Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C tại giao điểm của C với trục tung.. - Giao điểm của đồ thị và trục tung tại điểm Nhắc lại kiến thức về phương trình tiếp tuyến của 1 M0 ; -.[r]
(1)ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ GV: NGUYỄN QUANG ÁNH NĂM HỌC: 2010-2011 TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net (2) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ CHUNG Tập xác đinh: Tìm TXĐ hàm số Sự biến thiên: * Xét chiều biến thiên hàm số: - Tính đạo hàm y’ - Tìm điểm đó đạo hàm y’ không xác định - Xét dấu đạo hàm y’và suy chiều biến thiên hàm số * Tìm cực trị * Tìm các giới hạn vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận(nếu có) * Lập bảng biến thiên.(Ghi các kết tìm vào bảng biến thiên) Đồ thị: Dựa vào bảng biến thiên và các yêu tố xác định trên để vẽ đồ thị ax b c 0, ad bc I Hàm số: y= cx d Các bước khảo sát hàm số: * TXĐ * Sự biến thiên + Tính y' + Cực trị + Tiệm cận + Bảng biến thiên * Đồ thị Một vài ví dụ: * Ví dụ 1: (Đề TN Năm 2007 lần 2) x 1 Cho hàm số y = , gọi đồ thị hàm số là (C) x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung GIẢI: a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 1) Tập xác định: D=R\{-2} 2) Sự biến thiên: ( x 2)( x 1)' ( x 2)' ( x 1) - Chiều biến thiên: y’= >0 x D ( x 2) ( x 2) Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -2) và (-2; + ) - Cực trị: Không có cực trị x 1 x 1 ; lim y lim 1 - Tiệm cận: lim y lim x x x x x x Tiệm cận ngang là y=1; x 1 x 1 lim y lim ; lim y lim x 2 x 2 x x 2 x 2 x Tiệm cận đứng là x=-2 - Bảng biến thiên : x - -2 + y' + y - TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net (3) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ 3) Đồ thị : Đồ thị cắt Ox (1 ;0) , cắt Oy (0 ; - ) Đồ thị nhận I(-2 ;1) giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung - Giao điểm đồ thị và trục tung điểm Nhắc lại kiến thức phương trình tiếp tuyến M(0 ; - ) đồ thị lớp 11: - Đạo hàm h.số y=f(x) điểm x0 là hệ số góc 3 - Hệ số góc M là f’(0)= tiếp tuyến M0T (C) điểm M0(x0;f(x0)) (0 2) - Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số 1 y=f(x) điểm M0(x0; f(x0)) là y-y0=f’(x0)(x-x0), y0= đó y0=f(x0) 02 - Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1 3 M(0 ; - ) là : y-(- )= (x-0) y= x 2 4 * Ví dụ 2: (Đề thi TN năm 2005) 2x 1 Cho hàm số y= có đồ thị (C) x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục tung, trục hoành và đồ thị (C) c Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó qua điểm A(-1; 3) GIẢI: a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Tập xác định: D=R\{-1} Sự biến thiên TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net (4) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ ( x 1)(2 x 1)' ( x 1)' (2 x 1) >0 x D ( x 1) ( x 1) Hàm số đồng biến trên các khoảng (-; -1) và (-1; +) - Cực trị: Không có 2x 1 2x 1 ; lim y lim 2 - Tiệm cận: lim y lim x x x x x x Tiệm cận ngang là y=2 2x 1 2x 1 lim y lim ; lim y lim x 1 x 1 x x 1 x 1 x Tiệm cận đứng đồ thị là x=-1 - Bảng biến thiên: - Chiều biến thiên: y’= x y' - -1 + + y - Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt Ox (- ; 0) và cắt Oy (0 ; 1), nhận điểm I(-1; 2) là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net (5) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ b Tính diện tích hình phẳng giới hạn trục tung, trục hoành và đồ thị (C) Diện tích hình phẳng S= 2x 1 1 x dx (2 x 1)dx x ln( x 1) = 1-ln2 (đv dt) c Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(-1 ; 3) Đường thẳng d qua điểm A(-1; 3) với hệ số góc k có phương trình là: y = k(x + 1) + Để d tiếp xúc với (C) thì hệ phương trình sau phải có nghiệm: 2x 2x ( x 1) k ( x ) x 3 x ( x 1) x k 1 k k ( x 1) ( x 1) 1 13 y = (x + 1) + y = x + 4 2x x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hệ số góc tiếp tuyến – GIẢI: a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số * TXĐ: D=R\{2} * Sự biến thiên: 5 ( x 2)(2 x 1) ' (2 x 1)( x 2) ' - Chiều biến thiên: y’= = < x D ( x 2) ( x 2) Hàm số nghịch biến trên (-; 2) và (-2; +) - Cực trị: hàm số không có cực trị 2x 1 2x 1 ; lim y lim - Tiệm cận: lim y lim x2 x2 x x2 x2 x Tiệm cận ngang là y=2 2x 1 lim y lim nên x=2 là tiệm cận đứng x x x - Bảng biến thiên: x - + ' y y + - * Đồ thị: - Đồ thị cắt trục tung (0;- ) - Đồ thị cắt trục hoành tại(- ;0) - Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận (2;2) làm tâm đối xứng Ví dụ 3: (Đề thi TN năm 2009) Cho hàm số y= TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net (6) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị: Phương trình tiếp tuyến điểm M0(x0; f(x0)) là: y-y0=f’(x0)(x-x0) 5 5 1=(x0-2)2 Ta có: f’(x0)=-5 ( x0 2) x y0 3 x02-4x0+3=0 x0 y0 Vậy phương trình tiếp tuyến (C) qua hai điểm M1(1;-3) và M2(3;7) - Phương trình tiếp tuyến (C) M1(1;-3): y-(-3)=-5(x-1) y=-5x+2 - Phương trình tiếp tuyến (C) M2(3;7): y-7=-5(x-3) y=-5x+8 Bài tập: 3.1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: x+2 - 2x a y = b y = x+1 2x - 2x + c y = d y = - 3x 2x - e y = 1 + f y = x+1 2-x 2x x g y h y x 1 x 2x 1 2x i y = j y = x 1 x2 x2 2 x k y m y x 1 2x 1 3.2 (Đề thi TN GDTX năm 2007) 3x Cho hàm số y= , gọi đồ thị hàm số là (C) 2x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm M(1;− 7) 3.3 (Đề thi ĐH Khối D năm 2002) Cho hàm số y= (2m 1) x m x 1 (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m = -1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đừờng cong (C) và hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x x 1 2x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho 3.4 (Đề thi đại học năm 2011) Cho hàm số y TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net (7) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Chứng minh với m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A và B Gọi k1, k2 là hệ số góc các tiếp tuyến với (C) A và B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn 2x 1 3.5 (Đề thi TN THPT năm 2011) Cho hàm số y 2x 1 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho 2)Xác định tọa độ giao điểm đồ thị (C) với đường thẳng y x II Hàm số: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0): Lý thuyết : Tập xác định: D = R Sự biến thiên: Chiều biến thiên: - y’ = 3ax2 + 2bx + c + Xét dấu y’ chiều biến thiên đồ thị Cực trị: Nếu có Các giới hạn vô cực: + a > 0: lim y = + ; lim y = - x x + a < 0: lim y = - ; lim y = + x x Bảng biến thiên: a>0 x - x1 ’ y + ycđ y x2 - + x y’ + + - a<0 x1 - + + yct y x2 ycđ + - yct - Tính lồi lõm và điểm uốn đồ thi: y’’=0 x=? xét y’’> đồ thị lõm, y’’<0 đồ thị lồi Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y y’ = có nghiệm phân biệt y x O y y’ = có nghiệm kép y x O y’ = có vô nghiệm x O y y x O TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH O - O GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net (8) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Đồ thị: Có tâm đối xứng I(x0;f(x0)) với x0 là nghiệm y’’ = (gọi là điểm uốn đồ thị) Một số ví dụ: 2.1 (Đề TN Bổ túc năm 2008) Cho hàm số y = x3 − 3x2 +1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ x=3 Giải: a Khảo sát đồ thị: * TXĐ: D=R * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: x y'=3x2-6x=3x(x-2); y’=0 x Trên các khoảng (-; 0) và (2; +) y’>0 nên hàm số đồng biến, trên khoảng (0;2) y’<0 nên hàm số nghịch biến - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=0; yCĐ=1 Hàm số đạt cực tiều x=2; yCT=-3 - Các giới hạn vô cực: lim y lim x3 (1 ) =- x x x x lim y lim x3 (1 ) =+ x x x x - Bảng biến thiên: x - + y’ + 0 + + y - -3 - Tính lồi lõm và điểm uốn đồ thi: y’’ = 6x - 6, y’’ = x = y’’> x > 1, y’’< x < Vậy đồ thị hàm số lõm trên khoảng (1; + ∞) , lồi trên khoảng (−∞; 1) và có điểm uốn I(1; - 1) * Đồ thị: - Nhận I(1:-1) làm tâm đối xứng TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net (9) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ b Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hoành độ x=3 y'(3)=9; y(3)=1; Phương trình tiếp tuyến đồ thị C qua điểm M(3;1) là: y-yM=f’(xM)(x-xM) y-1=9(x-3) y=9x-26 2.2 (Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2006) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 + 3x2 b Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng x= −2, x = −1 Giải: a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: * TXĐ: D=R * Chiều biến thiên: x0 - Sự biến thiên: y’=3x2+6x=3x(x+2); y’=0 x 2 + Trên các khoảng (-; -2) và (0;+) y’>0 nên hàm số đồng biến, trên khoảng (-2;0) y’<0 nên hàm số nghịch biến - Cực trị: Hàm số đạt cực đại x=-2, yCĐ=4; Hàm số đạt cực tiểu x=0, yCT=0; - Các giới hạn vô cực: 1 lim y lim x3 (1 ) =-; lim y lim x3 (1 ) =+; x x x x x x - Tính lồi, lõm và điểm uốn đồ thị: y’’=6x+6=6(x+1); y’’=0 x=-1 x - -1 + y’’ + Đồ thị lồi Điểm uốn lõm - Bảng biến thiên: x y’ y - + -2 - - 0 + + + * Đồ thị: Đồ thị hàm số nhận điểm U(-1;2) làm tâm đối xứng Đi qua các điểm (-2;0); (0;0);(-3;0) TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net (10) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ b Tính diện tích hình giới hạn đồ thị, trục hoành và x=-2;x=-1 Vì x3+3x2>0 x[-2;-1] nên diện tích hình phẳng cần tìm là: 1 1 13 1 4 3 2 ( x 3x )dx = ( x x ) 2 = ( (1) (1) )-( (2) (2) )= đvdt 2.3 (Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2006) a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x3 + 3x2 b Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình −x3 + 3x2−m = c Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (C) và trục hoành GIẢI: a Khảo sát và vẽ đồ thị * TXĐ: D=R * Chiều biến thiên: x - Sự biến thiên: y’=-3x2+6x=-3x(x-2); y’=0 x 2.4 (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2004) Cho hàm số y= x3-x2 có đồ thị là (C) a Khảo sát hàm số b Viết phương trình các tiếp tuyến (C) qua điểm A(3;0) c Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn (C) và các đường y=0, x = 0, x = quay quanh trục Ox 2.5 (Đề thi tốt nghiệp THPT phân ban năm 2008) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 −1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm thực phương trình 2x3 + 3x2 −1= m 2.6 (Đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban lần năm 2007) Cho hàm số y = −x3 + 3x2 − , gọi đồ thị hàm số là (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm uốn (C) (Đề thi tốt nghiệp THPT 2010) Cho hàm số y= x3 x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b Tìm các giá trị tham số m để phương trình x3 – 6x2 + m = có nghiệm thực phân biệt TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net 10 (11) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ (Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2003-2004) Cho hàm số y=x3-3mx2+4m3 có đồ thị (C) , m là tham số Khảo sát và vẽ đồ thị (C1 ) hàm số m = Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C1) điểm có hoành độ x = Xác định m để các điểm cực đại và điểm cực tiểu đồ thị (Cm) đối xứng qua đường thẳng y = x (Đề thi tốt nghiệp THPT không phân ban 2006) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số y = x3 − 6x2 + 9x Viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C) Với giá trị nào tham số m, đường thẳng y = x + m2 −m qua trung điểm đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu đồ thị (C) (Đề thi tốt nghiệp bổ túc lần năm 2007) Cho hàm số y = x3 −3x+2, gọi đồ thị hàm số là (C) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm A(2;4) (Đề thi tốt nghiệp bổ túc năm 2009) Cho hàm số y=x3-3x2+4 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho Tìm toạ độ các giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng y=4 III Hàm số bậc bốn y=ax4 + bx2 + c: Sơ đồ khảo sát hàm số: - TXĐ: D = R - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: Tính y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(ax2 + b) Xét dấu y’ hàm số đồng biến nghịch biến + Cực trị: Hàm số luôn có cực trị Hàm số có cực trị y’=0 có nghiệm phân biệt ab < Hàm số có cực trị y’=o có nghiệm phân biệt ab Điểm uốn: Hàm số có điểm uốn y’’=o có nghiệm phân biệt ab<0 Hàm số không có điểm uốn y’’=o vô nghiệm nghiệm kép ab0 + Giới hạn vô cực: a > lim y = + , lim y = + x x a < lim y = - , lim y = - x TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH x - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net 11 (12) ĐẠI SỐ LỚP 12 - - Bảng biến thiên: a>0 x - y' y + x1 CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ x2 yCĐ + - - - + + yCT a<0 x y' y + x3 yCT x1 yCĐ x2 + - - + x3 yCĐ + - yCT - Đồ thị: Dạng đồ thị a>0 y Phương trình y' = có ba nghiệm phân biệt a<0 y O x O y Phương trình y' = có nghiệm x y O x O x Một số ví dụ: 2.1.Ví dụ 1: (Đề TN THPT 2007) Cho hàm số y = x4 – 2x2 + 1, gọi đồ thị hàm số là (C) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm cực đại (C) Giải: a - TXĐ: D=R - Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: y’ = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1) = 4x(x+1)(x-1) x0 y' = 4x(x+1)(x-1) = x 1 x TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net 12 (13) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ Trên các khoảng (-; -1) và (0; 1), y’ < nên hàm số nghịch biến Trên các khoảng (-1;0) và (1; + ), y’ > nên hàm số đồng biến + Cực trị: Hàm số có hai cực tiểu x = - và y(-1) = 0, x = và y(1) = Hàm số có cực đại x = và y(0) = 1 Điểm uốn: y’’ = 12x2 – = 4(3x2-1), y’’ = x = + Giới hạn vô cực: lim y = lim x x = + , lim x x = + x x x - Bảng biến thiên: x y' y + 1 + 0 1 + + + 0 - Đồ thị: Nhận trục tung làm trục đối xứng Cắt Ox (-1;0) và (1;0), cắt Oy (0;1) Các điểm khác: (-2; 9) và (2; 9) b Phương trình tiếp tuyến đồ thị điểm M(x0; y0) có dạng: y-y0 = f’(x0)(x-x0) Ta có điểm cực đại (0;1) nên f’(x0) = f’(0) = y – = 0(x-0) y = 2.2 Ví dụ 2: (Đề TN THPT 2012) Cho hàm số y f ( x) x x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x0 biết f ''( x ) 1 Giải: a - TXĐ :D = R; - Sự biến thiên : + Chiều biến thiên : y’ = x3 – 4x; y’ = x = hay x = 2 y (0) = 0; y (2) = -4; y = x = hay x = 2 Trên các khoảng (-; -2) và (0; 2) y’ < nên hàm số nghịch biến Trên các khoảng (-2; 0) và (2; + ) y’ > nên hàm số đồng biến 20 + Điểm uốn : y” = 3x2 – 4; y” = x = ; Điểm uốn là , 3 + Giới hạn vô cực : 1 lim y = lim x x = + , lim x x = + x x x - Bảng biến thiên : x y' y + 2 + 0 TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH + + + - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net 13 (14) ĐẠI SỐ LỚP 12 - CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ 4 4 y - Đồ thị : -2 -2 x 2 -4 Hệ số góc các tiếp tuyến là y’(-1) = và y’(1) = -3, phương trình tiếp tuyến là: 7 5 y 3(x 1) hay y 3(x 1) y 3x hay y 3x 4 4 b f ''(x ) 1 3x 20 -4=-1 x 1 y(1) Bài Tập: 3.1 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số sau 1) y = x4 – 2x2 + ; 2) y = - x4 – 2x2 4) y = x4 – 4x2 + ; 5) y = x4 – 5x2 + 4 7) y = -x + ; 8) y = -x4 + 10) y = x4 – ; ; ; 3) y = x4 – 3x2 + 6) y = x4 – 4x2 9) y = x4 – 2x2 3.2 Cho hàm số: y = mx4 + (m2 - 9)x2 + 10 (1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị 3.3 Cho hàm số: y = x4 - mx2 + m - (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH - GV: NGUYỄN QUANG ÁNH Lop12.net 14 (15)