Bài giảng Cơ học vật liệu - Chương 4: Uốn thuần túy

• Với thanh có 2 mặt phẳng đối xứng và vật liệu có quan hệ ứng suất – biến dạng về kéo và nén tương tự nhau, thì trục trung hòa sẽ đi qua trọng tâm của mặt cắt và mối quan hệ ứng suất – [r]

4 Uốn túy Nội dung Uốn túy Các dạng chịu tải khác Uốn túy các dầm đối xứng Biến dạng uốn Biến dạng uốn gây Các thuộc tính mặt cắt dầm Các thông số thép hình tiêu chuẩn Mỹ Biến dạng mặt cắt ngang Bài tập ví dụ 4.2 Uốn dầm làm từ nhiều vật liệu khác Ví dụ 4.03 Dầm bê tông cốt thép Bài tập ví dụ 4.4 Tập trung ứng suất Biến dạng dẻo Dầm tạo thành từ vật liệu đàn dẻo Biến dạng dẻo dầm có mặt phẳng đối xứng Ứng suất dư Ví dụ 4.05, 4.06 Kéo nén lệch tâm mặt phẳng đối xứng Ví dụ 4.07 Bài tập ví dụ 4.8 Uốn xiên Ví dụ 4.08 Trường hợp tổng quát kéo nén lệch tâm 4-2 Uốn túy Uốn túy: Dầm, đoạn dầm chịu tác dụng cặp mô men uốn nội lực ngược chiều, cùng độ lớn nằm mặt phẳng đối xứng (mặt phẳng quán tính chính trung tâm) 4-3 Các dạng chịu tải khác • Kéo nén lệch tâm: Tải trọng dọc trục không qua tâm mặt cắt sinh lực dọc và mô men uốn • Tải trọng cắt ngang: Tải trọng ngang tập trung phân bố sinh lực cắt và mô men uốn • Nguyên lý xếp chồng: Ứng suất pháp uốn túy gây có thể cộng gộp với ứng suất pháp kéo nén gây để xác định trạng thái ứng suất tổng 4-4 Uốn túy các dầm đối xứng • Nội lực trên mặt cắt ngang tương đương với ngẫu lực Mô men ngẫu lực này gọi là mô men uốn • Theo tĩnh học, ngẫu lực M bao gồm lực và ngược chiều • Tổng các thành phần lực theo phương phải • Mô men trục vuông góc với mặt phẳng tải trọng và trục nằm mặt phẳng tải trọng • Các yêu cầu này áp dụng để xác định các thành phần và mô men nội lực phân tố chưa biết Fx    x dA  M y   z x dA  M z    y x dA  M 4-5 Biến dạng uốn Uốn túy dầm có mặt phẳng đối xứng: • Dầm chịu uốn tạo thành cung tròn • Mặt cắt ngang qua tâm cung tròn và phẳng • Chiều dài phần đỉnh giảm và chiều dài phần đáy tăng Mặt cắt thẳng đứng và dọc (mặt phẳng đối xứng) • Sẽ tồn mặt trung hòa song song với các mặt trên và và chiều dài nó không đổi • Ứng suất và biến dạng có giá trị âm (nén) phía trên và dương (kéo) phía mặt trung hòa Mặt cắt nằm ngang và dọc 4-6 Biến dạng uốn Xét đoạn dầm chiều dài L Sau biến dạng, chiều dài thớ trung hòa trì là L Tại các thớ khác, có: L     y     L  L     y       y  y y   (biÕn d¹ng tuyÕn tÝnh) L   c c m  hay ρ   m x  y  x   m c 4-7 Biến dạng uốn • Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính, y  x  E x   E m c y   m (øng suÊt biÕn thiên tuyÕn tÝnh) c • Điều kiện cân bằng, y Fx     x dA     m dA c    m  y dA c  Mô men tĩnh mặt trung hòa phải Do đó, mặt phẳng trung hòa phải qua trọng tâm mặt cắt • Điều kiện cân bằng,  y  M    y x dA    y    m  dA  c    I M  m  y dA  m c c Mc M m   I S y Thay vµo  x    m c My  x   I 4-8 Các thuộc tính mặt cắt dầm • Ứng suất pháp lớn uốn gây ra, Mc M  I S I  m« men qu¸n tÝnh cña mÆt c¾t I S   m« ®un chèng uèn cña mÆt c¾t c m   Dầm có mô đun chống uốn lớn có ứng suất nhỏ • Xét mặt cắt ngang hình chữ nhật, có: I 121 bh3 S   bh  Ah c h2 Giữa dầm có cùng diện tích mặt cắt ngang, dầm nào có chiều cao lớn chịu uốn tốt • Dầm kết cấu chế tạo để có mô đun chống uốn lớn 4-9 Các thông số thép hình tiêu chuẩn Mỹ - 10 Biến dạng ngang mặt cắt • Biến dạng mô men uốn M gây xác định độ cong mặt trung hòa   Mc  m  m   c Ec Ec I M  EI • Mặc dù mặt cắt ngang phẳng chịu mô men uốn, biến dạng mặt cắt lại khác 0,  y   x  y y ;  z   x    • Sự phình phía trên và co lại phía tạo độ cong mặt cắt,    độ cong đối đoạn   - 11 Bài tập ví dụ 4.2 HƯỚNG GIẢI: • Từ hình dáng mặt cắt ngang, xác định vị trí trọng tâm và mô men quán tính Y   yA A  I x   I  A d  • Áp dụng biểu thức uốn đàn hồi để tìm các ứng suất kéo và nén lớn m  Dầm gang chịu mô men kN-m hình vẽ Biết E = 165 GPa và bỏ qua ảnh hưởng các góc lượn, xác định (a) ứng suất kéo và nén lớn nhất, (b) bán kính cong dầm Mc I • Tính độ cong   M EI - 12 Bài tập ví dụ 4.2 LỜI GIẢI: Từ hình dáng mặt cắt ngang, xác định vị trí trọng tâm và mô men quán tính DiÖn tÝch, mm 20  90  1800 40  30  1200  A  3000 y , mm 50 20 yA, mm3 90 103 24 103  yA  114 103  yA 11410 Y    38 mm 3000 A    bh3  A d I x   I  A d   12    90  203  1800 122  30  403  1200 182  12 12 I  868103 mm  86810-9 m 4 - 13  Bài tập ví dụ 4.2 • Áp dụng biểu thức uốn đàn hồi để tìm các ứng suất kéo và nén lớn Mc I M c A kN  m  0.022 m A   I 868109 mm M cB kN  m  0.038 m B    I 868109 mm m   A  76.0 MPa  B  131.3 MPa • Tính bán kính cong    M EI kN  m 165 GPa 86810-9 m   20.95 103 m-1    47.7 m - 14 Uốn dầm composite • Xét dầm composite tạo lớp vật liệu có E1 và E2 • Biến dạng dọc biến thiên tuyến tính x   y  • Ứng suất pháp biến thiên tuyến tính trên lớp 1  E1 x   E1 y    E2 x   E2 y  Trục trung hòa không qua trọng tâm mặt cắt • Các lực phân tố trên mặt cắt là Ey E y dF1  1dA   dA dF2   2dA   dA  x   My I 1   x  • Xác định mặt cắt chuyển đổi   n x dF2   nE1  y dA   E1 y n dA   E n E1 - 15 Ví dụ 4.03 HƯỚNG GIẢI: • Chuyển đổi thực thành đồng tương đương làm toàn đồng • Xác định các thuộc tính mặt cắt chuyển đổi Thanh làm từ các vật liệu là thép (Ethép = 29x106 psi) và đồng (Eđồng = 15x106 psi) hình vẽ Xác định ứng suất lớn thép và đồng có mô men 40 kip*in tác dụng • Tính ứng suất lớn mặt cắt chuyển đổi Đây chính là ứng suất lớn phần đồng thực • Xác định ứng suất lớn phần thép thực cách nhân ứng suất lớn mặt cắt chuyển đổi với tỉ lệ mô đun đàn hồi - 16 Ví dụ 4.03 LỜI GIẢI: • Chuyển đổi thực thành đồng tương đương làm toàn đồng n EthÐp Eđồng 29 106 psi   1.933 15 106 psi bCh  0.4 in  1.933  0.75 in  0.4 in  2.25 in • Xác định các thuộc tính mặt cắt chuyển đổi I  121 bCh h3  121  2.25 in. in   5.063 in • Tính ứng suất lớn m  Mc 40 kip  in 1.5 in    11.85 ksi I 5.063 in  b max   m  đồng max  11.85 ksi  s max  n m  1.93311.85 ksi   thÐp max  22.9 ksi - 17 Dầm bê tông cốt thép • Dầm bê tông chịu uốn gia cường các thép • Các thép phía mặt trung hòa hoàn toàn chịu kéo và phía trên chịu nén • Trong mặt cắt chuyển đổi, diện tích mặt cắt ngang thép, Athép, thay diện tích tương đương nAthép với n = Ethép/Ebê tông • Xác định vị trí trục trung hòa, x  bx   nAthÐp  d  x   2 bx  nAthÐp x  nAthÐp d  • Ứng suất pháp bê tông và thép là x    bª t«ng My I   x &  thÐp  n x - 18 Bài tập ví dụ 4.4 HƯỚNG GIẢI: • Chuyển đổi thành dầm làm hoàn toàn bê tông • Xác định các thuộc tính mặt cắt chuyển đổi • Tìm ứng suất lớn bê tông và thép Một sàn bê tông gia cường các thép có đường kính 5/8 in Biết mô đun đàn hồi thép là 29x106psi và bê tông là 3.6x106psi Mô men uốn tác dụng trên 1-ft chiều rộng sàn là 40 kip*in, xác định ứng suất lớn bê tông và thép - 19 Bài tập ví dụ 4.4 LỜI GIẢI: • Chuyển đổi thành dầm làm bê tông n EthÐp Ebª t«ng 29 106 psi   8.06 3.6 10 psi nAthÐp  8.06   4  85 in    4.95 in   • Xác định các thuộc tính mặt cắt chuyển đổi  x 12x   4.954  x    2  x  1.450in  I  13 12 in 1.45 in 3  4.95 in 2.55 in 2  44.4 in • Tìm ứng suất lớn bê tông và thép Mc1 40 kip  in 1.45 in  bª t«ng  1.306 ksi  I 44.4 in Mc 40 kip  in  2.55 in  n  8.06  thÐp  18.52 ksi I 44.4 in  bª t«ng   thÐp - 20 Tập trung ứng suất Tập trung ứng suất có thể xảy ra: m  K Mc I • Tại vùng lân cận điểm đặt lực • Tại vùng lân cận mặt cắt thay đổi đột ngột - 21 Biến dạng dẻo • Uốn túy y c  x   m biến dạng biến thiên tuyến tính • Nếu làm từ vật liệu đàn hồi tuyến tính, thì trục trung hòa qua trọng tâm mặt cắt và x   My I • Nếu vật liệu có quan hệ ứng suất-biến dạng là phi tuyến, thì vị trí trục trung hòa phải thỏa mãn Fx    x dA  M    y x dA • Với có mặt phẳng đối xứng và vật liệu có quan hệ ứng suất – biến dạng kéo và nén tương tự nhau, thì trục trung hòa qua trọng tâm mặt cắt và mối quan hệ ứng suất – biến dạng có thể sử dụng để biểu diễn phân bố biến dạng từ phân bố ứng suất - 22 Biến dạng dẻo • Khi ứng suất lớn độ bền tới hạn vật liệu, phá hỏng xảy và mô men tương ứng Mu xem là mô men uốn tới hạn • Giới hạn bền uốn, RB, xác định từ giá trị thực nghiệm Mu và giả thiết ứng suất phân bố tuyến tính M uc RB  I • RB có thể sử dụng để xác định Mu làm cùng loại vật liệu và có cùng hình dáng mặt cắt ngang kích thước khác - 23 Các dầm làm từ vật liệu đàn dẻo • Dầm chữ nhật tạo thành từ vật liệu đàn dẻo Mc I  x  Y m   m  Y I M Y   Y  maximum elastic moment c • Nếu mô men tăng vượt quá mô men đàn hồi lớn nhất, vùng dẻo phát triển xung quanh lõi đàn hồi M   M 1  yY Y    c  yY  elastic core half - thickness • Khi mô men uốn tăng thêm nữa, thì bề dày lõi đàn hồi tiến dần tới 0, tương ứng với biến dạng dẻo hoàn toàn M p  32 M Y  plastic moment Mp k  shape factor (depends only on cross section shape) MY - 24 Biến dạng dẻo có mặt đối xứng • Biến dạng dẻo hoàn toàn dầm có mặt phẳng đối xứng • Trục trung hòa không thể coi là qua trọng tâm mặt cắt • Hợp lực R1 và R2 các lực phân tố chịu kéo và nén tạo thành ngẫu lực R1  R2 A1 Y  A2 Y Trục trung hòa chia mặt cắt thành phần có diện tích • Mô men dẻo thanh,   M p  12 A Y d - 25 Ứng suất dư • Vùng dẻo phát triển dầm làm vật liệu đàn dẻo mô men uốn đủ lớn • Do quan hệ tuyến tính ứng suất pháp và biến dạng điểm suốt quá trình nhả tải, nên nó có thể sử dụng cách giả thiết dầm đàn hồi hoàn toàn • Ứng suất dư đạt cách áp dụng nguyên lý xếp chồng để xác định các ứng suất chất tải mô men M gây nên (biến dạng đàn dẻo) và nhả tải mô men -M (biến dạng đàn hồi) • Giá trị cuối ứng suất điểm trường hợp tổng quát không - 26 Ví dụ 4.05, 4.06 Một dầm mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu mô men uốn M = 36.8 kN-m hình vẽ Biết dầm tạo thành từ vật liệu đàn dẻo có giới hạn bền là 240 MPa và mô đun đàn hồi là 200 GPa Xác định (a) bề dày lõi đàn hồi, (b) bán kính cong mặt trung hòa Sau tải trọng giảm 0, xác định (c) phân bố ứng suất dư, (d) bán kính cong - 27 Ví dụ 4.05, 4.06 • Bề dày lõi đàn hồi: M   M 1  yY Y   c   36.8 kN  m   28.8 kN  m 1  yY  yY yY   0.666 c 60 mm    c  yY  80 mm • Bán kính cong: • Mô men đàn hồi lớn nhất:    I 2 3 3  bc  50 10 m 60 10 m c  120 10 m3 I M Y   Y  120 10 m3 240 MPa  c  28.8 kN  m   Y  Y E  240  106 Pa 200  109 Pa  1.2  103 y Y  Y   yY Y  40 103 m 1.2  103   33.3 m - 28 Ví dụ 4.05, 4.06 • M = 36.8 kN-m yY  40 mm  Y  240 MPa • M = -36.8 kN-m Mc 36.8 kN  m  I 120 106 m3  306.7 MPa  2 Y   m • M=0 At the edge of the elastic core, x  x E   35.5  106 Pa 200  109 Pa  177.5  10   yY x  40 103 m 177.5  10   225m - 29 Kéo nén lệch tâm mặt phẳng đối xứng • Ứng suất kéo nén lệch tâm gây xác định cách xếp chồng ứng suất phân bố kéo nén đúng tâm gây và ứng suất phân bố tuyến tính uốn túy gây  x   x kÐo nÐn   x uèn P My  A I • Nhận xét: Để sử dụng biểu thức trên, ứng suất phải nhỏ giới hạn đàn hồi, biến dạng ảnh hưởng không đáng kể đến hình dáng, và không xác định ứng suất gần điểm đặt tải  • Kéo nén lệch tâm FP M  Pd - 30 Ví dụ 4.07 HƯỚNG GIẢI: • Xác định tải trọng dọc trục và mô men uốn tương đương • Xếp chồng ứng suất phân bố kéo đúng tâm gây và ứng suất phân bố tuyến tính uốn gây • Tính ứng suất kéo và nén lớn các cạnh và ngoài theo nguyên lý xếp chồng Một mắt xích hở tạo thành cách uốn các thép thành hình dạng • Xác định trục trung hòa cách hình vẽ Với tải trọng 160 lb, xác tìm vị trí có ứng suất pháp định (a) ứng suất kéo và nén lớn nhất, (b) khoảng cách tâm mặt cắt với trục trung hòa - 31 Ví dụ 4.07 • Ứng suất pháp kéo đúng tâm gây A  c   0.25 in 2  0.1963in P 160 lb 0   A 0.1963in  815 psi • Tải trọng đúng tâm và mô men uốn tương đương P  160 lb M  Pd  160 lb0.6 in   104 lb  in • Ứng suất pháp mô men uốn gây I  14 c  14  0.254  3.068103 in Mc 104 lb  in 0.25 in  m   I 068103 in  8475psi - 32 Ví dụ 4.07 • Ứng suất kéo và nén lớn t  0 m  815  8475 c  0  m  815  8475 • Vị trí trục trung hòa 0  t  9260psi  c  7660psi P My0  A I P I 3.068103 in y0   815 psi  AM 105lb  in y0  0.0240in - 33 Bài tập ví dụ 4.8 Ứng suất cho phép lớn kéo và nén gang là 30 MPa và 120 MPa Xác định tải trọng lớn P tác dụng lên HƯỚNG GIẢI: • Xác định tải trọng dọc trục và mô men uốn tương đương • Xếp chồng các ứng suất kéo đúng tâm và uốn gây Từ bài tập mẫu 4.2, A  103 m Y  0.038 m I  868109 m • Xác định tải trọng tới hạn theo ứng suất cho phép kéo và nén • Tải trọng lớn cho phép là giá trị nhỏ số các tải trọng tới hạn - 34 Bài tập ví dụ 4.8 • Xác định tải trọng đúng tâm và mô men uốn tương đương d  0.038  0.010  0.028 m P  tải trọng đúng tâm M  Pd  0.028P  m« men uèn • Xếp chồng các ứng suất kéo đúng tâm và uốn gây  0.028P  0.022   377 P P McA P    A I 103 868 109  0.028P  0.038  1559 P P Mc P B    B    A I 103 868 109 A   • Tính tải trọng tới hạn theo ứng suất cho phép  A  377 P  30 MPa  P  79.6 kN  B  1559 P  120 MPa  P  77 kN • Tải trọng cho phép lớn P  77.0 kN - 35 Uốn xiên • Phân tích uốn túy giới hạn cho các dầm chịu các ngẫu lực nằm mặt phẳng đối xứng • Các dầm đối xứng và uốn mặt phẳng đối xứng • Trục trung hòa mặt cắt ngang luôn vuông góc với mặt phẳng chứa ngẫu lực (mặt phẳng tải trọng) • Ta xét trường hợp mô men uốn không nằm mặt phẳng đối xứng • Ta không thể giả thiết dầm bị uốn mặt phẳng tải trọng • Trong trường hợp tổng quát, trục trung hòa mặt cắt không vuông góc với mặt phẳng tải trọng - 36 Uốn xiên Các điều kiện cân bằng: •  y   Fx    x dA      m  dA  c  hay   ydA  trục trung hòa qua trọng tâm Ta đề xuất xác định điều kiện để trục trung hòa mặt cắt có hình dạng luôn vuông góc với mặt phẳng tải trọng hình vẽ • Hợp lực và mô men từ phân bố lực phân tố trên mặt cắt ngang phải thỏa mãn: Fx   M y M z  M  ngÉu lùc t¸c dông   • M  M z    y    m  dA c y  hay M   σm I víi I  I z  m« men qu¸n tÝnh c  xác định phân bố ứng suất  y   M  z  dA  z • y  x    c  m  dA hay   yz dA  I yz  m« men qu¸n tÝnh ly t©m  véc tơ mô men phải trùng với trục quán tính chính trung tâm - 37 Uốn xiên Nguyên lý xếp chồng sử dụng để xác định ứng suất hầu hết các bài toán uốn xiên • Phân tích véc tơ ngẫu lực thành thành phần theo các trục quán tính chính trung tâm M z  M cos M y  M sin • Xếp chồng các thành phần ứng suất phân bố Mz y Myz x    Iz Iy • Trên trục trung hòa, x    tan    M cos   y   M sin   z Mz y Myz   Iz Iy Iz Iy y Iz  tan  z Iy - 38 Ví dụ 4.08 HƯỚNG GIẢI: • Phân tích véc tơ mô men thành các thành phần theo các trục quán tính chính trung tâm và tính các ứng suất tương ứng M z  M cos M y  M sin • Kết hợp các ứng suất từ các ứng suất thành phần x   Mzy Myy  Iz Iy Dầm gỗ hình chữ nhật chịu mô men uốn 1600 lb-in mặt phẳng tạo góc 30° so với phương thẳng đứng Xác • Xác định góc trục trung hòa định (a) ứng suất lớn dầm, y I tan    z tan  (b) góc hợp trục trung hòa với mặt z Iy phẳng ngang - 39 Ví dụ 4.08 • Tách véc tơ mô men thành các thành phần theo các trục quán tính chính trung tâm và tính ứng suất lớn M z  1600 lb  in  cos 30  1386 lb  in M y  1600 lb  in  sin 30  800 lb  in I z  121 1.5 in  3.5 in   5.359 in I y  121  3.5 in 1.5 in   0.9844 in øng suÊt kÐo lín nhÊt M z g©y nºm däc theo c¹nh AB 1  M z y 1386 lb  in 1.75 in    452.6 psi Iz 5.359 in øng suÊt kÐo lín nhÊt M y g©y nºm däc theo c¹nh AD 2  M yz Iy   800 lb  in  0.75 in   609.5 psi 0.9844 in • Ứng suất kéo lớn uốn xiên gây điểm A  max  1    452.6  609.5  max  1062psi - 40 Ví dụ 4.08 • Xác định góc trục trung hòa Iz 5.359in tan   tan   tan 30 Iy 0.9844in  3.143   72.4o - 41 Trường hợp tổng quát kéo nén lệch tâm • Xét thẳng chịu lực lệch tâm có giá trị và ngược chiều • Lực lệch tâm tương đương với hệ gồm lực đúng tâm và mô men P  lực đúng tâm M y  Pa M z  Pb • Sử dụng nguyên lý xếp chồng, ứng suất tổng là P Mz y M yz x    A Iz Iy • Nếu trục trung hòa nằm trên mặt cắt ngang, thì nó có thể xác định từ biểu thức My Mz P y z Iz Iy A - 42