Đang tải... (xem toàn văn)
Soá haïng toång quaùt Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức: un = u1 q n 1 q 0 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 15 L[r]
(1)Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN Hai cung đối nhau: -x và x Hai cung phụ nhau: x và x cos( x) cos x sin( x) sin x sin x cos x cos x sin x tan( x) tan x 2 2 cot( x) cot x tan x cot x cot x tan x Hai cung bù nhau: x và x 2 2 sin( x) sin x Hai cung kém Pi: x và x sin( x) sin x cos( x) cos x cos( x) cos x tan( x) tan x tan( x) tan x cot( x) cot x cot( x) cot x Các đẳng thức lượng giác a sin x cos x b tan x cos x c cot x d tan x.cot x sin x Công thức cộng lượng giác cos( x y ) cos x.cos y sin x.sin y cos( x y ) cos x.cos y sin x.sin y sin( x y ) sin x.cos y sin y.cos x sin( x y ) sin x.cos y sin y.cos x Công thức nhân đôi nx nx sin x 2sin x cos x TQ : sin nx 2sin cos 2 2 2 cos x cos x sin x 2cos x 2sin x Công thức nhân ba: sin x 3sin x 4sin x cos3 x 4cos3 x 3cos x Công thức hạ bậc: cos x cos x sin x cos x 2 10 Công thức biến đổi tích thành tổng cos x.cos y cos( x y ) cos( x y ) sin x.sin y cos( x y ) cos( x y ) sin x.cos y sin( x y ) sin( x y ) 11 Công thức biến đổi tổng thành tích Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước Lop11.com (2) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 x y x y cos 2 x y x y cos x cos y 2sin sin 2 x y x y sin x sin y 2sin cos 2 x y x y sin x sin y 2cos sin 2 cos x cos y 2cos A CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI I/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 3æ 3p ö ÷ ç p <a < ÷ Bài 1: Cho sin a = ç ÷.Tính cosa ,tana ,cota ç è 2ø Bài 2: Cho 5cosa + = (180o < a < 270o ).Tính sina , tana, cota Bài 3: Bài 4: Cho tan15o = - Tính sin15o ,cos15o ,cot15o Tính A = tan x + cot x biết sinx = Tính B = 2sin x + 3cos x biết tanx = -2 tan x - cot x 3sin x - 2cos x 2 Tính C = sin x + 3sin x cos x - 2cos x biết cotx = -3 + 4sin x Chứng minh: a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x (sử dụng công thức) Bài 5: c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau: 1-2cos x 1+sin x cosx 2 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 2 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx 1-cosx 4cotx sin x cos x g/ = ; h/1= sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx tan x-tan y sin x-sin y i/ (1-cosx )(1+cot x )= ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập x: A=2 (sin x+cos x )-3(sin x+cos x ); B=cos x (2cos x-3)+sin x (2sin x-3) C=2 (sin x+cos x+sin xcos x ) -(sin x+cos8 x ); D=3(sin x-cos8 x )+4 (cos x-2sin x )+6sin x sin x+3cos x-1 sin x+cos x+3cos x-1 é pù H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x Î ê0; ú) ê ë 2ú û E= sin x+4cos x + cos x+4sin x ; F= sin x+cos x-1 ; sin x+cos x-1 G= II/ GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết HSLG khác: æ3p ö Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với ççç < x < 2p ÷ ÷ ÷ è2 æp a/ Tính cosx ; b/ Tính sin çç + èç2 ø ö æp ö x÷÷÷, cos(p - x ), tan çç + x÷÷÷, cot (3p - x ) ø èç2 ø Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước Lop11.com (3) Trường THPT Hùng Vương Bài 2: Tính: æp ö æp ö cos ç - a÷ sin ç + a÷ tan (p - a ) ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è2 ø è2 ø A= - cos a ; æp ö ÷ cot ç ç + a÷ ÷sin (p - a ) ç Bài tập Toán khối 11 è2 ø æ3p ö æ ö æ3p ö æp ö p ÷ ÷ ÷ ç ç ç sin ç + a÷ tan + b sin b cot + a ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ è ÷ ÷ è ÷ ç2 ç2 ç2 ç2 è ø ø è ø ø B= + cot b (cot b - tan b ) æ3p ö cos (2p - b )tan (p - a ) ÷ ç cos (p - a )cot ç - b ÷ ÷ ç è2 ø Bài 3: Đơn giản biểu thức: æ 9p ö æ5p ö ÷ çç - a ÷ A = sin (13p + a )- cos çça + cot 12 p a + tan ; ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç2 è è ø 2ø æ 7p ö æ3p ö æ3p ö ÷ çç + a ÷ çç - a ÷ B = cos (15p - a )+ sin çça tan cot ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ çè çè ø ø çè ø 2÷ æ 5p ö æ ö æ 7p ö ÷ ÷ çç9p - a ÷ çça C = sin (7p + a )+ cos çça cot p a + tan + tan ( ) ÷ ÷ ÷ ÷ çè çè çè ø ø ø 2÷ 2÷ Bài 4: Đơn giản biểu thức: A = sin (p + a ) + sin (2p + a ) + sin (3p + a ) + + sin (100p + a ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( B = cos 1710o - x - 2sin x - 2250o + cos x + 900o + 2sin 720o - x + cos 540o - x Bài 5: Đơn giản biểu thức: æ19p ö tan çç - x÷ ÷ ÷.cos (36p - x ).sin (x - 5p ) çè ø A= æ9p ö sin çç - x ÷ cos (x - 99p ) ÷ ÷ çè ø Bài 6: ) Chứng minh: ( ) ( ( 2sin 2550o cos - 188o B= + tan 368o 2cos 638o + cos98o ) ( ) ( ) ) a / sin825o cos - 2535o + cos75o sin - 555o + tan 695o tan 245o = æ 85p ö ö 2æ ÷ ççx - 3p ÷ b / sin ççx + + cos 207 p + x + sin 33 p + x + sin ( ) ( ) ÷ ÷= çè çè ø ø ÷ 2÷ Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A+ B C = cos ; 2 3A + B + C d / cos C + cos(A + B + 2C) = 0; e / sin A + cos =0 III/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị các HSLG các cung sau: 15o ,75o ,105o ,285o ,3045o Bài 9: Tính giá trị các HSLG các cung sau: 7p , 13p , 19p , 103p , 299p 12 12 12 12 12 æp ö 12 p Bài 10: Tính cos ç biết sin x = , ( < x < 2p ) ÷ ççè - x ÷ ÷ ø 13 a / sin(A + B) = sin A; b / cos A + cos(B + C) = 0; c / sin Bài 11: Cho góc nhọn a , b có tan a = a+ b 1 , tan b = a/ Tính tan (a + b ) b/ Tính ìï p ïï x + y = Bài 12: Cho góc nhọn x và y thoả : í ïï tan x.tan y = 3- 2 îï a/ Tính tan (x + y); tan x + tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước Lop11.com (4) Trường THPT Hùng Vương æ pö 40 3p x- ÷ ÷ Bài 13: Tính tan ç biết sin x = và p < x < ç ÷ ç è ø 41 Bài tập Toán khối 11 æ pö o a+ ÷ ÷ Bài 14: Tính tan ç ç ÷ theo tan a Áp dụng: Tính tg15 ç è 4ø Bài 15: Tính: A = sin 20o cos10o + sin10o cos 20o D = sin15o - cos15o tan 25o + tan 20o - tan 25o.tan 20o E = sin15o + cos15o B= + tan15o - tan15o tan 225o - cot 81o.cot 69o F= cot 261o + tan 201o C= Bài 16: Tính: æ p÷ ö æ pö æ pö æ 3p ÷ ö ÷ ÷ ç ç ç a / A = cos ç x- ÷ cos x + + cos x + cos x + ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ç ç è ø ç è ø è ø ç è ø 3÷ 4÷ 6÷ 4÷ æ pö æ pö æ 2p ö æ 2p ö ÷ ÷ ÷ ç ç ç b / B = tan x.tan ç x+ ÷ + tan x + tan x + + tan x+ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ç ÷ ÷ è ÷ ÷tan x ç ç ç ç è è è 3ø 3ø 3ø 3ø Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập x: ö÷ ö÷ ö÷ ö÷ 2æ 2æ 2æ 2æ çp çp ç2p ç2p A = cos x + cos ç + x ÷ + cos ç - x ÷ èç ø÷ èç ø÷ B = sin x + sin ç + x ÷ + sin ç - x ÷ ÷ èç ø èç ø÷ Bài 18: Chứng minh: a / cos (a + b).cos (a - b)= cos a - sin b = cos b - sin a b / sin (a + b).sin (a - b)= sin a - sin b = cos b - cos a c / sin (a + b).cos (a - b)= sin a cosa + sin bcos b æp ö æp ö çç - a ÷ d / sin çç + a ÷ sin ÷ ÷ ÷ ÷= sin a ç4 ç4 è ø è ø Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin = cos cos - sin sin 2 2 A B C B C 4/ cos = sin cos - cos sin 2 2 æ pö ÷ 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC ç A,B,C ¹ ÷ ç ç è ø 2÷ A B B C C A 6/ tan tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 A B C A B C 7/ cot + cot + cot = cot cot cot 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = ( học thuộc kết ) Công thức biến đổi: Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG p 2p a / sin sin b / cos 5x.cos 3x c / sin (x + 30o )cos (x - 30o ) 5 d / 2sin x.sin 2x.sin 3x; e / 8cos x.sin 2x.sin 3x; æ pö æ pö f / sin ççx + ÷ sin çx - ÷ ÷.cos 2x; g / cos (a - b).cos (b - c).cos (c - a ) ÷ çè ÷ ø ççè ÷ ø Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước Lop11.com (5) Trường THPT Hùng Vương a / cos 4x + cos3x; b / cos3x - cos 6x; d / sin (a + b)- sin (a - b); e / tan (a + b)+ tan a; Bài tập Toán khối 11 c / sin 5x + sin x f / tan 2a - tan a Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos 2 A B C 10 / cosA + cosB + cosC = + 4sin sin sin 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 2(1 +cosA.cosB.cosC) 14/ cos A + cos B + cos C = - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin sin cos 2 ( Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh D ABC vuông nếu: a / sin A = sin B + sin C ; b / sin C = cos A + cos B; c / sin A + sin B + sin C = cos B + cos C Chứng minh D ABC cân nếu: Bài 24: C sin B a / sin A = 2sin B.cos C; b / tan A + tan B = 2cot ; c / tan A + tan B = tan A.tan B; d / = 2cos A sin C Bài 25: Chứng minh D ABC nếu: a / cos A.cos B.cos C = ; b / sin A + sin B + sin C = sin 2A + sin 2B + sin 2C; c / cos A + cos B + cos C = D ABC Bài 26: Chứng minh cân vuông nếu: sin (B + C) sin (B - C) tan B sin B C a / tan A.tan B.tan = 1; b / = ; c / = tan C sin C sin B + sin C sin B - sin C Bài 27: Hãy nhận dạng D ABC biết: sin A a / sin 4A + sin 4B + sin 4C = b / cos A + cos B + cos C = c / = 2sin C cos B B HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I Tìm tập xác định hàm số lượng giác A có nghĩa B (A có nghĩa) B 2) 1 s inx ; -1 cosx Chú ý : 1) 3) sin x x k ; s inx = x = 4) cosx x ; A có nghĩa A k 2 ; s inx = -1 x = k 2 k ; cosx = x = k 2 ; cosx = -1 x = k 2 5) Hàm số y = tanx xác định x Hàm số y = cotx xác định x k k Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 4) y = cos x 3x 5) y = x 1 x2 cos2x 3) y = sin x 6) y = s inx Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước Lop11.com (6) Trường THPT Hùng Vương cosx 7) y = 8) y = tan(x + ) 1-sinx 10) y = Bài tập Toán khối 11 9) y = cot(2x - ) 1 s inx 2cosx II Xét tính chẵn, lẻ các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin2(-x) = sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x Phương pháp: Bước : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra x D x D, x Bước : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có khả f ( x ) f ( x ) f ch½n f ( x ) f ( x ) f lÎ Có x để f ( x ) f ( x ) f không chẳn, không lẻ 0 Bài Xét tính chẳn, lẻ các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 4) y = tan2x 3) y = sin2x + 5) y = sin x + x2 6) y = cos 3x III Xét biến thiên hàm số lượng giác 3 Hàm số y = sinx nghịch biến trên khoảng k 2 ; k 2 2 Hàm số y = cosx đồng biến trên khoảng k 2 ; k 2 Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng k 2 ; k 2 Hàm số y = cosx nghịch biến trên khoảng k 2 ; k 2 Hàm số y = cotx nghịch biến trên khoảng k ; k Hàm số y = tanx đồng biến trên khoảng k ; k Bài 3* Xét biến thiên các hàm số 3 3) y = cotx trên khoảng ; 2 121 239 ; 5) y = tanx trên đoạn 1) y = sinx trên ; ; 12 7) y = tan3x trên khoảng 2 3 2) y = cosx trên khoảng ; 13 29 ; 4) y = cosx trên đoạn 3 4 6) y = sin2x trên đoạn ; 8) y =sin(x + ) trên đoạn 4 2 ; Bài 4: * Xét biến thiên các hàm số Hàm số Khoảng y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx 3 ; ; 3 23 25 ; 362 481 ; Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước Lop11.com (7) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K y = A.f(x) +B đồng biến trên K A > nghÞch biÕn trªn K nÕu A < Bài 5* Lập bảng biến thiên hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – trên đoạn ; 2 2) y = -2cos x trên đoạn ; 3 3 IV Tìm GTLN, GTNN hàm số lượng giác 1 s inx ; -1 cosx ; sin2 x ; A2 + B B Chú ý : Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN các hàm số cos2x 1) y = 2sin(x- ) + 2) y = – 4) y = cos(4x ) - 5) y = s inx 3) y = -1 - cos (2x + ) 6) y = 5cos x 7) y = sin x 4s inx + 8) y = 4 3cos x Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn a ; b thì max f ( x) f (b) ; f ( x) f (a) a ; b a ; b Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn a ; b thì max f ( x) f (a) ; f ( x) f (b) a ; b a ; b Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN các hàm số 1) y = sinx trên đoạn ; 3 3) y = sinx trên đoạn ;0 2) y = cosx trên đoạn ; 2 1 3 4) y = cos x trên đoạn ; 4 2 C.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I:LÍ THUYEÁT 1/Phương trình lượng giác u v k 2 sin u = sin v (kZ) u v k 2 cos u = cos v u = v + k2 (kZ) tanu = tanv u = v + k (kZ) cotu = cotv u = v + k (kZ) 2/ Phöông trình ñaëc bieät : sinx = x = k , sinx = x = + k2 ,sinx = -1 x = + k2 cosx = x = 2 + k , cosx = x = k2 , cosx = -1 x = + k2 3/ Phương trình bậc sinx và cosx Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) đó a2 + b2 Caùch 1: acosx + bsinx = c a b cos( x ) = c với cos a a2 b2 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước Lop11.com (8) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 asinx +bcosx = c a a b sin( x ) = c với cos a b2 Caùch : Xét phương trình với x = + k , k Z Với x + k đặt t = tan x ta phương trình bậc hai theo t : (c + b)t2 – 2at + c – a = Chú ý : pt(1) pt( 2) có nghiệm a2 + b2 - c2 Baøi taäp :Giaûi caùc phöông trình sau: cos x sin x , cos x sin x 1 3 sin 3x cos x sin 3x , cos x sin x (cos x sin x) , 3(1 cos x) cos x 2sin x 4 tan x 3cot x 4(sin x cos x) 4 sin x cos ( x sin x sin x ) 4/ Phương trình chứa hàm số lượng giác : Phương trình chứa hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx Đặt t = u(x) ta phương trình f(t) = Baøi taäp: Giaûi caùc phöông trình sau: 2cos2x +5sinx – = , 2cos2x – 8cosx +5 = 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 4x cos cos x sin42x + cos42x = – 2sin4x 3 tan x 5tan x -2cotx - = cos x 4sin x 12cos x 6sin x cos12 x 10 5/ Phöông trình ñaúng caáp theo sinx vaø cosx : a/ Phöông trình ñaúng caáp baäc hai : asin2x +b sinx cosx + c cos2x = Caùch : Xeùt cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm Xeùt cos x chia hai veá cuûa phöông trình cho cos2x roài ñaët t = tanx Caùch 2: Thay sin2x = sinxcosx = 1 (1 – cos 2x ), cos2x = (1+ cos 2x) , 2 sin2x ta phương trình bậc theo sin2x và cos2x b/ Phöông trình ñaúng caáp baäc cao : Duøng phöông phaùp ñaët aån phuï t = tanx sau đã xét phương trình trường hợp cos x = hay x = + k ,kZ Baøi taäp : 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 3sin2x + 8sinxcosx + ( - 9)cos2x = 4sin2x +3 sin2x – 2cos2x = 4 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước Lop11.com (9) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 6/ Phöông trình daïng : a( cosx sinx ) + b sinxcosx + c = sin x sin x 2cos x t 1 Đặt t = cosx + sinx , điều kiện t đó sinxcosx = Ta đưa phưong trình đã cho phương trình bậc hai theo t Chuù yù : neáu phöông trình coù daïng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 1 t2 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện t đó sinxcosx = Baøi taäp : Giaûi caùc phöông trình sau : 3(sinx + cosx ) +2sin2x + = sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = cosx –sinx – 2sin2x – = Các phương trình lượng giác khác Baøi 1: Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ – 4cos2x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = , 5/ 2tg2x + = , 6/ 4sin4 +12cos2x = cos x Baøi : Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : ñaët t =sinx 4x cos x 2/ cos ÑS : x = k3 , x= +k3 , x = 5 +k3 4 x x x 3/ 1+ sin sinx - cos sin2x = 2cos2 ( ) ÑS: sinx =1 v sin x = 2 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x 5/ 2cos 2x – 8cosx + = cos x 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos2x 2cos2 2x 2 HD : ñaët t = tanx , ÑS : x = - + k ÑS : x = k2 , x = +k2 ÑS : cosx = , cos 2x = 4sin22xcos2x 7/ +cos 2x = 8/ cos 3x – cos 2x = 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :ñaët t = tan 10/ sin2x+ 2tanx = 11/ sin2x + sin23x = 3cos22x 12/ tan3( x - x HD :ñaët t =cos 2x ÑS : x = k v x = + k ) = tanx - 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 14/ sin2x + cos 2x + tanx = HD : Ñöa veà PT baäc hai theo sinx ÑS : x = 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = II PHÖÔNG TRÌNH ÑAÚNG CAÁP BAÄC n THEO SINX ,COSX Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước Lop11.com + k (10) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x k ÑS : x= + ÑS : x = +k k ÑS :x = + k v x= + 4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) 5/ sin3(x - ) = sinx 6/ 3cos4x – sin2 2x + sin4x = 7/ 3sin4x +5cos4x – = 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx III PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG Giaûi caùc phöông trình sau : 1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 3/ + sin3x + cos3x = sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + = 5/ sin3x – cos3x = + sinxcosx 6/ 1 10 sin x cos x cos x sin x 7/ tanx + tan2x + tan3x + cotx+cot2x +cot3x = 8/ + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + = sin x 9/ + cos3x – sin3x = sin 2x 10/ cos3x – sin3x = - 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx ) IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VAØ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC Giaûi caùc phöông trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 5/ sin4 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x + x x + cos4 = – 2sinx 2 7/ sin6x + cos6x = sin4x + cos4x 9/ 3sin3x - cos 9x = + 4sin3x 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 8/ sin4x + cos4x – cos2x = – 2sin2x cos2x cos x sin x sin x 10/ cos x x x 11/ sin2 ( ) tan2x – cos2 = 4 12/ cotx – tanx + 4sinx = 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin2x - sinx + cos x sin x ) cos x 15/ 5(sin x sin x sin x / sin 3x = cosxcos 2x ( tan2x + tan2x ) 16/ sin23x – cos24x = sin25x – cos26x (2 sin 2 x)sin x 18/ tan x cos x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – = x 19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan ) Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 10 Lop11.com (11) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 cos x sin x sin x tan x 21/ –tanx(tanx + 2sinx)+ 6cosx = 20/ cotx – = D TỔ HỢP Tóm tắt giáo khoa I Quy tắc đếm Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo hai phương án A và B Phương án A có thể thực n cách; phương án B có thể thực m cách Khi đó, công việc thực theo n + m cách Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể thực n cách; công đoạn B có thể thực m cách Khi đó, công việc thực n.m cách II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Hoán vị: a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi xếp n phần tử đó theo thứ tự định trước là phép hoán vị các phần tử tập A b Định lý: Số phép hoán vị tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n Chỉnh hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số k A mà k n Khi lấy k phần tử số n phần tử đem xếp k phần tử đó theo thứ tự định trước, ta phép chỉnh hợp chập k n phần tử b Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k n phần tử, kí hiệu A kn là: A kn n n 1 n k 1 n! n k ! Tổ hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k A mà k n Một tập hợp A có k phần tử gọi là tổ hợp chập k n phần tử n n 1 n k 1 b Định lý: Số tổ hợp chập k n phần tử, kí hiệu Ckn là: Ckn n! k! n k ! k! c Hai tính chất tổ hợp: Cho a, k A * : Ckn Cnn k Ckn 1 Ckn Ckn 1 0 k n 1 k n III Khai triển nhị thức Newton a b n n Ckn a n k b k C0n a n C1n a n 1b Ckn a n k b k Cnn b n k 0 Nhận xét: – Trong khai triển nhị thức Newton có n + số hạng – Trong số hạng thì tổng số mũ a và b n – Các hệ số khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì – Số hạng tổng quát thứ k + kí hiệu Tk+1 thì: Tk 1 Ckn a n k b k – C0n C1n C2n Cnn 2n – C0n C1n C2n C3n 1 Ckn 1 Cnn Chú ý: k – a b n n n Ckn a n k b k là khai triển theo số mũ a giảm dần k 0 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 11 Lop11.com (12) Trường THPT Hùng Vương a b – n Bài tập Toán khối 11 n Ckn a k b n k là khai triển theo số mũ a tăng dần k 0 Các Dạng bài toán Dạng 1: Bài toán quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm tiến hành theo phương án A B để chọn quy tắc cộng, bao gồm công đoạn A và B để chọn quy tắc nhân Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua áo sơ mi, thoe cỡ 40 41 Cỡ 40 có màu khác nhau, cỡ 41 có màu khác Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập A 0;1; 2;3; 4 Có bao nhiêu số chẵn mà số gồm ba chữ số khác chọn số các phần tử A? Bài 3: Từ tập A 1, 2,3, 4,5 hỏi có thể lập bao nhiêu số có chữ số cho chữ số xuất lần, còn các chữ số khác xuất lần? Dạng 2: Thực phép hoán vị Phương pháp giải: Sử dụng phép xếp đặt n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n Thực quy tắc cộng quy tắc nhân Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các ghế, xếp theo hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Dạng 3: Thực phép chỉnh hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt có thứ tự k phần tử n phần tử: A kn n n 1 n k 1 n! n k ! Bài 5: Trong mặt phẳng cho điểm A, B, C, D, E, M, N khác Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm các điểm đó? Bài 6: Từ tập A 0,1, 2,3, 4,5 có thể lập bao nhiêu số có chữ số khác nhau? Dạng 4: Thực phép tổ hợp Phương pháp giải: Phép xếp đặt không có thứ tự k phần tử chọn n phần tử: Ckn n! k! n k ! 0 k n Bài 7: Cho điểm phân biệt không tồn ba điểm thẳng hàng Từ điểm trên có thể lập bao nhiêu tam giác? Dạng 5: Tìm n A * phương trình chứa Pn , A kn , Ckn Phương pháp giải: Dùng các công thức: Pn n! n 1 ; A kn n n 1 n k 1 Bài 8: Tìm nA *, có: 2Pn A 3n Pn 1 Bài 9: Tìm nA *, có: 6n C3n C3n 1 n! n k ! 1 k n ; Ckn n! k! n k ! 0 k n 1 2 Dạng 6: Tìm phần tử đặc biệt khai triển (a + b)n Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: a b n n Ckn a n k b k C0n a n C1n a n 1b C2n a n b Ckn a n k b k Cnn b n (khai triển theo lũy thừa a k 0 tăng, b giảm) n (Chú ý: a b n Ckn a k b n k khai triển theo lũy thừa a giảm dần, b tăng dần) k 0 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 12 Lop11.com (13) Trường THPT Hùng Vương Bài 10: Tìm số hạng chứa Bài tập Toán khối 11 x3 khai triển (11 + x)11 10 Bài 11: Trong khai triển 2 x x , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x Bài 12: Tìm hệ số x8 khai triển 1 x 1 x Bài 13: Cho khai triển: 1 2x 10 a a1x a x a10 x10 , có các hệ số số lớn Bài 14: Tìm số hạng các khai triển sau 1) Số hạng thứ 13 khai triển (3 - x)25 a , a1 , a , , a10 Tìm hệ 2) Số hạng thứ 18 khai triển (2 - x 2)25 12 æ 1ö ÷ ç 3) Số hạng không chứa x khai triển çx + ÷ ç x÷ è ø 12 28 ö æ ÷ çç 4) 32) Số hạng không chứa x khai triển çx x + x 15 ÷ ÷ ÷ çè ÷ ø 5) 33) Số hạng chứa a, b và có số mũ khai triển 21 æ a ö b ÷ çç ÷ ççè b + ÷ ø a÷ Bài 15: Tìm hệ số số hạng các khai triển sau 12 æx ö ÷ ç 1) Hệ số số hạng chứa x khai triển ç - ÷ ç è3 x ÷ ø æ1 2) Hệ số số hạng chứa x khai triển çç + çx3 è ö12 5÷ x ÷ ÷ ø ù8 3) Hệ số số hạng chứa x khai triển é + x (1 x) ê ú ë û 10 4) Hệ số số hạng chứa x khai triển (1 + x + x + x ) 5) Hệ số số hạng chứa x khai triển (x - x + 2)10 6) Hệ số số hạng chứa x khai triển (1 + x + 3x 2)10 7) Hệ số số hạng chứa x khai triển: 8) S(x) = (1 + x)3 + (1 + x)4 + (1 + x)5 + + (1 + x)50 9) Hệ số số hạng chứa x khai triển: 10) S(x) = (1 + 2x)3 + (1 + 2x)4 + (1 + 2x)5 + + (1 + 2x)22 11)Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (1 + x)10(x + 1)10 Dạng 7: Tìm tổng có chứa Ckn Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy kết Bài 16: Tính tổng: S1 C0n C1n C2n Cnn ; S2 C0n C1n C2n 1k Ckn 1n Cnn Bài 17: Tính tổng: S3 C02n C22n C2n4 C2n2n ; S4 C12n C32n C2n2n 1 Bài 18: Tính tổng: T C0n 2C1n 22 C2n 23 C3n 2 n Cnn Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 13 Lop11.com (14) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 E CAÁP SOÁ COÄNG Kiến thức cần nhớ: Định nghĩa: Cấp số cộng là dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), đó, kể từ số hạng thứ hai, số hạng là tổng số hạng đứng trước nó với số không đỗi gọi là công sai Goïi d laø coâng sai, theo ñònh nghóa ta coù: un+1 = un + d (n = 1, 2, ) Đặc biệt: Khi d = thì cấp số cộng là dãy số đó tất các số hạng baèng Để dãy số (un) là cấp số cộng,ta kí hiệu u1, u2, , un, Soá haïng toång quaùt Định lí: Số hạng tổng quát un cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d cho công thức: un = u1 + (n - 1)d Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá coäng Định lí: cấp số cộng, số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối cùng cấp số cộng hữu hạn), là trung bình cộng hai số hạng kề bên nó, tức là uk u k 1 u k 1 (k 2) Tổng n số hạng đầu cấp số cộng Định lí: Để tính Sn tacó hai công thức sau: n 2u1 (n 1)d n S n (u1 u n ) Sn tính theo u1 vaø d Sn Sn tính theo u1 vaø un BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Bài 1: Xác định số hạng cần tìm cấp số cộng đây: a / 2,5,8, tìm u15 tìmu20 b / ,4,2 , ÑS: a / u15 44 b / u 20 40 18 Baøi 2: Xaùc ñònh caáp soá coäng coù coâng sai laø 3, soá haïng cuoái laø 12 vaø coù toång baèng 30 u u u 10 u u 26 Baøi 3: Cho caáp soá coäng: Tìm số hạng đầu và công sai nó Baøi 4: Tìm caáp soá coäng coù soá haïng bieát toång laø 25 vaø toång caùc bình phöông cuûa chuùng laø 165 Bài 5: Tìm số tạo thành cấp số cộng biết số hạng đầu là và tích số chuùng laø 1140 Baøi 6: Tìm chieàu daøi caùc caïnh cuûa moät tam giaùc vuoâng bieát chuùng taïo thaønh moät cấp số cộng với công sai là 25 Baøi 7: Cho caáp soá coäng u1, u2, u3, Bieát u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 14 Lop11.com (15) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Tính u1 + u6 + u11 + u16 Baøi 8: Moät caáp soá coäng (an) coù a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 15 số hạng đầu tiên cấp số cộng đó Baøi 9: Moät caáp soá coäng coù 11 soá haïng Toång cuûa chuùng laø 176 Hieäu cuûa soá haïng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó Baøi 10: cho caáp soá coäng (an) coù a1 = 4, d = -3 Tính a10 Baøi 11: Tính u1, d caùc caáp soá coäng sau ñaây: S / 45 S u u10 31 / 2u u 53 38 ÑS: 1/ u1 = vaø d = ; 2/ u1 = vaø d = 13 39 3/ u1 = vaø d = ; 4/ u1 = vaø d = u u 14 1/ S13 129 u 19 / u 35 Baøi 12: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng 20 số hạng đầu tiên Baøi 13: Cho caáp soá coäng (un) coù u1 = 17, d = Tính u20 vaø S20 ÑS: u20 = 74, S20 = 910 Baøi 14: Cho caáp soá coäng (un) coù a10 = 10, d = -4 Tính u1 vaø S10 ÑS: u1 = 46, S10 = 280 Baøi 15: Cho caáp soá coäng (un) coù u6 = 17 vaø u11 = -1 Tính d vaø S11 ÑS: d = 18 vaø S11 = 187 Baøi 16: Cho caáp soá coäng (un) coù u3 = -15, u4 = 18 Tìm tổng 20 số hạng đầu tiên ÑS: S20 = 1350 CAÁP SOÁ NHAÂN Kiến thức cần nhớ: Định nghĩa: Cấp số nhân là dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số hạng thứ hai số hạng là tích số hạng đứng trước nó với số không đỗi gọi là công bội Goïi q laø coâng boäi, theo ñònh nghóa ta coù un+1 =un.q (n = 1, 2, ) Ñaëc bieät: Khi q = thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, 0, 0, , 0, Khi q = thì caáp soá nhaân laø moät daõy soá daïng u1, u1, , u1, Nếu u1 = thì với q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, , Để dãy số (un) là cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u1, u2, , un, Soá haïng toång quaùt Định lí: Số hạng tổng quát cấp số nhân cho công thức: un = u1 q n 1 (q ) Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 15 Lop11.com (16) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Tính chaát caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân Định lí: Trong cấp số nhân, số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối cấp số nhân hữu hạn) có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân hai số hạng kề bên nó, tức là: u k u k 1 u k 1 (k 2) Tổng n số hạng đầu cấp số nhân Cho cấp số nhân với công bội q u1, u2, ,un, Ñònh lí: Ta coù: qn 1 S n u1 q 1 (q 1) BAØI TAÄP AÙP DUÏNG Baøi 1: Tìm caùc soá haïng cuûa caáp soá nhaân bieát: 1/ Caáp soá nhaân coù soá haïng maø u1 = 243 vaø u6 = 2/ Cho q = , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 Baøi 2: Cho caáp soá nhaân coù: u3 = 18 vaø u6 = -486 Tìm số hạng đầu tiên và công bội q cấp số nhân đó Baøi 3: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân bieát: u u 72 u u 144 Baøi 4: Tìm u1 vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) coù: u3=12, u5=48 Baøi 5: Tìm u vaø q cuûa caáp soá nhaân (un) bieát: u1 u u 13 u u u 351 Bài 6: Tìm cấp số nhân (un) biết cấp số đó có số hạng có tổng 360 và số hạng cuối gấp lần số hạng thứ hai Bài 7: Tổng số hạng liên tiếp cấp số cộng là 21 Nếu số thứ hai trừ và số thứ ba cộng thêm thì ba số đó lập thành cấp số nhân Tìm ba số đó Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 16 Lop11.com (17) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH Caâu 1: Trong maët phaúng oxy,pheùp tònh tieán theo vectô v ( a; b) bieán ñieåm M(x;y) thành M’(x’;y’) Tìm tọa độ điểm M' Caâu 2:Trong maët phaúng oxy cho ñieåm M (1;2) Pheùp tònh tieán theo vectô v(2;3) bieán điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N Caâu 3: Trong maët phaúng oxy cho ñieåm A(4;5) Tìm ñieåm B(x,y) cho A laø aûnh cuûa ñieåm B qua pheùp tònh tieán theo v(2;1) : Câu4 : Trong các hình sau đây, hình nào có ba trục đối xứng: A) tam giác B) hình chữ nhật C) Hình vuoâng D)Hình thoi Câu5: Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3) Phép đối xứng qua trục ox biến điểm M thành M’ Tìm tọa độ điểm M' Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 Tìm ảnh đường thẳng d qua phép tịnh tiến vectơ v(1;1) ? Câu 6: Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : 3x+5y-4=0.Tìm ảnh đường thẳng d qua phép đối xứng trục ox Câu :Trong mặt phẳng oxy Cho điểm M(2;3).Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N? Câu :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+y -5=0 3x+4y6=0, phép đối xứng qua gốc toạ độ biến d thành d’ Tìm phương trình d' Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =36 Pheùp tònh tieán theo vectô v(1;2) bieán (C) thaønh (C’) Tìm phöông trình (C') Câu 7: Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-5)2 +(y-4)2 =25 Phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C’) Tìm phương trình (C') Câu 12 :Trong các phép biến hình sau phép nào không phải là phép dời hình ? A) phép đồng dạng với tỉ số k=1 ; B) phép vị tự tỉ số k= 1 ; C) phép tịnh tiến ; D)pheùp chieáu vuoâng goùc Câu 13 : Trong mặt phẳng oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x-1)2 +(y-3)2 =16 Phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C') và phép tịnh tiến v(1;4) biến (C') thành (C’') Tìm phương trình cuûa (C'') Câu 14 :Cho hình vuông ABCD Gọi O là giao điểm hai đường chéo Thực pheùp quay taâm O bieán hình vuoâng ABCD thaønh chính noù Tìm soá ño cuûa goùc quay đó? Câu 15 : Phép vị tự tâm O tỉ số k (k 0) là phép biến hình biến điểm M thành ñieåm M’ cho : A) OM = k OM ' B) OM ' = k OM C) OM’ =k OM D) OM ' = OM k Câu 16 : mp oxy cho điểm M( -2;4 ) Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N Câu 17 : mpoxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – = Phép vị tự tâm O tỉ số k = biến d thành đường thẳng d' Tìm phương trình d'? Câu 18 : mpoxy cho đường tròn (C) có phương trình : ( x -1 )2 + y2 = 16 phép vị tự tâm O tỉ số k = biến (C) thành đường tròn (C') Tìm phương trình (C') Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 17 Lop11.com (18) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 Câu 19 : Thực liên tiếp hai phép đối xứng trục có hai trục đối xứng song song là pheùp naoø sau ñaây: A) phép đối xứng trục B) phép tịnh tiến C) phép quay D) phép đối xứng tâm Câu 20 : Trong mp oxy cho điểm M(1;2) phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép V o và phép đối xứng qua trục oy biến M thành điểm N Tìm N? Câu 21 :Trong mặt phẳng oxy cho đường thẳng d có phương trình : x+ y+2=0 phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số vaø pheùp đối xứng qua trục ox biến d thành d’ Tìm phương trình d'? Caâu 22 : Trong caùc pheùp bieán hình sau ñaây pheùp bieán hình naøo khoâng coù tính chaát “biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với nó”: A) phép đối xứng tâm B) pheùp tònh tieán C) phép vị tự D) phép đối xứng trục Câu 23: Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 Phép đồng dạng có bằ ng cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=3 và phép tịnh tiến theo vectô V (1;2) bieán (C) thaønh (C') Tìm (C') ? Câu 24 : Cho đường tròn (C ) có phương trình (x-1)2 + (y-2)2 =4 Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k=3 và phép đối xứng qua gốc toạ độ biến (C) thành (C') Tìm (C')? Caâu 25 : Choïn khaúng ñònh sai caùc khaúng ñònh sau : A)phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính B) phép đối xứng trục biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính C) phép đối xứng tâm biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính D) phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính CHÖÔNG QUAN HEÄ SONG SONG Vấn đề : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG VÀ : Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng và ta tìm hai điểm chung I ; J và = I J Khi tìm điểm chung ta chú ý : Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát điểm chung J I M d và d M a b M (P) a ; b M là điểm chung 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC và điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng (ABC) cắt AB; BC J ; K Tìm giao tuyến mặt phẳng (I,d) với các mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến : a) (SAC) và (SBD) b) (SAB) và (SCD) c) (SAD) và (SBC) 2)Cho hình chóp S.ABCDE Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (SAC) với các mặt phẳng (SAD) ; (SCE) Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 18 Lop11.com (19) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi ; M là điểm trên cạnh CD Tìm giao tuyến các mặt phẳng : a)(SAM) và (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 4: Cho tứ diện ABCD; M là điểm nằm ABC; N là điểm nằm ACD Tìm giao tuyến : a) (AMN) và (BCD) b) (CMN) và (ABD) 5: Cho tứ diện ABCD M nằm trên AB cho AM = MB ; N nằm trên AC cho AN = 3NC; điểm I nằm BCD Tìm giao tuyến : a) (MNI) và (BCD) b) (MNI) và (ABD) c) (MNI) và (ACD) 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J là trung điểm AD; BC a) Tìm giao tuyến : (IBC) và (JAD) b)M là điểm trên AB; N là điểm trên AC Tìm giao tuyến (IBC) và (DMN) 7: Cho hai đường thẳng a ; b (P) và điểm S không thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng chứa a và S với mặt phẳng chứa b và S ? 8: Cho tứ diện ABCD ; trên AB ; AC lấy hai điểm M và N cho : AM AN Tìm giao tuyến (DMN) và (BCD) MB NC 9; Cho bốn điểm ABCD không đồng phẳng ; gọi I ; K là trung điểm AD ; BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) và (KAD) ? 10 : Trong mặt phẳng cho hình thang ABCD có đáy là AB ; CD ; S là điểm nằm ngoài mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến : a) (SAD) và (SBC) b) (SAC) và (SBD) 1.11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) và (SAC) b) (GMN) và (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh A; B; C thẳng hàng : A B Chỉ A ; B ; C Chỉ A ; B ; C Kết luận : A; B; C A; B; C thẳng hàng C Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : Đặt a b = P Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng Kết luận :MN ; a ; b đồng quy P a b P M N Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 19 Lop11.com (20) Trường THPT Hùng Vương Bài tập Toán khối 11 1: Cho hai mặt phẳng và cắt theo giao tuyến d Trên lấy hai điểm A ; B không thuộc d O là điểm ngoài hai mặt phẳng Các đường thẳng OA ; OB cắt A’ ; B’ AB cắt d C a)Chứng minh O; A; B không thẳng hàng ? b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ đó suy AB ; A’B’; d đồng quy 2: Trong không gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz không đồng phẳng Trên Ox lấy A ; A’ ; trên Oy lấy B ; B’ trên Oz lấy C ; C’ cho AB cắt A’B’ D ; BC cắt B’C’ E ; AC cắt A’C’ F Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? 3: Cho A; B; C không thẳng hàng ngoài mặt phẳng Gọi M ; N ; P là giao điểm AB ; BC ; AC với Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; O là giao điểm hai đường chéo ; M ; N là trung điểm SA ; SD Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng không song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD M ; N ; R ; S Chứng minh AB ; MN ; RS đồng quy ? 5: Chứng minh tứ diện các đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? 2.6 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáy là AD ; BC Gọi M ; N là trung điểm AB ; CD và G là trọng tâm SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) và (SAB) b) (GMN) và (SCD) c) Gọi giao điểm AB và CD là I ; J là giao điểm hai giao tuyến câu a và câu b Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng ? Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Chứng minh đường thẳng a ; b chéo : b Giả sử : a không chéo b Từ đó suy hai đường thẳng a và b nằm cùng mặt phẳng ( đồng phẳng ) Từ đó suy điều mâu thuẫn với gỉa thiết mâu thuẫn với điều đúng nào đó Chứng minh A, B, C, D nằm cùng mặt phẳng – đồng phẳng Chứng minh hai đường thẳng tạo thành từ bốn điểm đó cắt song song với A C D B A C D B 1: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng a)Chứng minh ba số điểm này không thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? Nguyễn Hữu Hiếu - GV Trường THPT Hùng VươngTX Đồng Xoài-Bình Phước 20 Lop11.com a (21)