Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng... Trên con đường thành công không có dấu chân của những người lười biếng.[r]
(1)GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng TÓM TẮT GIẢI TÍCH 12 @ Bổ túc đại số: phương trình bậc 2: ax2+bx+c=0 với x1, x2 là nghiệm thì ax2+bx+c = a(x-x1)(x-x2); =b2-4ac (’=b’2-ac với b’=b/2) b b' ' x1, thì x1, 2a a a+b+c=0 thì x1=1; x2=c/a; a-b+c=0 thì x1=1; x2= -c/a; S=x1+x2= - b/a; P=x1.x2= c/a (đl Vieet) tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c + <0 thì f(x) cùng dấu a + x1 x af ( ) a a + f ( x) + f ( x) + x1 x af ( ) + S 2 x1 x af ( ) S 2 phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx+d=0 a+b+c+d=0 thì x1=1; a-b+c-d=0 thì x1= -1; dùng Hoocner ax3+bx2+cx+d=(x-1)(ax2 + x + ) = với =a+b; =+c các công thức lượng giác, cấp số và lôgarit: u u' v v' u v2 v (ku)’ = ku’ (k:const) Công thức: (xn)’ = nxn-1 (un)’ = nun-1u’ cos x sin( x a - để hs giảm trên D y ' y ' - để hs có cực trị trên D y’=0 có n0 pb - để hs không có cực trị y’=0 VN có nghiệm kép - hs nhận điểm uốn làm tâm đối xứng và tiếp tuyến đây qua đthị - chia y cho y’ dư mx+n thì đthẳng y=mx+n là đthẳng qua điểm cực trị, xi là cực trị thì giá trị cực trị là: yi=mxi+n - đồ thị cắt ox điểm phân biệt thì hai giá trị cực trị trái dấu - đồ thị cắt ox điểm pb cách ax3+bx2+cx+d=0 có nghiệm lập thành csc y’=0 có nghiệm pb và điểm uốn thuộc ox ); - sin x cos( x ' ' ' 1 x x ' x x (sinx)’ = cosx (cosx)’ = - sinx (tgx)’ = cos x u' 1 u u ' u' u u (sinu)’ = u’cosu (cosu)’ = - u’sinu u' (tgu)’ = cos u u' (cotgx)’ = (cotgu)’ = sin x sin u (ex)’ = ex (eu)’ = u’eu x x (a )’ = a lna (au)’ = u’au.lna u' (lnx)’ = (lnu)’ = x u u' (logax)’ = (logau)’ = x ln a u ln a II KHẢO SÁT HÀM SỐ: Hàm bậc ba y = ax3+bx2+cx+d: Miền xác định D=R Tính y’= 3ax2+2bx+c y' = tìm cực trị không (nếu có) tính y’’ tìm điểm uốn bảng biến thiên điểm đặc biệt (2điểm) đồ thị (đt) * Các vấn đề đặc biệt cho hàm bậc 3: a - để hs tăng trên D y ' y ' ); (1 cos x); 1 sin x (1 cos x) ; 1+tg2x= cos x 1 cotg x sin x cấp số cộng: a,b,c,… d = c – b = b – a c b q cấp số nhân: a,b,c,… b a I ĐẠO HÀM: Qui Tắc: (u v)’ = u’ v’ (u.v)’ = u’v + v’u cos x Lop12.net (2) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng - đthị cắt ox điểm pb ax2+bx+c=0 có nghiệm pb * CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS: 1/ Phương trình tiếp tuyến: (pttt) @ Loại 1: pttt M(x0,y0) y=f(x) tính: y’= y’(x0)= pttt: y = f’(x0)(x-x0)+y0 @ Loại 2: pttt có hệ số góc k cho trước ta có: f’(x)=k giải pt này tìm x0 thay vào y=f(x) tìm y0 từ đó ta có pttt là: y = k(x-x0)+y0 pttt // y=ax+b có hệ số góc k = a pttt y=ax+b có hệ số góc k = -1/a @ Loại 3: pttt qua M(x0,y0) y=f(x) ptđt d qua M có hệ số góc k là: y = k(x-x0)+y0 để d là tt thì hệ sau có nghiệm: f ( x) k ( x x0 ) y (1) thay (2) vào (1) giải f ' ( x) k (2) pt này tìm x thay vào (2) ta k vào pttt d trên 2/ Giao điểm đường: Cho y=f(x) và y= g(x) + ptrình hoành độ giao điểm là: f(x) = g(x) giải pt này nghiệm là có giao điểm + bài toán ứng dụng cho việc biện luận nghiệm f(x,m)=0 biến đổi dạng f(x)=g(m) đặt y=f(x) là đồ thị đã vẽ; y=g(m) là đt //ox Từ đó biện luận số nghiệm pt dựa vào đồ thị f ( x) g ( x) + để f(x) tiếp xúc g(x) ta có: từ f ' ( x) g ' (x) đó tìm điểm tiếp xúc x 3/ đơn điệu: cho y=f(x) đặt g(x)=y’ a/ g(x) = ax2+bx+c (,+) a>0; b ; g()0 2a b/ g(x) = ax2+bx+c (,+) a<0; b ; g()0 2a c/ g(x) = ax2+bx+c (,) ag()0; ag()0 {áp dụng cho dạng có m2} d/ g(x) có chứa m biến đổi dạng m > h(x) (hoặc m<h(x)) điều này m > giá trị lớn h(x) (m<minh(x)) e/ hàm có mxđ D=R\{x0} thì tăng trên (,+) y’0; x0 giảm trên (,+) y’0; x0 Cực trị: * y = f(x) có cực trị y’= có nghiệm và đổi dấu qua điểm đó.(y’=0;y”0) Hàm trùng phương y = ax4+bx2+c: Miền xác định D=R Tính y’ y' = tìm 3cực trị cực trị bảng biến thiên điểm đặc biệt (2điểm) đồ thị * Các vấn đề đặc biệt cho hàm t phương: - đt nhận oy làm trục đối xứng - để hs có (hoặc 1) cực trị trên D y’=0 có n0 pb (hoặc n0) - để hs có điểm uốn y’’=0 có n0 pb - đồ thị cắt ox điểm pb >0; P>0; S>0 - đồ thị cắt ox điểm pb lập thành csc >0; P>0; S>0; x2 = 9x1 và sử dụng đlý Vieet ax b Hàm biến y cx d Miền xác định D=R\ d c ad bc Tính y ' (>0, <0) cx d 2 TCĐ x d vì limd y c x c TCN y a vì lim y a c c x bảng biến thiên điểm đặc biệt (4điểm) đồ thị - đthị nhận giao điểm tiệm cận làm tâm đối xứng Hàm hữu tỷ ax bx c y x chia dx e dx e Hoocner Miền xác định D=R\ e d d mx nx p Tính y’= y' = tìm 2cực trị không có e TCĐ x vì lime y x d d TCX y x vì lim dx e 2 x dx e 2 dx e 0 bảng biến thiên điểm đặc biệt (4điểm) đồ thị * Một số kết quan trọng: - đthị nhận giao điểm tiệm cận làm tâm đối xứng - có cực trị không y’= có nghiệm pb khác nghiệm mẫu VN - xi là cực trị thì giá trị cực trị là 2axi b yi và đó là đt qua điểm cực trị d Lop12.net (3) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng y ' x0 * y=f(x) có cực đại x0 y ' ' x0 y ' x0 * y=f(x) có cực tiểu x0 y ' ' x0 log a x logax= a ax bx c a/ x b/ b/ Tập xác định D R \ / P.Pháp: Tính y / a g( x ) a hai nghiệm pb thuộc D g / b/ g( / ) a log a x b x a b , a >1 log a x b x a b , < x < a ;b Đặt ẩn phụ; mũ hóa… VI NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN: Định nghĩa: F(x) đgl nguyên hàm hàm số y=f(x) trên khoảng (a;b) F / x f x , x a; b Nguyên hàm hàm số sơ cấp 1.dx x c b Trên [a;b] Tính y’ Giải pt y’ = tìm nghiệm x0 a; b Tính y (x0 ) , y(a) , y (b) Chọn số lớn M KL: max y M a ;b Chọn số nhỏ m , KL: y m a ;b x 1 c 1 x dx 1 dx ln x c x Cosx.dx Sinx c III Hàm số mũ và logarit: Công thức lũy thừa: Với a>0, b>0; m, nR ta có: anam =an+m ; a1= ; an a nm ; am ( =am ; an ); (an)m =anm ; (ab)n=anbn; a a0=1; n an a m b b m n a n am Công thức logarit: logab = cac=b ( 0< a1; b>0) Với 0< a1, 0<b1; x, x1, x2>0; R ta có: loga(x1x2)=logax1+logax2 ; logax1logax2; log b x ; (logab= ) log b a log b a a x b x log a b , < a < * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b ( a> , a , x>0 ) GTLN, GTNN: a Trên (a,b) Tính y’ Lập bảng biến thiên trên (a ; b ) KL: max y yCD , y yCT a ;b log a x ; (logaax=x); logaf(x) = logag(x) f(x) = g(x) Đặt ẩn phụ; mũ hóa… Bất PT mũ – logarit: * Dạng ax > b ( a> , a ) b : Bpt có tập nghiệm R b>0 : a x b x log a b , a>1 x b/ Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì y/ = có / logba.logax=logbx; alogbx=xlogba Phương trình mũ- lôgarít * Dạng ax= b ( a> , a ) b : pt vô nghiệm b>0 : a x b x log a b * Đưa cùng số: Af(x) = Bg(x) f(x) = g(x) * Đặt ẩn phụ; logarit hóa… * Dạng log a x b ( a> , a ) Điều kiện : x > log a x b x a b T.Hợp 1: Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d P.Pháp: Tập xác định D = R Tính y/ Để hàm số có cực trị thì y/ = có hai n pb T.Hợp 2: Hàm số y Sinx.dx Cosx c Cos Sin x a dx 1 x .dx tgx c dx Cotgx c x e x dx e x c loga x1 = x2 a log a x x ; logax= logax; Lop12.net ax c ln a (4) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng Nguyên hàm các hàm số thường gặp: 1 ax b c ax b dx a 1 Loại 1: Có dạng: e x b A= P( x). Sinx .dx a Cosx Trong đó P(x)là hàm đa thức Phương pháp: Đặt u = P(x) du = P(x).dx x e dv = Sinx dx v = Cosx Áp dụng công thức tích phân phần ax b dx a ln ax b c Cosax b .dx a Sinax b c Sinax b .dx a Cosax b c Cos ax b dx a tgax b c Sin ax b dx a Cotgax b c 1 1 1 A = u.v v.du e dx e ax b c a a mx n mx n dx c a m ln a a ax b b Loại 2: B = P( x ).Ln(ax b).dx a Phương pháp: Các phương pháp tính tích phân:Tích phân tích, thương phải đưa tích phân tổng hiệu cách nhân phân phối chia đa thức Phương pháp đổi biến số : Đặt u = Ln(ax+b) dv = P(x).dx Áp dụng: B = b a Sin a f t .dt F t b a t 2 Cos a Cos2a PP:Đặt tg làm thừa số a dx dt a1 tg t .dt Cos t Thay tg Đổi cận: 1 Cos x IV Diện tích hình phẳng: Diện tích hình phẳng giới hạn (c): y = f(x) và hai đường x = a; x = b: P.Pháp: DTHP cần tìm là: 2.Tính J a x dx Cos2a ; Đặt t Cosx (Đổi sin n 1 x thành Cosx ) Dạng : A tg m x.dx Hay B Cotg m x.dx dx 2 a x a I a b u.v v.du b a A Sin n 1 x.Sinx.dx Các dạng đặc biệt bản: v = a dx ax b Nếu n lẻ: a P.Pháp: Đặt: x a.tgt Nếu n chẵn: Áp dụng công thức x b t b Đổi cận: x a t a du -Dạng : A Sin n x.dx Hay B Cos n x.dx P.Pháp: Đặt : t = x dt / x .d x Do đó: A a A f x . / x .d x b b b a t 2 dx a.Cost.dt P.Pháp:Đặt x a.S int b S f ( x ) dx (a < b) a Đổi cận Phương pháp tính tích phân phần Hoành độ giao điểm (c) và tục ox là nghiệm phương trình: f(x) = Lop12.net (5) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng Nếu p.trình f(x) = vô nghiệm Hoặc có nghiệm không thuộc đoạn a; b thì: S z z z z b f ( x ).dx z với z , z z a Nếu p.trình f(x) = có nghiệm thuộc đoạn a; b Giả sử x = , x = thì b z z ; zz z z ; a z z z z S f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx S b a z là số thực z z ; z là số ảo z z f ( x ).dx + f ( x ).dx + f ( x ).dx Diện tích hình phẳng giới hạn (c): y =f(x) và trục hoành: P.Pháp: HĐGĐ (c) và trục hoành là nghiệm x a x b phương trình: f(x) = b S f ( x ) dx a b a 1 i Đặt b 4ac o Nếu = thì phương trình có b nghiệm kép(thực) : x = 2a o Nếu > thì phương trình có hai nghiệm thực : b x1,2 2a o Nếu < thì phương trình có hai nghiệm phức : b i x1,2 2a HĐGĐ hai đường (c1) và (c2) là nghiệm p.trình: f(x) – g(x) = Lập luận giống phần số V Thể tích vật thể: Hình phẳng (H) giới hạn bởi: x= a; x = b; trục ox và y = f(x) liên tục trên đoạn a; b Khi (H) quay quanh trục ox tạo vật thể có thể tích: V . f ( x ) dx a Hình phẳng (H) giới hạn bởi: y = a; y = b; trục oy và x = g(x) liên tục trên đoạn a; b Khi (H) quay quanh trục oy tạo vật thể có thể tích: Định lý Viet : Nếu phương trình bậc hai az bz c ( a, b, c , a ) có hai nghiệm z1 , z2 thì : V . g( y ) dy a IV SỐ PHỨC: Số i : i2 = -1 Số phức dạng : z = a + bi ; a,bR Số phức liên hợp z = a + bi là ax2 + bx + c = ( a khác ; a, b, c R ) a 2i ; 1 i 2i Xét phương trình bậc hai : S f ( x ) g( x ) dx Modun số phức : z a b 2 Các bậc hai số thực a < là : i a b i1 i, i 1, i i, i i n 1, i n1 i, i n 1, i n3 i (c ): y = f(x) và(c ): y = g(x) và hai đường x = a; x = b: P.Pháp DTHP cần tìm là: b a c a+ bi = c + di b d (a + bi) + (c + di) = (a +c) + (b + d)i (a + bi) - (c + di) = (a -c) + (b - d)i (a + bi)(c + di) = (ac-bd) + (ad + bc)i a bi a bi c di c di c2 d Ta có: f ( x ).dx Diện tích hình phẳng giới hạn đường b z z ; z z z1 z2 b c và z1 z2 a a Định lý đảo định lý Viet : Nếu hai số z1 , z2 có tổng z1 z2 S và z1 z2 P thì z1 , z2 là nghiệm z a bi z z ; z z ' z z ' ; z.z ' z.z ' ; phương trình : z Sz P Lop12.net (6) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng HÌNH HỌC 12 CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ VỀ HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI TOÁN HÌNH HỌC 12 I TỈ SỐ GÓC NHỌN TRONG TAM GIÁC VUÔNG sin = tan = AB AC (ĐỐI chia HUYỀN) cos = (KỀ chia HUYỀN) BC BC AC AB (ĐỐI chia KỀ) cot = (KỀ chia ĐỐI) AB AC II HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG BC2 = AB2 + AC2 (Định lí Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2 AB2 = BH.BC AC2 = CH.BC AH2 = BH.CH AB.AC = BC.AH A B H 1 2 AH AB AC2 C III ĐỊNH LÍ CÔSIN a2 = b2 + c2 – 2bccosA b2 = a2 + c2 – 2accosB a b c 2R sin A sin B sin C IV ĐỊNH LÍ SIN V ĐỊNH LÍ TALET a) c2 = a2 + b2 – 2abcosC A MN // BC AM AN MN ; AB AC BC b) B VI DIỆN TÍCH TRONG HÌNH PHẲNG Tam giác thường: a) S = ah p(p a)(p b)(p c) b) S = N M AM AN MB NC C (Công thức Hê-rông) c) S = pr (r: bk đ.tròn nội tiếp tam giác) Tam giác cạnh a: a) Đường cao: h = a ; b) S = a2 c) Đường cao là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vuông: a) S = ab (a, b là cạnh góc vuông) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạnh huyền Tam giác vuông cân (nửa hình vuông): a) S = a (2 cạnh góc vuông nhau) b) Cạnh huyền a Nửa tam giác đều: a) Là tam giác vuông có góc 30o 60o b) BC = 2AB c) AC = Tam giác cân: a) S = a d) S = A a2 ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) B 60 o 30 o C b) Đường cao hạ từ đỉnh là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực A Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước) Hình thoi: S = d1.d2 (d1, d2 là đường chéo) N M Hình vuông: a) S = a2 b) Đường chéo a 10 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 11 Đường tròn: a) C = R (R: bán kính đường tròn) b) S = R2 (R: bán kính đường tròn) VII CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC Đường trung tuyến: G: là trọng tâm tam giác Lop12.net G B P C (7) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi là trọng tâm b) * BG = BN; * BG = 2GN; * GN = BN 3 Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi là trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác VIII HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Hình tứ diện đều: Có mặt là các tam giác Chân đường cao trùng với tâm đáy (hay trùng với trọng tâm tam giác đáy) Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc Hình chóp đều: Có đáy là đa giác Có các mặt bên là tam giác cân Chân đường cao trùng với tâm đa giác đáy Các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc Đường thẳng d vuông góc với mp( ): a) Đt d vuông góc với đt cắt cùng nằm trên mp( ) Tức là: d a; d b d ( ) a b a,b () () b) ( ) () a d ( ) a d () c) Đt d vuông góc với mp( ) thì d vuông góc với đt nằm mp( ) Góc đt d và mp( ): d cắt ( ) O và A d AH () ˆ = Nếu thì góc d và ( ) là hay AOH H ( ) Góc mp( ) và mp( ): () () AB Nếu FM AB;EM AB EM (),FM () ˆ = thì góc ( ) và ( ) là hay EMF d A d' H F E B A Khoảng cách từ điểm A đến mp( ): Nếu AH ( ) thì d(A, ( )) = AH (với H ( )) IX KHỐI ĐA DIỆN: Thể tích khối lăng trụ: V = Bh (B: diện tích đáy; h: chiều cao) Bh (diện tích đáy là đa giác) VS.ABC SA SB SC Tỉ số thể tích khối chóp: VS.ABC SA SB SC Diện tích xq hình nón tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) Thể tích khối nón tròn xoay: V = Bh (diện tích đáy là đường tròn) Diện tích xq hình trụ tròn xoay: Sxq = Rl (R: bk đường tròn; l: đường sinh) Thể tích khối trụ tròn xoay: V = Bh = R h ( h: chiều cao khối trụ) Diện tích mặt cầu: S = R (R: bk mặt cầu ) Thể tích khối nón tròn xoay: V = R (R: bán kính mặt cầu) Thể tích khối chóp: V= Lop12.net M O (8) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng PHẦN II: HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 4) G là trọng tâm tứ diện ABCD GA GB GC GD I CÔNG THỨC VECTƠ: Trong không gian với hệ trục Oxyz cho x A x B xC X D xG y A y B yC y D yG z A z B zC z D zG a a1 ; a2 ; a3 b b1 ; b2 ; b3 Ta có: và k R 1) a b a1 b1 ; a b2 ; a b3 3) a.b a1 b1 a b2 a b3 2 4) a a1 a a 2) ka ka1 ; ka ; ka 5) Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k Ta có: x A kx B x M 1 k y A ky B y M 1 k z A kz B z M k 5) Tích có hướng hai vectơ a và b là a a a a1 a1 a a, b ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2 6) a, b a b Sin a, b 7) 8) 9) 10) 11) 6) I là trung điểm đoạn AB thì: xA xB x I y A yB y I z A z2 z I III MẶT PHẲNG: 1) Giả sử mp có cặp VTCP là : a1 b1 a b a b a b a cùng phương b a, b a a, b hay b a, b a , b , c đồng phẳng a, b c ab a1 b1 a b2 a b3 Ứng dụng vectơ: AB, AC a a1 ; a ; a b b1 ; b2 ; b3 Nên có VTPT là: S ABC VHoäpABCD A B C D AB, AD AA / VTứdiệnABCD / / / a a a a1 a1 a ; ; n a, b b b b b 3 b1 b2 2) Phương trình tổng quát mp có dạng: / Ax + By + Cz + D = AB, AC AD Với A B C B x B ; y B ; z B AB x B x A ; y B y A ; zB z A x A y B y A z B z A 3) G là trọng tâm ABC , ta có: 2) AB x B 2 ; đó n A; B; C là VTPT mp 3) Phương trình các mặt phẳng toạ độ: (Oxy) : z = ; (Ozy) : x = (Oxz) : y = 4) Chùm mặt phẳng:Cho hai mặt phẳng cắt nhau: II TOẠ ĐỘ ĐIỂM: Trog không gian Oxyz cho A x A ; y A ; z A 1) , k 1 2 x A x B xC xG y y A B yC yG z A zB zC zG : A1 x B1 y C1 z D1 : A2 x B2 y C z D P.tr chùm mp xác định và là: A x B y C z D A x B y C z D 1 1 2 2 với 5) Các vấn đề viết phương trình mặt phẳng: Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt phẳng P.Pháp: Tìm VTPT n A; B; C và điểm qua 2 M x0 ; y ; z Lop12.net (9) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng P.Pháp: (P) có VTPT là n P dạng: A x x B y y C z z Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A, B, C P.Pháp: Tính AB, AC Trục Oy chứa j 0;1;0 Vấn Đề 4: Viết phương tình mp là mặt phẳng trung trực AB P.Pháp: Mp AB Nên có VTPT là AB qua I là trung điểm AB Kết luận Vấn Đề 5: Viết phương tình mp qua điểm M x ; y ; z và song song với mặt phẳng : Ax By Cz D P.pháp: // Nên phương trình có dạng: / Ax + By + Cz + D = M D / Mp (P) có VTPT là n AB, n Q và qua A Kết luận Vấn Đề 7: Viết phương trình mp qua các điểm là hình chiếu điểm M x ; y ; z trên các trục toạ độ P.Pháp:* Gọi M1, M2, M3 là hình chiếu điểm M trên Ox, Oy, Oz Thì M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0) y x z 1 * Phương trình mp là: x0 y z0 Vấn Đề 8: Viết phương trình mp qua điểm M0 và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q) IA A1 x B1 y C z D1 A2 x B y C z D với A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 2) Phương trình tham số đường thẳng qua điểm M x ; y ; z có VTCP a a1 ; a ; a là: x x a1 t y y a t z z a t t R 3) Phương trình chính tắc đường thẳng qua điểm M0 có VTCP: a a1 ; a ; a là x x y y z z0 a1 a2 a3 Với Qui ước: Nếu = thì x – x0 = Vấn Đề 1: Tìm VTCP đường thẳng tổng quát Mp (P) có cặp VTCP là: AB và VTPT (Q) là n Q a12 a 22 a 32 Kết luận Vấn Đề 6: Viết phương trình mp (P) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp (Q) P.Pháp: Viết phương trình tổng quát IV ĐƯỜNG THẲNG: Phương trình đường thẳng: 1) Phương trình tổng quát đường thẳng: Trục Oz chứa k 0;0;1 Mp có VTPT là n P , n Q và qua Mo Kết luận Vấn Đề 9: Viết phương trình mặt phẳng tiếp diện mặt cầu (S) tiếp điểm A P.Pháp: Xác định tâm I mặt cầu (S) Mặt phẳng : Mp tiếp diện có VTPT : Mp (ABC) có VTPT là n AB, AC và qua A Kết luận Vấn Đề 3: Viết phương trình mp qua điểm A và vuông góc BC P.Pháp:Mp BC Nên có VTPT là BC qua A Chú ý: Trục Ox chứa i 1;0;0 (Q) có VTPT là n Q Lop12.net A1 x B1 y C z D1 : A2 x B y C z D P.Pháp: B1C1 C1 A1 A1 B1 ; ; B C C A A B 2 2 2 có VTCP là : a Vấn Đề 2: Viết phương trình đường thẳng : P.Pháp: Cần biết VTCP a a1 ; a ; a và điểm M x ; y ; z Viết phương trình tham số theo công thức (2) Viết phương trình chính tắc theo công thức (3) Viết phương trình tổng quát thì từ phương trình chính tắc , ta có phương trình tổng quát: (10) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng x x0 y y0 a a2 x x z z0 a1 a3 : Ax By Cz D P.Pháp: Mp có VTPT là n A; B; C Đường thẳng qua điểm M0 và có VTCP là n Viết phương trình chính tắc => Ptr tổng quát Vấn Đề 4: Viết phương trình hình chiếu d trên mp P.Pháp: Gọi d/ là hình chiếu d trê mp Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm A và chứa Gọi (Q) là mặt phẳng qua điểm A và chứa Rút gọn dạng (1) Chú ý: Viết phương trình tổng quát phương trình tham số Hoặc chính tắc Ta tìm: - VTCP u a1 ; a ; a vấn đề 11 - Cho ẩn Hoặc giá trị nào đó Giải hệ tìm x, y => z - Có điểm thuộc đường thẳng - Kết luận Vấn Đề 3: Viết ptr đường thẳng qua điểm M x ; y ; z và vuông góc với mặt phẳng Gọi là mặt phẳng chứa d và Nên có cặp VTCP là P : P.tr đường thẳng d: Q : Vấn Đề 7: Viết phương trình đường thẳng d P cắt hai đường và P.Pháp: Gọi A P Gọi B P Đường thẳng chính là đường thẳng AB Vấn Đề 8: Viết phương trình đường thẳng d // d1 và cắt hai đường và P.Pháp Gọi (P) là mặt phẳng chứa và (P) // d1 Gọi (Q) là mặt phẳng chứa và (Q) // d1 d P Q Phương trình đường thẳng d P : Q : Vấn Đề 9: Viết phương trình đường vuông góc chung hai đường thẳng chéo và P.Pháp: Gọi u1 và u là VTCP và Gọi v u1 , u Gọi (P) là mặt phẳng chứa và có VTCP là v Nên có VTPT là n P u1 , v phương trình mặt phẳng (P) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa và có VTCP VTCP d là u d và n là VTPT mặt phẳng Mp có VTPT n u d , n Mp qua điểm M0 d là v Nên có VTPT là n Q u , v phương Viết phương trình tổng quát Mp Phương trình đường thẳng d/: : : Vấn Đề 5: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M x ; y ; z và vuông góc với hai đường và P.Pháp: có VTCP u1 có VTCP u d vuông góc với và Nên d có VTCP là u d u1 , u Vấn Đề 6: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và cắt hai đường và P.Pháp: Thay toạ độ A vào phương trình và A 1 , A 10 Lop12.net trình mặt phẳng (Q) Phương trình đường vuông góc chung và P : 2 : Q : Vấn Đề 10: Viết phương trình đường thẳng d vuông góc (P) và cắt hai đường thẳng và P.Pháp: Gọi là mặt phẳng chứa và có VTCP là n P ( VTPT (P) ) Gọi là mặt phẳng chứa và có VTCP là n P ( VTPT (P) ) Đường thẳng d Vấn Đề 11: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M0 vuông góc với đường thẳng và cắt đường thẳng P.Pháp: (11) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng Gọi là mặt phẳng qua M0 và vuông góc 1 Gọi là mặt phẳng qua điểm M0 và chứa 2 Đường thẳng d Vấn Đề 12: Viết phương trình đường thẳng d qua giao điểm đường thẳng và mặt phẳng và d , d P.Pháp: Gọi A A, B, C, D thuộc (S) Ta có hệ phương trình Giải hệ phương trình tìm A, B, C, D Kết luận Vấn Đề 5: Lập phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm trên mặt phẳng Oxy P.Pháp: Gọi I(xI ; yI ; 0) là tâm mặt cầu, I Oxy AI BI Ta có Hpt 2 AI CI Giải Hpt I IA = R Gọi là mặt phẳng qua A và vuông góc với Nên có VTPT là VTCP Đường thẳng d V MẶT CẦU: Phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a;b;c) bán kính R là: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Mặt cầu (S) có phươngtrình : x2 + y2 + z2 - 2ax 2by -2cz + d = với đk a2 + b2 + c2 –d > thì (S) có : Tâm I(a ; b ; c) Bán kính R a b c d Vấn Đề 1: Viết phương trình mặt cầu P.Pháp: Cần: Xác định tâm I(a ; b ; c) mặt cầu Bán kính R Viết phương trình mặt cầu (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 Vấn Đề 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB P.Pháp: Gọi I là trung điểm AB Tính toạ độ I => I là tâm mặt cầu Bán kính R 2 AB R d I , Kết luận VI KHOẢNG CÁCH: 1) Khoảng cách hai điểm AB AB x B x A y B y A z B z A 2 Ax I By I Cz I D A2 B2 C Viết phương trình mặt cầu Vấn Đề 4: Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD P.Pháp: Phương trình mặt cầu (S) có dạng x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 11 Lop12.net 2) Khoảng cách từ điểm M0(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng : Ax + By + Cz + D = d M , Ax By Cz D A2 B2 C 3) Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng d Lấy M0 d Tìm VTCP đường thẳng d là u M M , u d M , d u 4) Khoảng cách hai đường thẳng chéo / và Gọi u và u là VTCP / / và / / qua điểm M0 , M u, u .M M d , u, u / Viết phương trình mặt cầu Vấn Đề 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a ; b ; c) và tiếp xúc với : Ax + By + Cz + D =0 P.Pháp: Mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với Nên có bán kính Ta có AI2 = BI2 = CI2 / / / VII.GÓC: Góc hai vectơ a và b Gọi là góc hai vectơ a và b a.b Cos a.b a1 b1 a b2 a b3 a12 a 22 a 32 b12 b22 b32 Góc hai đường thẳng (a) và (b) Gọi là góc hai đường thẳng (a) và (b) 0 90 Đường thẳng (a) và (b) có VTCP là : a a1 , a , a (12) GV: Trên đường thành công không có dấu chân người lười biếng b b1 , b2 , b3 a.b a1 b1 a b2 a b3 Cos a.b a12 a 22 a 32 b12 b22 b32 Đặc biệt: ab a.b / Góc hai mặt phẳng và : Ax + By + Cz + D = / : A/x + B/y + C/z + D/ = / Gọi là góc hai mặt phẳng và AA / BB / CC / Cos A2 B2 C A/ B/ C / Góc đường thẳng (d) và mặt phẳng (d): có VTCP là u = (a, b, c) : Ax + By + Cz + D = Gọi là góc nhọn (d) và Aa Bb Cc Sin A2 B2 C a2 b2 c2 Gọi d là đường thẳng qua M và d Nên d có VTCP là n Viết phương trình tham số d Gọi H d Tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương d : => Tọa độ điểm H : trình Vì H là trung điểm MM/ => Tọa độ điểm M/ Vấn Đề 2: Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng M0 qua đường thẳng d P.Pháp: Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm M0 và P d Nên (P) nhận VTCP d làm VTPT Gọi H d P M/ là điểm đối xứng M0 qua đường thẳng d Nên H là trung điểm đoạn M0M/ Vị trí tương đối mp và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R P.Pháp: Tính d(I, ) P.Pháp: Gọi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) là điểm đối xứng M qua Nếu d(I, ) > R => không cắt (S) Nếu d(I, ) = R => tiếp xúc (S) Nếu d(I, ) < R => cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có bán kính r R d I , Gọi d/ là đường thẳng qua tâm I và d / Gọi H d H là tâm đường tròn giao tuyến / Tọa độ giao điểm đường thẳng và mặt cầu (S) P.Pháp: * Viết phương trình đường dạng phương trình tham số * Thay vào phương trình mặt cầu (S) ta phương trình () theo t Nếu ptr () vô nghiệm => không cắt mặt cầu (S) Nếu ptr () có nghiệm kép => cắt (S) điểm Nếu ptr () có hai nghiệm => cắt (S) hai điểm Thế t = vào phương trình tham số => Tọa độ giao điểm Vấn Đề 1: Tọa độ điểm M/ đối xứng M qua mặt phẳng 12 Lop12.net x0 x / x H y0 y / Ta có: y H z0 z / z H => M/ (13)