2 Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm có hoàng độ bằng 1... Bạn đọc tự vẽ ĐTHS.[r]
(1)ÔN TẬP TOÁN 12 - HỌC KỲ I - NĂM HỌC 2010-2011 PHần I CÁC DẠNG TOÁN ĐIỂN HÌNH Bài : Tìm GTLN, GTNN các hàm số sau : a) f x x x x trên đoạn 4;3 3 c) f x ln x ln x , trên đoạn 1; e d) f ( x) e x e x , trên đoạn ln ; ln 2 b) f ( x) sin x sin x , trên đoạn 0; e) f ( x) x x x 1 f) f ( x) x2 1 , trên đoạn [-1;2] Giải x f ' ( x) x 3 Ta có : f (4) 13; f (3) 20; f (1) 12; f (3) 20 Vậy: max f ( x) 20 x 3 ; f ( x) 12 x a Xét hàm số f x x x x trên đoạn 4;3 Đạo hàm : f ' x x x 9; x 4; x 4; 3 Đạo hàm : f ' ( x) cos x cos x 3 0 x 3 x x k 2 0 x ; k Z x cos x cos x cos x 0,5 x k 2 x cos x 1 x k 2 b Xét h/s : f ( x) sin x sin x , trên đoạn 0; 3 3 ; f ; f 3 3 Như : f ( x) ,đạt x = 3 x 0; Lại có : f (0) 0; f f ' ( x) x x ; f ( x) ,đạt 3 x 0; c Xét hàm số : f x ln x ln x , trên đoạn 1; e TXĐ : D = (0;+∞) 2 ln x ln x ; f ' ( x) x e Lại có : f(1) = -3 ; f(e) -4 ; f(e3) = x ln e x ln e x x Vậy : min3 f ( x) 4 , đạt x = e ; max3 f ( x) , đạt x = e3 Đạo hàm : f ' ( x) x 1;e x 1;e d Xét hàm số : f ( x) e x e x , trên đoạn ln ; ln 2 Đạo hàm : f ' ( x) e x e x ; 1 2 Ta lại có : f ln 1; f 0 2; f ln Vậy: x ln ;ln f ' ( x) x f ( x) , đạt x = ln ; max f ( x) , x = ln2 x ln ;ln e Xét hàm số : f ( x) x x http://kinhhoa.violet.vn TXĐ : D = [-2;2] Lop12.net (2) Đạo hàm : f ' ( x) Lại có : f(-2) = -2 ; f 2x ; f ' ( x) x x2 2 ; f(2) = Vậy : f ( x) 2 , đạt x = -2 ; max f ( x) 2 , đạt x = x 2; x 2; x 1 f Xét hàm số : f ( x) , trên đoạn [-1;2] ; f ( x) Lại có : f(-1) = ; f(1) = Bài 2: H/số : y TXĐ : D = [-1;2] x2 1 x( x 1) x x( x 1) x2 1 1 x x2 1 x2 1 ; f ' ( x) x 2 x 1 x 1 ( x 1) x Đạo hàm : f ' ( x) Như : f ( x) , đạt x = -1 ; max f ( x) , x = x1; x1; x x x m (1) 1) Với m = a Khảo sát và vẽ đồ thi (C) hàm số b Viết PT tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = 6x - 2) Tìm m để đồ thi hàm số cắt ox điểm phân biệt 3) Tìm k để PT x x k có nghiệm Giải x 4x 6x TXĐ : D = R 2 Giới hạn ,tiệm cận : lim f ( x) lim x x x ; lim f ( x) Suy ra, ĐTHS kg có tiệm cận x x x 3 x Đạo hàm : f ' ( x) x x ; f ' ( x) x Bảng biến thiên : 1) a.Với m = 1, h/số (1) trở thành : y = f ( x) x -∞ f'(x) + - +∞ + f(x) +∞ -∞ Vậy : Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;1) và (3;+ ∞) ; hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3) Hàm số đạt cực đại x = ; yCĐ = H/số đạt cực tiểu x = ; yCT = Bạn đọc tự vẽ Đồ thị hàm số b Xét hàm số : y = f ( x) x x x Có đồ thị h/số (C) TXĐ : D = R Đạo hàm : f'(x) = 2x2 - 8x + Hoành độ tiếp điểm ĐTHS (C) song song với đ/thẳng (d1) : y = 6x - là nghiệm phương trình : 2x2 - 8x +6 = x x 8x Với x = 4, pttt ĐTHS (C) có dạng : y - f(4) = 6(x - 4) <=> y = 6x - x Với x = 0, pttt ĐTHS (C) có dạng : y - f(0) = 6(x-0) <=> y = 6x 2 ycbt pt : x x x m x x x m ,có nghiệm p/biệt m m 3 3 http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (3) PT : x x k 2 x x x k Như : Với < k hay < k < thì pt x x x k có 3 3 8 2 k 3 k k 3 thì pt x x x k có nghiệm phân biệt Với thì pt k 0 k0 0 k0 2 3 k nghiệm phân biệt Với 2 k x x x k có nghiệm Bài : Cho h/số : y = x 3 mx m 2 1) m = khảo sát và vẽ đồ thi hàm số 2) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng y = x Khi m = 1, h/s trở thành : y f ( x) x x (*) Bạn đọc tự khảo sát và vẽ ĐTHS (*) 2 3 mx m TXĐ : D = R Đạo hàm : y' = 3x2 - 3mx 2 Để hàm số có cực trị thì pt : y' = x 3mx có hai nghiệm phân biệt Do đó : 9m m Xét h/số : y = x Giả sử A(x1 ; y1) và B(x2 ; y2) là hai điểm cực trị h/số x Suy A 0; m ; Bm;0 x m Suy : x1 , x2 là hai nghiệm pt : 3x2 - 3mx = Suy : AB m; m m3 m3 và M ; là trung điểm AB Và n(1;1) là vtcp cuả đ/thẳng : y = x 2 m m AB n m0 Ycbt m m M đ / t : y x Bài : Cho h/s : y f ( x) x 1 x3 1) Khảo sát và vẽ đồ thi hàm số 2) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm có hoàng độ 3) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiết tuyến vuông góc với đường thẳng y = x +2011 4) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiết tuyến qua A(5; 3) 5) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết tiết tuyến biết tiếp tuyến tạo với các trục toạ độ tam giác có diện tích 1/8 6) Từ đồ thị hàm số suy đồ thị hàm số y Giải Xét h/s : y f ( x) x 1 x3 x 1 x3 TXD : D = R\{3} x 1 Suy ra, h/số có tiệm cận ngang là đ/thẳng : y =1 x x3 lim f ( x) ; lim f ( x) Suy ra, hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng : x= Giới hạn, tiệm cận : lim f ( x) lim x 3 x 3 4 x 1 0, x D Suy ra, h/s y f ( x) Đạo hàm : f ' ( x) nghịch biến trên toàn tập xác định x3 ( x 3) x f'(x) http://kinhhoa.violet.vn -∞ _ +∞ _ Lop12.net (4) Bảng b/thiên +∞ f(x) -∞ Bạn đọc tự vẽ ĐTHS 2.Pttt (C) x0 = có dạng : y - f(1) = f'(1).(x - 1) hay : y + = -1(x - 1) y x 3.Hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến ĐTHS vuông góc với đ/thẳng (d): y = x +2010 là ng pt : y' = -1 Từ đó tìm các giá trị x ta viết các pttt cần tìm ĐS :có hai pttt thảo mãn là ( ) : y x 8; : y x Pttt qua điểm A(5;3) có dạng ( ): y = k(x - 5) + Đ/thẳng ( ) tiếp xúc với ĐTHS (C) hệ sau có nghiệm : k 4 x 1 x 3 x k ( x 5) 1 x x 2k k 1 Thay vào ta đc ( ): y = -x + 4 4 k 1 k k k x 32 x 32 Gọi M a; y (a ) là tiếp điểm (C) và tiếp tuyến Pttt M (C) có dạng ( ): y y (a ) () : y 4 ( x a ) (a 3) 4 a 1 4a x Toạ độ giao điểm A ( ) và Ox là ng hệ : a a 32 (a 3) y a 6a a 6a a 6a x 0; Vậy A Tương tự, ta có B ; x a a (a 3) y (a 3) a (a 3) y Diện tích OAB : S OAB Do S OAB 1 a 6a a 6a a 6a xA yB 2 (a 3) a 32 a 6a = 1/8 nên a 32 2 (đ.v.d.t) a 6a 1 Giải các giá trị a thay vào ( ) ta các pttt a3 1 Đáp số : Có hai pttt thoả mãn là : y x ; : y x 4 a, a x 1 Bạn đọc tự vẽ ĐTHS : y (C) Lưu ý : Ta có y a Do đó ĐTHS (C) gồm : x3 a, a x 1 x 1 Phần từ trục Ox trở lên ĐTHS y , và phần đối xứng phần ĐTHS y trục Ox qua trục Ox x3 x3 Bài : Cho h/số : y x 2(m 1) x 3m 1) Biết đồ thi hàm số cắt oy A(0;-3) , hãy khảo sát hàm số 2) Lập PT tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm điểm uốn 3) Tìm m để hàm số có điểm cục trị 4) Tìm k để PT : 4x2 – x4 + log k = có nghiệm phân biệt Giải Do (Cm) cắt Oy điểm A(0;-3) nên toạ độ A chính là nghiệm pt: y x 2(m 1) x 3m Thay vào ta có : 2(m 1).0 3m m h / sô.C : y x x Bạn đọc khảo sát và vẽ ĐTHS (C) 16 x y'' = 12x2 - ; y'' = 12 x02 x0 (vì x0 > 0) Suy pttt cần tìm là : y = http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (5) Để h/số có điểm cực trị thì pt: y' = 4x3 - 4(m+1)x = 4x3 - 4(m+1)x = có nghiệm phân biệt Suy pt : x2 - (m+1) = có hai nghiệm phân biệt khác Để thoả mãn điều này thì m+1 > hay m > -1 4) HS tự giải Bài : Giải các PT và BPT sau: 1) 32 x1 5.32 2) 3.4x + 8.6x + 4.9x > 3) log ( x 2).log x 4) log (4 x 6) log (2 x 2) 5) lg2x - 3lgx = lgx2 – Giải 3 x 5.3 3.(3 ) 5.3 x 1 1) x 3 2, (loai ) 2) Ta thấy : 4x > ; 6x > ; 9x > 0.Nên: 3.4x + 8.6x + 4.9x > 0, x R Suy pt đã cho vô nghiệm Ta có thể giải cách chia hai vế pt đã cho cho 22x,sau đó giải tiếp 0 x 0 x 0 x 0 x 3) log ( x 2) log x x x log ( x 2) log x log x ( x 2) log x x x x x 1 4) x log x log x log x x x log (4 6) log (2 2) x 6 x x log 5 log (4 6) log log x x x 2 4 2 x 1 x x Từ đó giải tiếp ta nghiệm là x = x x0 5) lg2x - 3lgx = lgx2 - lg x lg x lg x lg x Bài : Giải các BPT và hệ sau 1) 4x - - 16x < 2log48 2) log ( x x 2) 1 x 10 x 10 3) log ( x 1) log (2 x) 3 31 x 10 4) 1 x 1 x 3 Giải 1 x 1 1) 4x - - 16x < log log x 1 16 x 3.2 log 2 x x 4.4 x x 12 BPT trên nghiệm đúng với x 2) 0 x x 0 x x 0 x x 0 x log ( x x 2) 1 2 x x x log ( x x 2) 1 log ( x x 2) log 2 http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (6) x x x 3) log ( x 1) log (2 x) log ( x 1) log (2 x) log x log (2 x) x x 1 1 x 2 9 v 10v u v 10 1 v 31 x u u v 10 4) Đặt 1 x , u , v Khi đó : 9 u u 3 v u v uv v v log 31 x log 3 31 x x Thay vào, ta : 1 x 2 x 3 log 31 x log x 2 0 x 3 x x 0 x 3 x f log x x (3 x) 3 x x 3 3 x x x x x x Bài : Tính 1) (2 x x 5).dx Giải tiếp hệ trên ta kết ĐS : x3 dx 2) x2 x 3) sin dx 2 4) 3sin x dx cos x ex 5) x dx e 1 dx 6) 3x dx dx 7) dx x 3x ( x 2)( x 1) x x 1 e 2 x 8) x x e e Giải 1) Tự giải x3 x3 dx (x x ).dx x x ln x C x2 x2 x x 1 sin dx sin dx (1 cos x).dx ( x sin x) C 2 2 2 dx 3 cos x tan x C sin x .dx 3 sin x.dx cos x cos x ex dt x x dx ln t C Đặt e + = t, dt e dx Suy : x t e 1 http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (7) dx 2t 2t 2t dt dt C 3x C dt dx Suy ra: t 3 3 3x dx dx x2 C .dx ln x ln x C ln ( x 2)( x 1) x 1 x 3x x x 1 8) Tự giải Đặt 3x t t 3x Bài : Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Góc tạo mặt bên và đáy 450 Tính thể tích hình chóp Giải Gọi O là chân đường cao kẻ từ S tới mp(ABC) Do S.ABC là hình chóp nên O Cũng là trọng tâm, trực tâm ABC Gọi H là trung điểm AB Dẽ dàng c/minh : SH AB S AH a SA SC SA a Do Tam giác ABC cạnh a nên độ dài trung tuyến CH là : CH = (đ.v.đ.d) Tam giác SAH : cos SAH cos 45 Và CO = 2 a a CH Suy SO SC CO = 3 a2 a2 a2 A a2 (đ.v.d.t) a a2 a3 (đ.v.t.t) 24 Diện tích tam giác ABC cạnh a là : S ABC Do đó : VS ABC SO.S ABC C H O B A C A' C' Bài 10 : Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A, A’B tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ Giải Ta thấy hình chiếu A' trên mp(ABC) là điểm A Suy ra: hình chiếu cạnh A'B trên mp(ABC) là AB A' B; mp ( ABC ) A' BA 60 Xét A' BA vuông A và có A' BA 60 , nên : A'A = AB.tan A' BA = a.tan 600 hay A'A = a (đ.v.đ.d) Mặt khác : ABC là tam giác vuông cân B nên diện tích là : S ABC BA.BC Do đó : Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là : a V ABC A'B 'C ' A' A.S ABC a BA.BC (đ.v.t.t) 2 Bài 11: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA vuông góc với MP(ABCD) và SA = a MP qua A và vuông góc với SC cắt SB , SC, SD B’, C’ D’ 1) Tính: Thể tích khối chóp S.ABCD 2) Thể tích khối chóp S AB’C’D’ Giải a3 a Bạn đọc tự làm ĐS : VS ABCD (đ.v.t.t) S b.Lấy O làm tâm hình vuông ABCD hay O = AC BD B’ SO cắt B'D' H Kéo dài AH cắt SC C' http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net S D' C (8) Ta có : BC AB và BC SA nên BC mp( SAB) BC AB' Lại có SB AB' nên suy AB' mp( SBC ) AB' SC Tương tự, ta có : AD' SC Suy : SC mp( AB' D' ) (đ.p.c.m) c Có AC = ' 2a a = SA Suy SAC vuông cân A AC' SC C' là trung điểm SC => SC' = 0,5.SC = 0,5 SA AC = a V SA SB' SC ' SB' VS AD 'C ' SA SD' SC ' SD' Ta có : S AB 'C ' , VS ABC SA SB SC SB VS ADC SA SD SC SD SB' SA SB' SA 2a 2 Mặt khác : SB' A ₪ SAB 2 SA SB SB SB 2a a SD' Tương tự, ta có: SD Do ABC ADC VS ABC VS ADC 0,5.VS ABCD A V V V a3 a3 2 2 Suy : S AB 'C ' S AD 'C ' S AB 'C 'D ' VS AB 'C 'D ' (đ.v.t.t) VS ABC VS ADC 0,5.VS ABCD 3 Bài 12 : Tứ diện ABCD có các cạnh Xác định bán kính mặt câu ngoại tiếp tứ diện Giải Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD, O' là tâm đường tròn ngoại tiếp ACD và I = AO BO' Ta có: I AO cách điểm B,C,D và I BO' cách điểm A,C,D Suy I cách điểm A,B,C,D Hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Độ dài BO là : B a a BO sin OAB cos OAB BO = 3 AB 3 AB a a AI Bán kính R = AI = (đ.v.đ.d) cos OAB 4 D C PHẦN II ĐỀ LUYỆN A PHẦN CHUNG x 3x 2 1) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) hàm số 2) Tìm m để PT: x4 – 6x2 + = m vó nghiệm phân biệt CÂU I Cho hàm số: y = 3) Viết PT tiếp tuyến với đồ thị (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x 2011 CÂU II 1) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số: y = ln x trên đoạn [1; e2 ] x x 1 có đồ thị là (C ) S là điểm bất kì thuộc (C ), tiếp tuyến với (C ) S cắt tiiệm cận P x3 và Q CMR: S là trung điểm PQ CÂU III 2) Cho hàm số: y http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (9) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông A, AB = a, AC = a Các cạnh A’A, A’B, A’C tạo với đáy các góc Góc tạo mp’(A’AC) với đáy (ABC) góc 600 1) Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ 2) Gọi M là trung điểm A’C’, AM cắt A’B S Tính thể tích hình chóp S.ABC B PHẦN RIÊNG I BAN CƠ BẢN CÂU Iva Với giả thiết câu III, gọi O là trung điểm AM Tính khoẳng cách từ O đến mp’(A’BC) CÂU Va Giải PT: 92 x 4.32 x 27 CÂU Via Tính (cos x.sin2 x 10)dx II BAN NĂNG CAO CÂU Ivb Với giả thiết câu III Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A’.ABC CÂU Vb Giải PT: log x x log 22 x 12 1 x x y Ln CÂU VIb Giải hệ PT: y 2 x xy y http://kinhhoa.violet.vn Lop12.net (10)