Đang tải... (xem toàn văn)
Tam giác ACD vuông ở C, trong mpSAD gọi O là giao của đường thẳng vuông góc với SA tại trung điểm I của SA và đường thẳng vuông góc với AD tại trung điểm J của AD suy ra O là tâm mặt cầu[r]
(1)Së GD&®t H¦NG Y£N TR¦êng thpt minh ch©u ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN -KHỐI A+B Thời gian làm bài : 180 phút(không kể thời gian giao đề) I/PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm) x 1 2( x 1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm điểm M trên (C) cho tiếp tuyến với (C) M tạo với hai trục tọa độ tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = Câu I(2,0 điểm): Cho hàm số: y Câu II(2,0 điểm) Giải phương trình : cos x cos x sin(3 x x 6 y x y y 2.Giải hÖ phương trình : 2 3x 3x y x y Câu III(1,0 điểm) Tính tích phân I xdx ( x 1) x ) sin( x ) 3 (với x R ) Câu IV(1,0 điểm): Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông A, B Hai mặt phẳng (SAB), (SAD) cïng vuông góc với đáy Biết AB = 2a, SA = BC = a, CD 2a Tính thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SACD Câu V(1,0 điểm) Cho số thực x, y thỏa mãn : x y x y Tìm GTLN, GTNN F = 2(1 xy x y ) x y ( x y ) ( y x) 2 x y II/PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)Thí sinh làm hai phần (phần A phần B) A/Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2,0điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A , c¹nh BC n»m trên đường thẳng có phương trình x+2y-2= Đường cao kẻ từ B có phương trình: x-y+4=0, điểm M(-1;0) thuộc đường cao kẻ từ C Xác định toạ độ các đỉnh tam giác Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ®iÓm A(3;0;0), B(0;3;0), C(0;0;3) vµ H lµ h×nh chiÕu O lên mp(ABC) Gọi D là điểm đối xứng với H qua O Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chãp ABCD C©u VIIa: (1®iÓm) Gọi z1 ; z2 là các nghiệm phức phương trình: z z Tính: ( z1 1) 2011 ( z2 1) 2011 B/Theo chương trình Nâng cao: Câu VI b(2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(2;1) và AC = 2BD Điểm M (0; ) thuộc đường thẳng AB, điểm N(0;7) thuộc đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh B biết B có hoành độ dương x 1 t x y 1 z 1 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng : d1 : y t ; d : 2 z Viết phương trình mp(P) song song với d1 và d , cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d đến (P) log ( y x 8) Câu VII.b( 1,0điểm) Giải hệ phương trình: x x y x y 8 2.3 HẾT ! Thí sinh không sử dụng tài liệu.Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh:…………………………………………….Số báo danh:…………………… Lop12.net (2) Câu I (2,0đ) ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM ĐỀ THI KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM 2011 LẦN THỨ MÔN TOÁN - KHỐI A Nội Dung Điểm (1,0đ) TXĐ: D = R\ 1 Chiều biến thiên: y , , với x D ( x 1) 0,25 hàm số đồng biến trên khoảng : ; 1 và 1; Cực trị: hàm số không có cực trị Giới hạn, tiệm cận : 1 , lim y ; lim y , lim y x x ( 1) 2 x ( 1) x y là tiệm cận ngang; x 1 là tiệm cận đứng limy 0,25 Bảng biến thiên: x y 1 , y 0,25 2 Đồ thị: qua các điểm (0; ) ; (-2; ) Nhận giao điểm hai tiệm cận I(-1; ) làm tâm đối xứng y I -1 (1,0đ) O Lop12.net x 0,25 (3) 2.Gọi M( x0 ; x0 ) (C ) là điểm cần tìm 2( x0 1) 0,25 Gọi tiếp tuyến với (C) M ta có phương trình : y f ' ( x0 )( x x0 ) x0 x 1 y ( x x0 ) 2( x0 1) 2( x0 1) x0 1 x02 x0 ;0) x x0 B = oy B(0; ) Khi đó tạo với hai trục tọa độ OAB 2( x0 1) Gọi A = ox A( x02 x0 x02 x0 có trọng tâm là: G( ; 6( x0 1) Do G đường thẳng:4x + y = 4 4 x0 1 x02 x0 x02 x0 0 6( x0 1) (vì A, B O nên x02 x0 ) 1 x0 x0 x 1 x 2 2 0,25 3 2 0,25 )=0 0,25 Với x0 M ( ; ) ; với x0 M ( ; ) II (2,0đ) Ý1 0,25 (1,0đ) Pt cos4x + cos2x + sin(3x 2cos3x cosx + 2sin(2x- ) + sin(x- ) cosx = cos x cos x cos3 x sin(2 x ) cos3 x sin(2 x ) Với cosx = x = Với cos3x + sin(2x- 3 0,25 k ) = cos3x cos( x) 3 x x k 2 x k 2 k Z 3 x x k 2 x k 2 30 (1,0đ) 0,25 Lop12.net 0,25 (4) (1,0đ) Từ gt x 2; y 1 Vì x y 22 12 x y 1 x y 5( x y 1) Nên từ x y x y x y 5( x y 1) Đặt t = x + y , ta có: t 5(t 1) t 2 ( x y)2 t2 x y t 0; t 1;6 Xét f (t ) t , với t 1;6 , có f ' (t ) t t t t Min f (t ) f (1) ; Max f (t ) f (6) 18 t 1;6 t1;6 0,25 Khi đó: F = V (1,0đ) GTNN F là: GTLN F là: 18 x đạt tại: t y 1 0,25 0,25 0,25 x đạt :t= y x y z MÆt ph¼ng (ABC) theo ®o¹n ch¾n : x y z VIa Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mp(ABC).Phương trình d là: (1,0đ) x t y t H là hình chiếu O lên mp(ABC),suy toạ độ H là nghiệm 0,25 z t hÖ: x t y t H (1;1;1) z t x y z 0,25 D là điểm đối xứng với H qua O suy D(-1;-1;-1) Gọi (S) : x2+y2+z2+2ax+2by+2cz+d=0 là phương trình mặt cầu (a2+b2+c2- d> 0) V× A ( S ) ta cã 9+6a+d=0 V× B ( S ) ta cã 9+6b+d=0 V× C ( S ) ta cã 9+6c+d=0 V× D ( S ) ta cã 3-2a-2b-2c+d=0 0,25 Từ đó a=b=c= ;d=-6 VËy (S):x2+y2+z2-x-y-z-6= lµ PT mÆt cÇu cÇn t×m 0,25 z1 i z2 i 1,0đ Ta có: ' 1 i Khi đó: z1 1 VIIa 2011 z2 1 2011 1 i 2011 1 i Lop12.net 2011 0.25 0.25 (5) 1005 (1 i ) (1 i ) 1 i (1 i ) 1005 = 1 i 2i 1005 1 i 2i 1005 0.25 21005 i (1 i ) 21005 i (1 i ) 21005 i (1 i i ) 21006 2.(1,0đ) 0.25 Ta có : d1 qua điểm A(1 ; ; 1) và vtcp là : u1 1; 1;0 d qua điểm B (2; 1; -1) và vtcp là: u2 1; 2; Gọi n là vtpt mp(P), vì (P) song song với d1 và d nên n = [ u1 ; u2 ] = (-2 ; -2 ; -1) pt mp(P): 2x + 2y + z + m = d( d1 ;(P)) = d(A ; (P)) = 7m 5 m ; d( d ;( P)) = d( B;(P)) = vì d( d1 ;(P)) = d( d ;( P)) m m VIb2 (1,0đ) 0,25 0,25 m 3 7 m 2(5 m) m 17 m 2(5 m ) Với m = -3 mp(P) : 2x + 2y + z – = 17 17 Với m = - mp(P) : 2x + 2y + z - = 3 Pt đầu y – 2x + = 2 0,25 0,25 y 2x 0,25 vào pt thứ hai ta được: x VIIb (1,0đ) x 3x x 18 2 2 2.3 18 2.27 27 27 3 3 x x 2x 3x x x x x Đặt: t = , (đk t > ) , ta có pt: t t t 1 t t 3 x t 1 y 0,25 0,25 0,25 Lop12.net (6) x (1) 6 y x y y Câu II (1 điểm) Giải hÖ phương trình : 2 x x y x y (2) (với x R ) 3 x y 0, §K: 3x+ 3x y (*) y (1) 3x y (3 x y ) (3 x y ) y 3x y 3 (3) y y y t 1 3x y Phương trình (3) có dạng 2t2-t-3=0 t y y 3x y Với t=-1 ta có: =-1 3x y y y 3 x y y (3) §Æt t= 0.25 0.25 Thế (3) vào (2) ta y 4 x y 2y 5y 2y y y (L) y 3x y 3 Với t= 3x y y 2 y 2 3 x y y (4) 9 Thế (4) vào (2) ta y y y y (5) 2 2 Đặt u= y y ,u0 Ta có PT :2u2-2u-4=0 0.25 0.25 u 1 (L) u (t/m) Với u=2 ta có 8 y x (t/m) 9 y y y y y 10 y 16 9 4 y 2 (L) 8 KL HPT đã cho có cặp nghiệm (4;-4) , ( ; ) 9 3y t C2 PT 2(3x y ) y 3x y y 0, t= 3x y t y B là giao điểm đường cao qua B A I M(-1;0) VIa.1(1 điểm) N và đt BC nên toạ độ điểm B là nghiệm 0.25 x y B(2; 2) 0.25 x y hệ H B E x+2y-2=0 C Lop12.net (7) Qua M kẻ đt song song với BC cắt đường cao kẻ từ B N.Gọi I là giao điểm MN với đường cao kẻ từ A thì I là TĐ MN.Đt MN //BC nên PT đt MN:x+2y+m=0.ĐiểmM(-1;0) MN (1) 2.0 m m ( MN ) : x y N là giao điểm đường cao qua B và đt MN nên toạ độ điểm N là nghiệm x y N (3;1) I (2; ) x y hệ 0.25 Gọi E là TĐ BC Do tam giác ABC cân A nên IE là trung trực BC mà BC : x+2y-2=0 IE : x y m Điểm I BC 2.2 m m ( IE ) :4x-2y+9=0 0.25 E là giao điểm đường cao IE và đt BC nên toạ độ điểm E là nghiệm x y 17 E ( ; ) C ( ; ) 10 5 4 x y hệ CA qua C và vuông góc với BN mà BN x-y+4=0 suy (AC):x+y+m=0 7 3 C ( ; ) AC m m Suy (AC):x+y- =0 5 5 5 A là giao điểm đường cao IE và đt AC nên toạ độ điểm A là nghiệm 4 x y 13 19 A( ; ) hệ 10 10 x y 0.25 Gọi N’ là điểm đối xứng N B M qua I thì N’ thuộc AB, ta có : N' A D x N ' xI x N yN ' yI yN 5 C I 0.25 N Phương trình đường thẳng AB: VIb.-1 (1 điểm) 4x + 3y – = 0.25 Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB: d 4.2 3.1 42 32 2 AC = BD nên AI = BI, đặt BI = x, AI = 2x tam giác vuông ABI có: 1 suy x = d x 4x suy BI = Lop12.net 0.25 (8) Điểm B là giao điểm đường thẳng 4x + 3y – = với đường tròn tâm I bán kính 4x 3y – Tọa độ B là nghiệm hệ: 0.25 2 ( x 2) ( y 1) B có hoành độ dương nên B( 1; -1) S // O I \\ R A a // \\ E 2a J 4a D 2a B a C IV (1 điểm) Qua C kÎ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AD t¹i E suy tø gi¸c ABCE lµ HCN nªn AE =a vµ CED vu«ng t¹i E Theo Pitago cã DE CD CE 20a 4a 16a DE 4a AD là đáy lớn hình thangn AE =a+4a=5a ( BC AD) AB (a 5a ).2a 6a (®vdt) 2 ThÓ tÝch h×nh chãp S.ABCD lµ : V= SA.S ( ABCD) 2a 0.25 DiÖn tÝch h×nh thang ABCD lµ S= Tam giác ACD vuông C, mp(SAD) gọi O là giao đường thẳng vuông góc với SA trung điểm I SA và đường thẳng vuông góc với AD trung điểm J AD suy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACD (O lµ trung ®iÓm cña SD) Tính được: R OA OI AI a 26 Nếu thí sinh làm theo các cách khác đúng, cho điểm tối đa Hết Lop12.net 0.25 0.25 0.25 (9)