Đề 2 thi khảo sát chất lượng lần 2 môn: Toán

Hai điểm A, B khác nhau và cố định trên đường thẳng d sao cho AB  117 .Khi C di động trên đường thẳng d’,tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABC.... a Chứng minh rằng hai đường [r]

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN TRƯỜNG THPT PHAN ĐÌNH PHÙNG Ngày thi 21/04/2010 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) CAÂU I: a Khảo sát,vẽ đồ thị (C) hàm số y x3 x b Tìm tất các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ đúng ba tiếp tuyến đồ thị (C) ,trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc CAÂU II:  a Tính tích phaân  cos x sin xdx  cos x cos xdx  b Chứng minh :  vaø tính  cos cos5 x sin x sin xdx x cos xdx CAÂU III:  x y a Giaûi heä phöông trình:  3  x y 126 b Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm: x x  x 12 m.log (2 x) CAÂU IV: a Giaûi phöông trình :1+cosx+cos2x+cos3x=0 b Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C là góc nhọn.Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = tgA.tgB.tgC CAÂU V:  x 1 3t 3y 2 x   Cho hai đường thẳng: d :  vaø d ' :  y 2 t z  y   z 1 2t  a Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo b Tính khoảng cách hai đường thẳng d và d’ c Hai điểm A, B khác và cố định trên đường thẳng d cho AB  117 Khi C di động trên đường thẳng d’,tìm giá trị nhỏ diện tích tam giác ABC ÑAP AN CAÂU I: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y  x3  x  TXÑ: D = R x x x( x 2)  y '  (C ) Lop12.net x   x    y '     y '' 6 x  y ''  BBT:  x  1  y   Ñieåm uoán I(-1, 2) Đồ thị: Cho x = -3, y = x = 1, y = b) Tìm điểm M trên Ox cho từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) đó có tiếp tuyến vuông goùc Gọi M(a,0)  Ox , đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là: y = k( x - a)  x3  x k ( x a ) (1)  (d) tieáp xuùc (C)   coù nghieäm 3 x 6 x k (2) Thay (2) vaøo (1): x3  3x 3x x( x a)  x3 3(a 1) x2 6ax  x 2 x2 3(a 1) x 6a   x   3(a 1) x 6a (3)  x2  Với x =  k =  tiếp tuyến là y = Lop12.net  Từ M kẻ tiếp tuyến đến (C) đó có tiếp tuyến vuông góc với  (3) coù nghieäm phaân bieät x , x  vaø k k  2  a  a         9(a  1)2  48a    2 (3 x1  x1 )(3 x2  x2 )  1 9( x1 x2 )  18 x1 x2 ( x1  x2 )  36 x1 x2  1  a  3  a   vaø a     81a  81a (a  1)  108a   ( vì x x = - 3a  3(a-1)  x +x = )  2  a  3  a   vaø a   a 27 -27a + = Vậy có điểm M ( , 0)  Ox thoả điều kiện bài toán 27 CAÂU II:  a) Tính I=  cos x sin xdx  Ta coù: I   cos3 x.sin x.dx Ñaët t  cos x dt sin x Đổi cận: x  t  x  t 1 1  t dt  t Suy ra: I  2 0 b) Chứng minh :  cos x cos xdx  cos5 x sin x sin xdx  Dùng phương pháp phần cho  cos6 x.co s x.dx Ñaët: u  cos6 x du cos5 x sin xdx dv  cos xdx , choïn v  sin x Suy ra: Lop12.net   1  cos x.co s x.dx  sin x cos x  0  cos5 x.sin x.sin x.dx   cos5 x.sin x.sin x.dx (ñpcm) Ta coù:  K   cos5 x.co s(6 x x).dx    cos5 x.(co s x cos x sin x.sin x).dx    cos6 x.co s x.dx 0 cos5 x.sin x.sin x.dx CAÂU III:  x  y  a) Giaûi heä phöông trình:  3  x  y  126 Ta coù: (2)  ( x  y )( x  y  xy )  126 (1) (2)  ( x  y ) ( x  y )2  xy   126    6(62  xy )  126  xy  5 (do (1))  x( x  6)  5 (do(1))  x2  x    x   y  5   x   y  1 x  Vaäy heä coù nghieäm    y  5 b) Tìm m để x x  x 12 x   Ñieàu kieän:  x  12 4 x  Với: x  m.log (2 x x    y  1 x ) coù nghieäm: 4 thì log (2 4 x ) Lop12.net x x  x 12 Do đó: bất phương trình  m log (2  x ) Ta coù:  y  x x x 12 laø haøm soá taêng vaø coù giaù trò döông treân [0,4] (vì y’= 0)  y  log (2 x ) laø haøm soá giaûm vaø coù giaù trò döông treân [0,4] (vì y’= 0) laø haøm soá taêng vaø coù giaù trò döông treân [0,4] log (2  x ) x x  x 12 Suy haøm soá f ( x)  taêng treân [0,4] log (2  x ) Do đó: bất phương trình có nghiệm: m f (0) y m CAÂU IV: a) Giaûi phöông trình :1 + cosx + cos2x + cos3x = Ta coù: phöông trình  (1 cos x) (cos x cos x)  cos x cos x.cos x  cos x(cos x cos x)  cos x(2 cos x cos x 1)     x 2 k cos x     (k )  x  k cos x    k 2 x cos x    b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = tgA tgB tgC Vì tam giaùc ABC nhoïn neân tgA, tgB, tgC > Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: tgA  tgB tgC 33 tgAtgBtgC (*) Do tgA + tgB + tgC = tgA tgB tgC nên từ (*) ta có: tgA.tgB.tgC  33 tgAtgBtgC  P  33 P P3 B C Maët khaùc A   thì P  3 Do đó Min P  3 CAÂU V: Lop12.net 2 x  y   d : y  z    x   3t  d ': y   t  z  1  2t  a) Chứng minh hai đường thẳng d và d’ chéo  d ñi qua A(2, 0, 4) coù VTCP a (3, 2, 2) d   d ñi qua B(1, 2, -1) coù VTCP a  (3,1, 2) d'    a , a ( 6, 0,9)  d d '   AB  ( 1, 2, 5)    Ta coù: a , a AB  45 39  d d '  d vaø d’ cheùo b) Tính khoảng cách hai đường thẳng d và d’ Gọi  là mặt phẳng chứa d và song song d’    a , a   Qua A(2, 0, 4) vaø n  ( 6, 0,9)   d d '  Phöông trình  :  6( x 2) 9( z 4)  x 3z  d ( , d ') d ( B, ) 13 Ta coù: d (d , d ')  49 c) Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa dieän tích tam giaùc ABC  Gọi h là khoảng cách từ C đến d thì h  13  Ta coù 1 S AB.h 117.h 117 13 ABC 2 39 S ABC 39 Vaäy SABC nhoû nhaát laø h là độ dài đoạn vuông góc chung d, d’  Lop12.net