Tìm m để hàm số 1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số 1 cách đều gốc tọa độ.. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.[r]
(1)Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC Cho hàm số y f x ,đồ thị là (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến sau: Loại 1: Tiếp tuyến hàm số điểm M x0 ; y0 C Tính đạo hàm và giá trị f ' x0 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 x x0 y0 Chú ý: Tiếp tuyến điểm M x0 ; y0 C có hệ số góc k f ' x0 Loại 2: Biết hệ số góc tiếp tuyến là k Giải phương trình: f ' x k , tìm nghiệm x0 y0 Phương trình tiếp tuyến dạng: y k x x0 y0 Chú ý: Cho đường thẳng : Ax By C , đó: Nếu d // d : y ax b hệ số góc k = a a Nếu d d : y ax b hệ số góc k Loại 3: Tiếp tuyến (C) qua điểm A x A ; y A C Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, đó d : y k x x A y A f x k x x A y A f ' x k Điều kiện tiếp xúc d và C là hệ phương trình sau phải có nghiệm: Tổng quát: Cho hai đường cong C : y f x và C ' : y g x Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với f x g x là hệ sau có nghiệm f ' x g ' x Cho hàm số y x x a khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại điểm có hoành độ x ii Tại điểm có tung độ y = iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1 : 24 x y 2009 iv Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d : x 24 y 2009 Cho hàm số y x2 x có đồ thị là (C) x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên b Viết phương trình tiếp tuyến (C): i Tại giao điểm (C) với trục tung ii Tại giao điểm (C) với trụng hoành iii Biết tiếp tuyến qua điểm A(1;1) iv Biết hệ số góc tiếp tuyến k = 13 x2 x Cho hàm số y có đồ thị (C) x 1 kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net (2) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số trên b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm x = c Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y = d Tìm tất các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ hai tiếp tuyến đến (C) Cho hàm số y = x3 + mx2 + có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt d: y = – x + ba điểm phân biệt A(0;1), B, C cho các tiếp tuyến (Cm) B và C vuông góc với Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm d và (Cm) là: x3 + mx2 + = – x + x(x2 + mx + 1) = (*) Đặt g(x) = x2 + mx + d cắt (Cm) ba điểm phân biệt g(x) = có hai nghiệm phân biệt khác g m m m 2 g S xB xC m Vì xB , xC là nghiệm g(x) = P xB xC Tiếp tuyến (Cm) B và C vuông góc với nên ta có: f xC f xB 1 xB xC xB 2m xC 2m 1 xB xC 9 xB xC 6m xB xC 4m 1 9 6m m 4m 1 2m 10 m (nhận so với điều kiện) x2 Cho hàm số y Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ để từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp x tuyến vuông góc Lời giải: Gọi M(x0;y0) Phương trình đường thẳng d qua M có hệ số góc k là y = k(x – x0) + y0 x2 k x x0 y0 , kx Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d: x 1 k x y0 kx0 x * k k x02 k x0 y0 k y02 d tiếp xúc với (C): y0 kx0 1 k y kx I k1 , k2 Từ M vẽ hai tiếp tuyến đến (C) vuông góc với (1) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: k1k2 1 x x0 y0 1 x02 y02 y x x0 y0 x0 Vậy tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường tròn: x y loại bỏ bốn giao điểm đường tròn với hai đường tiệm cận 2x Cho hàm số y (ĐH KhốiD 2007) x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B và diện tích tam giác OAB ĐS: M ; 2 và M 1;1 kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net (3) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng x2 x (ĐH KhốiB 2006) x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên ĐS: b y x m Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y x3 x (*) (m là tham số) (ĐH KhốiD 2005) 3 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m=2 b Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ 1 Tìm m để tiếp tuyến (Cm) M song song với đường thẳng x y ĐS: m=4 Cho hàm số y x3 3mx x 3m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành Cho hàm số y 10 Cho hàm số y x x3 m 1 x x m Cm Định m để Cm tiếp xúc với trục hoành 11 Cho đồ thị hàm số C : y x2 Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành cho từ đó kẻ tiếp x 1 tuyến đến (C) 12 Cho đồ thị hàm số C : y x3 x Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành cho từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với (C) 13 Cho đồ thị hàm số C : y x x Tìm các điểm M nằm trên Oy cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) 14 Cho đồ thị hàm số C : y x3 x Tìm các điểm trên đường thẳng y = cho từ đó có thể kẻ tiếp tuyến với (C) 15 Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + (1) (ĐH KhốiB 2008) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó qua điểm M(–1;–9) Lời giải: a D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = x = hay x = BBT : x y' y + 0 CĐ + + + CT 1 b Tiếp tuyến qua M(1;9) có dạng y = k(x + 1) – Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng : 4x3 – 6x2 + = (12x2 – 12x)(x + 1) – 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) 2x3 – 3x2 + = 6(x2 – x)(x + 1) x = –1 hay 2x2 – 5x + = 6x2 – 6x x = –1 hay 4x2 – x – = 15 x = –1 hay x = ; y’(1) = 24; y ' 4 15 21 Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = x 4 Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ Cho hàm sô y f x ,đồ thị là (C) Các vấn đề cực trị cần nhớ: Nghiệm phương trình f ' x là hoành độ điểm cực trị kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net (4) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng f ' x0 thì hàm số đạt cực đại x x0 f '' x0 Nếu f ' x0 thì hàm số đạt cực tiểu x x0 f '' x0 Nếu Một số dạng bài tập cực trị thường gặp Để hàm số y f x có cực trị Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục tung Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trục hoành Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành a y ' yCĐ yCT xCĐ xCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT yCĐ yCT Cách viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị Dạng 1: hàm số y ax3 bx cx d Lấy y chia cho y’, thương là q(x) và dư là r(x) Khi đó y = r(x) là đường thẳng qua điểm cực trị ax bx c Dạng 2: Hàm số y dx e ax bx c ' 2a b x Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng y d d dx e ' Chứng minh hàm số y = x2 m m2 x m4 xm luôn có có cực trị với m Tìm m cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x Cho hàm số y x3 mx m x Định m để: a Hàm số luôn có cực trị b.Có cực trị khoảng 0; c Có hai cực trị khoảng 0; Định m để hàm số y x3 3mx m x b 4ac đạt cực đại x = x33x2+3mx+3m+4 Cho hàm số y = a Khảo sát hàm số m = b.Định m để hàm số không có cực trị c Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu Cho hàm số y x3 3mx x 3m Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị x m 1 x m Cho hàm số y Chứng minh đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với xm m Hãy định m để hai cực trị nằm hai phía trục hoành kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net (5) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng Cho hàm số y x3 1 2m x m x m Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ x 2mx 3m Cho hàm số y Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục xm tung Cho hàm số y x3 mx 2m 1 x m Cm Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương x m 1 x m 4m 10 Cho hàm số y (1) (ĐH KhốiA năm 2007) x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O ĐS: m 4 11 Cho hàm số y x3 x m x 3m (1), m là tham số (ĐH KhốiB năm 2007) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm (1) số m=1 b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ 12 Cho hàm số y mx m x 10 ĐS : b m (1) (m là tham số) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị 10 y (ĐH KhốiB năm 2002) x -10 -5 -5 m 3 b ĐS : 0 m x m 1 x m 13 Gọi (Cm) là đồ thị hàm số y (*) (m là tham số) -10 x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Chứng minh với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó 20 a -15 -20 kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net (6) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng y x -6 -4 -2 -2 a b CĐ(2;m3), CT(0;m+1) MN 20 -4 Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN Cho hàm sô y f x -6 có tập xác định là miền D f(x) đồng biến trên D f ' x , x D f(x) nghịch biến trên D f ' x , x D (chỉ xét trường hợp f(x)-8= số hữu hạn điểm trên miền D) Thường dùng các kiến thức xét dấu tam thức bậc hai: f x ax bx c -10 Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với a b b Nếu thì f(x) có nghiệm x và f(x) luôn cùng dấu với a x 2a 2a Nếu thì f(x) có hai nghiệm, khoảng nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng nghiệm f(x) cùng dấu với a So sánh nghiệm tam thức với số * x1 x2 P * x1 x2 P S S * x1 x2 P Cho hàm số y x3 m 1 x m 1 x Định m để: a Hàm số luôn đồng biến trên R b Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2; Xác định m để hàm số y x3 mx 2x a Đồng biến trên R b Đồng biến trên 1; Cho hàm số y x3 2m 1 x 12m x a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; b Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng ; 1 Cho hàm số y mx x Định m để hàm số nghịch biến trên 1; x2 Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG CONG kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net (7) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng Quan hệ số nghiệm và số giao điểm Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2) Khảo sát tương giao hai đồ thị (C1) và (C2) tương đơưng với khảo sát số nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Số giao điểm (C1) và (C2) đúng số nghiệm phương trình hoành độ giao điểm (1) (1) vô nghiệm (C1) và (C2) không có điểm chung (1) có n nghiệm (C1) và (C2) có n điểm chung (1) có nghiệm đơn x1 (C1) và (C2) cắt N(x1;y1) (1) có nghiệm kép x0 (C1) tiếp xúc (C2) M(x0;y0) Cho hàm số y x 12 có đồ thị là (C) x 1 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x m x m Cho hàm số y x 1 x 1 có đồ thị là (C) a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên 2 b Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình x 2m Cho hàm số y x3 kx a Khảo sát hàm số trên k = b Tìm các giá trị k để phương trình x3 kx có nghiệm Cho hàm số y x3 x (ĐH KhốiD 2006) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số đã cho b Gọi d là đường thẳng qua điểm A(3;20) có hệ số góc m Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt 15 ĐS: b m , m 24 x 3x Cho hàm số y (1) (ĐH KhốiA 2004) x 1 a Khảo sát hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm A, B cho AB=1 1 ĐS: b m mx x m Cho hàm số y (*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2003) x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị đồ thị hàm số m=1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương ĐS: b m x2 x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y (1) (ĐH KhốiD 2003) x2 b Tìm m để đường thẳng d m : y mx 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt ĐS: m>1 Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(1 m2)x + m3 m2 (1) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2002) a Khảo sát biến thiên và vẽ đố thị hàm số (1) m = b Tìm k để phương trình x3 + 3x2 + k3 3k2 = có nghiệm phân biệt kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net (8) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng c Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 1 k ĐS: b , c y x m m k k Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức khoảng cách: Khoảng cách hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB xB x A y B y A Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho đường thẳng : Ax By C và điểm Ax0 By0 C M(x0;y0) đó d M ,. A2 B Cho hàm số y x3 3mx x 3m Cm Định m để Cm có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách chúng là bé 2x 2 Cho hàm số C : y Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là x 1 nhỏ x2 x Cho hàm số C : y Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến tiệm cận là nhỏ x 1 2x Cho hàm số C : y Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN x 1 nhỏ x2 x Cho hàm số C : y Tìm hai điểm M, N thuộc nhánh khác (C) cho đoạn MN x 1 nhỏ x2 x Cho hàm số C : y x 1 a Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ b.Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác (C) cho đoạn MN nhỏ Gọi (Cm) là đồ thị hàm số: y mx (*) (m là tham số) (ĐH KhốiA 2005) x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (*) m = b Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên ĐS: m=1 Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH Phương pháp: Từ hàm số y f x, m ta đưa dạng F x, y mG x, y Khi đó tọa độ điểm cố định có là F x, y nghiệm hệ phương trình G x, y Cho hàm số y x3 m 1 x 3mx Cm Chứng minh Cm luôn qua hai điểm cố định m thay đổi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net (9) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng Cho hàm số Cm : y x2 m x mx Chứng minh đồ thị Cm luôn qua điểm cố định m thay đổi Cho hàm số Cm : y 1 2m x 3mx m 1 Tìm các điểm cố định họ đồ thị trên Chứng minh đồ thị hàm số y m 3 x3 m 3 x 6m 1 x m Cm luôn qua ba điểm cố định Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI y f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) y f x có đồ thị (C “) y f x có đồ thị (C’) y = f(x) có đồ thị (C) y f x 0, x D Do đó ta phải y f x có f x f x , giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần phía trục Ox lên trên x D nên đây là hàm số chẵn đó có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy y f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 y (C') (C) (C'') x x x Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ x2 x 2x a Khảo sát hàm số Cho hàm số C : y b.Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt f(x)=(x^2+x)/(2x-2) x2 x x 2 k y y x(t)=1 , y(t)=t f(x)=x/2+1 f(x)=(x^2+abs(x))/(2abs(x)-2) f(x)=-x/2+1 -8 -6 -4 -14 -2 -12 x2 x y 2x -10 -8 y -6 -4 -2 -2 -2 x 3x x -4 a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Cho hàm số C : y -4 b.Biện luận theo m số nghiệm phương trình: -6 x 2 x x x2 x x 3x m x 1 -6 kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi -8 -8 Lop12.net (10) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng y f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1) y x(t)=-1 , y(t)=t f(x)=x+2 4 2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2 y x 3x x 1 y x -10 -8 -6 -16 -4 -14 -2 -12 -10 -8 -6 -4 x 3x x 1 -2 x -2 -2 -4 -4 x x2 x 1 a Khảo sát hàm số -6 -6 b.Định m để phương trình x m x m có bốn nghiệm phân biệt Cho hàm số C : y f(x)=(4x-x^2)/(x-1) x(t)=1 , y(t)=t y -8 y -8 f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3 2 -10 -10 x -8 -6 -4 -14 -2 -12 -10 -8 y -2 Cho hàm số C : y x -6 -4 -2 x x2 x 1 -2 x2 x -4x y x x2 x 1 -4 Khảo sát hàm số Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x 1 m x 2m -6 -6 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 x 12 x b Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: x x 12 x m -8 -8 ĐS: b 4<m<5 (ĐH Khối A2006) Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG -10 -10 Điểm I x0 ; y0 là tâm đối xứng đồ thị C : y f x Tồn hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) x x ' x0 x ' x0 x thuộc (C) thỏa: f x f x ' y0 f x f x x y0 Vậy I x0 ; y0 là tâm đối xứng (C) f x y0 f x0 x x2 x m có đồ thị Cm 2x Tìm giá trị m để Cm có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O Cho hàm số y x 2m x m x 1 Định m để Cm có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O Cho hàm số Cm : y kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net 10 (11) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng Cho hàm số y x3 x m 1 (m là tham số) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với qua gốc tọa độ b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) m=2 (ĐH Khối B2003) ĐS: a f x0 f x0 , x0 … m>0 Cho hàm số y x3 11 x 3x có đồ thị C Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng qua trục 3 tung Cho hàm số y x3 ax bx c 1 Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và qua điểm M(1;1) Cho hàm số y = x3 – 3x2 + (1) (ĐH Khối D2008) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB Lời giải: a D = R y' = 3x2 6x = 3x(x 2), y' = x = 0, x = f(x)=x^3-3x^2+4 y" = 6x 6, y" = x = x y' y" y + 0 | + y + + + + CT O U -12 y = kx-10 -6 -4 -2 -16 d : y -14 = k(x 1) k + -8 Phương trình hoành độ giao điểm: x3 3x2 + = kx k + x3 3x2 kx + k + = (x 1)(x2 2x k 2) = x = g(x) = x2 2x k = -2 Vì ' > và g(1) ≠ (do k > 3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm! CĐ x Dạng 9: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIỆM CẬN -4 Định nghĩa: 0 (d) là tiệm cận (C) lim MH x f x =M1.7 M C g x = y h y = -6 Cách xác định tiệm cận a Tiệm cận đứng: lim f x d : x x x x0 b Tiệm cận ngang: lim f x y d : y y (d) -8 (C) x c Tiệm cận xiên: TCX có phương trình: y=x+ đó: f x lim ; lim f x x x x x Các trường hợp đặc biệt: -10 -10 M H x -5 -2 kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi -4 Lop12.net 11 (12) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng *Hàm số bậc trên bậc (hàm biến) ax b y mx n n +TXĐ: D= R\ m n +TCĐ: lim y d : x n m x * Hàm số bậc hai trên bậc (hàm hữu tỷ) ax bx c A y x mx n mx n n +TXĐ: D= R\ m n +TCĐ: lim y d : x n m x m m a a +TCN: lim y d : y m m x y f(x)=x^2/(2(x-1)) x(t)=1 , y(t)=t -6 -5 -4 A TCX: y=x+ mx n y T ?p h?pa1 -7 x f(x)=x/2+1/2 y +TCX: lim m I 1 x -3 -14 -2-13 -1-12 -11 1-10 -9 -8 -7 -6 -1 x -2 -5 -4 -3 -2 -1 x -2 -3 Cho hàm số y x -1 n m y x I n m -3 -4 3m x mx 1 , với m là tham số thực -4 x 3m -5 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m =1 b Tìm các giá trị -6 m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số-6(1) 450 -5 -7 Lời giải: -8 x2 x x2 x x -9 -8 a Khi m =1: y TXĐ: D R y 3 x 6x x 32 (ĐH Khối A2008) -7 -9 -10 x 1 y 1 1 y -11 0 x 5 y 5 9 -10 -11 Tiệm cận: lim y tiệm cận đứng: x = 3 lim x 3 x tiệm cận xiên: y = x – x3 lim y , lim y , lim y , lim y x x x 3 x 3 Bảng biến thiên f(x)=(x^2+x-2)/(x+3) Đồ thị: f(x)=x-2 y x(t)=-3 , y(t)=t x x y' y -5 -9 CĐ -3 -1 CT -1 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 -2 -4 -6 b y mx 3m x x 3m mx 6m x 3m -8 -10 kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi -12 Lop12.net 12 (13) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng Gọi (Cm) là đồ thị hàm số (Cm) có tiệm cận đứng d1 : x 3m và tiệm cận xiên d : mx y m m 0 Theo giả thuyết ta có: cos 450 Cho hàm số y f x m m2 m m m 1 (nhận) 2 m 1 mx m 1 x m x Tìm m cho đồ thị hàm số f có tiệm cận xiên qua gốc tọa độ ax (2a 1).x a a 1, a có đồ thị (C) Chứng minh đồ thị hàm số x2 này có tiệm cận xiên luôn qua điểm cố định x 3x Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (C) x 1 a Chứng minh tích khoảng cách từ điểm M trên (C) đến hai đường đường tiệm cận là số không đổi b Tìm tọa độ điểm N thuộc (C) cho tổng khoảng cách từ N đến hại tiệm cận nhỏ x mx Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (Cm) Tìm m để đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số tạo x 1 với hai trục tọa độ tam giác có diện tích Cho hàm số y Dạng 10: DIỆN TÍCHTHỂ TÍCH Ứng dụng tích phân (Dạng này thường xuất các đề thi tốt nghệp) a Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1), (C2) và hai đường thẳng x=a, x=b tính công thức: y f(x) b S f x g x dx a g(x) O Chú ý: a Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b b x ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b b Thể tích y y Thể tích hình phẳng giới hạn d f(x) {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox (x) b tính công thức: V f x dx O a b x c x a O Thể tích hình phẳng giới hạn {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy d tính công thức: V y dy c kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net 13 (14) Các dạng bài toán liên quan đến Khảo sát hàm số HS: Doãn Vương Phùng Thể tích tròn xoay hình phẳng giới hạn hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox b 2 (f(x)g(x), x[a;b]) tính công thức: V f x g x dx a * Cho hàm số y 2m 1 x m * * (1) (m là tham số) x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) ứng với m=1 b Tính diện tích hình phẳng giới hạm đường cong (C) và hai trục tọa độ c Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x ĐS: b S 1 ln , c m (ĐH KhốiD 2002) kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi kakashi Lop12.net 14 (15)