài nghìn năm trước, hoạt ựộng chế tạo lắp ráp tàu biển Venice ựã ựược tổ chức cách khoa học Vào cuối kỉ XIX, Frederick W Taylor ựã giải thành công tốn quan trọng Kĩ nghệ cơng nghiệp (Industrial Engineering) lúc ựó chế tạo loại xẻng ựể khai thác loại quặng khác với suất cao Cũng vào thời gian này, Henry L Gantt giải thành cơng tốn lập tiến trình sản xuất (Production Scheduling) sản phẩm ựược chế tạo hồn thiện qua nhiều cơng ựoạn Dần dần, nhà quản lắ mở rộng toán số hoạt ựộng kĩ nghệ công nghiệp sang hoạt ựộng khác công ti như: khai thác sử dụng nguồn nguyên liệu, thuê phát triển nhân lực, chắnh sách tài chắnh, bất ựộng sản Các nhà khoa học tự nhiên, xã hội bắt ựầu quan tâm tới toán quản lắ nhận thức ựược tầm quan trọng việc giải vấn ựề cách hệ thống, tầm quan trọng nghiên cứu liên ngành bao gồm khoa học bản, kĩ nghệ quản lắ khởi nguồn Khoa học quản lắ

quát hệ thống hàng chờ (Waiting Line System) Năm 1915, Ford W Harris cơng bố cách xác định dung lượng lơ hàng tối ưu tốn quản lí hàng dự trữ (Inventory Management) Sau loạt cơng trình tác giả khác tiếp tục cơng bố mơ hình kiểm sốt hàng dự trữ Các ứng dụng lí thuyết xác suất kiểm ñịnh chất lượng (Quality Control) ñược ñề cập tới báo Walter Shewhart Mơ hình quy hoạch tuyến tính (Linear Programming) giáo sư ðại học Havard Wassily Leontieff áp dụng vào năm 1930 ñể mơ tả phân tích tồn kinh tế Mĩ Các ứng dụng Vận trù học kinh doanh lần ñầu tiên ñược Horace C Levinson phát triển giai ñoạn 1920 - 1930 ñể nghiên cứu mối quan hệ doanh thu quảng cáo, thu nhập ñịa ñiểm sinh sống người tiêu dùng mặt hàng mua sắm Sau năm 1945, Vận trù học tiếp tục ñược ứng dụng ngày rộng rãi nhiều lĩnh vực Rất nhiều toán quản lí giải phương pháp đơn hình (Simplex Method) George B Danzig ñưa vào năm 1947 Các mơ hình mạng (Network Model) phát triển lần ñầu vào năm 1958 với trợ giúp công ti tư vấn Booz, Allen Hamilton

Tại Việt Nam, từ nhiều năm trước ựây hoạt ựộng giảng dạy nghiên cứu Vận trù học ựã ựược tiến hành số sở ựào tạo nghiên cứu đại học Tổng hợp Hà Nội, Viện Toán học, Viện điều khiển kinh tếẦ Vận trù học ựược ựưa vào ứng dụng thành công số lĩnh vực giao thông, thủy lợi, sản xuất nơng nghiệp cơng nghiệp, dịch vụ, quốc phịng, với ựóng góp giáo sư Hồng Tụy, Trần Vũ Thiệu, Nguyễn đình Ngọc, Nguyễn Quý Hỷ thành lập vào năm 2002, Tạp chắ Ứng

dụng Tốn học cơng bố nhiều báo lĩnh vực Vận trù học

Ngày nay, nhiều nước giới, Hội Vận trù học Viện Khoa học quản lí thành lập, với nhiều tạp chí chun khảo tiếng Có thể giới thiệu số tạp chí quốc tế như: Operations Research, Management Science, A.I.E.E Transactions, C.O.R.S Journal, Industrial Engineering, European Journal of Operational Research, Asia-Pacific Journal of Operational Research, Decision Sciences, Decision Support Systems.

2 CÁC ỨNG DỤNG VÀ PHƯƠNG PHÁP ðỊNH LƯỢNG CƠ BẢN CỦA VẬN TRÙ HỌC

2.1 Một sốứng dụng

Các ứng dụng Vận trù học phân loại theo lĩnh vực sau ñây:

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 12

- Chế tạo, sản xuất: kiểm soát hàng dự trữ, cân sản xuất tiếp thị, lập tiến trình sản xuất, đảm bảo ổn ñịnh sản xuất

- Xây dựng: phân phối dự trữ tài nguyên cho dự án, xác ñịnh số thành viên đội cơng tác, trì tiến trình cơng tác, lập tiến trình dự án

- ðặt hàng, mua nguyên liệu: chuyển giao vật liệu, sách mua hàng đặt lại hàng tối ưu

- Tiếp thị: xác định chi phí tiếp thị, thời ñiểm giới thiệu sản phẩm mới, chọn lựa danh mục sản phẩm hỗn hợp

- Tài chính: sách cổ tức, phân tích đầu tư chọn lựa danh mục đầu tư - Kế tốn: lập kế hoạch luồng tiền, sách tín dụng, lập kế hoạch cho chiến lược kế tốn nợ

- Chính sách nhân lực: tuyển dụng nhân viên, lập kế hoạch nhân lực, lập tiến trình bồi dưỡng cán bộ, cân kĩ

- Nghiên cứu phát triển: Kiểm soát dự án nghiên cứu phát triển, lập kế hoạch phát triển sản phẩm

Chúng ta xem xét cách chi tiết vấn ñề qua vài ứng dụng điển hình Vận trù học/Khoa học quản lí sau:

- Bài tốn lập kế hoạch nhân lực. Một cơng ti cần thường xuyên trì 1000 nhân

viên, số ñó có 70% nhân viên “cũ” (ñã làm việc công ti từ năm trở lên) 30% nhân viên “mới” (làm việc năm) Theo kết thống kê có được, số nhân viên thơng thường 50% bỏ việc vịng tháng đầu, 20% bỏ việc vòng tháng tiếp theo, 10% bỏ việc tháng có 20 % khơng bỏ việc năm vào làm việc Trong số nhân viên cũ, thông thường hàng năm có 30% bỏ việc (tức khoảng 10% cho kì tháng) Vậy cơng ti cần xác định tỉ lệ tuyển nhân viên hàng năm để: i) trì ổn định lượng lao ñộng, ii) giảm lượng lao ñộng hàng năm theo tỉ lệ ñịnh trước, iii) tăng lượng lao ñộng hàng năm theo tỉ lệ ñịnh trước

- Bài tốn phân cơng nhiệm vụ Một nhóm kĩ sư A, B C phân cơng hồn

tác dụng Như cần phải nghiên cứu phương pháp khác để giải tốn phân công nghiệm vụ tổng quát

2.2 Các phương pháp ñịnh lượng

Các phương pháp ñịnh lượng thường ñược sử dụng Vận trù học/Khoa học quản lí bao gồm:

- Các phương pháp tối ưu giải mơ hình quy hoạch tuyến tính phi tuyến, quy hoạch ñộng quy hoạch ña mục tiêu

- Các kĩ thuật/thuật toán chuyên dụng giải mơ hình mạng tốn vận tải, tốn tìm đường ngắn nhất, mơ hình mạng PERT, tốn tìm luồng cực đại

- Kĩ thuật mơ giải mơ hình hàng chờ/dịch vụ cơng cộng - Phân tích Markov ứng dụng kinh doanh quản lí

- Các phương pháp chọn lựa ñịnh dựa Lí thuyết ñịnh Lí thuyết trị chơi

- Các mơ hình quản lí hàng dự trữ

Do thời lượng có hạn, số phương pháp khác Vận trù học phương pháp dự báo, hệ chuyên gia, khai phá liệu tri thức khơng đề cập tới giáo trình

2.3 Hệ thơng tin quản lí

Các tiêu chuẩn về số liệu Các phương pháp định lượng hay kĩ thuật tính tốn

đề cập thường địi hỏi số liệu ñầu vào phải ñảm bảo tiêu chuẩn sau: - Chính xác: số liệu phải khơng có sai sót

- Chi phí hiệu quả: chi phí thu thập số liệu thấp giá trị chúng mang lại - Cập nhật: số liệu phản ánh ñúng ñiều kiện

- Tin cậy: số liệu phát sinh kết khơng có bất thường

- Dễ sử dụng: số liệu sử dụng thân thiện mà khơng phải sửa đổi thêm

Các tiêu chuẩn có tính chất “thỏa hiệp”, có nghĩa tiêu chuẩn trở nên tốt dẫn tới tiêu chuẩn khác xấu Chẳng hạn, chi phí lấy số liệu thấp thường ảnh hưởng tới tính xác ñộ tin cậy số liệu Tuy nhiên, năm tiêu chuẩn ln mục tiêu cần “cực đại hóa” thu thập số liệu

Khái niệm hệ thơng tin quản lí. Có thể coi hệ thơng tin quản lí hệ thống

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 14

cần giải Rõ ràng rằng, số liệu thơ thu thập bước khảo sát thực tế phát vấn đề biến đổi cách thích hợp thành thơng tin hỗ trợ ñịnh Chẳng hạn, số liệu thô hệ số lợi nhuận loại sản phẩm ñược biến ñổi thành hệ số lợi nhuận (trung bình)/đơn vị sản phẩm, dạng thơng tin hỗ trợ việc lập kế hoạch sản xuất sản phẩm

Máy tính/mạng máy tính có nhiều điểm mạnh như: tính xác, tính quán, nhớ lớn, xử lí nhiều số liệu phép tốn phức tạp, làm việc theo quy tắc chương trình định sẵn Tuy nhiên, để thiết lập hệ thơng tin quản lí hiệu quả, cần xác định dạng thông tin hỗ trợ cần thiết giúp phát huy tốt ưu ñiểm suy luận sáng tạo linh hoạt người ñịnh Một hệ thơng tin quản lí “nhiều máy tính q” thường dẫn đến phương án có tính giới, phản ứng thiếu linh hoạt ñịnh phạm vi hẹp Trái lại, hệ thơng tin quản lí “nhiều tính người quá” thường dẫn ñến phản ứng chậm chạp hạn chế việc sử dụng số liệu khả tìm kiếm đánh giá phương án thay ðây vấn đề cần trọng chuyên gia Vận trù học Công nghệ thông tin xem xét xây dựng hệ thơng tin quản lí

Chương II

MỘT SỐ MƠ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 1 MƠ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

1.1 Phát biểu mơ hình quy hoạch tuyến tính

Với mục đích tìm hiểu bước đầu, xét mơ hình tốn học sau đây, cịn gọi mơ hình quy hoạch tuyến tính hay tốn quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), mà muốn tối ưu hóa (cực đại hóa hay cực tiểu hoá) hàm mục tiêu:

z = c1x1 + c2x2 + cnxn → Max (Min),

với ñiều kiện ràng buộc:

a11x1 + a12x2 + +a1nxn ≤ b1

a21x1 + a22x2 + +a2nxn ≤ b2

am1x1 + am2x2 + +amnxn ≤ bm

x1, x2, , xn ≥ (điều kiện khơng âm)

Trong trường hợp tổng quát, BTQHTT bao gồm ràng buộc dạng ≥, ≤ dạng =, biến có dấu ≥ 0, ≤ dấu tùy ý

Ví dụ 1: z = 8x1 + 6x2 → Max,

với ràng buộc: 4x1 + 2x2 ≤ 60

2x1 + 4x2 ≤ 48

x1, x2 ≥

BTQHTT tốn định Cần tìm giá trị biến ñịnh x1, x2 ñể ràng buộc ñược thoả mãn hàm mục tiêu ñạt giá trị lớn

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 16

Phương pháp ñồ thị giải BTQHTT hai biến

Phương pháp đồ thị có ý nghĩa minh hoạ giúp hiểu chất vấn ñề

Bước 1: Vẽ miền ràng buộc/miền phương án khả thi, tập hợp phương án

khả thi (các phương án, nói cách ngắn gọn) Mỗi phương án thể qua số (x1, x2) gọi véc tơ nghiệm, thoả mãn tất ràng buộc có (xem hình II.1)

− Trước hết vẽ ñồ thị 4x1 + 2x2 = 60 cách xác ñịnh hai ñiểm ñồ

thị: (0, 30) (15, 0) ðồ thị ñường thẳng chia mặt phẳng làm hai nửa mặt phẳng: phần gồm ñiểm (x1, x2) thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60; phần thoả mãn 4x1

+ 2x2 ≥ 60 Ta tìm nửa mặt phẳng thoả mãn 4x1 + 2x2 ≤ 60

− Tương tự, vẽ đồ thị 2x1 + 4x2 = 48 cách xác ñịnh hai ñiểm thuộc ñồ

thị (0, 12) (24, 0) Sau tìm nửa mặt phẳng thoả mãn 2x1 + 4x2 ≤ 48

− Lúc này, giao hai nửa mặt phẳng tìm cho ta tập hợp ñiểm (x1, x2)

thoả mãn hai ràng buộc ñầu tiên Tuy nhiên, ñể thoả mãn điều kiện khơng âm biến, ta xét điểm nằm góc phần tư thứ Vậy miền phương án khả thi miền giới hạn tứ giác OABC

Bước 2: Trong miền (OABC) ta tìm điểm (x1, x2) cho z = 8x1 + 6x2 ñạt giá trị

lớn

Cách 1:Dùng ñường ñồng mức Tùy theo giá trị x1, x2 mà z có mức giá trị khác

nhau

− Vẽ ñường ñồng mức: 8x1 + 6x2 = c mức c = 24, (ta chọn giá trị c bất kì,

nhưng chọn c = 24 bội số chung để việc tìm toạ độ điểm cắt hai trục toạ ñộ thuận lợi hơn) Chúng ta dễ dàng tìm hai điểm nằm đường đồng mức (0, 4) (3, 0) Các ñiểm nằm ñường ñồng mức ñều cho giá trị hàm mục tiêu z = 24

30

4x1 + 2x2 = 60

O

8

x1

2x1 + 4x2 = 48

x2

6 15

3 24

A

B

C

− Tương tự, vẽ đường ñồng mức thứ hai: 8x1 + 6x2 = 48 ñi qua hai ñiểm (0,

8) (6, 0) Chúng ta nhận thấy, tịnh tiến song song ñường ñồng mức lên theo hướng véc tơ pháp tuyến nr(8, 6) giá trị hàm mục tiêu z = 8x1 + 6x2 tăng lên

Vậy giá trị z lớn ñạt ñược ñường ñồng mức ñi qua điểm B(12, 6) (tìm x1 = 12, x2 = cách giải hệ phương trình 4x1 + 2x2 = 60 2x1 + 4x2 = 48)

Kết luận: Trong phương án khả thi phương án tối ưu (x1, x2)= (12, 6) Tại

phương án này, giá trị hàm mục tiêu lớn zmax = × 12 + × = 132

Nhận xét: Phương án tối ưu tốn (hay BTQHTT khác, có) ln

ñạt ñược ñỉnh miền phương án khả thi D (là tập lồi ña diện trường hợp BTQHTT tổng quát) hay gọi điểm cực biên (chính xác hơn, miền điểm cực biên điểm thuộc miền D, mà khơng thể tìm đoạn thẳng thuộc miền D nhận điểm điểm trong) Nhận xét định lí tốn học chứng minh cách tổng qt giáo trình mơn học Tối ưu hố Nói cách hình ảnh, muốn đạt ñược phương án tối ưu cho BTQHTT cần phải “mạo hiểm” ñi xét ñiểm cực biên miền phương án khả thi

Cách 2: Từ nhận xét trên, để tìm phương án tối ưu ta cần so sánh giá trị hàm mục tiêu điểm cực biên miền phương án

Tính giá trị z O(0, 0): z(0, 0) = 0; A(0, 12): z(0, 12) = 72; C(15,0): z(15, 0) = 120; B(12, 6): z(12, 6) = 132 = Max{z(O), z(A), z(B), z(C)} Vậy zmax = 132

Nhận xét: Muốn tìm phương án tối ưu BTQHTT ta xuất phát từ ñiểm cực biên

nào đó, tìm cách cải thiện hàm mục tiêu cách ñi tới ñiểm cực biên kề Tiếp tục tìm phương án tối ưu Trong trường hợp BTQHTT có phương án tối ưu quy trình giải bao gồm hữu hạn bước (do số ñiểm cực biên hữu hạn)

Sơñồ khối

Bắt đầu

Nhập liệu

Tìm ñiểm cực biên xuất phát

Tìm

ñiểm cực biên kề tốt Kiểm tra

ñiều kiện tối ưu

In lưu trữ kết

Dừng

đúng

Sai

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 18

ðối với BTQHTT ñang xét, quy trình giải minh hoạ sau: O(0, 0) → A(0,12) → B(12,6) dừng z = → z = 72 → z = 132 hoặc: O(0, 0) → C(15, 0) → B(12, 6) dừng

z = → z = 120 → z = 132

Quy trình giải BTQHTT tổng qt có sơ đồ khối giản lược trình bày hình II.2 Trong sơ đồ trên, mục đích trình bày vấn đề đơn giản, khơng đề cập tới trường hợp BTQHTT có miền phương án tập rỗng (lúc ta khơng tìm phương án xuất phát) ta khơng tìm điểm cực biên kề tốt ñiều kiện tối ưu chưa thoả mãn (lúc tập giá trị hàm mục tiêu z khơng bị chặn) 1.2 Phương pháp đơn hình giải BTQHTT dạng tắc

ðây phương pháp số giải BTQHTT theo sơ đồ ðể giải ví dụ ñây, trước hết cần ñưa BTQHTT dạng tắc cách thêm vào biến bù không âm x3 x4 sau:

z = 8x1 + 6x2 + 0x3 + 0x4 → Max

với ràng buộc:

4x1 + 2x2 + x3 = 60

2x1 + 4x2 + x4 = 48

x1, x2, x3, x4 ≥

Một cách tổng qt, BTQHTT dạng tắc tốn với biến không âm,

các ràng buộc với dấu “=”, hệ số vế phải của ràng buộc khơng âm Ngồi ra, mỗi

phương trình bắt buộc phải có một biến đứng độc lập với hệ số +1

ðể giải BTQHTT dạng tắc đây, cần lập số bảng đơn trình bày bảng II.1 Trước hết, cần điền số liệu tốn cho vào bảng đơn hình bước 1:

− Cột cột hệ số hàm mục tiêu ứng với biến sở ñã chọn Phương án xuất phát chọn x1 = x2 = (đây điểm gốc toạ ñộ O(0, 0)), ñó x3 = 60, x4

giá trị lớn x1 x2 biến ngồi sở chúng có giá trị Với

tốn có hai ràng buộc, bước có hai biến sở

− Cột cột biến sở Trong cột (cột phương án) cần ghi giá trị biến sở ñã chọn

− Các cột cột hệ số ñiều kiện ràng buộc tương ứng với biến x1, x2, x3 x4 toán ñã cho

Bảng II.1 Các bảng ñơn hình giải BTQHTT

c1 = c2 = c3 = c4 = Hệ số hàm mục

tiêu cj Bi

ến sở Phương án

x1 x2 x3 x4

0 x3 x4 60 48 2 0 Hàng z z0 = z1 = z2 = z3 = z4 = Hàng ∆j = cj − zj ∆1 = ∆2 = ∆3 = ∆4 = x1 x4 15 18 1/2 1/4 −1/2 Hàng z z0 = 120 z1 = z2 = z3 = z4 = Hàng ∆j = cj − zj ∆1 = ∆2 = ∆3 = −2 ∆4 = x1 x2 12 0 1/3 −1/6 −1/6 1/3

Hàng z z0 = 132 5/3 2/3

Hàng ∆j = cj − zj 0 −5/3 −2/3

Phân tích bảng đơn hình bước

− Hệ số ứng với biến x1 hàng thứ a11 = có nghĩa tỉ lệ thay riêng

giữa ñơn vị sản phẩm loại I ñơn vị sản phẩm loại III (giải thích: xét phương trình/ràng buộc thứ 4x1 + 2x2 + x3 = 60, x1 tăng ñơn vị x3 phải

giảm bốn đơn vị giữ ngun x2) Tương tự ta giải thích ý nghĩa

hệ số aij khác cho hàng hàng bảng đơn hình bước

− Chúng ta xét hàng z bảng đơn hình ðể tính z1, cần áp dụng cơng thức z1 =

(cột hệ số hàm mục tiêu) × (cột hệ số biến x1) = 0×4 + 0×2 = (giá đơn vị

sản phẩm loại III)×(tỉ lệ thay riêng loại I/loại III) + (giá đơn vị sản phẩm loại IV) × (tỉ lệ thay riêng loại I/loại IV) = tổng chi phí phải bỏ đưa thêm đơn vị sản phẩm loại I vào phương án sản xuất = Các giá trị zj, với j = 1, 2, 3, 4,

tính tương tự chi phí đưa thêm đơn vị sản phẩm loại xj vào

phương án sản xuất Còn z0 giá trị hàm mục tiêu ñạt ñược phương án ñang

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 20

− Trên hàng ∆j cần ghi giá trị ∆j, j = 1, 2, 3, 4, tính theo cơng thức ∆j = cj -zj = lợi

nhuận ñơn vị sản phẩm - chi phí đơn vị sản phẩm Vậy ∆j "lãi

biên"/một ñơn vị sản phẩm ñưa thêm ñơn vị sản phẩm loại j vào phương án sản xuất Nếu ∆j > hàm mục tiêu cịn tăng ta đưa thêm ñơn vị sản

phẩm loại j vào phương án sản xuất Có thể chứng minh ∆j đạo hàm

riêng ∂z/∂xj hàm mục tiêu z theo biến xj Như vậy, x1 tăng lên z tăng lên cịn

x2 tăng lên z tăng lên

Do ∆1 ∆2 dương nên cịn khả cải thiện hàm mục tiêu chuyển

sang (hay “xoay sang”) phương án cực biên kề tốt (quay lại nhận xét phần giải toán phương pháp ñồ thị: ñiểm cực biên kề ñiểm (0, 0) A(0, 12) hay C(15, 0))

Thủ tục xoay

Bước 1: Chọn cột xoay cột có ∆j > tức chọn biến xj làm biến sở xj

tăng kéo theo hàm mục tiêu tăng Ở ñây ta chọn ñưa x1 vào (ñánh dấu √ cột ∆1)

Bước 2: Chọn hàng xoay ñể xác ñịnh ñưa biến khỏi số biến sở (vì bước số biến sở khơng thay đổi) ðể chọn hàng xoay, ta thực quy tắc “tỉ số dương bé nhất" cách lấy cột phương án (60, 48)T chia tương ứng cho cột xoay (4,

2)T ñể chọn tỉ số bé Một ñiều cần ý ta xét tỉ số có mẫu số dương Vì Min{60/4, 48/2} = 60/4 ñạt ñược hàng ñầu, nên ta ñánh dấu √ vào hàng xoay hàng ñầu (hàng tương ứng với biến x3) Do cần đưa x3 khỏi biến sở

Bước 3: Chọn phần tử xoay nằm giao hàng xoay cột xoay

Bước 4: Xoay sang bảng đơn hình mới, xác định biến sở ñể ñiền vào cột biến sở, ñồng thời thay giá trị cột hệ số hàm mục tiêu Sau đó, tính lại phần tử hàng xoay cách lấy hàng xoay cũ chia cho phần tử xoay để có hàng tương ứng

Bước 5: Các phần tử lại bảng đơn hình tính theo quy tắc "hình chữ nhật": (1)mới = (1)cũ - (2)cũ× (4)cũ/(3)cũ, ñó (3) ñỉnh tương ứng với phần tử xoay (xem hình II.3)

(1)

(2) (3)

(4)

Chẳng hạn: (1)cũ = 4, 2(cũ) =

(3)cũ = phần tử xoay = 4, (4)cũ = ⇒ (1)mới

= − ×

=