Phöông phaùp giaûi: B1: Vẽ đồ thị C của hàm fx Thường đã có trong bài toán khảo sát hàm số B2: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị C và đường thẳng y= m.. Tùy theo[r]
(1)HƯỚNG DẪN ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN GIẢI TÍCH A/ CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN Câu I (3 điểm): - Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số - Các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm và đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng và ngang) đồ thị hàm số Tìm trên đồ thị điểm có tính chất cho trước, tương giao hai đồ thị (một hai đồ thị là đường thẳng)… Câu II (3 điểm): - Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit - Giá trị lớn và nhỏ hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân - Bài toán tổng hợp Câu III (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu Câu IV.(2 điểm): Nội dung kiến thức: - Xác định tọa độ điểm, vectơ - Mặt cầu - Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng - Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu Câu V.(1 điểm): Nội dung kiến thức: - Số phức: môđun số phức, các phép toán trên số phức Căn bậc hai số thực âm Phương trình bậc hai hệ số thực có biệt thức ∆ âm - Ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay B/ MỘT SỐ CHỦ ĐỀ TỰ BỒI DƯỠNG Chủ đề I: DẠNG TOÁN KHẢO SÁT HAØM SỐ: I/ Khảo sát hàm đa thức: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm đa thức: B1: Taäp xaùc ñònh: D= B2: Tìm lim y x B3: Tính đạo hàm y’, tìm nghiệm phương trình y’= 0, tính giá trị hàm số các nghiệm vừa tìm B4: Laäp baûng bieán thieân x Ghi taäp xaùc ñònh vaø nghieäm cuûa phöông trình y/=0 f’(x) Xeùt daáu y/ f(x) Ghi khoảng tăng, giảm , cực trị hàm số B5: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm y”= điểm uốn B6: Tìm điểm đặc biệt thường tìm điểm có hoành độ nhỏ cực trị bên trái và điểm có hoành độ lớn cực trị bên phải B7:Vẽ đồ thị Các dạng đồ thị hàm bậc 3: y y y y x y ' coù nghieäm phaân bieät a 0 x y ' 0 x a 0 x y ' coù nghieäm phaân bieät a Lop12.net x y ' 0 x a (2) Chú ý: Đồ thị hàm bậc luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng Các dạng đồ thị hàm trùng phương: y' coù nghieäm phaân bieät y ' coù nghieäm ñôn y ' coù nghieäm phaân bieät y ' coù nghieäm ñôn a a a a Chú ý: Đồ thị hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng 2/ Ví duï 1: Khaûo saùt caùc haøm soá y = x3+3x2– Giaûi: Taäp xaùc ñònh: D = R lim y x y = 3x2+6x = 3x(x+2), cho y 0 y x x y Laäp baûng bieán thieân x -2 + / y + 0 + y CT + - CÑ -4 y 6 x cho y = x= –1 y= -2, y’’ đổi dấu qua x=-1 I(-1 ;-2) là điểm uốn -2 Ñieåm ñaëc bieät: A(1;0) B(-3;-4) Vẽ đồ thị hàm số: y x -2 -4 Ví duï 2: Khaûo saùt haøm soá: y = 2x2– x4 Giaûi MXÑ : D= R lim y x y = 4x–4x3 = 4x(1–x2) Laäp baûng bieán thieân: x / y + y - x = y=0 cho y = 4x(1–x2)=0 y=1 x = -1 CÑ - 0 CT + Lop12.net 1 CÑ + - (3) y= 4–12x2 cho y = x = yđổi dấu qua x = Ñieåm ñaëc bieät: A y= Đồ thị hàm số có điêm uốn là 2; B 2; 5 ; Đồ thị: y x -2 3/ Bài tập đề nghị: Baøi 1: Khaûo saùt caùc haøm soá sau: a/ y=x3 – 3x2 b/ y= - x3 + 3x – c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8 d/ y = x4 – 6x2 + e/ y = - x4 + 2x2 + f/ y = x4 + 2x2 4 Baøi 2: a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1 b/Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=4 II/ Khaûo saùt haøm nhaát bieán: 1/ Sơ đồ khảo sát hàm y d B1: TXÑ D = R\ c ax b : cx d d B2: Tiệm cận ngang là: y a Tiệm cận đứng là x = c c a.d b.c B3: Tính đạo hàm y’= tính ñôn ñieäu cuûa haøm soá cx d B4: Laäp baûng bieán thieân x Ghi mieàn xaùc ñònh cuûa haøm soá f’(x) Xeùt daáu y/ f(x) Ghi khoảng tăng giảm hàm số B5:Tìm giao điểm đồ thị với các trục toạ độ , có thể lấy thêm số điểm khác để dễ vẽ B6:Vẽ đồ thị Dạng đồ thị hàm b1/b1 y’< x D 2/ Ví duï: Khaûo saùt haøm soá : y = y’> x D 2x x 1 MXÑ: D= R\ 1 y = > x D hàm số luôn đồng biến trên khỏang xác định nó x 12 TCÑ: x=–1 ; TCN: y = Lop12.net (4) Laäp baûng bieán thieân x y/ y - + + -1 + + - Ñieåm ñaëc bieät: A(0;-2), B(1; 0), C(-2;6), D(-3;4) Đồ thị: Bài tập đề nghị: Baøi 1: khaûo saùt caùc haøm soá sau: x x 1 a/ y = b/ y = c/y = 2x x 1 x4 Baøi 2: mx m Cho haøm soá y= khaûo saùt haøm soá m = xm Chủ đề II: MỘT SỐ BAØI TOÁN LIÊN QUAN TỚI KHẢO SÁT HAØM SỐ I/Bài toán1: Tìm giao điểm hai đường: Cho hai hàm số : y= f(x) có đồ thị (C), y= g(x) có đồ thị (C’) Tìm giao điểm (C) và (C’) Phöông phaùp giaûi: B1: phương trình hoành độ giao điểm (C) và (C’): f(x) = g(x) (1) B2: Giải (1) giả sử nghiệm phương trình là x0,x1,x2 thì các giao điểm (C) và (C’) là :M0(x0;f(x0) ); M1(x1;f(x1) ); M2(x2;f(x2)) Chuù yù: Soá nghieäm cuûa phöông trình (1) chính laø soá giao ñieåm cuûa (C) vaø (C’) Ví duï 1: Cho đường cong (C): y= x3 -3x +1 và đường thẳng d qua điểm A(0;1) có hệ số góc k biện luận số giao ñieåm cuûa (C) vaø d Giaûi Phương trình đường thẳng d có dạng: y= kx + Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d là : x3 -3x +1 = kx + (1) x3-(3+k)x = x x(x2-3-k) = x k (2) g( x ) ta coù / (2)= 3+k Neáu 3+k < k<-3 Phöông trình (2) voâ nghieäm (1) coù nghieäm (C) vaø d coù giao ñieåm Neáu 3+k = k= -3 Phöông trình (2) coù nghieäm keùp x=0 (1) coù nghieäm boäi (C) vaø d coù giao ñieåm Neáu 3+k > k> -3 Maët khaùc g(0) = -3-k = k = -3 vaäy phöông trình (2) coù nghieäm phaân bieät khaùc khoâng (1) coù nghieäm phaân bieät (C) vaø d coù giao ñieåm 2x Ví dụ 2: Cho hàm số y x 1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho Lop12.net (5) Tìm tất các giá trị tham số m để đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hàm số đã cho hai điểm phân biệt Giài: 2/ Đường thẳng y = mx + cắt đồ thị hai điểm phân biệt 2x = mx + có hai nghiệm phân biệt Phương trình (ẩn x) x Phương trình (ẩn x) mx2 – (m – 4)x – = có hai nghiệm phân biệt, khác m (m 4) 20m m.12 (m 4).1 m m 12m 16 m 6 6 m m Bài tập đề nghị: x x Bài 1: Cho đường cong (C): y= và đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc k biện x 1 luaän theo k soá giao ñieåm cuûa d vaø (C) Bài 2: Cho đường cong (C): y= Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số giao điểm (C) x 2 và đường thẳng y=k II/ Bài toán2: Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình f(x)= (m) Phöông phaùp giaûi: B1: Vẽ đồ thị (C) hàm f(x) (Thường đã có bài toán khảo sát hàm số ) B2: Số nghiệm phương trình là số giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng y= (m) Tùy theo m dựa vào số giao điểm để kết luận số nghiệm Ví duï: Cho hàm số y=x3 – 6x2 + 9x (C) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x3 – 6x2 + 9x – m = y Giaûi: Phöông trình x3 – 6x2 + 9x – m = x3 – 6x2 + 9x = m Soá nghieäm cuûa phöông trình laø soá giao điểm đồ thị (C) và đường thẳng d: y=m dựa vào đồ thị ta có: Neáu m > phöông trình coù nghieäm Neáu m = phöông trình coù nghieäm x Neáu 0< m <4 phöông trình coù nghieäm Neáu m=0 phöông trình coù nghieäm -2 Neáu m < phöông trình coù nghieäm Bài tập đề nghị: Baøi 1: a/ Khaûo saùt haøm soá y= x4 – x2 + b/ Dùng đồ thị (C) hàm số vừa khảo sát biện luận theo m số nghiệm phương trình: x – x2 + 5=m Bài 2: Cho hàm số y= x3 - 3x – có đồ thị (C) a/ Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b/ Dùng đồ thị (C), định m để phương trình: x3 - 3x – 2=m có nghiệm phân biệt Lop12.net (6) III/ Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C).Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) các trường hợp sau: 1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0)) : B1: Tìm f ’(x) f ’(x0) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm (x0;f(x0)) là: y = f / (x ) (x–x0) + f(x0) 2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x0 : B1: Tìm f ’(x) f ’(x0), f(x0) B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x0 là:y = f / (x ) (x–x0) + f(x0) 3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y0 : B1: Tìm f ’(x) B2:Do tung độ là y0 f(x0)=y0 giải phương trình này tìm x0 f /(x0) B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ y0 là:y = f / (x ) (x–x0) + y0 4/ Bieát heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán laø k: B1: Goïi M0(x0;y0) laø tieáp ñieåm B2: Heä soá goùc tieáp tuyeán laø k neân : (*) f ( x0 ) =k B3: Giaûi phöông trình (*) tìm x0 f(x0) phöông trình tieáp tuyeán Chuù yù: Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1 5/ Bieát tieáp tuyeán ñi qua ñieåm A(x1;y1) : B1:Phương trình đường thẳng d qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1 (1) B2: d laø tieáp tuyeán cuûa (C) heä phöông trình sau coù nghieäm : f ( x) k ( x x1 ) y1 f ( x) k B3:Giải hệ này ta tìm k chính là hệ số góc tiếp tuyến vào (1) phương trình tiếp tuyến Ví duï : Cho đường cong (C) y = x3.Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong : a.Taïi ñieåm A(-1 ; -1) b.Tại điểm có hoành độ –2 c.Tại điểm có tung độä –8 d Bieát raèng heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng e.Bieát raèng tieáp tuyeán ñi qua ñieåm B(2;8) Giaûi: Ta coù y’= 3.x2 A(-1;-1) (C ) coù a/ Tieáp tuyeán taïi x f’(x0)= 3.(-1)2 = phöông trình tieáp tuyeán laø: f(x ) y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1) f(x ) Ph.trình tieáp tuyeán laø y= 12(x+2) – =12x + 16 f '(x ) 12 b/ Ta coù x0= -2 c/ Ta có tung độä y0= –8 f(x0)= -8 x03 =-8 x0=-2 f’(x0)=12 Phöông trình tieáp tuyeán laø: y= 12(x+2) – = 12x + 16 d/ Heä soá goùc cuûa tieáp tuyeán baèng f’(x0)=3 x0 =3 x0= với x0=1 f(x0)=1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2 với x0=-1 f(x0)= -1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2 e/Phương trình đường thẳng d qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + Lop12.net (7) d laø tieáp tuyeán cuûa (C) heä phöông trình sau coù nghieäm : x k(x-2) + 8(1) x x3 = 3x2(x-2) + 2x3- 6x2 + = (2) 3 x k x Với x=2 k=12 phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16 Với x=-1 k=3 phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x - Bài tập đề nghị: Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = c/ Bieát tieáp tuyeán coù heä soá goùc k= -3 d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005 e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x x Baøi 2: Cho haøm soá y= x 1 x + 2006 f/Bieát tieáp tuyeán ñi qua A(1;-2) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = c/ Tại điểm có tung độ y=- d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - e/Bieát tieáp tuyeán ñi qua A(2;0) IV/ Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng tăng, giảm hàm số : + MXĐ D= ? + Tính : y/ = , tìm nghieäm cuûa ptr y/ = + BXD (sắp các nghiệm PT y/ = và giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) Chuù yù: y/ > thì haøm soá taêng ; y/ < thì haøm soá giaûm + Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng Định lý (dùng để tìm gía trị m): a) f/(x) x (a;b) ( không hữu hạn điểm (a;b) ) thi f(x) tăng khoảng (a;b) b) f/(x) x (a;b) ( không hữu hạn điểm (a;b) ) thi f(x) giảm khoảng (a;b) V/ Bài toán 5: Cực trị hàm số Dấu hiệu cần: Hàm f(x) đạt cực trị x0 và có đạo hàm x9 thì f/(x0)=0 Tìm cực trị = dấu hiệu I : + MXĐ D=? + Tính : y/ = , tìm nghieäm cuûa ptr y/ = Tính yCÑ ; yCT + BBT : (sắp các nghiệm PT y/ = và giá trị không xác định hàm số từ trái sang phải tăng dần) + Kết luận cực trị ? Chú ý: 1) Nếu hàm số luôn tăng ( giảm) trên (a;b) thì không có cực trị trên (a;b) 2) Số cực trị hàm số số nghiệm đơn phương trình y/ = / 3) x0 là cực trị hàm số y / ( x ) ( x )dấu qua x yđổi Tìm cực trị = dấu hiệu II: + MXĐ + Đạo hàm : y/ = ? y// = ? cho y/ = => caùc nghieäm x1 , x2 … ( neáu coù ) + Tính y//(x1); y//(x2)…… Nếu y//(x0) > thì hàm số đạt CT x0 , yCT= ? Nếu y//(x0) < thì hàm số đạt CĐ x0 , yCĐ= ? Chú ý : dấu hiệu II dùng cho h/s mà y/ khó xét dấu Lop12.net (8) *Cực trị hàm hữu tỉ : Nếu h/s đạt cực trị x0 thì y/(x0)= và giá trị cực trị y(x0) = u(x ) v(x ) a * Điều kiện để hàm bậc có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= có hai nghiệm phân biệt *Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực tiểu): y’= có hai nghiệm phân biệt khác nghieäm cuûa maãu * Điều kiện để hàm bậc có cực trị : y/ = có nghiệm phân biệt Moät soá ví duï: 1/Xaùc định m để hàm số: y Ta coù y ' = x mx đạt cực đại x=2 xm x + 2mx + m -1 2 ( x + m) ; y '' = Giaûi: x + 2m ( x + m) é m = -1 ê m = -3 ë Đ/k cần để å hàm số đạt cực đại x=2 là: f ' (2) = Û m + 4m + = ê Đ/k đủ: Với m= -1 thì f//(2)=2>0 m= -1 không là giá trị cần tìm Với m= -3 thì f//(2)= -2< m= -3 là giá trị cần tìm 2/ Chứng minh hàm số y= Ta coù y ' = x 2 x m luôn luôn có cực đại và cực tiểu x2 Giaûi: - x + (2 - m ) x + ( x + 1) Cho y ' = Û -x + (2 - m ) x + = ta coù D ' = (2 - m ) + > "m y/=0 luoân luoân coù nghieäm phân biệt Vậy hàm số luôn có cực đại và cực tiểu m m x có cực đại, cực tiểu 3mx 3/Định m để hàm số y= x Giaûi Txñ D=R y/= 3x2 -6mx +3(m2-m) Để hàm số có cực đại, cực tiểu y/=0 có nghiệm phân biệt 3x2 -6mx +3(m2-m)=0 có nghiệm phân / 9m2 -9m2 +9m >0 m>0 vaäy m>0 laø giaù trò caàn tìm bieät Bài tập đề nghị: Bài 1: Định m để y= x 3mx m x m đạt cực đại x=1 ÑS:m=2 x ax b Định a,b để hàm số đạt cực trị –2 x=1 x2 x m Baøi : Cho haøm soá y= Định m để hàm số có cực trị và giá trị cực trị cùng dấu x 1 Bài 4: Cho hàm số y= x m 1x m 3x CMR đồ thị hàm số lu6n có cực đại và cực tiểu.Viết Baøi 2: Cho haøm soá y= phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số Chủ đề III:TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT NHOû NHẤT CUûA HAøM SỐ Phöông phaùp giaûi: *Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên miền xác định hay khoảng : -Tìm taäp xaùc ñònh Lop12.net (9) -Tính y’, tìm caùc ñieåm đó đạo hàm không không xác định đó hàm số liên tục , tính giaù trò cuûa haøm soá taïi caùc ñieåm đó -Lập bảng biến thiên bảng biến thiên GTLN, GTNN *Giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số trên đoạn [a;b]: -Tính y’, tìm caùc ñieåm thuoäc [a;b] đó đạo hàm không không xác định đó hàm số liên tục Giả sử các điểm đĩ là x1, x2,…, xn - Tính các giá trị f(a), f(x1), f(x2),…., f(xn) , f(b) GTLN là số lớn các giá trị vừa tìm được, GTNN là giá trị nhỏ các số vừa tìm Ví duï a)Tìm giá trị lớn & giá trị nhỏ hàm số y= 2x x x2 x 1 b)Tìm giá trị lớn & giá trị nhỏ hàm số b/ y = treân [ ;2 ] x Giaûi : a)Txñ : D =[0;2] 1 x y/= cho y/=0 1-x=0 x=1 y=1 2x x Baûng bieán thieân x / y + y CÑ max f ( x ) f (1) , f ( x ) f (0) f (2) x x b) y/= cho y/=0 x2-1=0 x x 1 7 Ta coù y( ) = ; y(1)=3 ; y(2)= 2 f ( x ) = f( ) =f(2)= ; max f ( x ) f (1) 2 1 ;2 [ ;2] 1 ;2 2 1 ;2 2 2 Bài tập đề nghị: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ các hàm số : a) y= x2 + (x > 0) b) y = x x treân 10,10 x c) y = 4x trên đoạn 1,1 d) y= x4- 4x2 + trên đoạn [-2;2] Chủ đề IV: Phương trình, bất phương trình mũ loga 1/ Phương pháp giải phương trình mũ và logarit : Daïng cô baûn: a u f (x) = a g(x) v(x) = ( u 1 ).v(x) = ( đó u có chứa biến ) f(x) = g(x) Lop12.net (10) a f (x) = b ( với b > ) f(x) = log a b f (x) g(x) log a f(x) = log a g(x) f (x) g(x) log a f (x) b daïng: 0 a f(x) = a b v(x) ; u(x) ; u(x) =b log u(x) v(x) v(x) u(x) b Ñaët aån phuï : a 2f (x) a f (x) a 2f (x) + a + b f (x) f (x) + =0 ; Ñaët : t = a + = ; ( với a.b=1) + a.b f (x) + b 2f (x) f (x) Ñk t > Ñaët : t = a a = ; Ñaët t = b f (x) (Ñk t > 0) t =b f (x) f (x) Logarit hoá hai vế : 2/ Phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit Daïng cô baûn : 10 a f (x) 20 a f (x) > a g(x) f (x) g(x) a f (x) g(x) a >b Neáu b coù nghieäm x Neáu b > f(x) > log a b neáu a > f(x) < log a b neáu < a < 30 a f (x) < b Neáu b thì pt voâ nghieäm Neáu b > ; f(x) < log a b neáu a > f(x) > log a b log a f(x) > log a g(x) neáu < a < Ñk: f(x) > ; g(x) > ; < a (a1)[ f(x) g(x) ] > log a f(x) > b log a f(x) < b * Neáu a > : bpt laø f(x) > a b * Neáu < a < bpt laø < f(x) < a b * Neáu a > : bpt laø < f(x) < a b * Neáu < a < bpt laø u(x) v(x) f(x) > a b > u(x) > vaø [ u(x) 1 ].v(x) > u( x )v( x ) < u(x) > vaø [ u(x) 1 ].v(x) < Lưu ý: *) trường hợp có ẩn số thì chúng ta nên sử dụng công thức sau để bài toán trở nên dễ dang f (x) g(x) 10 a > a (a1)(f(x) g(x)) > 0 log a f(x) > log a g(x) (a1)(f(x) g(x)) > *) Khi giải bài toán bất phương trình mũ logarit thì phải nắm thật vững tính chất đơn điệu hai hàm số trên *) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao hai hay nhiều tập hợp số Bài tập đề nghị: Phöông trình muõ: Daïng Ñöa veà cuøng cô soá Baøi 17 : Giaûi caùc phöông trình sau 10 Lop12.net (11) a) x b) x2 6 x c) 32 x 3 x 16 2 x 5 f) 2x + 2x -1 + 2x – = 3x – 3x – + 3x - x 17 – x g) (1,25) = (0, 64) 2(1 Daïng ñaët aån phuï Baøi 18 : Giaûi caùc phöông trình a) 22x + + 22x + = 12 b) 92x +4 - 4.32x + + 27 = d) x x 8 x 5 413 x f) 32 x 7 128 x 3 e) 52x + – 52x -1 = 110 x c) 52x + e) g) – 110.5x + – 53 x 20 5 x x 75 = 5 2 d) 2 5 f) 15 52 10 x i) x 2.71 x (TN – 2007) Daïng Logarit hoùaï Baøi 19 Giaûi caùc phöông trình a) 2x - = 4 x x1 15 x 0 2 h) 32 x 1 9.3x j) 22 x 9.2 x b) 3x + = 5x – c) 3x – = x x 12 x 1 x) d) x x 5 x e) x.8 x 500 f) 52x + 1- 7x + = 52x + 7x Dạng sử dụng tính đơn điệu Baøi 20: giaûi caùc phöông trình a) 3x + x = 5x b) 3x – 12x = 4x c) + 3x/2 = 2x Phöông trình logarit Daïng Ñöa veà cuøng cô soá Baøi 21: giaûi caùc phöông trình a) log4(x + 2) – log4(x -2) = log46 b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1) h) log x log x log Daïng ñaët aån phuï Baøi 22: giaûi phöông trình a) 1 ln x ln x b) logx2 + log2x = 5/2 10 log x c) logx + 17 + log9x7 = d) log2x + e) log1/3x + 5/2 = logx3 g) log 2 x 3log x log x f) 3logx16 – log16x = 2log2x h) lg x2 16 l o g x 64 Daïng muõ hoùa Baøi 23: giaûi caùc phöông trình a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 - x) b) log3(3x – 8) = – x Baát phöông trình muõ Baøi 24: Giaûi caùc baát phöông trình a) 16x – ≥8 1 b) 3 x 9 c) x x 11 Lop12.net (12) d) x2 x 1 1 e) 2 x 15 x 23 x f) 52x + > 5x Baøi 25: Giaûi caùc baát phöông trình 1 1 2 a) 22x + + 2x + > 17 b) 52x – – 2.5x -2 ≤ c) x x x x x x 4x 2x – d) 5.4 +2.25 ≤ 7.10 e) 16 – – ≤ 15 x +1 x -1/x -1/x -1/x f) -16 ≥ 2log48 g) 9.4 + 5.6 < 4.9 Baøi 26: Giaûi caùc baát phöông trình a) 3x +1 > b) (1/2) 2x - 3≤ c) 5x – 3x+1 > 2(5x -1 - x – 2) Baát phöông trình logarit Baøi 27: Giaûi caùc baát phöông trình a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – c) log2( x – 4x – 5) < d) log1/2(log3x) ≥ e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2/3 f) log2x(x2 -5x + 6) < g) log 3x 1 x2 Baøi 28: Giaûi caùc baát phöông trình a) log22 + log2x ≤ b) log1/3x > logx3 – 5/2 c) log2 x + log2x ≤ e) log x 2.log x 16 d) log x 1 1 log x log x f) log (3x 1).log ( Baøi 29 Giaûi caùc baát phöông trình a) log3(x + 2) ≥ – x c) log2( – x) > x + 3x ) 16 b) log5(2x + 1) < – 2x d) log2(2x + 1) + log3(4x + 2) ≤ Chủ đề IV: NGUYÊN HAØM VAØ TÍCH PHÂN I/TÌM NGUYEÂN HAØM CUÛA MOÄT HAØM SOÁ: 1/Các kiến thức cần nắm vững : Caùc ñònh nghóa nguyeân haøm vaø hoï nguyeân haøm, caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm Bảng nguyên hàm thường dùng 2/Một số dạng toán thường gặp: Daïng 1: Tìm nguyeân haøm cuûa moät haøm soá baèng ñònh nghóa vaø tính chaát Phöông phaùp giaûi: Thường đưa nguyên hàm đã cho nguyên hàm tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Ví duï: Tìm nguyeân haøm caùc haøm soá sau: a) f(x) = x3 – 3x + x b) f(x) = x + x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx Giaûi f ( x )dx (x - 3x + )dx a/ x b/ f ( x )dx (2x + 3x ) dx c/ (5x+ 3) dx f ( x )dx x dx xdx dx x x4 x ln x c 2x 3x c ln ln d (5 x 3) (5 x 3)6 (5x+ 3)5 c 30 x dx 3x dx 12 Lop12.net (13) sin x cosxdx f ( x )dx sin x d (sin x ) d/ sin x c Dạng 2: Tìm nguyên hàm hàm số thoả điều kiện cho trước Phöông phaùp giaûi: B1: Tìm họ nguyên hàm hàm số đã cho B2: Thay điều kiện đã cho vào họ nguyên hàm tìm C thay vào họ nguyên hàm nguyên hàm caàn tìm Ví duï: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=1+ sin3x bieát F( Ta coù F(x)= x – cos3x + C Do F( ) = Vaäy nguyeân haøm caàn tìm laø: F(x)= x – cos3x Giaûi )= cos + C = C = - - - Bài tập đề nghị: Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x)=sin2x.cosx, bieát giaù trò cuûa nguyeân haøm baèng 2 x 3x 3x 1 Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = , bieát F( 1) x 2 x x= Tìm moät nguyeân haøm F(x) cuûa haøm soá f(x) = e1-2x , bieát F( ) II/ CAÙC PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN : 1/Các kiến thức cần nắm vững : Bảng nguyên hàm thường dùng Ñònh nghóa tích phaân, caùc tính chaát cuûa tích phaân Caùc phöông phaùp tính tích phaân 2/Một số dạng toán thường gặp: Daïng 1: Tính tích phaân baèng ñònh nghóa vaø tính chaát Phöông phaùp giaûi: Thường đưa tích phân đã cho tích phân tổng và hiệu sau đó vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng kết Ví duï: Tìm tích phaân caùc haøm soá sau: a/ ( x 1)dx b/ ( 4 1 3sin x )dx cos2 x c/ x dx 2 Giaûi a/ (x 1)dx = 3 1dx ( x dx 1 x) b/ x 4 ( 3sin x )dx cos x 4 4 ( 1 81 3) ( 1) 24 4 dx sin xdx cos2 x (4tgx cos x ) 4 3cos ) [4 tg( ) 3cos( )] =8 = (4tg 4 4 c/ 2 2 2 2 x dx = x dx + x dx = (1 x )dx + ( x 1)dx =(x- Bài tập đề nghị: Tính caùc tích phaân sau: 13 Lop12.net x2 x2 ) 2 ( 2 x ) =5 (14) 1/I= (3 cos x ).dx 2/J= (e 2)dx 3/K= (6 x x )dx x 0 Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến dạng 1: Phöông phaùp giaûi: b1: Đặt x = u(t) (điều kiện cho t để x chạy từ a đến b) dx = u(t) dt b2: Đổi cận: x = a u(t) = a t = x = b u(t) = b t = ( chọn , thoả đk đặt trên) b f(x)dx tích phân theo biến mới, cận tính tích phân b3: Vieát a Ví duï: Tính : x dx Đặt x = sint dx = cost.dt Vì x [0;1] nên ta chọn t [0; ] Đổi cận: x = t = Vậy : ; x= t = 12 s in2t 2 )0 = x dx = cos2 t.dt (1 cos 2t).dt= (t 20 2 Chú ý: Khi gặp tích phân mà biểu thức dấu tích phân có dạng : a2 x thì ñaët x= a sint t [ a2 x thì ñaët x= a tgt t ( x a2 thì ñaët x= Daïng 2: Tính tích phaân a t [ sin t b f[(x)] ; ] 2 ; ) 2 ; ] \ 0 2 '(x)dx phương pháp đổi biến a Phöông phaùp giaûi: b1: Ñaët t = (x) dt = '( x ) dx b2: Đổi cận: x = a t = (a) ; x = b t = (b) b3: Viết tích phân đã cho theo biến mới, cận tính tích phân tìm Ví duï : Tính tích phaân sau : 1 2x a/ I dx x x b/ J x 3.x.dx Giaûi: a/ Ñaët t = x2 + x +1 dt = (2x+1) dx Đổi cận: dt x = t =1 ; x = t = Vaäy I= ln t t b/ Ñaët t= x t2= x2+ tdt = x dx 14 Lop12.net ln (15) t3 x = t = ; x = t = Vaäy J = t dt 3 Đổi cận: (8 3) 3 Bài tập đề nghị: Tính caùc tích phaân sau: 1/ esin x cos x.dx 2/ e ex 0 e x dx 3/ ln x dx x 1 4/ x ( x 3)5 dx Daïng 3: Tính tích phaân baèng phöông phaùp tuøng phaàn: b Công thức phần : u.dv u.v a b b a v.du a Phöông phaùp giaûi: B1: Đặt biểu thức nào đó dấu tích phân u tính du phần còn lại là dv tìm v B2: Khai triển tích phân đã cho theo công thức phần B3: Tích phaân b vdu suy keát quaû a Chuù yù: b a/Khi tính tính tích phân phần đặt u, v cho vdu b deã tính hôn a khaùc udv neáu khoù hôn phaûi tìm caùch ñaët a b b/Khi gaëp tích phaân daïng : P( x ).Q( x ).dx a - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là các hàm số eax+b, cos(ax+b) , sin(ax+b) thì ta đặt u = P(x) ; dv= Q(x).dx Nếu bậc P(x) là 2,3,4 thì ta tính tích phân phần 2,3,4 lần theo cách đặt trên - Nếu P(x) là đa thức ,Q(x) là hàm số ln(ax+b) thì ta đặt u = Q(x) ; dv = P(x).dx Ví duï 1: Tính caùc tích phaân sau: a/ I= x.cos x.dx e b/J= x.ln x.dx Giaûi du dx u x a/ Ñaët : (chuù yù: v laø moät nguyeân haøm cuûa cosx ) v sin x dv cos x.dx vaäy I=x cosx 2 - sin x.dx = cosx = -1 du dx u ln x x b/ Ñaët : dv x.dx v x e e 2 x e2 x e Vaäy J= lnx dx xdx x 21 e2 2e x 15 Lop12.net e2 (16) Bài tập đề nghị: Tính caùc tích phaân sau: 1/ x.e3 x dx 2/ ln ò 2x 1 dx =ò (1 + )dx = [ x + ln x -1]12 = + ln x -1 x -1 2 ò x + 3x + x3 x2 23 dx =ò ( x + x + + )dx = [ + + x + ln x -1]-0 = - ln x -1 x -1 -1 b/ x x dx 3/ 4/ 5/ ln x dx x ln( x 1) dx 0 cos2 x 0 e cos x.dx 1 2 Dạng 4: Tính tích phân số hàm hữu tỉ thường gặp: a/Dạng bậc tử lớn hay bậc mẫu: Phöông phaùp giaûi: Ta chia tử cho mẫu tách thành tổng phần nguyên và phần phân số tính Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: a/ e -1 = Bài tập đề nghị: Tính caùc tích phaân sau: 1/I= x 2 x x dx 1 x2 2/J= x 5 x 3 x dx b/Daïng baäc1 treân baäc 2: Phöông phaùp giaûi: Taùch thaønh toång caùc tích phaân roài tính Trường hợp mẫu số có nghiệm phân biệt: 5( x -1) dx Ví duï: Tính caùc tích phaân : ò x - x -6 Giaûi 5( x -1) 5x - A B A( x - 3) + B( x + 2) = + = ( x + 2)( x - 3) x - x - ( x + 2)( x - 3) x + x - A(x-3)+B(x+2)=5x-5 cho x=-2 A=3 cho x=3 B=2 vaäy ta coù: 2 5( x -1) dx 16 = ò x - x - ò ( x + + x - )dx = (3ln x + + ln x - ) = ln 27 1 Ñaët = Trường hợp mẫu số có nghiệm kép: Ví duï: Tính caùc tích phaân : ò CI: ò (2 x + 1)dx x2 - 4x + Giaûi 1 (2 x + 1)dx 2x - d ( x - x + 4) = ( + ) dx = + 5ò dx 2 2 ò ò x - 4x + x x + x x + x x + ( x 2) 0 ln 2 x +1 x +1 A B A( x - 2) + B = = + = Û A( x - 2) + B = x + CII: Ñaët 2 x - x + ( x - 2) x - ( x - 2) ( x - 2)2 A A 2 Ax -2A+B= 2A B B 4x =(ln x ) x 2 16 Lop12.net (17) ò Vaäy 1 x + 1dx 5 =ò [ + ]dx = (2ln x-2 ) ln 2 x - 4x + x - ( x - 2) x-2 0 Trường hợp mẫu số vô nghiệm: Ví duï: Tính caùc tích phaân :I= ò -1 0 -1 Giaûi: 2x + d ( x + x + 4) dx - ò dx = ò - 5J x + 2x + ( x + 1) + x2 + 2x + -1 I=ò Ta coù (2 x - 3)dx x2 + 2x + 2 d ( x + x + 4) ln ln ln = ln/x +2x+4/ x + 2x + ò 0 ò ( x + 1) Tính J= -1 dx +3 ; ) dx= 3(1 tg t )dt 2 Ñaët x+1= 3tgt (t Khi x= -1 thì t = ; x=0 thì t= Vaäy I= ln vaäy J= 3(1 tg2 t ) 36 dt 1dt (3 3tg2 t ) 0 ) 5( Bài tập đề nghị: Tính các tích phân sau: 1/I= 3 0 x 5x dx 2/I= 1 2x 3x 4 x 6 x dx 3/ I= 2 x 4 x dx Daïng 5: Tính tích phaân haøm voâ tæ: b Daïng1: R( x , n ax b )dx Ñaët t= n ax b a b Daïng 2: R( x , n a ax b )dx cx d Ví duï: Tính tích phaân I = Ñaët t= n ax b cx d xdx Ñaët t = x Đổi cận: t3= 1-x x= 1-t3 Giaûi dx= -3t2dt x=0 t=1; x=1 t=0 Vaäy I= 3t )dt t.( Bài tập đề nghị: 1 1/ x xdx 2/ t dt t4 Tính caùc tích phaân sau: 2 x dx 2 x Dạng 6: Tính tích phân số hàm lượng giác thường gặp Daïng: sin ax.cos bxdx , sin ax.sin bxdx , Phöông phaùp giaûi: 17 Lop12.net cos ax.cos bxdx (18) Dùng công thức biến đổi tích thành tổng để tách thành tổng hiệu các tích phân giải sin Daïng: xdx; n cosn xdx Phương pháp giải: Nếu n chẵn dùng công thức hạ bậc, n lẻ dùng công thức đổi biến Ví duï : sin n 1 cos 2n xdx sin n x sin xdx n Daïng: n 1 cos x xdx (cos x ) dx (1 cos2 x )n sin xdx Ñaët t =cosx dx R(sin x ).cos xdx Ñaëc bieät: sin 2n x.cos2 k 1 xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =sinx Daïng: R(cos x ).sin xdx Ñaëc bieät: sin n 1 x.cos2 k xdx Phöông phaùp giaûi: Ñaët t =cosx Các trường hợp còn lại đặt x=tgt Ví duï: Tính caùc tích phaân sau: a/ 2 sin 3x.cos x.dx b/ sin xdx c/ cos3 xdx d/ cos3 x sin xdx 0 Giaûi a/ 4 sin x cos x dx = s in2 x )dx 0 0 (sin x cos x ( cos x 2 )0 2 cos x dx 2 b/ sin xdx sin x 2 (x )0 2 2 0 c/I= cos3 xdx = cos2 x.cos x.dx (1 sin x ).cos x.dx ñaët u=sinx du = cosx dx x=0 u=0 ; x= vaäy: I= (1 u2 ).du u=1 (u 2 0 u3 ) 3 d/J= cos3 x sin xdx = cos2 x sin x.cos x.dx (1 sin x )sin x.cos x.dx ñaët u=sinx du = cosx dx x=0 u=0 ; x= Bài tập đề nghị: J= (1 u )u du u=1 1/ cos x.dx (u u ).du ( u3 Tính caùc tích phaân sau: 2 2/ sin x.cos x.dx 3 3/ sin x cos4 x.dx 4/ III/ Dieän tích hình phaúng: 18 Lop12.net dx sin x u5 ) 15 (19) 1/ Dạng toán1: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C) :y=f(x) b và các đường thẳng x= a; x=b; y= là : S f ( x ) dx a 2/ Dạng toán2: Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong và đường thẳng Công thức: Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) và y=g(x) có đồ thị (C’) liên tục trên đoạn [a;b] đó diện tích hình phẳng b giới hạn đường cong (C), (C’) và các đường thẳng x= a; x=b là : S f ( x ) g ( x ) dx a Phương pháp giải toán: B1: Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) và (C’) B2: Tính dieän tích hình phaúng caàn tìm: TH1: Nếu phương trình hoành độ giao điểm vô nghiệm (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: b S [ f ( x ) g ( x )]dx a TH2: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm là x1 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 b S f ( x) g ( x ) dx a b [ f ( x) g ( x )]dx [ f ( x) a g ( x )]dx x1 TH3: Nếu phương trình hoành độ giao điểm có các nghiệm là x1; x2 (a;b) Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là: x1 S f ( x) g ( x ) dx a x1 f ( x) x2 g ( x ) dx x2 f ( x) g ( x ) dx b Chú ý: * Nếu phương trình hoành độ giao điểm có nhiều nghiệm làm tương tự trường hợp * Dạng toán là trường hợp đặc biệt dạng toán đường cong g(x)=0 Ví duï 1ï: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sinx trên đoạn [0;2 ] và trục hoành Giaûi : Ta coù :sinx = coù nghieäm x= 0;2 vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S= 2 sin x dx sin xdx sin xdx = cos x cos x =4 Ví duï 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P1): y = x2 –2 x , và (P2) y= x2 + và các đường thẳng x = -1 ; x =2 Giaûi 2 phhđgđ : x –2 x = x + Û 2x +1= Û x = -1/2 Do đó : S= ò -1 = -1/ ò -1 ( x - x ) - ( x + 1) dx = (2 x + 1) dx + ò -1/ -1/ ò -1 [( x - x ) - ( x + 1)]dx + (2 x + 1) dx = ( x + x ) -1 ò -1/ [( x - x ) - ( x + 1)]dx 25 13 + ( x + x ) -1 = + = 4 Ví duï 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn (P): y2 = x , và đường thẳng (d): 2x+y-4 = Giaûi: Ta coù (P): y2 = x x = y2 4y vaø (d): 2x+y-4 = x= 19 Lop12.net (20) Phương trình tung độ giao điểm (P) và đường thẳng (d) là: y y2 y = y y Vaäy dieän tích hình phaúng caàn tìm laø: S= ( y )dy (2 4 y2 )dy y (2 y y2 y3 ) 12 4 Bài tập đề nghị: 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (P): y= x2 - 2x và trục hoành 2/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (H): y x 1 và các đường thẳng có phương trình x x=1, x=2 vaø y=0 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y= x4 - 4x2+5 và đường thẳng (d): y=5 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn (C): y = x3 –3 x , và y = x 2/ Dạng toán 3: Thể tích vật thể tròn xoay Thể tích vật thể tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn đường cong (C) có phương trình y= f(x) b và các đường thẳng x= a, x=b , y= quay vòng xung quanh trục ox là: V f ( x ) dx a Ví duï 1: Tính theå tích khoái caàu sinh quay hình troøn coù taâm O baùn kính R quay xung quanh truïc ox taïo Giải: Đường tròn tâm O bán kính R có phương trình :x2 + y2 = R2 y2= R2-x2 R R x3 Theå tích khoái caàu laø : V= R x dx = R x R = R 2 R R3 = R (ñvtt) 3 Ví dụ 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh truïc Ox: x = –1 ; x = ; y = ; y = x2–2x Giaûi: Theå tích cuûa vaät theå troøn xoay caàn tìm laø : S ( x 2 x )2 dx = ( x x ( x 4 x x )dx 18 x ) 1 = (ñvtt) Bài tập đề nghị: Tính thể tích vật thể tròn xoay, sinh hình phẳng giới hạn các đường sau nó quay xung quanh truïc Ox: a/ y = cosx ; y = ; x = ; x = b/ y = sin2x ;y=0 ;x=0;x= c/ y = Chủ đề VI: SỐ PHỨC Bài toán 1: Tìm số phức, tính môđun,… Cho hai số phức a+bi và c+di 1) a+bi = c+di a = c; b = d 2) môđun số phức z a bi a b2 3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a bi * z+ z = 2a; z z = z a b2 4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i 5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i 6) ) (a+bi )( c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i 7) z = c di [(ac+bd)+(ad-bc)i] a bi a b Bài toán 2: Giải phương trình bậc Cho phương trình ax2 + bx + c = với = b2 4ac Nếu = thì phương trình có nghiệp kép x1 x b 2a (nghiệm thực) 20 Lop12.net xe x ;y=0;x=0;x=1 (21)