Bài giảng cơ học đại cương

Khi baïnh xe làn khäng træåüt trãn màût âáút, taûi thåìi âiãøm t âang xeït, âiãøm I R cuía baïnh xe tiãúp xuïc våïi màût âáút coï váûn täúc bàòng khäng ⇒ Khi baïnh xe làn khäng træåü[r]

Đại học đà nẵng

Tr−ờng đại học Bách KHOA

khoa s− ph¹m kü thuËt -ả Ã -

bài giảng

c hc đại c−ơng - Mécanique générale (CƠ Học vật rắn – dao động sóng cơ)

dùng cho sinh viên ch−ơng trình đào tạo kỹ s− chất l−ợng cao

(LƯU HàNH NộI Bộ)

Biên soạn :

PHẦN I :

Chương ôn tập:

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VAÌ ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA ĐỘNG HỌC V ĐỘNG LỰC HỌC HỆ CHẤT

§1 Hợp vận tốc - Hợp gia tốc :

Xét hệ quy chiếu (R2) chuyển động tương đối so với hệ quy chiếu (R1) Gọi (O e1;G G Gx1,ey1,ez1) (O e2;Gx2,eGy2,eGz2) hai hệ tọa độ Descartes gắn liền với (R1) (R2)

ez2

1) Chuyển động tương đối hai hệ quy chiếu : a) Véctơ quay :

Vectơ quay ΩGR2 / 1R hệ quy chiếu (R2) hệ quy chiếu (R1) :

R2/R1 x2.ex2 y2.ey2 z2

ΩG = Ω G + Ω G + Ω eGz với :

2

2

/

( ) y

x z R de t e dt ⎛ ⎞ Ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G

Suy :

2

2 / /

x

R R x

R de e dt ⎛ ⎞ = Ω × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G G O2 ey2 ex2 ey1 ez1 (R)

2 (R )

O1

ex1

2

2

/

( ) z

y x R de t e dt ⎛ ⎞ Ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G

2 / 1 2

/ y

R R y

R de e dt ⎛ ⎞ = Ω × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G G 2 /

( ) x

z y R de t e dt ⎛ ⎞ Ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G

2 / /

z

R R z

R de e dt ⎛ ⎞ = Ω × ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G G G

Vectơ đặc trưng cho chuyển động quay hệ (R2) hệ (R1) gọi vectơ quay kéo theo

2 / R R

ΩG

b) Trường hợp G (R2) chuyển động tịnh tiến tương đối so với (R1) : Ta có : ΩR2 / 1R =0

⇒ / x R de dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G

; / y R de dt ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ; ⎝ ⎠ G / z R de dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ G O1 z1 y1

(R)

z2

x2 O2

2 (R )

x1

⇒ Các véctơ vectơ gắn liền với hệ quy chiếu (R2) không đổi hệ quy chiếu (R1)

2, 2,

x y z

eG eG eG2

Vận tốc

2 /

/ ( ) R

R d O O

v O đặc trưng cho chuyển động tịnh tiến hệ (R2) so với hệ (R1) dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JJJJJG G

b) Trường hợp hệ (R2) quay tương đối xung quanh trục cố định hệ (R1): Giả sử hệ quy chiếu (R2) quay xung quanh trục cố định (O1z1)

của hệ quy chiếu (R1) giả sử O1 = O2, hai trục (O1z1) (O2z2) trùng

z1= z2

x1

O1 = O2

y1

θ θ

2 R / R1

ΩG

x2 Vectơ quay hệ quy chiếu (R2) hệ quy chiếu (R1) :

R2/R1 θ.ez1

ΩG = G

)

Trong âoï : θ =(OJJJG JJJGx1,Ox2)=(OJJJG JJJGy1,Oy2 y2

b) Trường hợp tổng quát :

Trong trường hợp tổng quát, chuyển động tương đối hệ (R2) so với hệ (R1) xem hợp hai chuyển động :

• Chuyển động tịnh tiếnvới vận tốc : 2 /

/ ( ) R

R d O O v O dt ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ JJJJJG G

• Chuyển động quay với vectơ quay ΩGR2/R1 có phương chiều thay đổi theo thời gian 2) Đạo hàm vectơ hệ G (R1) và hệ (R2):

Xét véctơ U t( ) phụ thuộc vào thời gian t mô tả sở (eGx2,eGy2,eGz2) hệ (R2) sau : U tG( )=Ux2.eGx2 +Uy2.eGy2 +Uz2.eGz2

G

Đạo hàm U t( ) hệ (R2) : 2 2 /

y

x z

2

x y z

R

dU

dU dU dU

e e

dt dt dt dt

⎛ ⎞

= + +

⎜ ⎟

⎝ ⎠ e

G

G G G

Đạo hàm U t( ) hệ (R1) : G

2 /

/ /

R R R R dU dU U dt dt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + Ω × ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ G G G G

3) Hợp vận tốc :

Xét hệ quy chiếu (R2) chuyển động tương đối so với hệ quy chiếu (R ) Xét điểm M chuyển động với vận tốc

1

/ ( ) R

v MG hệ quy chiếu (R2):

2

2 /

/ ( ) R

R d O M v M dt ⎛ ⎞ = ⎜⎝ ⎟⎠ JJJJJG G

chuyển động với

vận tốc v MG( )/ 1R hệ quy chiếu (R1) :

1

1 /

/ ( ) R

R d O M v M dt ⎛ ⎞ = ⎜⎝ ⎟⎠ JJJJJG G

Định lý hợp vận tốc : v MG( )/ 1R =v MGe( )+v MG( )/ 2R Trong : v Me( )=v O( 2)/ 1R + ΩR2 / 1R ×O M2

JJJJJG G

G G

; 1

1 2 /

/ ( ) R

R d O O v O dt ⎛ ⎞ = ⎜⎝ ⎟⎠ JJJJJG G ( ) e

Vận tốc theo điểm M, thời điểm xét, vận tốc hệ (R1) điểm M* gắn liền với hệ (R2) thời điểm xét M* trùng với điểm M M* gọi trùng điểm

của M thời điểm nói : ( )

e v MG

/ ( ) ( *)

e R

v MG =v MG

4) Hợp gia tốc :

Xét hệ quy chiếu (R2) chuyển động tương đối so với hệ quy chiếu (R1) Xét điểm M chuyển động hệ quy chiếu (R2) với gia tốc a M( )/R2

G

hệ quy chiếu (R1) với gia tốc /

( ) R

a MG

Định lý hợp gia tốc : a MG( )/ 1R =a MGe( )+a MGC( )+a MG( )/ 2R

Trong âoï : /

2 2 / /

/

( ) ( ) R R (

e R R R R R

R d

a M a O O M O M

dt

⎛ Ω ⎞

= +⎜ ⎟ × + Ω × Ω ×

⎝ ⎠ )

G JJJJJG JJJJJG

G G

G G

( )

e

a MG gọi gia tốc theo điểm M

Gia tốc theo điểm M, thời điểm xét, gia tốc hệ (R1) trùng điểm M* điểm M thời điểm nói : a M

( )

e a MG

/ ( ) ( *)

e =a M R

G G

R

Vaì : aGC(M)= Ω2GR2 / 1R ×v MG( )/ 2 ( )

C

aG M gọi gia tốc Coriolis của điểm M

5) Các trường hợp chuyển động đặc biệt (R2) (R1):

a) Hệ (R2) chuyển động tịnh tiến hệ G (R1) :

y2

y1

O1 = O2

θ

θ

R2/R1 ΩG

H M = M*

x2

z1= z

Ta coï : ΩR2/ 1R =0

2 / ( ) ( )

e R

v MG =v OG Do âoï :

2 / ( ) ( )

e R

a MG =a OG

( )

C a MG =

b) Hệ (R2) quay quanh trục cố định (R1) :

Giả sử hệ quy chiếu (R2) quay xung quanh trục cố định (O1z1) hệ quy chiếu (R1) giả sử O1 = O2, hai trục (O1z1) (O2z2) trùng

x1

Vectơ quay hệ quy chiếu (R2) hệ quy chiếu (R1) : ΩGR2/R1 =θ.eGz1

Trong trường hợp này, ta có :

2 / ( ) R

v OG = (do O2 cố định R1)

1

( )

e z

v M =θ e ×HM

JJJJG

G G

2 / ( ) R

a OG = (do O2 cố định R1)

2

( )

e z

a MG =θeG ×HMJJJJG−θ JJJJGHM

Trong : H hình chiếu M trục quay Oz1 = Oz2

§2 Khốí lượng khối tâm hệ chất - Hệ quy chiếu khối tâm : 2) Khối lượng hệ :

(dV) M

(V)

• Xét hệ chất (S) gồm n chất điểm Mi khối lượng mi Khối lượng m hệ (S) :

i i

m=∑m

• Nếu hệ (S) tập hợp vô hạn chất điểm phân bố liên tục thể tích V, khối lượng m hệ: ( ).

V

m=∫∫∫ρ M dV

Với : ρ(Μ) khối lượng riêng phân tố thể tích dV hệ bao quanh điểm M (khối lượng phân tố dV: dm=ρ(M dV) )

• Hệ gọi đồng nhất khối lượng riêng ρ = số không phụ thuộc vào điểm M 2) Khối tâm (Quán tâm) :

Xét hệ kín (S) (khơng trao đổi chất với mơi trường ngồi bao quanh hệ) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi Gọi O điểm

Khối tâm G hệ (S) xác định : JJJJ JJJ

i

i

m OG=∑m OMi JG K

với :

i i

m=∑m

Nếu chọn O G: O≡G : i i i

m GM =

∑ JJJJJG

Ghi chụ :

•

2

G G

JJJK

Giả sử hệ (S) bao gồm từ hai hệ (S1) (S2) có khối tâm G1 G2, có khối lượng m1 m2, khối tâm chung G hệ (S) xác định : JJJJ JJJJ

1 1

(m +m ).OG =m OG +m OG

• Khi hệ đồng có phần tử đối xứng (mặt đối xứng, trục đối xứng ), khối tâm G hệ nằm phần tử đối xứng

3) Hệ quy chiếu khối tâm:

Chuyển động hệ chất (S) nghiên cứu hệ quy chiếu (R)

Hệ quy chiếu khối tâm (R*), tương ứng với hệ quy chiếu (R), hệ quy chiếu gắn liền với khối tâm G hệ chất (S) chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu (R) với vận tốc v G( )/R

G

O z

y (R)

y z

x

G (R*)

x Khi đó, theo định lý hợp vận tốc hợp gia tốc, ta có:

/ /

( ) R ( ) R ( ) *

v MG =v GG +v MG

với :v MG( )*=v MG( )/ *R

/ /

( ) R ( ) R ( )

a MG =a GG +a MG * với : a MG( )*=a MG( )/ *R Chứng minh:

Do hệ (R*) chuyển động tịnh tiến hệ (R), nên: /

( ) ( )

e R

Thế mà: v MG( )/R=v MGe( )+v MG( )/R*

⇒ v MG( )/R =v GG ( )/R +v MG( ) *

Vaì : a MG( )/R =a MGe( )+a MGC( )+a MG( )/R* ⇒ a MG( )/R =a GG( )/R +a MG( ) *

§3 Động lượng momen động lượng hệ chất: 1) Động lượng :

a) Âënh nghéa :

Xét hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi , có vận tốc vGi hệ quy chiếu (R) Động lượng PG hệ (S) hệ quy chiếu (R) :

i i i PG=∑m vG Cũng viết:

( ) i

i i i

i i

d OM d d

P m m OM mOG

dt dt dt

⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟=

⎝ ⎠

∑ ∑

JJJJJG

JJJJJG JJJG G

⇒ P mv GG= ( )G với :

i i

m=∑m

b) Động lượng hệ quy chiếu khối tâm (R*) :

Trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), khối tâm G điểm cố định Vận tốc khối tâm G hệ quy chiếu khối tâm (R*) :

⇒

( )*

v GG = ⇒ Động lượng P*

G

hệ (S) hệ quy chiếu khối tâm (R*) : PG*=m v G ( )*G =0

2) Momen động lượng : a) Định nghĩa :

Xét hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi, có vận tốc vGi hệ quy chiếu (R) Momen động lượng LG0 hệ (S) điểm O hệ quy chiếu (R) :

0 i i

i

L =∑OM ×m

JJJJJG

G G

i v

b) Định lý Koenig momen động lượng :

• Momen động lượng LG0 hệ (S) điểm O hệ quy chiếu (R) :

0 ( ) G*

L =OG×mv G +L

JJJG

G G G

với : : Momen động lượng hệ (S) điểm G hệ quy chiếu (R*); G khối tâm hệ; : Vận tốc khối tâm G hệ quy chiếu (R)

* G LG

( )

v GG

• Suy ra, momen động lượng LGG hệ (S) khối tâm G hệ quy chiếu (R) :

( ) *

G G

L =GG×mv G + L

JJJG

G G G

⇒ LGG =LGG* 3) Mômen động lượng khối tâm:

Thật vậy, gọi A điểm bất kỳ, LGA* momen động lượng hệ (S) điểm A hệ quy chiếu (R*), vGi* vận tốc điểm Mi hệ quy chiếu khối tâm (R*), ta có:

( ) ( ) ( )

* * *

*

A i i i i i i i i i i i

i i i i

L =∑AM ×m v =∑ AG+GM ×m v = AG×∑ m v +∑ GM ×m v

JJJJJG JJJG JJJJJG JJJG JJJJJG

G G G G

* G

Bởi vì: ( )*

* i i

i

PG =∑ m vG =0 Suy ra: LGA*=LGG* 4) Momen động lượng trục :

Hình chiếu momen động lượng LG0 hệ chất (S) điểm O, trục ∆ qua O gọi là momen động lượng hệ (S) trục ∆

0

L∆ =L eG G∆ với : eG∆ véctơ đơn vị trục ∆ §4 Tổng động lực mơmen động lực hệ chất :

1) Tổng động lực:

Xét hệ (S) gồm n chất điểm Mi có khối lượng mi , có gia tốc aGi hệ quy chiếu (R)

•Tổng động lực SG hệ (S) hệ quy chiếu (R): i i

i

SG=∑maG Tương tự động lượng, ta có: •

( )

SG=ma GG với : i i

m=∑m

Chứng minh: i ( ) ( )

i i i G

i i

dv d d

S m m v mv ma G

dt dt dt

⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟= =

⎝ ⎠

∑ G ∑

G G G G

• Giữa tổng động lựcS động lượng

G

PG có hệ thức: S dP dt

=

G G 2) Momen âäüng lỉûc:

• Momen động lựcDGO hệ (S) điểm O hệ quy chiếu (R): i

O i

i

i

D =∑OM ×ma

JJJJJG

G G

• Tương tự momen động lượng, có định lý Koenig momen động lực: *

( )

O G

D =OG ma G× +D

JJJG

G G G

*

G

DG : momen động lực hệ (S) khối tâm G hệ quy chiếu khối tâm (R*); G khối tâm hệ, a GG( ) gia tốc khối tâm G hệ quy chiếu (R)

• Suy momen động lựcDGG hệ chất (S) khối tâm G hệ quy chiếu (R) :

( ) *

G G

D =GG×ma G + D

JJJG

G G G

*

G G

D =D

⇒ G G

Tương tự momen động lượng, momen động lực hệ quy chiếu khối tâm (R*) không phụ thuộc vào điểm tính tốn Nếu gọi A điểm bất kỳ, ta có:

•

* *

A G

DG =DG

Giữa • DGO LGO ta có hệ thức: O v( ) v( ) O

dL

D O m

dt = − ×

G

G

Nếu O điểm cố định (R) hay O≡G thì: O O dL

D dt =

G G Chứng minh:

( ( ))

O

i i i i i i i i i

i i i

dL d

OM m v v v O m v OM m a

dt dt

⎛ ⎞

= ⎜ × ⎟= − × + ×

⎝∑ ⎠ ∑ ∑

JJJJJG G G G G JJJJJG G

G Ta cọ:

Thế mà: vG Gi× =vi i i ( ), nên : i

m v =mv G

∑ G G ( ) ( )

O dL

D v O mv G

dt = − ×

G

G G G

Nếu O cố định R hay O≡G, số hạng thứ hai vế phải 0, và: dLO D0 dt =

G G §5 Động hệ chất :

1) Âënh nghéa :

Động hệ (S) gồm n chất điểm Mi, có khối lượng mi chuyển động với vận tốc hệ quy chiếu (R) :

i

vG

1 K

i

i i

E =∑ m v

2) Định lý Koenig động :

Động hệ (S) hệ quy chiếu (R) :

( ) *

2

K K

E = mv G +E với :

i i

m=∑m

Với : EK * : Động hệ (S) hệ quy chiếu khối tâm (R*) Chứng minh:

( )2

2 * * *

1 1

( ) ) ( ) ( )

2 2

K i i i i k i i

i i i

E =∑ m v =∑ m v GG +vG = mv GG +E + v GG ∑ m vG

=

Ta coï:

Thế mà: * , nên:

* i i

i

PG =∑m vG ( )2 *

2

K K

E = mv G +E

§6 Một số định lý động lực học hệ chất : 1) Định lý tổng động lực (hay định lý động lượng) :

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), tổng động lựcSG hệ chất khép kín (S) tổng tất ngoại lực tác dụng lên hệ:

ext

FG ext

SG=FG

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), đạo hàm theo thời gian tổng động lượng hệ chất khép kín (S) tổng tất ngoại lực tác dụng lên hệ :

PG ext

FG dP ext

F dt =

G G

Như ta có: dP S ma G( ) Fext

dt = = =

G

G G G

2) Định lý momen động lực (hay định lý momen động lượng):

• Trong hệ quy chiếu Galilée (Rg), đạo hàm theo thời gian momen động lựợngLGO hệ chất (S) khép kín điểm O cố định (Rg) momen MGO(FGext) điểm O tổng FGext tất ngoại lực tác dụng lên hệ: O ( ext

O O

dL

D M F

dt = = )

G

G G G

(Với O điểm cố định (Rg))

Thật vậy, ta có: O v( ) v( )

O dL

D O m G

dt = − ×

G

G G G

với O điểm Khi O điểm cố định Rg, ta có:v( )G O =0, đó: O

O dL

D dt =

G G

Từ suy ra: O ( ext)

O O

dL

D M F

dt = =

G

G G G

Ghi chuï:

• Trường hợp O khơng phải điểm cố định (Rg), O trùng với điểm G, ta có: , đó:

v( )G O ×m Gv( )G =0 G

G dL

D dt

⎛ ⎞

=

⎜ ⎟

⎝ ⎠

G G

Định lý momen động lượng nghiệm đúng:

⇒ ( ext

G

G G

dL

)

D M F

dt

⎛ ⎞

= =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

G

G G G

(mặt dầu G không cố định hệ (Rg))

• Do DGG=DGG* LGG =LG*G với LGG: momen động lượng hệ (S) điểm G hệ quy chiếu (Rg), LG*G : momen động lượng hệ (S) hệ quy chiếu (R*)

Mặc khác, (R*) chuyển động tịnh tiến (Rg), nên :

*

* *

G G

Rg R

dL dL

dt dt

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G

Suy ra:

* *

* ( ext

G

G G

R dL

)

D M F

dt

⎛ ⎞

= =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

G

G G G

Như định lý momen động lượng vận dụng cho điểm G hệ quy chiếu khối tâm (R*) (mặc dầu hệ quy chiếu (R*) khơng phải hệ quy chiếu Galilée)

3) Định lý momen động lượng trục cố định:

Trong hệ quy chiếu Galilée Rg, đạo hàm theo thời gian momen động lượng L∆ hệ chất (S) khép kín trục ∆ cố định (Rg) momen M F∆( ext)

G

trục ∆ tổng FGext tất ngoại lực tác dụng lên hệ:

( ext) dL

M F dt

∆ ∆

= G

• Thật vậy, chiếu định lý momen động lượng điểm O cố định trục ∆ hệ (S):

( ext

O O dL

)

M F dt =

G

G G

lãn truûc ∆, suy ra: dL M F( ext)

dt

∆ ∆

= G

4) Định lý động :

Xét hệ (S) khép kín gồm n chất điểm M có khối lượng mi i GọiFGie ngoại lực nội lực tác dụng lên chất điểm thứ i hệ (S)

i i FG i

vG vận tốc (Rg) chất điểm thứ i Gọi EK động hệ (S) (Rg)

Ta coï : K i. e.

i i i i

i i

dE

F v F

dt =∑ +∑

G G G G

v

int

Độ biến thiến động ∆EK hệ chất khép kín hệ quy chiếu Galilée (Rg) khoảng thời gian (t0,t) tổng công tất ngoại lực nội lực sinh chuyển dời tương ứng với khoảng thời gian đó:

•

0

( , ) ( ) ( )

K k k ext

E t t E t E t W W

∆ = − = +

Với: công ngoại lực, công tất nội lực úng với chuyển dời nói

ext

Chæång :

CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN

§1 Vật rắn học : 1) Khái niệm vật rắn :

Trong học, vật rắn vật thể không biến dạng : Khoảng cách giữa hai điểm vật rắn không đổi theo thời gian

Khái niệm vật thể khơng biến dạng mơ hình Vì vậy, tờ giấy mỏng trượt mặt bàn không bị biến dạng xem vật rắn Trong dầm kim loại đặt hai gối tựa chịu lực

JG

F lớn,

sẽ bị biến dạng nhiều qúa trình chịu lực ⇒ trường hợp này, coi dầm vật rắn

FG gối tựa

dầm kim loại Hình

2) Hệ quy chiếu gắn liền với vật rắn :

(R)

S (R ) z

x O

Hỗnh zS

OS

yS

xS ( )S

O z

y (R)

(RS)

xs e

G

β α

γ

x

M zS

xS C

y = yS

⊕

θ

xs e G Xét vật rắn (S) có dạng hình vành trịn,

tâm C, chuyển động mặt phẳng thẳng đứng mặt đất nằm ngang, hệ quy chiếu trái đất R O e e e( ; ; ; )G G Gx y z Điểm C, tâm vành tròn, xem điểm thuộc vật rắn, mặc đầu C khơng có vật chất, vành trịn chuyển động, điểm C chuyển động với vành tròn Tổng quát hơn, điểm khơng gian (mặc dầu khơng có vật chất), liên kết chặt chẽ với (S) chuyển động với (S) xem điểm thuộc vật rắn (S)

Như nếu gắn cứng trên vật rắn (S) hệ quy chiếu ( ; ; ; )

S S S

S x y z

R C eG G Ge e (1) liên kết chặt chẽ với vật rắn chuyển động với vật rắn Khi đó, chuyển động vật rắn (S) hệ quy chiếu (R) xem tương đương với chuyển động hệ quy chiếu (RS) so với hệ quy chiếu (R)

Hình 3) Thông số cần thiết để mô tả chuyển động vật rắn :

• Đối với hệ chất điểm (S) gồm n chất điểm Mi Để mô tả chuyển động hệ (S) hệ quy chiếu(R), cần phải biết 3n thông số (với chất điểm cần biết ba tọa độ x, y, z nó)

1

Các hệ toạ độ ( ;O ex;ey;ex ) hệ tọa độ De scartes G G G

( ; ; ; )

S S S

• Tuy nhiên, để mơ tả chuyển động vật rắn (S) hệ quy chiếu (R), cần biết nhiều nhất thông số, nhằm mô tả chuyển động hệ quy chiếu (RS)gắn liền với vật rắn hệ quy chiếu (R):

+ Ba thơng số để xác định vị trí gốc hệ quy chiếu (RS) hệ quy chiếu (R) : ba tọa độ xOS, yOS, zOS điểm OS hệ (R)

S O

+ Ba thông số (ba góc) để xác định phương chiều vectơ đơn vị

S

x

eG hệ (RS) hệ (R):

α, β, γ

• Trong trường hợp chuyển động vật rắn dẫn hướng số ràng buộc, số thông số cần thiết để mô tả chuyển động vật rắn < Ví dụ, vành trịn chuyển động mặt phẳng thẳng đứng tiếp xúc với mặt đất nằm ngang cần hai thông số để mô tả chuyển động vật rắn hệ quy chiếu (R) (Hình 2):

⇒

+ Hồnh độ x tâm C vành tròn hệ (R) + Góc θ xác định phương chiều véctơ đơn vị

S

x

eG hệ (RS) (R) §2 Trường vận tốc :

1) Quan hệ vận tốc gia tốc :

Xét vật rắn (S) chuyển động hệ quy chiếu (R) Gọi (RS) hệ quy chiếu gắn liền với vật rắn (S) có gốc P, với P điểm cố định (S) @ Gọi vận tốc điểm M thuộc vật rắn (S) hệ quy chiếu (R) Áp dụng định lý hợp vận tốc :

/ ( ) R v MK

/ /

( ) ( ) ( )

S

R e R

v MK =v MK +v MK

với : v MKe( ) : vận tốc theo điểm M

: vận tốc điểm M hệ quy chiếu (RS) (Điểm M cố định hệ quy chiếu (RS) :

/ ( )

S

R v MK

/

( )

S

R

v MK = )

Hỗnh

y O

z

P ° M ( )S

(R)

( S) zS

R

xS

yS

x

Gọi véctơ quay tức thời vật rắn (S) hệ quy chiếu (R) (véctơ quay hệ quy chiếu (RS) hệ quy chiếu (R))

/

S

R R

ΩK

⇒ v M( )/R =v Me( )=v P( )/R + ΩRS/R×PM JJJJK K

K K K

Viết gọn lại, ta có : v MK( )=v PK( )+ Ω ×K PMJJJJK (1) Như vậy, biết vận tốc điểm P vectơ quay tức thời ΩK vật rắn (S) ⇒ xác định vận tốc điểm M thuộc vật rắn (S) theo biểu thức (1)

@ Tương tự, gọi gia tốc điểm M thuộc vật rắn (S) hệ quy chiếu (R) Áp dụng định lý hợp gia tốc :

/ ( ) R a MG

/ /

( ) ( ) ( ) ( )

S

R e C

a MG =a MG +aG M +a MG R với : a MGe( ) gia tốc theo điểm M :

/

/ /

( ) ( ) S ( )

S S

R R

e R R R R R

d

a M a P PM PM

dt

Ω

= + × + Ω × Ω ×

G

JJJJG G G J GJJJ

G G

( ) / ( )/

S

C R R Rs

a MG = ΩG ×v MG = v MG( )/Rs=0

: gia tốc điểm M hệ quy chiếu (RS) (Điểm M cố định hệ quy chiếu (RS) : )

/ ( )

S

R a MG

/

( )

S

R a MG =

Viết gọn lại, ta có : a M( ) a P( ) d PM ( PM) dt

Ω

= + × + Ω × Ω ×

G

JJJJG G G J GJJJ

G G

(2) Như vậy, biết gia tốc điểm P, vectơ quay tức thời ΩK (cịn gọi vectơ vận tốc góc tức thời) vectơ gia tốc góc tức thời d

dt

ΩG

vật rắn (S) hệ quy chiếu (R) ⇒ xác định gia tốc điểm M thuộc vật rắn (S) theo biu

thc (2)

Hỗnh y

z

(R)

( )S

O 2) Các trường hợp đơn giản :

a) Vật rắn (S) chuyển động tịnh tiến :

Nếu vật rắn chuyển động tịnh tiến (R)S ⇒ Ω =K 0

⇒ v MK( )=v PK( )=v tK( )

Vận tốc điểm M vật rắn thời điểm t cho trước

( ) ( ) dv (

a M a P a t

dt

= = =

Tương tự cho gia tốc : )

K

G K K

x

O z = zS

y ( )R

Hỗnh xS

yS M

°

(RS)

ΩG

z eG

z

θ

r eG

eGθ

θ

r

H

x b) Vật rắn (S) quay xung quanh trục Oz cố định trong (R):

Xét vật rắn (S) quay xung quanh trục Oz cố định hệ quy chiếu R O e e e( ; ; ; )G G Gx y z Gắn cứng với vật rắn hệ quy chiếu R O xS( ; S,y zS, S)như hình với Oz = OzS Gọi θ góc quay vật rắn (S) quanh trục Oz (góc quay hệ quy chiếu (RS) xung quanh trục Oz hệ quy chiếu (R))

Véctơ quay vật rắn (S) (R): Ω =K θ( ).t eJJKz

Mỗi điểm M vật rắn vạch nên quỹ đạo hình trịn, có trục Oz Trong hệ tọa độ trụ, vị trí M xác định : JJJJ

r OM =r e +z ez

G G G

(r z không phụ thuộc vào t) @ Vận tốc điểm M (R) :

/

( ) ( )

R d OM

v M v O OM OM HM

dt

⎛ ⎞

=⎜ ⎟ = + Ω× = Ω× = Ω×

⎝ ⎠

JJJJG

JJJJK JJJJK JJJJK

K K K

G K

(2)

⇒ v MK( )=r .θeJJKθ

Vectơ v MK( ) vng góc với HM hướng theo chiều chuyển động (S) hệ quy chiếu R

2

@ Gia tốc điểm M (R) :

/ / /

( ( )) ( )

( )

R R R

d v M d r e de

a M r r e

dt dt dt

θ θ

θ

θ θ θ

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G

K JJK

G

với :

/ / S

z r

R R

de de

e e e e

dt dt

θ θ

θ θ θ θ θe

⎛ ⎞ =⎛ ⎞ + Ω × = Ω × = × = −

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

G G G G G G G G

G (3)

⇒

/ ( ( ))

( ) r

R d v M

a M r e r e

dt θ θ θ

⎛ ⎞

=⎜ ⎟ = − +

⎝ ⎠

K JK JK

G J

@ Ghi : Gia tốc điểm M phân thành hai thành phần : Thành phần hướng từ M H (gọi gia tốc hướng tâm) thành phần

( )

a MG

2

( )

n

a MG = −rθ eJKr a MGt( )=r .θJJKeθ

vng góc với HM (gia tốc tiếp tuyến)

3) Vật rắn quay xung quanh trục có phương khơng đổi (R): a) Ví dụ : Chuyển động truyền :

Xét cấu tay quay- trượt hình 7ỵ, dùng để biến chuyển động quay khâu OA thành chuyển động tịnh tiến trượt B ngược lại Hãy nghiên cứu chuyển động truyền AB có khối tâm G

Để nghiên cứu chuyển động truyền AB, ta xét thêm hệ quy chiếu khối tâm R* ( ;G e e ex, y, z)

G G G tương ứng với hệ quy chiếu (R)

( )R

y

x A

O

B M

G

x y

θ

( *)R

⊕

z : @ Trong hệ quy chiếu khối tâm (R*), truyền AB quay xung quanh trục Gz cố định Gọi M điểm truyền AB, ta có : JJJJ v MK( )*=v GK( ) *+Ω ×K * GMK

* *

K

với : vận tốc M G hệ quy chiếu khối tâm (R*),

( )

v MK v GK( )

*

ΩK

Hình vectơ quay tức thời truyền AB K JJ

trong hệ (R*) : Ω =* θ( ).t ez

Do khối tâm G cố định hệ (R*) ⇒ v GK( )*=0 ⇒ v M( )*= Ω ×* GM JJJJK K

K

Sử dụng định lý hợp vận tốc, hệ quy chiếu (R), ta có :

( ) e( ) ( ) * v MK =v MK +v MK

Hệ quy chiếu khối tâm (R*) chuyển động tịnh tiến hệ quy chiếu (R)

⇒ v MKe( )=v GK( )

⇒ v MK( )=v GK( )+ Ω ×K * GMJJJJK (1)

@ Mặc khác, gọi ΩK vectơ quay tức thời truyền AB hệ (R), ta có :

( ) ( )

v MK =v GK + Ω ×K GMJJJJK (2)

3

Chú ý RS, eθ

G

không đổi nên

/

S

R

de dt

θ

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Từ (1) (2), suy : Ω = Ω =K* K θ(t e).JJKz

Véctơ quay tức thời vật rắn hai hệ quy chiếu (R) (R*) Mở rộng ra, véctơ quay tức thời vật rắn hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến tương đối

@ Ghi chú: Chuyển động truyền AB hệ quy chiếu (R) xem hợp hai chuyển động:

• Chuyển động tịnh tiến với khối tâm G hệ quy chiếu (R)

• Chuyển động quay xung quanh trục Gz qua khối tâm G hệ quy chiếu khối tâm (R*) (Trục Gz cố định hệ quy chiếu khối tâm (R*))

b) Ví dụ : Chuyển động bánh xe :

@ Xét bánh xe, coi đĩa trịn, bán kính b, tâm C, chuyển động mặt phẳng thẳng đứng mặt đất nằm ngang cố định hệ quy chiếu (R) (Hình 8)

Gọi I điểm tiếp xúc bánh xe mặt đất thời điểm t Tại chỗ tiếp xúc I vào thời điểm t, cần phân biệt ba điểm khác nhau:

• Điểm IS mặt đất, cố định (R)

• Điểm IR bánh xe Do bánh xe lăn ⇒ thời điểm sau IR khơng cịn nằm mặt đất

• Điểm hình học I xác định vị trí tiếp xúc

( )R

y

O

C z

I Hỗnh

C’

⊕

.dt

Ω

taûi t taûi t + δt

:

( )∆

: ΩG y

O z

x (R)

x bb I = IR = IS

Hỗnh

JS = J

C C

∆x

:

x

θ

taûi t taûi t + ∆t

JR

:ΩG = eθGz

⊕

M (R*) y

x

Tại thời điểm t, ba điểm IS, IR I có vận tốc khác (R) : ( S)

v IK =

( ) ( )

v IK =v CK , I C luôn nằm đường thẳng đứng với :

( R) ( )

v IK =v CK + Ω ×K CIJJK ΩK l vẹctå quay ca bạnh xe (R)

Vận tốc gọi vận tốc trượt bánh xe mặt đất (nhớ mặt đất cố định R) Ta thấy

( R) v IK =vKg

g

vK nằm theo phương tiếp tuyến chung I bánh xe mặt dất @ Bánh xe gọi lăn không trượt : vg =v I( R)=0

K K

Khi bánh xe lăn không trượt mặt đất, thời điểm t xét, điểm IR bánh xe tiếp xúc với mặt đất có vận tốc không ⇒ Khi bánh xe lăn không trượt mặt đất, hai thời điểm t t + dt gần bánh xe xem chuyển động quay tức thời xung quanh trục ∆ I song song với ΩK

y

Trục ∆ gọi trục quay tức thời bánh xe (4) (Hình 9) @ Chuyển động bánh xe xem hợp hai chuyển động :

+ Chuyển động tịnh tiến với khối tâm C (OCJJJG=x e.Gx+b e.G ) với vận tốc vGC =x e.Gx

+ Chuyển động quay xung quanh trụcCzJJG qua khối tâm C hệ quy chiếu khối tâm R* với vận tốc góc Ω =θ( ).t ez ,

JJK

K

θ góc trục Cx bán kính CM gắn cứng bánh xe

@ Vận tốc điểm IR bánh xe thời điểm t: ( R) ( )

v IK =v CK + Ω×K CIJJK

⇒ v I( R)=x e x+θ.ez× −( b e )

G G G

K

y

x

⇒ v I( R)=x e x+θ .b e

G G

K

Suy vận tốc trượt bánh xe mặt đất : vGg =v IK( R)= +(x θ ).b eGx

@ Bánh xe lăn không trượt mặt đất khi: vKg =v IK( R)=0 Thế mà : vGg =(x+θ ).b eGx Do đó, bánh xe lăn không trượt : x+θ.b=0

Mặt khác, gọi ∆x ∆θ dịch chuyển tâm C bánh xe góc quay bánh xe khoảng thời gian ∆t; JR JS điểm bánh xe mặt đất, mà thời điểm t + ∆t đến tiếp xúc với J, ta có : I JS S = ∆x cungI JR R = ∆b θ

Khi bánh xe lăn không trượt mặt đất thì:

x+θb= ⇒ ∆ = ∆ ⇒x b θ I JS S =I JqR R

@ Ghi : Chuyển động truyền (ví dụ 1) bánh xe (ví dụ 2) gọi chuyển động song phẳng Trong chuyển động song phẳng, điểm M vật rắn chuyển động mặt phẳng hay mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu định trước Chuyển động song phẳng vật rắn xem tổng hợp hai chuyển động: Chuyển động tịnh tiến với khối tâm G chuyển động quay xung quanh trục Gz qua khối tâm vng góc với mặt phẳng quy chiếu nói

§3 Các đại lượng động học :

1) Trường hợp vật rắn chuyển động quay xung quanh trục cố định : a) Momen động lượng điểm trục :

Xét vật rắn (S) quay xung quanh trục ∆ gắn cứng với (S) (trục ∆ cố định hệ quy chiếu R(O ; x, y, z)), với véctơ quay : ΩK Lấy trục Oz hệ R trùng với trục quay ∆ Gọi θ góc quay hệ quy chiếu (RS) gắn cứng với vật rắn so với hệ (R), ta có : Ω = Ω =.ez θ.ez

K G G

(Hỗnh 10)

Gi M điểm vật rắn (S), dm khối lượng phân tố thể tích vật rắn bao quanh điểm M

4Khi bánh xe chuyển động, trục quay tức thời ∆ dịch chuyển theo điểm tiếp xúc I bánh xe mặt đất

Momen động lượng LGA vật rắn điểm A cố định trục Oz hệ quy chiếu (R) : ( )

( ) A

S

LG =∫∫∫JJJJGAM×v M dmG

Do M A hai điểm thuộc vật rắn (S) nên (Điểm A cố định trục Oz : )

( ) ( ) z

v MG =v AG + Ω ×G JJJJGAM = Ω ×eG JJJJGAM

( )

v AG = Suy :

( )

(

A z

S

) LG = Ω∫∫∫JJJJGAM× eG ×JJJJAM dmG Hay :

2 ( )

( )

A z z

S

L = Ω ⎡⎢AM e − AM e AM dm⎤⎥

⎣ ⎦

∫∫∫ JJJJG JJJJG JJJJG

G G G

(Ghi chụ : AG×(B CG× G)=B C AG( )G G −C A BG G( )G )

Gọi H hình chiếu M trục quay ∆, ta có : ( ).z z AM = AH +HM = AM e e +HM JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG J

y x

O z = zS

(R)

yS

xS

( )RS

Hỗnh 10 M

r

H

A ( )∆

ΩG

(S)

θ

JJJG G G

z

Suy :

2

( ) ( )

( ) ( )

A z z

S S

LG = ΩG ∫∫∫AM dm− Ω∫∫∫ JJJJGAM eG ⎣⎡ JJJJGAM e eG G +JJJJGHM dm⎦⎤

2

( ) ( )

( )

A z

S S

L = Ω∫∫∫AM dm− Ω∫∫∫⎡⎣AH e + AM ez HM⎤⎦dm JJJJG JJJJG

G G G G

2

( ) ( ) ( )

( )

A z

S S S

LG = ΩG ∫∫∫AM dm− ΩG ∫∫∫AH dm− Ω∫∫∫JJJJJGAM eG JJJJGHM dm Mặc khác : HM2 = AM2 AH2

Suy :

( ) ( )

(( ) )

A z

S S

LG = ΩG ∫∫∫HM dm− Ω∫∫∫ JJJJGAM e HM dmG JJJJG Như vậy, momen động lượng LGA gồm hai phần :

•

//

( ) A

S

LG = ΩG ∫∫∫HM dm song song với véctơ quay ΩG

•

( )

(( ) )

A z

S

LG ⊥ = −Ω∫∫∫ JJJJGAM e HM dmG JJJJG vng góc với véctơ quay ΩG

Ghi : Thành phần LGA⊥ =0 :

@ Vật rắn nhận trục ∆ làm trục đối xứng

@ Khi vật rắn vật rắn phẳng nằm mặt phẳng qua A vuông góc với trục ∆ b) Momen động lượng trục ∆ - Momen qúan tính :

• Hình chiếu L∆ momen động lượng LGA lên trục quay ∆ gọi momen động lượng vật rắn (S) trục ∆ :

2 //

( )

A Z A Z

S

L∆ =L eG G =LG eG = Ω∫∫∫HM dm

L∆ không phụ thuộc vào vị trí điểm A trục ∆

2 ( )

S

J∆ =∫∫∫r dm

với : r khoảng cách từ điểm M vật rắn đến trục quay ∆

• Như : L∆ =J∆.Ω : LA// =J∆.Ω

G G

Ghi : Trường hợp vật rắn (S) bao gồìm hai phần (S1) (S2), có momen qn tính trục

∆ J∆1và J∆2 Khi đó, momen quán tính (S) trục trục ∆ : J∆ = J∆1+ J∆2 c)Động :

Động vật rắn (S) nói hệ quy chiếu (R) :

( )

( )

K S

E =∫∫∫ v M dm với : v MG( )= Ω ×G JJJJGAM Suy :

( )

( ) ( )

2 K

S

E = ∫∫∫ Ω ×AM v

JJJJG G

M dm G

⇒

( )

( ( ))

2 K

S

E = ⎡⎢ AM×v M d ⎤⎥

⎢ ⎥

⎣∫∫∫ ⎦

JJJJG

m ΩG G

Ta có : (Ω ×G JJJJGAM v M) (G )=(JJJJGAM×v MG( )).ΩG : A B CG(G× G)=B CG(G×AG)=C A BG G( × G))

⇒ //

2

K A A

E = LG GΩ = L Ω

⇒ 1

2

K

E = L∆ Ω = J∆ Ω 2) Ạp dủng cạc âënh l Koenig :

a) Momen động lượng động vật rắn: @ Để nghiên cứu chuyển động vật rắn (S) hệ quy chiếu R(O,x,y,z), ta đưa thêm vào hệ quy chiếu khối tâm R*(G,x,y,z) Khi đó, áp dụng định lý Koenig:

Về momen động lượng : LGA =JJJGAG mv G× G( )+LGG* với : momen động lượng (S) khối tâm G hệ quy chiếu (R*);

* G LG

* *

// G

G G

L =L +L*⊥

G G G

với : thành phần song song với

* // G

LG LGG* ΩG ; *

G

LG ⊥: thành phần LGG* vng góc với ΩG ΩG

A (S)

G O

(R)

x

z

(R*)

z

y x

Hỗnh 11

y

Về động : 2( )

*

K K

E = mv G +E với : *

K

E động (S) hệ quy chiếu (R*)

@ Trường hợp vectơ quay vật rắn (S) luôn khơng thay đổi phương suốt q trình chuyển động, chẳng hạn Ω

ΩK K

ln nằm theo phương trục Oz (Hình 11) (5) : Trong (R*), (S) quay quanh trục cố định Gz, ta có:

* * * *

// G G

G G Gz

L =L +L ⊥ =J Ω +L⊥

G G G G G

* *

2

K Gz Gz

E = L Ω = J Ω2 Với: JGz: momen quán tính vật rắn trục Gz

* Gz

L : momen động lượng vật rắn trục Gz hệ R

Ghi : Trong biểu thức momen động lượng động ta thấy gồm hai thành phần: Thành phần JJJGAG mv G× G( ) hay

(

2 mv G) tương ứng với chuyển động tịnh tiến toàn vật rắn (S) với khối tâm G; thành phần * *

G Gz G

LG =J Ω +G LG ⊥ hay *

K Gz

E = J Ω2 tương ứng với chuyển động quay vật rắn (S) quanh trục Gz hệ quy chiếu khốiï tâm (R*)

@ Trở lại toán chuyển động bánh xe lăn mặt đất nằm ngang cố định hệ quy chiếu trái đất (R) Trong hệ quy chiếu khối tâm R*(C, x, y, z), bánh xe quay quanh trục Cz cố định R*, ta có:LGC* =JCzΩeGz với:

2 Cz

J = mb ; * 2

K Cz

E = J Ω Áp dụng định lý Koenig, hệ (R) ta có :

* ( )

O C

LG =OC mv CJJJG× G +LG ⇒ LO =OC mv C× ( )+JGΩe JJJG

G

z z

G G

2 *

1

( )

2

K K

E = mv G +E ⇒ 2( )

2

K G

E = mv G + J zΩ

(Chú ý : Đây trường hợp vật rắn phẳng chuyển động mặt phẳng qua C vuông góc với trục quay Cz, thành phầnLGC*⊥ =0, lại thành phần LGC*//)

b) Âënh lyï Huygens :

z z

(∆)

x O

G

(∆G)

(S) (R)

H a

G

(R*)

Hỗnh 12

Xét vật rắn (S) quay xung quanh trục cố định (∆) trùng với trục Oz hệ quy chiếu R xét với véc tơ quay Gọi G khối tâm vật rắn (Hình 11) Trong (R*), (S) quay xunh quanh trục cố định (∆G)trùng với Gz song song với trục (∆)

ΩG

Theo âënh lyï Koenig :

2 *

1

( )

2 K

K

E = mv G +E (1)

y

y với m : khối lượng vật rắn

K

E động vật rắn (R) :

1 K

E = J∆ Ω (a) x

* K

E động vật rắn R* : *

2

K G

E = J∆ Ω2 (b)

Mặt khác, R, khối tâm G chuyển động vòng tròn tâm H bán kính a (H hình chiếu G trục (∆)) với vận tốc góc Ω, : 2

( )

v G = Ωa (c)

Chæång :

TIẾP XÚC GIỮA HAI VẬT RẮN - ĐỊNH LUẬT VỀ MA SÁT

§1 Nghiên cứu động học:

(R)

x O

y (Σ)

(S)

() I

Hỗnh 1:

S / R v(I )G

/ R xe v(I )∑ =v

G G

g v (I) G z

1) Vận tốc trượt:

• Xét hai vật rắn (S) (Σ) luôn tiếp xúc với nhau, chuyển động hệ quy chiếu R (Hình 1)

Chúng tiếp xúc theo mặt, theo

đường hay theo điểm Tại thời điểm t, ln ln có điểm IS (S) trùng với điểm IΣ (Σ) điểm tiếp xúc I

⇒

Vận tốc trượt vKg (S) (Σ) điểm I vào thời điểm t :

/ /

v ( )g I =v(IS)R −v(I∑) R

K K K

Vận tốc trượt (S) (Σ) điểm I vận tốc điểm IS (S) (hình trụ) hệ quy chiếu (R∑) gắn liền với (Σ) (xe cam nhông) :

v ( )Kg I = v(K IS)/R∑

g v (I) G (P)

( ) (S)

Hỗnh

• Thơng thường, nghiên cứu chuyển động vật rắn (S) giá đỡ (Σ) cố định hệ quy chiếu R : Khi hệ quy chiếu (R∑) trùng với hệ quy chiếu R

• Trong trường hợp hai vật rắn (S) (Σ) tồn tiếp diện chung (P), vận tốc trượt vKg nằm mặt phẳng (P) (Hình 2)

• (S) gọi khơng trượt (Σ)khi vận tốc trượt điểm tiếp xúc I : v ( )Kg I =0G

2) Chuyển động lăn xoay (S) (Σ):

• Trong hệ quy chiếu R, gọi ΩKS ΩK∑ vectơ quay vật rắn (S)và (Σ) Véctơ quay tương đối ΩK S/∑ (S)so với (Σ), tức véctơ quay (S)trong hệ quy chiếu (R∑) gắn liền với (Σ):

/

S ∑ S

ΩK = Ω − ΩK K∑ phân thành hai thành phần (Hình 3)

+ Véctơ pháp ΩKNvng góc với tiếp diện chung(P) I (S) (Σ).ΩKN gọi vectơ quay chuyển động xoay.

+ Véctơ tiếp ΩT nằm tiếp diện chung .

K

(P) (Σ) (S)

I N

ΩG

T

G

/ S

G

Hỗnh 3:

Hình 5: Hình trụ (S) chuyển động lăn so với giá đỡ

T

Ω = ΩK K

( )∑

( )S

I N

Ω = ΩK K ( )∑

( )S

I

Hình : Khối vng (S) chuyển động xoay so với giá đỡ

• Trong tồn phần Cơ học vật rắn, nghiên cứu chuyển động đơn giản vật rắn (S)trên giá đỡ cố định ( )∑ với:

+ Các vectơ ΩKN ΩKT không thay đổi phương qúa trình chuyển động + (S) lăn khơng xoay (Ω =KN 0) hay xoay không lăn (Ω =T

K

), không lăn không xoay (chuyển động tịnh tiến) trên( )∑

§2 Tác động chỗ tiếp xúc:

1) Tác động chỗ tiếp xúc hai vật rắn:

( )∑

( )S

I i RG

@ Hai vật rắn (S) (Σ) tiếp xúc theo mặt (khối vuông tiếp xúc với mặt phẳng), theo đường (hình trụ tiếp xúc với mặt phẳng) hay theo điểm (hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng) Tuy nhiên, thực tế, có biến dạng đàn hồi, (S) (Σ) tiếp xúc theo mặt (diện tích tiếp xúc khỏ nh)

Hỗnh 6:

Tỏc ng c chỗ tiếp xúc (S) (Σ) gây tương tác phân tử (S) (Σ) bề mặt tiếp xúc, có tầm tác dụng ngắn Nói chung, hệ lực khơng gian phân bơú (Hình 6)

@Tác động từ (Σ) lên (S) chỗ tiếp xúc, thu gọn điểm tiếp xúc I, bao gồm:

• Lực thu gọn (Hợp lực): i i R = G ∑RG

• Momen thu goün: MI, tiepxuc I( i i

) M R

=∑

G G G

Theo định luật III Newton, (S) tác dụng lên (G Σ) hệ lực, thu gọn I bao gồm:

• Momen thu goün: - MI, tiepxuc G

Tác động chỗ tiếp xúc ẩn số tốn phân tích lực

@ Tác động (Σ) tác dụng lên (S) chỗ tiếp xúc phân thành thành phần (Hình 7) :

I, tiepxuc (R, MG G )

• Đối với hợp lực RG :

+ Thành phần TG n òm I tiếp diện chung (P) I (S) (Σ)

+ Thành phần NG n òm I theo phương pháp tuyến I với (P)

R = T + NG G G với: T G ⊥ NG

• Đối với momen MG I, tiepxuc:

+ Thành phần MI,t nằm tiếp diện chung (P) G

+ Thành phần MG I,n nằm theo phương pháp tuyến với (P) I, tiepxuc I, I,

M = M t +M n

G G G

với : MI,t ⊥MI,n

G G

NG gọi áp lực (phản lực pháp tuyến); TG gọi lực ma sát trượt chống lại chuyển động trượt (S) (Σ); MGI,t gọi momen ma sát lăn chống lại chuyển động lăn (S) (Σ); MGI,n gọi momen ma sát xoay chống lại chuyển động xoay (S) (Σ)

@ Trong chương này, bỏ qua ma sát xoay ma sát lăn Bởi nghiên cứu trường hợp đơn giản :

+ Hoặc: (S) chuyển động tịnh tiến giá đỡ (Σ) hình 9, momen ma sát xoay momen ma sát lăn không xuất

+ Hoặc : (S) tiếp xúc với giá đỡ (Σ) theo điểm (hình cầu tiếp xúc với mặt phẳng - hình 10, hay trường hợp tiếp xúc theo đường toán phẳng : Bánh xe lăn mặt đất - hình 11), bỏ qua ma sát lăn ma sát xoay

I, n M G

(P) ( )

Hỗnh 8:

(S) I, tiepxuc MG

I, t MG NG

(P)

I T G RG (S)

( ) Hỗnh 7:

( )∑ I

( )S

I (Σ)

(S)

Hỗnh 11

I

x O

y

Hỗnh 10

Khi đó, tác động chỗ tiếp xúc từ vật rắn (Σ) lên vật rắn (S) lại hợp lực R = T + NG G G qua điểm tiếp xúc I

2) Định luật Coulomb ma sát trượt (khô) :

Khi nghiên cứu chuyển động vật rắn, phải kể thêm vào ẩn số toán các lực ma sát trượt TG

và áp lực . Các định lý khơng cho ta đủ số phương trình để xác định tất ẩn số ⇒ Do vậy, cần phải biết thêm quan hệ

NG

TG NG

Bằng thực nghiệm, Coulomb tìm mối quan hệ lực ma sát trượt TG áp lựcNG a) Tính chất áp lực NG :

• Đối với liên kết phía, ví dụ (S) đặt giá đỡ (Σ) (Hình 12), áp lực từ (Σ) tác dụng lên (S) luôn hướng từ (Σ) (S)

NG

(S)

Hỗnh 12 ()

I NG

NG (S)

(Σ) O

O

Hỗnh 13

(S) v () khụng tip xỳc với khi: N = 0G

• Đối với liên kết hai phía, ví dụ hình trụ rỗng (S) lồng qua hình trụ (Σ) (Hình 13), cắt trục OO hình trụ, chưa thể kết luận phương, chiều

NG

NG G

b) Tính chất lực ma sát trượt T:

• Tùy theo (S) trượt hay khơng trượt (Σ) mà TG có tính chất khác Gọi vGg vận tốc trượt (S) (Σ)

+ Nếu (S) trượt (Σ): vGg ≠0: TG vGg song song ngược chiều nhau: T vG ×Gg =0 T vG Gg <0

Suất (mođun) TG tỉ lệ với suất NG : TG = f N G với f hệ số tỉ lệ gọi hệ số ma sát trượt (f > 0)

+ Nếu (S) không trượt (Σ), mà có xu hướng trượt trên (Σ): vGg =0: phương ngược chiều với chiều xu hướng trượt

TG

Suất TG NG thỏa mãn biểu thức: TG ≤ f N G Trong hai trường hợp, giá trị cực đại TG f N G

• Khi f = 0, tiếp xúc (S) (Σ) gọi tiếp xúc khơng có ma sát Khi đó: T = 0G hợp lực R = T + N = NG G G G vng góc với tiếp diện chung (P) điểm tiếp xúc I (S) (Σ)

• Ví dụ, hình khối chữ nhật (S) đặt nằm yên mặt phẳng nghiêng (Σ) (Hình 14), (S) có xu hướng trượt

xuống mặt phẳng nghiêng (Σ) theo phương chiều x'xJJJG ⇒ TG hướng lên theo phương chiềuxx'

JJG

NG

gG mgG

TG y x’

x

Hỗnh 14

T : T = −mgsinα <0 N =mgcosα >0 (T N gía trị đại số lực ma sát áp lực)

c) Tính chất hệ số ma sát trượt f:

• Hệ số ma sát trượt f phụ thuộc vào:

+ Bản chất vật rắn tiếp xúc (vật liệu bề mặt tiếp xúc), ví dụ vật rắn thép tiếp xúc với vật rắn gỗ, hệ số ma sát f khác với trường hợp vật rắn thép tiếp xúc với vật rắn cao su + Trạng thái bề mặt tiếp xúc, ví dụ hai bề mặt tiếp xúc gồ ghề, f lớn Khi hai bề mặt tiếp xúc phủ lớp chất bôi trơn, f giảm xuống

+ Tăng theo thời gian tiếp xúc ban đầu (thời gian có áp lực NG chưa có trượt tương đối hay xu hướng trượt tương đối)

• Hệ số ma sát trượt f khơng phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc khơng phụ thuộc vào vận tốc trượt

Ghi chú: Định luật Coulomb phản ánh gần quy luật ma sát trượt khơ, nhiên áp dụng nhiều tính kỹ thuật Trên thực tế, f khơng phải hồn tồn độc lập với vận tốc trượt: Trường hợp (S) không trượt (Σ), f lớn trường hợp (S) trượt (Σ), người ta phân biệt hệ số ma sát động fđ (S) trượt (Σ) hệ số ma sát tĩnh ft (S) không trượt (Σ) Trong

đa số trường hợp: fđ < ft

2) Một số hệ định luật Coulomb:

a) Vật rắn cân bằng: y

@ Hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn (S) thu gọn điểm A bao gồm lực thu gọn FGe xt

và momen thu gọn Trong hệ quy chiếu Rg giả sử hệ quy chiếu Galilée, vật rắn (S) cân bằng :

A, ext MG

e xt

FG =0; MA, ext =0 G

vật rắn

đứng yên thời đểm ban đầu

Ngoài ra, (S) chịu tác động (R, MG G I, tiepxuc)

tại điểm tiếp xúc I, hệ lực (R, MG GI, tiepxuc) phải tuân theo định luật Coulomb

FG x’ ( )Σ mgG

I NG TG

G (S)

O x

H

Hỗnh 15

@ Vớ d: Khi chữ nhật (S) tiếp xúc với mặt đất (Σ) (Hình 15) Hệ ngoại lực tác dụng lên (S) bao gồm: Trọng lượng mgG; lực kéo FG tác động tiếp

xúc từ (Σ) lên (S) :(R, MG GI, tiepxuc)

NG

Hỗnh 16 TG

RG

α

ϕ

( , )N R α = G G

( )Σ

Noïn (N)

(S) Dưới tác dụng , giả sử vật rắn (S) có xu hướng chuyển

động so với (Σ) theo phương chiều xx’ (nhưng chưa chuyển động tương đối so với (Σ)) hướng theo chiều x’x Ta có:

FG

⇒ TG

• N = - mgG G; T =G - FG

(S) không trượt mặt đất: TG ≤f NG ⇒ F G ≤ fmg

b) Nón ma sát tượng tự hãm:

@ Hình nón ma sát : Gọi tác động tiếp xúc từ (Σ) lên (S) Xét hình nón trịn xoay (N), đỉnh I, trục song song với áp lực , nửa góc đỉnh ϕ với tg ϕ = f (f: hệ số ma sát trượt) Hình nón (N) núi trờn c gi l

hỗnh noùn ma saùt (Hỗnh 16)

I, tiepxuc (R, MG G ) NG

• Khi (S) trượt (Σ): T= f N ⇒ T tg= ϕ.N ⇒ ( , )N RG G =ϕ ⇒ α ϕ= ⇒ RG nằm mép nón ma sát (N)

• Khi (S) khơng trượt (Σ) (mà có xu hướng trượt):

T≤ f N ⇒ T ≤tgϕ.N ⇒ ( , )N RG G ≤ϕ ⇒ α ϕ≤ ⇒ RG nằm bên trong nón ma sát (N) (Trường hợp giới hạn, RG nm trờn mộp nún (N))

y Hỗnh 17

( )Σ

O I

NG TG

(S) RG

FG α

x

@ Hiện tượng tự hãm : Xét vật rắn (S) khối lượng m, đặt mặt phẳng nằm ngang cố định (Σ) Tác dụng vào (S) lực đẩyFGnghiêng góc α so với phương thẳng đứng (Điểm đặt

G

nằm vị trí cho (S) khơng bị lật quanh cạnh) (Hình 17) F

Tác động tiếp xúc từ (Σ) lên (S) thu gọn điểm I : R = T + NG G G (giả sử bỏ qua momen ma sát) T song song, ngược chiều với Ox

G

NG song song, chiều với Oy Aïp dụng định lý động lượng: ( ) iext

i dP

ma G F

dt = =∑

G

G G

và chiếu lên hai trục Ox Oy, ta có :

sin

0 cos

mx T F

N F

α α

= − + ⎧

⎨ = − ⎩

(6) Với T N giá trị T

G

NG

• Khi (S) đứng yên ⇒ x=0; T≤ f N ⇒ Fsinα ≤ fFcosα ⇒ tgα ≤tgϕ ⇒α ϕ≤ ⇒ FG nằm nón ma sát (N) Như vậy,

α < ϕ hay FG nằm nón ma sát (N) cho dù giá trị FG có lớn nữa, ln ln có: T < fN ⇒ (S) khơng trượt (Σ) Lúc (S) bị rơi vào trạng thái tự hãm trượt.

Fcosα

Fsinα FG

tg N = f.Nϕ

NG

Hỗnh 18

ã Khi α > ϕ hay nằm ngồi nón ma sát (N): Dù giá trị giá trị nhỏ, (S) trượt (Σ) (Hình 18) (Bởi (S) khơng trượt (Σ) ta suy

FG FG

α ϕ≤ , điều trái với giả thiết α ϕ> )

Lúc : T = f N = f Fcosα ⇒ Gia tốc (S): x F(sin f.cos )

m α α

= −

§3 Cơng suất tác động chỗ tiếp xúc:

• Xét vật rắn (S) chuyển động hệ quy chiếu (R) Giả sử hệ ngoại lực tác dụng lên vật rắn thu gọn điểm A bao gồm: Lực thu gọn R G momen thu gọn: MG A

Cơng suất hệ lực nói trên: P = R v (A )S +MA.ΩS

G G G G

Với: v (A )G S : vận tốc điểm A thuộc (S) (vận tốc điểm đặt A lực R G ), : Véctơ quay (S)

S

ΩG

Chú ý công suất P không phụ thuộc vào điểm tính tốn A

• Cho vật rắn (S) tiếp xúc với vật rắn (Σ) chuyển động (R) Hãy tính cơng suất tác động tiếp xúc từ (S) lên (Σ) từ (Σ) lên (S) trường hợp sau:

+ (S) (Σ) chuyển động tịnh tiến (R):

Ta cọ: Ω = Ω =GS GΣ

Cơng suất tác động tiếp xúc :

+ Từ (Σ) lên (S): P = R v (I )S +MI tiepxuc, ΩS

G G G G

⇒ PS =R v IG G ( S) + Từ (S) lên (Σ): P = -R v (I )G G Σ +MGI tiepxuc, ΩGΣ ⇒ PΣ = −RG G.v(IΣ) Với : v (I )G S : vận tốc điểm I thuộc (S); v (I )G Σ : vận tốc điểm I thuộc( )Σ

+ (S) (Σ) tiếp xúc theo điểm : (hoặc theo đường toán phẳng, ví dụ hình trụ lăn mặt đất) Bỏ qua ma sát lăn ma sát xoay (bỏ qua momen thu gọn MG I, tiepxuc)

Khi âoï : PS =R v IG G ( S) PΣ = −RG G.v(IΣ)

• Trong hai trường hợp trên, tổng công suất tác động tiếp xúc lên cơ hệ gồm (S) (Σ): P=PS +PΣ =RG G(v( ) v( ))IS −G IΣ

⇒ P=(N+T).vG G Gg với vg =v(IS)−v(IΣ)

G G G

: vận tốc trượt (S) (Σ)

⇒ P=N.v +T.vG Gg G Gg

⇒ P=TG G.vg ≤0 (Do NG ⊥vGg TG song song ngược chiều với vGg)

Công suất tổng cọng P tác động tiếp xúc lên hệ gồm (S) (Σ) luôn âm không

Ta thấy P = khơng có ma sát (TG=0) hay khơng trượt: vGg =0

• Trường hợp đặc biệt (Σ) cố định (R) :

v( )G IΣ =0 ⇒ P∑ = −RG G.v( )IΣ =0 ⇒ P=PS =T.vg ≤0 G G

Chæång III :

CHUYỂN ĐỘNG QUAY CỦA VẬT RẮN XUNG QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH

§1 Một số liên kết thông dụng hai vật rắn:

@ Cho hai vật rắn (S) (Σ) tiếp xúc chuyển động hệ quy chiếu (R) Tác động từ (Σ) lên (S) chỗ tiếp xúc thu gọn điểm tiếp xúc A thuộc (S) gồm: Lực thu gọn RG momen thu gọn: MGA tiepxuc,

@ Tổng công suất tác động từ (Σ) lên (S) từ (S) lên (Σ) chỗ tiếp xúc : S

P=P +PΣ với: P = R v (A )S S +MA tiepxuc, ΩS

G G G G

P = - R v (A )Σ Σ −MA tiepxuc, ΩΣ

G G G G

AS AΣ điểm thuộc (S) (Σ) trùng điểm A; v (A )G S , vận tốc điểm A thuộc (S) (Σ);

v (A )G Σ S

A Σ ΩGS, ΩGΣ véctơ quay (S) (Σ) (R)

@ Liên kết (S) (Σ) gọi lý tửởng (parfait) (khơng có ma sát) :

S

P=P +PΣ =

@ Thông thường, nghiên cứu chuyển động vật rắn (S) hệ quy chiếu ( )RΣ gắn liền với (Σ) ((Σ) đóng vai trị gia đỡ (S) dịch chuyển đó) Khi tác động từ lên

chỗ tiếp xúc khơng sinh cơng vì(

( )S ( )Σ Σ) cố định ⇒ Tổng công suất P tác động tiếp xúc công suất P S tác động từ ( )Σ lên ( )S chỗ tiếp xúc :

S S / , /

P = P = R v (A )G G RΣ +MGA tiepxuc.ΩGS RΣ

với : , vectơ quay (S) vận tốc điểm A thuộc (S) hệ quy chiếu

/ S RΣ

ΩG v (A )G S /RΣ RΣ

RG

g

vG ΩS R/ Σ

G

RG

, A tiepxuc MG

Hình : Ví dụ liên

1) Liên kết trượt (liên kết kiểu lăng trụ, liên kết tịnh tiến):

@ Hai vật rắn (S) (Σ) gọi coï liên kết trượt (liason glissière) với (S) chuyển động tịnh tiến thẳng song song với trục gắn liền với (Σ) (Hình 1)

@ Liên kết trượt lý tưởng (khơng có ma sát trượt) lực thu gọn RG vng góc với phương chuyển động (S) (Σ)

Do (S) tịnh tiến hệ quy chiếu RΣ gắn liền với (Σ) nên tất các điểm thuộc (S) có vận tốc vận tốc trượt vg

G

cuía (S) trãn( )Σ : v (A )S /RΣ =vg

G G

Mặt khác : MA tiepxuc, =0 (ma sát lăn ma sát xoay không xuất hiện) Công suất tác động từ lên chỗ tiếp xúc :

⇒ ( )Σ ( )S

S S / g

P .v(A )=RGG RΣ =RG.vG =0 (do R v⊥ g

G G

) 2) Liên kết lề (liên kết trụ quay, liên kết quay):

@ Hai vật rắn (S) (Σ) gọi có liên kết lề (liason pivot) với (S) chuyển động quay xunh quanh trục (∆) gắn liền với (Σ) (Hình2)

@ Liên kết lề lý tưởng (khơng có ma sát) thành phần trục quay (∆) momen thu gọn MGA tiepxuc, điểm A thuộc trục quay (∆)bằng 0, nghĩa : MA tiepxuc, ⊥ ∆( )

G Khi đó, cơng suất tác động từ ( )Σ lên (S) chỗ tiếp xúc: P 0S = vì: MGA tiepxuc, ⊥ ΩGS R/ Σ v(AS)/RΣ =0

G

§2 Nghiên cứu chuyển động quay (Liên kết lề): 1) Áp dụng định lý động lượng momen động lượng :

Xét vật rắn (S) quay xung quanh trục cố định Oz hệ quy chiếu R O x y z( ; , , ) giả sử Galilée Giả sử liên kết (S)

giá cố định (liên kết lề) lý tưởng

(khäng cọ ma sạt)

z

Goiü R O xS( ; S,y zS, S) hệ quy chiếu gắn liền với (S), cho khối tâm G (S) nằm mặt phẳng (OxSz)

Chuyển động quay (S) hệ quy chiếu (R) xác định góc quay JJ JJJJ

S = (Ox, Ox )

θ JG G

R

(S) chịu tác động ngoại lực: Tác động tiếp xúc lề tác động lên trục quay, thu gọn điểm O gồm: Lực thu gọn G momen thu

gọn: MGO tiepxuc, ⊥OzJJG (do liên kết khơng có ma sát); ngoại lực khác biết trước (như trọng lượng, ngẫu lực cùa động ) tác động lên (S), thu gọn điểm O gồm: Lực thu gọn momen thu gọn:

FG O

MG

B

A

θ

y s y

s x

a

Hỗnh 3

θ

O b G

x

Để nghiên cứu chuyển động vật rắn (S) áp dụng định lý động lượng, định lý

@Áp dụng định lý động lượng cho vật rắn (S) hệ quy chiếu (R)

( ) ie

i dP

ma G F

dt = =∑

G

G G

⇒ ma GG( )= +FG RG Gọi a b tọa độ G sở (e , e , e )G G Gxs ys zs , ta có:

2

( ) xs ys

a GG = −aθ eG +a eθG

⇒ ( )

xs ys

m −aθ eG +a eθG = +FG RG Chiếu lên trục: Ox Oy Ozs; s; sta có:

2

0

xs xs

ys ys

z z

ma F R

ma F R

F R

θ θ

⎧− = +

⎪

= +

⎨

⎪ = + ⎩

(1)

@ Aïp dụng định lý momen động lượng vật rắn (S) điểm O cố định :

O dL

( ) dt

e O i i

M F

=∑

G

G G

⇒ Oz O

,

dL dL

dt dt MO MO tiepxuc ⊥

+ = +

G G

G G

với: MGO tiepxuc, ⊥Oz

⇒ Oz O

,

dL dL

dt dt MOz MO MO tiepxuc ⊥

⊥

+ = + +

G G

G G G

⇒ O ,

dL

dt MO MO tiepxuc ⊥

⊥

= +

G

G G

(2) Với LGOz;MGOz thành phần LGO MGO song song với trục Oz

Với LGO⊥;MGO⊥ thành phần LGO MGO vuông góc với trục Oz Và : dLOz

dt =MOz G

G

Maì: LGOz =JOzΩ =G JOzθeGz

Suy : JOzθeGz =MGOz Hay: JOzθ=MOz (3) 2) Nghiên cứu chuyển động vật rắn (S):

@ Nếu cần xác định quy luật chuyển độngθ θ= (t) vật rắn (S) áp dụng định lý momen động lượng trục Oz cố định :

dL

( ) dt

e Oz

Oz i i

M F

=∑

G

G G

⇒ JOzθeGz =MGOz ⇒ JOzθ=MOz (4)

Đây phương trình vi phân chuyển động quay (S)

@ Có thể viết phương trình vi phân chuyển động quay (S) cách áp dụng định lý động năng: dE int

dt

ext k

i

i i

P P

=∑ +∑ i Với : công suất ngoại lực ext

i

P Piint

e i FG vaì näüi lỉûc FGii tạc âäüng lãn (S) ⇒ d

dt 2Jθ Ptiepxuc Pkhac

⎛ ⎞ = +

⎜ ⎟

Trong đó: công suất tác động lên (S) chỗ tiếp xúc, công suất ngoại lực khác tác động lên (S)

tiepxuc

P Pkhac

Do liên kết lề lý tưởng: Ptiepxuc =0

Mặt khác : Pkhac =FG.v( )G O +MGOθeGz =MOzθ⇒ JOzθθ=MOzθ⇒ JOzθ=MOz (5) 3) Tác động tiếp xúc:

Khi biết quy luật chuyển động θ θ = (t), xác định tác động lên (S) chỗ tiếp xúc nhờ phương trình (1), (2)

, (R, )G GMO tiepxuc 4) Định luật bảo toàn momen động lượng trục quay:

Khi ngoại lực tác dụng lên vật rắn quay xung quanh trục cố định có momen trục quay 0, momen động lượng vật rắn trục quay bảo toàn

Thật vậy, theo định lý momen động lượng: dLOz

( ) dt

e Oz i i

M F

=∑

G

G G

Maì: Oz( ie) 0.Suy ra:

i

M F =

∑ G G dLOz 0

dt = G

Hay: LOz =const JJJJJG G

Tài liệu tham khảo :

[1] Cơ học vật rắn, Năm thứ hai, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette Supérieure, Nxb Giáo

dục Hà Nội 2002

[2] Mécanique des solides, DeuxiÌme annÐe, MP-MP*-PC-PC*-PT-PT*, Hachette SupÐrieure,

1999

[3] L−ơng Duyên Bình (chủ biên), Vật lý đại c−ơng, Tập I : Cơ- Nhiệt, Nxb Giáo dục Hà Nội

PHẦN II :

Ch−¬ng :

Các dao động Tử Điều hịa liên kết

hiƯn t−ỵng lan trun dao déng

Đ1 Dao động tự dao động tử liên kết : 1) Dao động tự hệ bậc tự :

a) Dao động tử điều hoà:

Xét hệ có một bậc tự Biến thiên hệ đ−ợc đặc tr−ng đại l−ợng vật lý ψ

(ψcó thể dịch chuyển, góc lệch, c−ờng độ, điện áp ) Ví dụ, lắc chuyển động quay

xung quanh trục nằm ngang, chuyển động hệ đ−ợc xác định góc lệch θ lắc

so víi vÞ trÝ c©n b»ng

Nếu hệ có vị trí cân bền ứng với ψ ψ= 0 lân cận vị trí cân đó, ph−ơng trình

biến thiên có dạng:

2 2 (

d dt

ψ

0)

ω ψ ψ

= − − (1)

thì hệ thực dao động điều hịa, có tần số góc ω0

Ph−ơng trình dao động có dạng: ψ( )t =ψ ψ0+ mcos(ω0t+ϕ)

Hệ nói đ−ợc gọi dao động tử điều hoà

b) Dao động tử học có phục hồi tuyến tính :

Xét vật có khối l−ợng M, gắn vào lị xo có độ cứng K (bỏ qua khối l−ợng lị xo),

tr−ợt không ma sát dọc theo nằm ngang Vị trí cân ứng với độ dài lò xo a0,

đ−ợc chọn làm gốc trục Ox Đầu lò xo gắn vào điểm cố định (Hình 1)

Gäi ψ( )t dịch chuyển vật so với vị trí cân b»ng

Trong hệ quy chiếu giả thiết Galilée, ph−ơng trình chuyển động là:

2

d

M K

dt

ψ = − ψ

Dao động vật dao dộng điều hòa, có tần số góc : 0 K

M ω =

i

H×nh

L

-q q

C

a

ψ x

x

H×nh

c) Dao động tử điện học:

Hãy xét t−ơng đồng lắc lò xo mạch điện LC nối tip

Cho mạch điện nh hình vẽ, gồm tụ ®iƯn cã ®iƯn dung C, cn d©y cã hƯ sè tự cảm L, q điện

tích hai tụ điện (Hình 2)

ỏp dng nh lut bảo tồn l−ợng để viết ph−ơng trình vi phân mô tả biến thiên q:

Trong đó:

2

C q W

C

= : lợng điện trờng hai tụ điện

2 L

W = Li : lợng tõ tr−êng èng d©y

Suy ra:

2

2

1

2

q

Li const

C + = ⇒

q di

q Li

C + dt = ⇒

q

q Lqq C + =

víi: i dq q

dt = =

VËy: q+Ω =20q víi:

1

LC

Ω =

Nh− vËy, q biÕn thiªn điều hòa với tần số góc: 0

LC

Ω =

Chúng ta thấy đ−ợc t−ơng đồng hai hệ : Cơ hệ mạch điện LC nối tiếp:

Khối l−ợng M độ cứng K hệ đ−ợc thay hệ số tự cảm L nghịch đảo điện

dung C Tần sồ góc dao động cơ: 0 K

M

= tơng tự nh tần số gãc: 0

LC

Ω = dao

động điện mạch LC

2) Dao động tự hệ có bậc tự do: a) Sự liên kết hai dao động tử:

XÐt hƯ gåm hai vËt cã cïng khèi l−ỵng M, trợt không ma sát nằm ngang Ox Mỗi vËt

đ−ợc gắn lị xo có độ cứng K, chiều dà cân a0 Đầu lò xo đ−ợc

gắn cố định với giá (Hình 3) Khi ch−a có lị xo giữa, hai vật thực hai dao động tự độc

lËp nhau, víi cïng tÇn sè gãc 0 K

M

ω = H×nh

H×nh

x

K K

x

K K

O

Liªn kÕt

Dao tö Dao tö

x

x

0

a b0 a0

x

1

ψ

2

ψ

1

F

1

f

2

F

2

f O

(2) (3)

(1)

Gắn thêm vào hai vật lò xo độ cứng k, chiều dài cân b0 Chọn gốc O ca trc

Ox nằm giá bên trái (Hình 4)

Ký hiệu ψ1 ψ2 dịch chuyển vật (1) (2) so với vị trí cân chúng Vật (1) chịu tác động lực:

1 x

F = −Kψe (Do lò xo (1) tác động)

và: f1 =k[ψ ψ2− 1]ex (Do lò xo (3) tác động)

2 x

F = −Kψ e (Do lò xo (1) tác động)

và: f2 = −f1 (Do lò xo (3) tác động)

Ph−ơng trình chuyển động hệ hai vật:

1 1 2

( )

( )

M K k

M k K

2

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

= − − −

⎧

⎨ = − −

⎩ (2)

Nh− vậy, lò lo giữa liên kết hai vật : Chuyển động hai vật khơng cịn độc lập với

b) Nghiệm ph−ơng trình chuyển động:

Dùng ph−ơng pháp đổi biến số: u=ψ ψ1+ 2 v=ψ ψ1− 2

Suy ra: 1 v

2 u

ψ = + vµ 2 v

2 u

ψ = −

Thay vào (2), ph−ơng trình chuyển động trở thành:

v ( )

Mu Ku

v

M K k

= − ⎧

⎨ = − +

(3)

Đây hệ phơng trình vi phân tun tÝnh cÊp hai thn nhÊt, hƯ sè h»ng

NghiƯm cđa hƯ (3) cã d¹ng:

1 2

( ) cos( )

( ) cos( )

m

m

u t u t

v t v t

ω φ ω φ

= +

⎧

⎨ = +

Tần số góc 1và 2 : 1 K

M

ω = ; 2 K 2k

M

ω = +

H×nh Suy ra:

1

ψ ψ2 =ψ1

2

ψ = −ψ

1

ψ

(5b) ( 5a)

1 1

2 1

cos( ) cos( )

2

cos( ) cos( )

2

m m

m m

u v

t t

u v

t t

2

2

ψ ω φ ω φ

ψ ω φ ω φ

⎧ = + + +

⎪⎪ ⎨

⎪ = + −

⎪⎩ +

Khi biết vị trí vận tốc ban đầu hai vËt:ψ1(0); ψ2(0);

1(0)

d dt

ψ

; d (0)

dt

ψ

có thể xác định hồn tồn ψ1( )t ψ2( )t

c) Tần số góc riêng dạng dao động riêng:

Các tần số góc ω1và ω2 đ−ợc gọi là tần số góc riêng hệ hai dao động tử liên kết

¾ Khi : v(t) = 0, tøc lµ khi: 1( ) 2( ) cos( 1 1)

2 m u

t t t

ψ =ψ = ω +φ ⇒ hệ dao động với tần số góc

1

ω Khi đó, ta nhận đ−ợc dạng dao động riêng ứng với tần số góc ω1 Dịch chuyển hai vật

nh− Đây dạng dao động riêng đối xứng (Hình 5a)

ắKhi: u(t) = 0, tức khi: ψ1( )t = −ψ2( )t hệ dao động với tần số góc ω2 Khi đó, ta nhận

đ−ợc dạng dao động riêng ứng với tần số góc ω2 Đây dạng dao động riêng phản đối xứng

(H×nh 5b)

ắ Để quan sát đ−ợc hai dạng dao động riêng, ví dụ dạng dao động riêng đối xứng,

cÇn cã v(t) = Điều có đợc nhờ điều kiện ban đầu có dạng: v(0) = 0; dv(0)

dt = , tøc

Ghi chó:

Nghiệm tổng quát ph−ơng trình vi phân tuyến tính (2) chuyển động tổ hợp tuyến

tính hai dạng dao động riêng:

1

1 2

1

cos( ) cos( )

1

2

m m

u v

t t

ψ

ω φ ω

ψ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= + +

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦ +φ

3) Dao động tự N dao động tử liên kết (Dao động tự hệ N bậc tự do):

ắ Xét tr−ờng hợp tổng quát: Hệ gồm N dao động tử liên kết giống hệt Khi xuất

N dạng dao động riêng có tần số góc khác Chuyển động quan sát đ−ợc chồng chất

N dạng dao động chuỗi dao động tử (Hình 6)

x O

1

ψ ψ2 ψ3 ψn

a 2a 3a Na

Hình 6: N dao động tử liên kết

ắ Biểu diễn dao động riêng th :

Trên trục hoành Ox, biểu diễn vị trí cân x0n = na khối lợng thứ n

Trên trục tung Oy, biểu diễn dịch chuyển n (mặc dù dịch chuyển nằm theo trục Ox)

• Với N = (Hình7a), vật thực dao động điều hòa với tần số góc : 1 2K

M ω = (cã thừa số có hai lò xo gắn vào vËt)

•Với N = (Hình 7b), với ba lị xo độ cứng K, tần số góc hai dạng dao động riêng

lµ:

1

K M

ω = vµ 2 3K

M ω =

Dạng dao động riêng thứ thứ hai lần l−ợt t−ơng ứng với dạng dao động đối xứng dạng

phản đối xứng h hai vt

ãTơng tự cho trờng hợp N = 3, N = vµ N bÊt kỳ (Hình 8)

Hỗnh 7a :

Hỗnh 8:

2 Dao ng cng bc dao động tử liên kết: 1) Dao động c−ỡng hệ bậc tự do:

a) Hiện t−ợng cộng h−ởng với dao động tử lý t−ởng (khơng có lực cản):

ắ Dao động tử bậc tự (Hình 9) đ−ợc kích thích cấu tay quay- tr−ợt, tạo

nên dịch chuyển có dạng ( )t đầu lò xo Gọi avà K lần lợt chiều dài ứng với vị

trớ cõn bng v độ cứng lò xo Lực tác dụng lên vật bao gồm:

Lùc tõ lß xo (1): F1 = K( )ex; Lực tác dụng từ lò xo (2): F2 = −K eψ x

H×nh 10:

(Trên hình vẽ giả sử >

( )t ψ

( )t ξ

x

x

x

(2)

F

(1)

F

(2) (1)

áp dụng định lý động l−ợng chiếu lên trục Ox ⇒Ph−ơng trình chuyển động vật :

( )

Mψ = −K ψ ξ− −Kψ

Hay: Mψ +2Kψ =Kξ

Trong : F t( )=Kξ( )t lực tác dụng bổ sung lên vật dịch chuyển đầu lò xo bên trái, gắn với cấu tay quay-con tr−ợt F(t) đ−ợc gọi lực kích thích

Vì vậy, ph−ơng trình chuyển động trở thành:

2

( ) F t

M

ψ ω ψ+ = (4) víi: 0 2K

M ω =

0

ω tần số góc riêng (tần số góc dao ng t do) ca h

ắ Phơng trình (4) phơng trình vi phân tuyến tính cấp hai không (có vế

phải) có hệ số Nghiệm tổng quát (4) tổng nghiệm tổng quát 0( )t phơng

trình vi phân (không có vế phải) nghiệm riêng 1( )t phơng trình vi phân

có vÕ ph¶i:

0 ( )t ( )t ( )t = +

Thành phần 0( )t biểu diễn dao dộng tự (không có lực cản) hệ Thành phần 1( )t biểu diễn dao dộng c−ìng bøc cđa hƯ

Trªn thùc tÕ, có lực cản (ví dụ ma sát vật ngang), thành phần 0( )t tắt dần Cuối

cùng, sau khoảng thời gian định lại thành phần ψ1( )t biểu diễn dao động c−ỡng

bøc cđa hƯ

Khi : ψ( )t =ψ1( )t dao động vật đạt đ−ợc chế độ c−ỡng ổn định

ắ Xét chế độ c−ỡng hình sin ổn định (khơng có lực cản)

Khi F(t) có dạng hình sin theo thi gian: F t( )=F0cost

Phơng trình ( 4) trë thµnh: 02

cos

F t

M

ω

ψ ω ψ+ = (5)

Nghiệm riêng ph−ơng trình (5) biểu diễn dao động

c−ìng bøc cã d¹ng:

1( )t A( ) cos( t )

ψ = ω ω +ϕ

Tính ψ1( )t ψ1( )t , thay vào (5), suy : ϕ =0 biên độ A( )ω dao động c−ỡng :

2

0

1 ( ) F A

M

ω 2

ω ω

=

− víi: ω ω≠

Giá trị tuyệt đối A biên độ A phụ thuộc vào tần số

gãc ω cña lùc kÝch thÝch Khi ω ω= 0 (tÇn sè gãc ω cđa

lùc kích thích tần số góc riêng 0 hệ), A , tợng cộng hởng xảy

(H×nh 11)

0

2

F K

0

ω

Hỗnh 11 b) Giới hạn biên độ cộng h−ởng:

Trên thực tế, biên độ cộng h−ởng không tiến đến vơ mà bị giới nội, :

ã Trên thực tế tồn lực cản bỏ qua đợc, chẳng hạn lực ma sát nhớt, lực ma sát

khô

ã Mụ hỡnh mơ hình tuyến tính, tức độ cứng K lò xo xem nh− Trên

thực tế, K số mà phụ thuộc vào dịch chuyển (biến dạng) lò xo

Xét dao động tử bậc tự do, đ−ợc kích thích cấu tay quay tr−ợt, tạo nên

dịch chuyển có dạng: ξ( )t đầu lò xo Giả sử lực ma sát nhớt (lực cản nhớt) tác động lên

vật có dạng: FC = −hψ , h hệ số cản mơi tr−ờng (Hình 12a)

Ph−ơng trình chuyển động có dạng :

( )

Mψ = −K ψ ξ− −hψ

( )t ψ

( )t ξ x M (K) ⇒ ( )

2 F t

M

ψ + αψ ω ψ+ = (1)

víi: 0 K

M

ω = ; h

M

α = ; F t( )=Kξ( )t

Nếu đa vào hệ số Q với: h

M Q

ω α

= = H×nh 12a

, ω H×nh 12b Q> Q< A ω F Mω

Q đ−ợc gọi hệ số phẩm chất của dao động tử (khi Q

lớn hệ số cản h nhỏ, nghĩa lực cản nhớt môi trờng bé)

Phong trình dao động trở thành:

2 0 ( ) F t Q M ω

ψ + ψ ω ψ+ = (2)

Chúng ta nghiên cứu chế độ c−ỡng hình sin ổn

định Trong chế độ c−ỡng hình sin F t( )=F0cosωt,

nghiệm riêng (t) phơng trình (2), biểu diễn dao

động c−ỡng có dạng : ψ( )t =A( ) cos(ω ωt+ϕ)

D−íi d¹ng phøc, ta cã :

0

( ) i t

F t =F eω ; ψ( )t =A( )ω ei tω ; A( )ω = A( )ω eiϕ

⇒ ψ( )t =iω ωA( )ei tω vµ

( )2 2

( ) ( ) i t ( ) i t

t i A eω A eω

ψ = ω ω = −ω ω hay: ψ( )t = −ω ψ2 ( )t

Thay ψ( )t vµ ψ( )t vào (2), suy đợc phơng trình theo ( )t :

2 0 ( )

i t F

i t

Q M e

ω ωω ω ω ψ ⎛ ⎞ − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⇒ ( )

2 0 ( ) i t F e t M i Q ω ψ ωω ω ω = − + ⇒ ( )

2 0

1

( ) F

A M i Q ω ωω ω ω = − +

Biên độ dao động dịch chuyển ψ( )t mođun A( )ω A( )ω có dạng:

0

2 2 0 ( ) ( ) F A M Q ω ω ω ω ω = ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

Ta cã:

( 2)

0

3/ 2 2 0 ( ) ( ) Q F dA d M Q ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ − − ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ − + ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎣

ã Với điều kiện

2

Q> th× dA( )

d

ω

ω = ⇔ 02

1 2Q ω =ω ⎡⎢ − ⎤⎥ ⎣ ⎦ ⇔ ,

0

1

2Q

ω = =

Bảng biến thiên : F Mω ,

0 1 2Q ω =ω − ∞ ( ) Aω max A

Đồ thị biểu diễn A( )ω theo ω cho hình 12b Ta thấy, hệ số phẩm chất đủ lớn:

2

Q> ,

biên độ A( )ω cực đại (nh−ng không tiến đến vô cùng) : 0'

1

2Q

ω ω= =ω

ã Trong trờng hợp

2

Q< , đồ thị biến thiên A theo ωcho hình 12b : khơng thấy xuất

hiƯn hiƯn t−ỵng céng h−ëng

2) Dao động c−ỡng hệ nhiều bậc tự do: a) Hệ hai bậc tự do:

ắ Dao động c−ỡng khơng có lực cản hệ hai bậc tự :

Xét hai dao động tử liên kết, giống nhau, liên kết ba lò xo giống nhau, độ cứng K (Hình 13) Giả sử bỏ qua ma sát tác dụng lên hai vật

H×nh 13:

x

K K K

( )t

ξ ψ1 ψ2

Đầu lò xo bên trái thực dao động :

0 ( )t cos t ξ =ξ ω

Ph−ơng trình chuyển động hai vật :

(1)

2 1

2 2

2 c F t M os ψ ω ψ ω ψ ω ψ ω ψ ω ψ ⎧ + − = ⎪ ⎨ ⎪ + − = ⎩

víi: 0 K

M

ω = vµ F0 =K.ξ0

Sử dụng phép đổi biến số : u =ψ ψ1+ 2 v=ψ ψ1− 2, hay

2 u v

ψ = + vµ

2 u v

= , suy đợc:

(2) 2 cos

v+ω v cos

F u u M F t M t ω ω ω ⎧ + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩

Chỉ xét chế độ c−ỡng hình sin ổn định Khi u(t) v(t) l nghim riờng ca h

phơng trình vi phân (2) cấp hai, có vế phải, hệ số cã d¹ng:

( ) ( ) cos

u t =U ω ωt ; v t( )=V( ) cos t

Tơng tự nh Đ2.1.a, suy đợc:

0

2

1

F U

M ω ω

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

−

⎣ ⎦ vµ:

0

2 2

1

F V

M ω ω

⎡ ⎤

= ⎢ ⎥

−

⎣ ⎦

Do đó, dịch chuyển ψ1( )t ψ2( )t có dạng:

1 2

( ) ( ) cos( ) ( ) ( ) cos( )

t A t

t A t

ψ ω ω

ψ ω ω

⎧ =

⎨ =

⎩

víi: 1 2 2 2 2

1

1

( )

F A

M ω

ω ω ω ω

⎡ ⎤

= ⎢ + ⎥

− −

⎣ ⎦ vµ:

0

2 2 2

1

( )

F A

M ω

ω ω ω ω

⎡ ⎤

= ⎢ − ⎥

Đồ thị A1( ) A2( ) theo cho hình 14a vµ 14b, víi :

0

1 2

1

2

F M ξ

ω ω

⎡ ⎤

= ⎢ + ⎥

⎣ ⎦ vµ

0

2 2

1

2

F M ξ

ω ω

⎡ ⎤

= ⎢ − ⎥

⎣ ⎦

Nh− xuất hiện hai tr−ờng hợp cộng h−ởng hệ hai bậc tự do, ứng với tần số kích thích ω trùng với tần số góc riêng ω1 với tần số góc riêng ω2

ắ Trong tr−ờng hợp dao động thực (có lực cản), biên độ dao động bị giới nội, t−ơng tự

nh− nghiên cứu dao động hệ bậc tự (Hình 15)

H×nh 15 H×nh 14

b) Tr−ờng hợp chuỗi dao động tử liên kết (Hệ N bậc tự do):

Xét chuỗi gồm N dao động tử liên kết, giống

Khi tập hợp N dao động tử liên kết (có hệ số phẩm chất Q t−ơng đối lớn) chịu kích thích

hình sin, có tần số góc ω Biên độ dao động lớn tần số kích thích xấp xỉ tần

sè riªng cđa hƯ

1) Lan truyền dao động chuỗi dao động tử:

x O

1

ψ ψ2 ψ3 ψN

a 2a 3a Na

Hình 16: N dao động tử liên kết

Xét chuỗi dao động tử giống gồm N dao động tử liên kết (Hình 16)

Ph−ơng trình chuyển động vật thứ (n) :

1

n n n

Mψ =Kψ − − Kψ +Kψn+ n

ψ : dịch chuyển vật thứ (n) so với vị trí cân xác định số n

Tởng tợng vật (1) dịch chuyển phía trớc chút Thông qua lò xo, vật (1) sÏ ®Èy vËt

(2) chuyển động, vật (2) chuyển động lại đẩy vật (3) chuyển động Dịch chuyển vật lan truyền dọc theo chuỗi dao động tử liên kết

¾ Nh− vËy:

Trong chuỗi dao động tử liên kết, dịch chuyển vật sinh lực tác dụng lên vật lân cận, làm chúng chuyển động Các dịch chuyển chúng sinh lực làm xuất dịch chuyển

BiÕn d¹ng cđa liên kết vật lân cận sẽ lan truyền từ gần xa bên chuỗi

Đại lợng lan truyền (ở dịch chuyển vật chuỗi) tạo nênmột sóng

S tồn hai đại l−ợng (dịch chuyển lực), đại l−ợng tạo đại l−ợng ng−ợc lại (gọi hai đại l−ợng liên kết) sở t−ợng truyền sóng

2) Sóng chuỗi dao động tử : a) Ph−ơng trình truyn súng:

Sự lan truyền sóng đợc mô tả phơng trình truyền sóng

Phng trỡnh chuyển động dao động tử thứ (n) có dạng:

1

n n n

Mψ =Kψ − − Kψ +Kψn+

có thể đ−ợc gọi ph−ơng trình lan truyền sóng biến dạng chuỗi dao động tử so với vị trí cân

bằng

b) Nghiệm dạng hình sin phơng trình trun sãng:

ắ Ph−ơng trình truyền sóng biến dạng chuỗi dao động tử:

(1) ψn =ω ψ02( n−1−2.ψn +ψn+1) víi: 0 K

M ω = phơng trình vi phân tuyến tính

Chui nói gồm nhiều dao tử động liên kết, t−ơng tự nh− chuỗi hai dao động tử liên kết,

hãy xem thử có tồn nghiệm hình sin, tần số góc ω biểu diễn dao động t ca h hay

không?

ắ Chúng ta tìm nghiệm dới dạng phức : n( )t =Aexp ([i ωt−kxn)] víi A= Aexp(iϕ0), víi A

là số thực d−ơng, cịn ϕ0 số thực đó, ω số thực d−ơng

TÝnh ψn( )t vµ ψn( )t : ψn( )t =i Aω exp ([i ωt−kxn)]; ψn( )t = −ω2Aexp ([i ωt−kxn)]

Thay vào (1), đồng thời l−u ý xn =n a , suy đ−ợc :

[ ]

2

0

exp (i kna) exp (i kna ka) 2.exp (i kna) exp (i kna ka)

ω ω

⇒ 2[ ] exp(ika) exp( ika)

ω ω

− = − + −

⇒ 2[ ]

0 cos( )ka isin( ) cos( )ka ka isin( )ka

ω ω

− = + − + −

⇒ 2[ ]

0

2 cos( )ka

ω = ω − ⇒ sin02

2 ka

ω = ω ⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠

⇒ sin0

2

ka ω= ω ⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠

¾ Do sin

2

ka

⎛ ⎞

≤ ⎜ ⎟ ≤

⎝ ⎠ ⇒0≤ ≤ω 2ω0

⇒ Các tần số góc ω dao động tự nằm miền : 0≤ ≤ω 2ω0

ắ Nh− vậy, sóng hình sin lan truyền dọc theo chuỗi dao động tử liên kết có dạng :

0

( ) ( ) i t nka n t Ae

ω ϕ

ψ = − +

Dao động vật đ−ợc viết d−ới dạng thực nh− sau:

0

( ) cos( )

n t A t nka

ψ = ω − +ϕ

¾ Phơng trình truyền sóng cho ta hệ thức sin0

2

ka ω = ω ⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠ hay : sin

K ka

M

ω= ⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠ víi: ω

chính tần số góc riêng (tần số góc dao động tự do) vật thứ (n)

Hệ thức cho ta mối quan hệ tần số góc riêng ω k đ−ợc gọi hệ thức tán xạ. c) Sóng chạy đơn sắc :

XÐt mét sãng cã hàm sóng mô tả biểu thức : ( , )x t =Acos(ωt kx− +ϕ0)

DÞch chun ψn(t) cđa vật nặng thứ (n) ứng với giá trị hàm sóng (x,t) vị trí cân

x = na cđa vËt nµy : ψn( )t =ψ( , )x t (x=na)

• Sóng đơn sắc:

Sóng mà hàm sóng có dạng hình sin : ψ( , )x t =Acos(ωt kx− +ϕ0) đ−ợc gọi sóng n sc

ãSóng chạy :

Ta có : ψ(x+ ∆ + ∆ =x t, t) Acos(ω ωt+ ∆ − − ∆ +t kx k x ϕ0) ⇒ Hµm sóng ( , )x t nhận giá trị

(x,t) (x + x, t + t), tøc lµ:

( , )x t (x x t, t)

ψ =ψ + ∆ + ∆ nÕu nh− k x.∆ = ∆ω t

H×nh 17

⇒ Có thể nói sóng đơn sắc nói (đặc

tr−ng b»ng pha cđa nã) dÞch chun víi vËn tèc :

v k ϕ

ω

=

v đợc gọi vận tốc pha của sãng

Sãng ψ( , )x t ch¹y däc theo trục (Ox) chuỗi

dao ng t vi tốc vϕ làmột sóng chạy ắ Ghi chú: Cần phân biệt hai khái niệm:

VËn tèc dÞch chun cđa vËt nỈng: d n( )t [ ( ,x t]x na

dt t

ψ ψ

=

∂ =

∂

VËn tèc pha: v

k ϕ

ω

d) B−íc sãng - VÐct¬ sãng:

ắ Đại l−ợng k duơng hay số âm Hai sóng ψ+( , )x t =A e+ i(ωt k x−| | ) ψ−( , )x t =A e− i(ωt k x+| | )có tần số Hai sóng chạy lan truyền dọc theo chuỗi dao động tử, nh−ng theo hai h−ớng ng−ợc

Với sóng chạy đơn sắc: ψ( , )x t =Aei(ωt kx− ), ta đ−a vectơ : k =kex gọi vectơ sóng cho biết ph−ơng chiều lan truyền sóng k d−ơng âm Nếu k > : sóng chạy theo ph−ơng chiều trục Ox Nếu k < : sóng chạy theo ph−ơng chiều ng−ợc với chiều trục Ox

ắ Tần số góc vectơ sóng k liên hệ hệ thức tán xạ : ( ) 0 sin

2

ka k

ω = ω ⎛⎜ ⎞⎟

⎝ ⎠

Hình 18 Đồ thị ( )k nh hình 18, đợc vẽ

vùng : k

a a

π π

− < < , giá trị k k a

π

+ øng

víi cïng mét nghiÖm vËt lý ψ( , )x t

ắ Một sóng chạy đơn sắc có tính chất tuần hồn theo

cả thời gian không gian có hai chu kú :

Chu kú theo thêi gian : T 2π

ω

= ; Chu kú theo kh«ng

gian:

k π

λ = gäi lµ b−íc sãng

ắ Chúng ta thấy rằng, sóng biến dạng truyền chuỗi vơ hạn dao động tử liên kết chồng chất nhiều sóng chạy đơn sắc

e) Phép gần cho môi tr−ờng liên tục:

@ Chuỗi nguyên tử liên kết đàn hồi lò xo mơ hố đơn giản để mơ tả lan truyền dao động nhỏ vật rắn (sự lan truyền sóng âm vật rắn)

Thật vậy, vật rắn xem nh− gồm chuỗi vô hạn dao động tử liên kết : Các vật dao

động có khối l−ợng M, liên kết với lò xo giống nhau, có độ cứng K

khơng đổi Ngun tử trong vật rắn xem nh− vật dao động. Lực t−ơng tác có xu h−ớng đ−a nguyên tử trở vị trí cân xem nh− lị xo có độ cứng khơng đổi Khi nguyên tử bị kích thích dao động, dao động làm nguyên tử lân cận dao động theo, dẫn đến lan truyền dao động bên vật rắn, nghĩa lan truyền sóng âm trong vật rắn

¾ Trong vËt rắn, nguyên tử cách khoảng vài mơi nanomét, bớc sóng sóng âm lan truyền vật rắn lớn so với khoảng cách nguyên tử : a <<

Ta có : ψn( )t =Acos(ωt nka− +ϕ0) vµ ψn+1( )t =Acos(ωt kna ka− − +ϕ0)

øng víi a<< ⇒λ k a<< k λ =2π th× ψn+1( )t ≈ψn( )t : Các dịch chuyển n( )t n+1( )t hai nguyên tử lân cận khác Tập hợp

các giá trị ψn( )t mô tả cách liên tục giá trị t hàm sóng ψ( , )x t ⇒ Có thể sử dụng một phép gần cho môi tr−ờng liên tục (có thể mơ hình hố mơi tr−ờng liên tục chuỗi dao động tử liên kết), kích thc c trng

của môi trờng (khoảng cách a nguyên

tử) nhỏ so nhiều với bớc sãng λ cđa c¸c sãng lan trun : a << (Mô hình bớc sóng lớn)

f) Phơng trình Dalembert:

@ Trong phộp gn cho mơi truờng liên tục (a << λ), viết:

2 ( 1) ,

( ,

( )

2!

n x n a t

x na t a t a x x ψ ψ ) ψ + ψ = + ψ = ⎡ ∂ ∂ ⎤ = =⎢ + + + ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦ ( 1) 2

1 ( 1) ,

( ,

( )

2!

n x n a t

)

x na t

a t a x x ψ ψ ψ − ψ = − ψ = ⎡ ∂ ∂ ⎤ = =⎢ − + − ⎥ ∂ ∂ ⎣

Phơng trình truyền sóng n = 02( n12.n +ψn+1) trë thµnh:

(1)

2

2

2 a

t x

ψ ω ψ

∂ ∂

=

∂

Phơng trình (1) đợc gọi phơng trình Đalămbe

Gọi: c 0a a K

M

= = , phơng trình (1) trở thành:

(2)

2 2 2

1

x c t

ψ ψ ∂ ∂ − = ∂ ∂ K

c a a

M ω

= = có thứ nguyên vận tốc, đặc tr−ng cho lan truyền sóng gọi vận

tèc trun sãng

@ Trong phép gần cho môi tr−ờng liên tục, tức :

2

a<< ⇒λ k a<< k λ= π ⇒

2 k a π << ⇒ 2 sin 2

k a k a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

≈

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝

Hệ thức tán xạ 02sin (2 ) ka

ω = ω trë thµnh:

2 2 k c ω =

Vận tốc truyền sóng sóng phẳng chạy đơn sắc : v

k

ϕ =ω hay vϕ =c, kh«ng phụ thuộc vào tần

số sóng

t

(1) Ghi chó : Cã thÓ viÕt biÓu thøc

1( ) ( ( 1) , )

n t x n a

ψ + =ψ = + b»ng c¸ch khai triĨn Taylor cho hµm ψ( , )x t

theo biÕn x t¹i x0=na víi x= +(n 1)a nh− sau :

Ta cã :

2

0

0

( ) ( )

( , ) ( ) ( ) ( )

1! 2!

x x x x

x t x x x

x x

ψ ψ

0

ψ =ψ + − ∂ + − ∂ +

∂ ∂

Do n 1( ) ( , ) ( 1) ,

x n a t

t x t

ψ + =ψ = + , vµ lÊy x0 = na vµ x = (n+1)a th× x−x0 = +(n 1)a na− =a, suy : 2

1( ) ( , ) ( 1) , ( )0 1! ( )0 2! ( )

n x n a t

a a

t x t x x x

x x ψ ψ ψ + ψ = + ψ ∂ ∂ = = + + ∂ ∂ + Hay : 2 ( 1) ,

( ,

( )

2!

n x n a t

x na t a t a x x ψ ψ ) ψ + ψ = + ψ = ⎡ ∂ ∂ ⎤ = =⎢ + + + ⎥ ∂ ∂ ⎣ ⎦

Chơng II:

DÂY RUNG - phơng trình DalămbE

Đ1 Dao động ngang - Ph−ơng trình Đalămbe: 1) Quan sát lan truyền biến dng dc theo dõy:

Một sợi dây, đầu gắn vào tờng, đầu đợc kéo căng nguời quan sát (Hình 2) Khi

ngời quan sát tạo biến dạng đầu dây, biến dạng chạy dọc theo dây từ điểm sang

điểm khác, tạo nên sóng lan truyền dọc theo dây, tơng tự nh sóng biến dạng lan truyền

trong chuỗi vô hạn dao động tử liên kết

a) Sãng ngang vµ sãng däc:

Xét sóng lan truyền chuỗi vơ hạn dao động tử liên kết sóng lan truyền

trên dây Hai sóng lan truyền theo phơng Ox (gọi phơng truyền sóng) Tuy nhiên, vật

dao động chuỗi dao động tử chuyển động theo ph−ơng song song với Ox, cịn dịch chuyển

cđa điểm dây theo phơng vuông góc với Ox

ƒ Sóng ngang: sóngmà phần tử mơi tr−ờng chuyển động mặt phẳng vng góc

với ph−ơng truyền sóng Ví dụ, sóng dây đàn căng thẳng

a) Sãng ngang b) Sóng dọc

Hình

Phơng truyền sóng Ph−¬ng trun sãng

ƒ Sóng dọc: sóng mà ph−ơng dao động phần tử môi tr−ờng trùng với ph−ơng truyền sóng Ví dụ, sóng âm khơng khí, sóng biến dạng truyền chuỗi dao động tử liên kết

b) ChiÒu truyÒn sóng - Sóng chạy :

Quan sát lan truyền sóng dây thời ®iÓm kÕ tiÕp t0, t1= t0 +∆t, t2 = t0 +2∆t, , tn= t0 + n∆t (H×nh 2) Ta thấy rằng, biến dạng dây thời điểm khác nh

nhau, nhng khoảng thời gian t, biến dạng truyền đợc khoảng x tØ lƯ víi ∆t:

∆x = c ∆t ⇒ Sóng biến dạng lan truyền dọc theo dây với vận tốc c x

t

∆ =

khụng i theo chiu

x tăng (c đợc gọi vận tốc truyền sóng)

Dịch chuyển (x,t) dây (x + ct, t + t) (x,t) nh nhau:

(x c t t , t) ( , )x t

ψ + ∆ + ∆ =ψ

ƒ Khi sóng dây lan truyền theo ph−ơng chiều Ox, dịch chuyển mt im M ta x

trên dây thời điểm t giống nh dịch chuyển điểm O (x = 0) thời điểm u t x

c = − ⇒

( , )x t (0,t x) f t( x)

c c

ψ =ψ − = − ⇒ Hµm ψ(x,t) chØ phơ thc vµo biÕn sè nhÊt :

( , )x t f u( )

ψ = (1) víi u t x

c = −

• Ta cã :

2 2

f

f x

x x x

ψ

∂ ⎛ ⎞ ∂⎜ ⎟ ∂ =∂ = ⎝∂ ⎠

∂ ∂ ∂ Mµ :

1

f f u f

x u x u c

∂ =∂ ∂ =∂ ⎛− ⎞ ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

⇒ 22 2 22

1. 1.

1 1

f f f

f

c u x c u

x x c u c u c

ψ

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ −⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ∂ −⎜ ⎟ ∂ = ⎝ ∂ ⎠= − ⎝∂ ⎠= − ⎝ ∂ ⎠= ∂

∂ ∂ u (a)

Mặt khác:

2

f

f u

u u

∂ ⎛ ⎞ ∂⎜ ⎟ ∂ = ⎝∂ ⎠

∂ ∂ víi

f f t f

u t u t

∂ =∂ ∂ =∂

∂ ∂ ∂ ∂ ⇒

2

2

f f f

f t u t f

u u t t t

2

t

ψ

∂ ∂ ∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟

∂ = ⎝∂ ⎠= ⎝∂ ⎠= ⎝∂ ⎠=∂ =∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(b)

Tõ (a) vµ (b), suy :

2

2 2

1 x c t

ψ ψ

∂ = ∂

∂ ∂ ⇒Hµm sãng ψ( , )x t = f u x t( ( , ))là nghiệm phơng

trình truyền sóng Đalămbe

ã Tip tc quan sỏt (Hình 3) ⇒ Biến dạng đến t−ờng, tạo nên sóng phản xạ lan truyền

víi vËn tèc c cđa sãng tíi, nh−ng theo chiỊu x gi¶m có dạng: ( , )x t =g(v) với v t x c = +

Đây sóng chạy theo phơng Ox theo chiều x giảm

ã Tơng tự, hàm sóng ( , )x t =g(v( , ))x t nghiệm phơng trình truyền sóng Đalămbe

2) Phng trỡnh chuyn ng dây: a) Mô tả chuyển động ngang nh:

y

ã Xét sợi dây căng thẳng nằm theo phơng trục

Ox Khi gừ lên dây, dây rung động Để đơn giản xét chuyển động sợi dây mặt phẳng xOy

Gọi: (x,t) dịch chuyển theo phơng Oy cđa d©y

tại hồnh độ x, thời điểm t (dịch chuyển ngang); α(x,t) góc tiếp tuyến với dây hoành độ x, thời điểm t so với trục Ox nằm ngang

Dây rung với biên độ bé Có thể xem nh− dây

th¼ng Góc nghiêng (x,t) dây bé:

( , ) ( , ) ( , )

x x t x t tg x t

x

ψ

α ≈ α = ⎢⎡∂ ⎤⎥

∂

⎣ ⎦

Hoành độ cong s đo dọc theo dây cung nghiệm hệ thức:

2

2 1 d

ds dx d dx dx

dx

ψ

ψ ⎛ ⎞

= + = +⎜ ⎟ ≈

⎝ ⎠ tøc lµ

hồnh độ cong s coi nh− hoành độ ngang x Chuyển động điểm dây

theo ph−¬ng Ox n»m ngang cã thể bỏ qua Sóng lan truyền dây xem nh

sóng ngang

M

dx ds

dψ

( , )x t ψ

( , )x t α

H×nh

x

O x

b) Lùc căng dây:

Xét lực tác dụng lên phân tố dây có chiều dài dx, nằm x x + dx (Hình 5)

Gi T(x,t) giá trị lực căng dây điểm có hồnh độ x, thời điểm t

Bỏ qua trọng l−ợng dây Giả sử bỏ qua độ cứng xoắn dây ⇒ Dây không chịu tác dng ca

momen xoắn; lực tác dụng lên d©y h−íng theo tiÕp tun víi d©y

ƒ Gọi F x t( , ): lực căng tác dụng thời điểm t, từ phần dây có tọa độ > x lên phần dây có tọa độ < x Phần dây có tọa độ nhỏ x tác động lên phân tố dây dx lực:

1 ( , ) ( , )

F = −F x t =T x t u

Phần dây có tọa độ lớn x+dx tác động lên phân tố dx lực:

2 ( , ) ( , )

F = +F x+dx t =T x+dx t u

với u1 u2 vectơ đơn vị tiếp tuyến với dây x x + dx thời điểm t Các thành phần F1 F2 trục Ox Oy:

Trªn Ox: Trªn Oy :

2

( , )

( ,

x

x

F T x t

F T x dx t

≈ − ⎧

⎨ ≈ +

⎩ )

1

( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

y y

y y

F F x t T x t x t

F F x dx t T x dx t x dx t

α α

= − ≈ − ⎧⎪

⎨ = + ≈ + +

⎪⎩

y

O x

x

M

( , )x t ψ

( , )x t α

1

F

1

u

(x dx t, )

ψ +

(x dx t, )

α +

2

F

2

u

x + dx

H×nh

ƒ áp dụng định luật Newton II cho phân tố dây dx, chiếu lên Ox :

( , ) ( , ) T x+dx t −T x t =0

)

t =T

⇒ T x( +dx t, )=T x t( ,

Tại thời điểm t, lực căng d©y T b»ng h»ng sè däc theo d©y

Mặc khác, chiều dài dây xem nh− không đổi ⇒ lực căng nói ln lực căng T0

dây không chuyển động: T x( , ) 0

1

2

( , ) ( , )

( , ) ( , )

y y

y y

F F x t T x t F F x dx t T x dx t

α α

= − = − ⎧⎪

⎨ = + = +

⎪⎩

Từ suy ra: (2)

c) Ph−ơng trình chuyển động ngang :

Gọi khối l−ợng đơn vị chiều dài dây áp dụng định luật Newton II cho phân tố dõy dx

(khối lợng dx) chiếu lên Oy:

[ ]

2

2

2 y y y( , ) y( , ) ( , ) ( ,

dx F F F x dx t F x t T x dx t x t)

t ψ

µ ∂ = + = + − = α + −α

∂ Suy ra:

2

0

2

y F

T T

t x x x

ψ α ψ

µ∂ = ∂ = ∂ =

∂ ∂ ∂ ∂

∂

(3)

(L−u ý :

x

=

)

3) Phơng trình truyền sóng:

Từ phơng trình (3), suy đợc phơng trình truyền sóng Đalămbe:

2 2 2

1

0

x c t

ψ ψ

∂ − ∂

∂ ∂ = (4) víi:

0

T c

µ

=

Đại lợng c T0

à

= , có thứ nguyên vận tốc đặc tr−ng truyền sóng dây

Phơng trình truyền sóng (4) đợc suy từ hai phơng trình sau liên kết Fy(x,t) (x,t): 2 0 y y F t x

F T T

x ψ µ ψ α ∂ ⎧∂ = ⎪⎪ ∂ ∂ ⎨ ∂ ⎪ = = ⎪ ∂ ⎩ (5)

Víi v( , )x t ( , )x t t

ψ

∂ =

vận tốc dịch chuyển ngang, phơng trình (5) trở thành :

0

( ( , ) v(x,t)

(- ( , )) v( , ) y

y

) F x t t

F x t

x x t T t x µ ∂ − ⎧∂ = − ⎪ ∂ ∂ ⎪ ⎨ ∂ ∂ ⎪ = − ⎪ ∂ ∂ ⎩ (6)

Hệ ph−ơng trình (6), liên kết biến đổi vận tốc ngang v(x,t) thành phần ngang F x ty( , ) lực căng dây F x t( , ), đ−ợc gọi ph−ơng trình liên kết

ƒ Nh− vậy, biến dạng sợi dây làm xuất lựcF x ty( , ), thân lực kéo

theo mét vËn tèc dÞch chun ChÝnh mèi liên kết sở tợng lan truyền sóng

trên sợi dây

Đ2 Nghiệm sóng phẳng chạy phơng trình Đalămbe :

ã Trên đây, ta biết sóng f u( ) f t( x)

c

= − vµ g(v) = g(t x) c

+ nghiệm

phơng trình Đalămbe chiều

2 2 2

1

0

x c t

ψ ψ

∂ ∂

− =

Có thể quan sát đợc lan truyền hai

sóng dây

ã Ngời ta chứng minh nghiệm tổng quát phơng trình Đalămbe đợc viết dới dạng

tổng hai nghiƯm f(u) vµ g(v):

( , )x t ( , )u v f u( ) g(v)

ψ =ψ = + víi: u u x t( , ) t x

c

= = − vµ v v( , )x t t x c

= = + (7)

NghiÖm f t( x)

c

mô tả sóng phẳng chạy lan truyền với vận tốc c theo phơng Ox theo chiều x

tăng Nghiệmg t( x)

c

+ mô tả sóng phẳng chạy lan truyền với vận tốc c theo phơng Ox theo chiỊu

x gi¶m

Đ3 Nghiệm sóng phẳng chạy đơn sắc ph−ơng trình Đalămbe: 1) Nghiệm hình sin ph−ơng trình Đalămbe:

Cã thể tìm nghiệm phơng trình Dalembert phụ thuộc vào thời gian theo dạng hình sin

Sử dụng ký hiệu phức, nghiệm hình sin có dạng: ( , )x t =ϕ( )x ei tω (2)

TÝnh 2 x ψ ∂ ∂ ; 2 t ψ ∂ ∂ (

) vµ thay vµo phơng trình truyền sóng, suy sa:

2 2 2 ( )

( )

x x x c ϕ ω ϕ ∂ + = ∂

(2 ) Nghiệm sóng phẳng chạy hình sin cã d¹ng : + D¹ng thùc :

0

( , )x t cos( t kx )

ψ =ψ ω − +ϕ

+ D¹ng phøc : ( , )x t 0 i( t kx) e ω

ψ =ψ −

với ψ0 =ψ0eiϕ, k d−ơng hay âm Do đó, viết :

0

( , ) ikx i t

x t e eω

ψ =ψ

Nghiệm tổng quát có dạng: ϕ( )x =ψ10e−ikx +ψ20eikx

Víi : 01

10 10

i e φ ψ =ψ −

vµ 02

20 20

i e φ ψ =ψ −

vµ k

c

ω

=

Vì vậy, nghiệm hình sin tìm đợc có dạng:

( ) ( 10 20

( , ) i t kx i t kx

x t e ω e ω

ψ =ψ − +ψ + )

D−íi d¹ng thùc, ta cã:

10 01 20 02

( , )x t cos( t kx ) cos( t kx )

ψ =ψ ω − +φ +ψ ω + +φ (8)

Mỗi số hạng nghiệm đặc tr−ng cho sóng phẳng chạy đơn sắc Số hạng

10cos( t kx 01)

ψ ω − +φ mô tả sóng phẳng chạy lan truyền với vận tốc c theo phơng Ox theo chiều

x tăng Số hạng 20cos(t+kx+02) mô tả sóng phẳng chạy lan truyền với vËn tèc c theo

ph−¬ng Ox theo chiỊu x gi¶m

2) Các đặc tr−ng sóng phẳng chạy đơn sắc :

• Một sóng phẳng chạy đơn sắc lan truyền theo ph−ơng trục Ox theo chiều x tăng đ−ợc mơ tả

d−íi d¹ng phøc:

( ( , ) i t kx

x t e ω

ψ =ψ − )

víi:

0

i eφ ψ =ψ

Hoặc dới dạng thực:

0

( , )x t cos( t kx )

ψ =ψ ω − +φ

Sóng đ−ợc đặc tr−ng tần số góc ω vectơ sóng k =k e x (k cho ta biết ph−ơng chiều truyền sóng) có hai chu kỳ:

Chu kú theo thêi gian: T 2π

ω

=

Vµ chu kú theo kh«ng gian:

k π λ =

• Ta thÊy: ψ(x+ ∆x t, + ∆ =t) ψ( ,x t) k x∆ = ∆ω t Nh− vËy, cã thĨ nãi r»ng sãng lan trun

theo ph−¬ng chiỊu Ox víi vËn tèc: v x

t k

ϕ ω

∆

= =

∆

v k

ϕ =ω gäi lµ vËn tèc truyÒn sãng hay vËn tèc pha (vËn tèc lan truyền pha)

3) Hệ thức tán xạ:

Phơng trình truyền sóng cho ta hệ thức liên hệ k đợc gọi hệ thức tán xạ

Trng hp súng phng chy n sc dạng ψ( , )x t =ψ0ei(ωt kx− ), nghiệm phng trỡnh truyn

sóng Đalămbe, phơng trình truyền sóng trë thµnh:

2

( ) 2

1

0

i t kx e

x c t

ω−

⎛ ∂ − ∂ ⎞ =

⎜∂ ∂ ⎟

⎝ ⎠ ⇒

2 ( )

1

( ) ( ) i t kx

ik i e

c

ω

ω −

⎛ − ⎞ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

Suy hệ thức tán xạ:

2

2

k c ω

= (9)

(3 ) Ta cã : ei t

x x

ω

ψ ϕ

∂ = ∂

∂ ∂

2 2

i t e

x x

ω

ψ ϕ

∂ = ∂

∂ ∂

2

2 ( )

i t x e t

ω

ψ ω ϕ

∂ = −

∂

§4 NghiƯm sóng dừng phơng trình Đalămbe : 1) Sự hình thành sóng dừng - Dây Melde:

a) Thí nghiệm sóng dừng dây Melde:

Một sợi dây đợc căng thẳng hai đầu (Hình 6)

Đầu thứ gắn với rung, đợc kích thích nam châm điện, đầu dây thực

hiện dao động bé với tần số (v v=2 'v , với v': tần số dòng điện chạy qua nam chõm)

Đầu thứ hai dây vắt qua ròng rọc Sợi dây đợc căng nhờ cân có khối lợng M thay

i c ⇒ Sức căng dây: T0 = Mg

b) Quan sát sóng dừng:

ã Sau giai on quỏ độ (xảy khoảng thời gian ngắn), dây thực dao động

c−ìng bøc víi tÇn số tần số rung dây xt hiƯn c¸c “ bã sãng” v

Quan sát thấy dao động xảy chỗ không dịch chuyển ⇒ Trên dây xuất sóng

dõng

• Thay đổi tần số rung Nói chung, biên độ dao động dây bé (và có cở độ

lớn với biên độ dao động a rung) Tuy nhiên, ứng với số tần số định, biên

độ trở nên lớn: Trên dây xuất hiện t−ợng cộng h−ởng (Hình 7)

v

n v

• Ta thấy ứng với tần số cho tr−ớc, số điểm cố định, cách dây xuất

hiện cực đại dao động (gọi là bụng dao động) và cực tiểu dao động (gọi nút dao động)

y

Ròng rọc Nam châm điện

Thanh rung x

O

H×nh M

biên độ dao động rung

bụng dao động

nút dao động Hình

• Khi cã cộng hởng, đầu dây gắn với rung gần

nh− trùng với nút dao động khoảng cách hai

nót b»ng:

+ ChiỊu dµi L cđa d©y cã mét bã sãng

+

2

L

cã hai bã sãng +

3

L

cã ba bó sóng

c) Định nghĩa sóng dừng:

Trong thí nghiệm đây, điểm dây có hoµnh

độ x thực dao động ψ( ,x t) với biên độ F

phô thuéc vào x (và không phụ thuộc vào t)

( , )x t

có dạng: a) Tần sè bÊt kú b) TÇn sè céng h−ëng

nhÊt c) TÊn sè céng h−ëng thø hai

( , )x t F x( ).cos( t )

Trong biĨu thøc nµy, biÕn sè x vµ t đợc phân ly Sự phụ thuộc ( , )x t vào t x c

vào

x t

c

+ không Không có lan truyền Hàm ( , )x t mô tả sóng dừng

Tóm lại: Một sóng dừng phẳng đợc mô tả dới dạng thực hàm có dạng:

( , )x t F x G t( ) ( )

ψ =

2) Nghiệm sóng dừng phơng trình Đalămbe:

ã Xét hàm sóng với biến số phân ly mô tả sóng dừng: ( , )x t =F x G t( ) ( )

Khi ( , )x t nghiệm phơng trình truyền sóng Đalămbe

2 2 2

1

0

x c t

ψ ψ

∂ − ∂ =

∂ ∂ , ta cã:

2

1

''( ) ( ) ( ) ''( ) F x G t F x G t

c

− =

V× vËy: ''( ) ''( )

( ) ( )

F x G t

c

F x = G t =A (11)

Hai số hạng đầu lần l−ợt phụ thuộc vào biến độc lập x t ⇒ A =

• Chúng ta tìm nghiệm chấp nhận đ−ợc cho giá trị x t ⇒ Khơng xét đến

nghiƯm ph©n kú ⇒ ChØ xét trờng hợp A < Đặt: A=

Phơng trình (11) trở thành:

2

''( ) ( )

F x F x

c

ω

+ = G t''( )+ω2 ( ) 0G t =

Suy ra: G t( )=G0.cos(ω ϕt+ G) F x( )=F0.cos(kx+ϕF) víi: k c ω

=

Tóm lại: Sóng dừng đơn sắc, nghiệm ph−ơng trình Đalămbe có dạng:

0

( , )x t cos(kx F) cos( t G)

ψ =ψ +ϕ ω +ϕ (12)

3) Dao động tự nhỏ dây rung hai đầu cố định:

Hãy tìm nghiệm Ψ(x,t) ph−ơng trình truyền sóng ngang dây có chiều dài L đ−ợc cố định hai đầu Nghiệm Ψ(x,t) mô tả dao dộng tự điểm dây có tọa độ x

a) Nghiệm ph−ơng trình truyền sóng dao động ngang dây:

NghiƯm tỉng quát phơng trình truyền sóng dây có dạng: ( , )x t f t( x) g t( x)

c c

ψ = − + +

Điều kiện biên: (0, ) 0t

= f t( )+g t( ) 0= víi mäi t (a)

( , ) 0L t

ψ = ⇒ f t( L) g t( L) =

c c

− + + víi mäi t (b)

Tõ (a) vµ (b) suy ra: f t( L) g t( L) = f (t L)

c c

− = − + +

c ⇒ Hµm f cã chu kú theo thêi gian lµ T 2L

0 0

1

( ) ncos( ) nsin( )

n n

f t a a nω t b nω t

∞ ∞

= =

= +∑ +∑ víi:

c L

π

ω = (4) tần số góc

Dng tng quỏt sóng truyền dây hai đầu cố định:

( , )x t f t( x) g t( x)

c c

ψ = − + +

⇒ ( , )x t f t( x) f t( x)

c c

ψ = − − +

⇒ 0 0 0

1

( , ) ncos( ( )) nsin( ( ))

n n

x x

x t a a n t b n t

c c

ψ ∞ ω ∞

= =

= +∑ − +∑ ω −

0 0 0

1

cos( ( )) sin( ( ))

n n

n n

x x

a a n t b n t

c c

ω ω

∞ ∞

= =

− −∑ + + +

Đặt: An = 2bn; Bn =2an

Suy ra: [ 0 ]

1

( , ) ncos( ) nsin( ) sin( )

n

0

x

x t A n t B n t n

c ψ ∞ ω ω ω = ⎡ ⎤ = ⎢ + ⎥ ⎣ ⎦

∑ (13)

Hai biÕn x t phân ly biểu thức ( , )x t theo (13) nghiệm mô tả sóng dừng

phơng trình Đalămbe

b) Cỏc dng dao động riêng dây rung :

@ BiÓu thøc ψ( , )x t theo (13) cho thÊy sóng dừng dây chồng chất nhiều sãng dõng

đơn sắc có dạng: F x G tn( ) n( ) sin(n 0 x)(Ancos(n 0t) Bnsin(n 0t)) c

ω ω

= + ω

⇒ F x G tn( ) n( ) F0nsin(n 0 x).G0nsin(n 0t n)

c

ω ω ϕ

= +

Các hàm F xn( ) G tn( ) có dạng điều hòa:

0

( ) sin(2 ) sin(2 )

n n n

n

n x

F x F x F

L

π π

λ

= = ( ) 0 sin(2 ) 0 sin(2 )

2

n n n n n

nc

G t G t G t

L n

π ϕ πν

= + = +ϕ

víi: n 2L

n λ = ; n c n L

ν = ; 0 c

L

π

ω =

Chu kú theo không gian Fn(x) tơng ứng với:

0 n L n n λ

λ = = víi: λ0 =2L

Chu kú theo thêi gian cđa Gn(t) t−¬ng øng víi:

0 n c n n L

ν = = ν víi: 0

2 c

L

ν =

Trong n số nguyên

Ta cã: c =λ ν0 =λ νn n

• Nh− dây rung có n dạng dao động riêng ứng với n tần số góc riêng 0n n 0 n c

L

π

ω = ω =

Dạng dao động thứ (n = 1):

(4) Ta cã :

2

T

π

ω = víi : 2L

c

= ⇒

T 0 c

L

π

⇒

1

2

c L

ω

ν ν

π

= = = ;

2

L L n

λ =λ = = ⇒

2

L= λ

Dạng dao động thứ hai (n = 2):

⇒ ν2 = 2ν0; 2

λ

λ = ⇒ 2.

2

L= λ

Dạng dao động thứ ba (n = 3):

⇒ ν3 =3ν0; 3

3

λ

λ = ⇒ 3.

2

L= λ

Dạng dao động riêng ứng với tần số góc riêng thấp gọi dạng dao động riêng (n = 1;

0

c L

π

= )

ã Hiện tợng cộng hởng xảy dây Melde tần số kích thÝch ν trïng víi mét

các tần số riêng dao động dây

Hình 8: Các dạng dao động riêng

Ch−¬ng III :

sãng ©m chÊt L−u

Sóng âm (âm) sóng có biên độ nhỏ mà thính giác nhận biết đ−ợc Ví dụ sóng phát từ nhánh âm thoa, dây đàn, mặt trống Những dao động âm có tần số dao động

khoảng 20Hz đến 20000Hz Những dao động có tần số d−ới 20Hz gọi hạ âm, 20000Hz gọi

là siêu âm Nh− vậy, dải sóng âm nghe đ−ợc có b−ớc sóng từ 20m đến 2cm (Hỡnh 1)

Về phơng diện vật lý âm nghe đợc hay không nghe đợc khác

cht Chỳng ch khỏc ph−ơng diện sinh lý, thích hợp hay khơng thích hợp tai ta

20Hz 20000Hz

Nghe dợc Siêu âm Hạ âm

Hình 1: Đ1 Phơng trình lan truyền sóng âm : 1) Âm lan truyền sóng âm: a) Thí nghiƯm :

Mét chiÕc loa nèi víi mét máy phát tần số thấp (GBF), phát âm nghe đợc Để phân

tích tợng truyền âm, ta dùng thêm micro quan sát tín hiệu âm phát từ máy phát thu

c từ micro nhờ dao động ký (Hình 2)

b) HiƯn t−ỵng lan trun:

Micro Loa

Hình 2: Âm lan truyền từ loa đến micro

• Trên hình dao động ký, ta nhận c

hai tín hiệu hình sin, có tần sè nh−ng

lƯch pha (H×nh 2) ⇒ Micro bắt đợc

tớn hiu hỡnh sin loa phát ⇒ Sóng âm

truyền khơng khí từ máy phát (loa) đến máy thu (micro)

• Khi đ−a micro xa dần loa, độ lệch pha

tăng dần Thời gian truyền tín hiệu tõ m¸y

phát đến máy thu tăng dần theo khong cỏch gia chỳng

ã Khi dịch chuyển chậm micro xa loa

khoảng cách , tín hiệu hình sin thu đợc

ở micro trở lại trùng với vị trí ban đầu

Ngoài chu kỳ theo thời gian T, sóng âm thu đợc có chu kỳ theo không gian λ

• Nh− sóng âm dạng sin có đặc tr−ng giống nh− đặc tr−ng nghim dng

sin phơng trình Đalămbe

c) Vận tốc âm :

ã Ta biết chu kỳ theo không gian theo thời gian sóng phẳng chạy đơn sắc,

nghiệm phơng trình Đalămbe, ứng với tần sè ν, liªn hƯ víi b»ng hƯ thøc : λ=c TS

• Khi thực thí nghiệm nói trên, thay đổi tần số tín hiệu điện gởi vào loa, lặp lại thao tác nhiều lần thực phép đo, ta thấy tỷ số

T

λ

cđa sãng ©m b»ng h»ng sè:

340 / S

c m s

T

λ

= ≈ cS biĨu thÞ vËn tèc cđa sãng ©m kh«ng khÝ

d) M«i tr−êng lan trun :

• Khi dùng tần số nhỏ, ta quan sát đ−ợc dao động loa (dao động điện

biến thành dao động cơ) Với tần số nghe đ−ợc, t−ợng t−ơng tự

Chuyển động loa gây dao động nhỏ khơng khí Các mơi tr−ờng vật chất

nh− khơng khí, chất khí có tính đàn hồi Chuyển động loa làm lớp khơng khí lân cận

bị nén lại, áp suất lớp khơng khí tăng lên chút ít, đến l−ợt mình, đẩy lớp khơng khí

lân cận chuyển động , tạo nên sóng âm Nh− vậy, có liên kết vận tốc v ỏp sut d

dòng chất lu, nguyên nhân lan truyền

ã Sóng âm lan truyền môi trờng vật chất, lan truyền đợc chân không

2) Các phơng trình liên kết : a) Mô tả toán :

tỡm phng trỡnh lan truyền sóng âm, cần dựa vào ph−ơng trình chuyển động chất l−u

Chuyển động chất l−u đ−ợc mơ tả ph−ơng trình :

ã Phơng trình bảo toàn khối lợng :

div( v) = t

ρ ρ

∂ +

(1)

(Giả sử bên chất lu nguồn thêm khối lợng; v, : vận tốc khối lợng riêng

tại điểm M môi trờng chất lu)

ã Phng trỡnh chuyn động (ph−ơng trình Euler):

V

v

(v.grad)v = - gradP + f t

ρ⎛⎜∂ + ⎞⎟

∂

⎝ ⎠ (2)

(Giả sử bỏ qua độ nhớt chất l−u; fV lực thể tích chất l−u trạng thái tĩnh, ví dụ lực trọng tr−ờng : fV = ρg)

• Biểu thức cân l−ợng (nguyên lý thứ nhiệt động học):

dU =δQ+δW (3)

• Phơng trình trạng thái : f P( , , ) T = (4)

Đây hệ gồm phơng trình vô hớng phức tạp cần phải giải Do vậy, ta đa

giả thuyết nhằm đơn giản hóa tốn

b) Giả thuyết nhiệt động học :

• Thực nghiệm chứng tỏ lan truyền sóng âm đ−ợc đặc tr−ng tắt dần yếu

trong lịng mơi tr−ờng lan truyền ⇒ Có thể bỏ qua tiêu tán l−ợng (do dẫn nhiệt, độ

nhớt ) coi nh− có sóng âm lan truyền, chất l−u thực cỏc chuyn ng nh ng

entropi (đoạn nhiệt)

• Gọi P0, ρ áp suất, khối l−ợng riêng chất l−u đứng yên (giả sử P0, ρ hằng số đồng nhất khối chất l−u)

Khi xuất sóng âm chất l−u, đại l−ợng biến thiên bé Gọi : ρ ρ= − 0 : độ biến thiên khối l−ợng riêng chất l−u ⇒ << ρ0

0

p= −P P : độ biến thiên áp suất (p gọi áp suất d− âm học) ⇒ p <<P0

Sử dụng hệ số nén đẳng entropi : S

S V

V P

χ = − ⎜⎛∂ ⎞⎟

∂

⎝ ⎠ víi :

M V

ρ

Suy ra: 2

0

1 1

S

S S S

S V

M

M P M P P P P

ρ ρ

p

ρ ρ ρ ρ ρ

χ

ρ ρ ρ ρ

⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ ⎛ ⎞⎛∂ ⎞ ⎛∂ ⎞ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = − ⎜− ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ≈ =

∂ ⎝∂ ⎠ ⎝∂ ⎠ ⎝∂ ⎠ −

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

µ ρ

Nh− vËy: µ ρ χ= Sp (5)

c) TuyÕn tÝnh hóa phơng trình :

S thay i trạng thái chất l−u sóng âm gây nhiễu loạn nhỏ⇒ Có thể tuyến

tính hóa ph−ơng trình nói (phép gần õm hc)

ã Phơng trình bảo toàn khối l−ỵng : div( v) =

t

ρ ρ

∂ +

∂ ⇒ ρ ρt div(v) + vgrad

∂ + =

∂ ρ (

5

) Víi : µ ρ ρ= − hay :ρ ρ= 0+µ (ρ0 b»ng h»ng sè)

⇒ 0div(v) + div(v) + v grad t

µ ρ µ µ

∂ + =

∂

Ng−ời ta chứng minh đ−ợc rằng, biên độ dao động phần tử chất l−u << b−ớc sóng sóng âm hay |v| << cS v grad

t

à <<

Mặt khác, | |à <<0 àdiv(v) <<0div(v)

Phơng trình bảo toàn khối lợng trở thành : 0div(v) =

t

µ ρ

∂ +

∂ (6)

Nh− vậy, để tuyến tính hóa ph−ơng trình (1), phải dựa hai giả thuyết : | |à <<ρ0

Phép gần đ−ợc gọi phép gần âm học, phép gần

b−íc sãng lín

S

|v| << c

• Ph−ơng trình chuyển động :

Ph−ơng trình chuyển động (ph−ơng trình Euler):

V

v

(v.grad)v = - gradP + f t

ρ⎛⎜∂ + ⎞⎟

∂

⎝ ⎠

Lực thể tíchfV đợc bù trừ gradient ¸p st P0 cđa chÊt l−u ë tr¹ng th¸i tÜnh

Mặt khác:

v v

t t

ρ∂ ≈ ρ ∂

∂ ∂

Vµ víi gi¶ thiÕt |v| << cS, ng−êi ta chøng minh ®−ỵc r»ng

v (v.grad)v<<

t ∂ ∂ (

6

)

Ph−ơng trình trình chuyển động trở thành :

v

= - gradp t

ρ ∂

∂ (7)

@ Tóm lại : Các ph−ơng trình mơ tả chuyển động chất l−u, có sóng âm lan truyền (biến thiên đẳng entropie) :

(5 ) Ghi chó : div( v) = div(v) +vgrad ρ ρ ρ

(6 ) Ghi chó :

v v

v v v

v v

(v.grad)v v v v

v v v

x x

x y z

y y

x y z

z z

x y z

v v

x

y

z

x y z

x y z

A A A

x y z

∂ ∂ ∂

⎧ + +

⎪ ∂ ∂ ∂

⎪

∂ ∂ ∂

⎪

=⎨ + +

∂ ∂

⎪

⎪ ∂ + ∂ + ∂

⎪ ∂ ∂ ∂

⎩

0div(v) =

t

µ ρ

∂ +

(phơng trình bảo toàn khối lợng) (8)

0

v

= - gradp t

(phơng trình Euler) (9)

0 Sp

à ρ χ= (giả thiết biến thiên ng entropi) (10)

d) Các phơng trình liên kết :

ã Khử biến ba phơng trình (8), (9), (10) Hệ phơng trình liên kết vận tốc v áp suất d p ®iÓm chÊt l−u :

0

(v) (a)

v

= - grad (b)

S p

div t

p t

χ ρ

∂

⎧ = −

⎪ ∂ ⎪ ⎨∂ ⎪ ⎪ ∂ ⎩

(11)

ã Trờng hợp sóng âm phẳng lan truyền theo phơng trục (Ox), phơng trình liên kết có

dạng :

0 v

(a)

v

= - (b)

S p

t x

p

t x

χ ρ

∂ ∂

⎧ = −

⎪ ∂ ∂

⎪

⎨∂ ∂

⎪

⎪ ∂ ∂

(12)

3) Phơng trình lan truyền: a) Phơng trình Đalămbe :

ã Phơng trình lan truyền áp suất d :

Từ phơng trình (11a), suy : (v) = S p

div

t

χ ∂

−

∂ ⇒ ( )

2 div(v) = S p

t χ t

∂ − ∂

∂ ∂ (χS xem nh− h»ng sè)

⇒ div v = S 22

p

t χ t

∂ ∂

⎛ ⎞ −

⎜∂ ⎟ ∂

⎝ ⎠ (a)

Tõ (11b) suy :

0

v

div = - div(gradp )

t ρ

∂

⎛ ⎞

⎜∂ ⎟

⎝ ⎠ (b)

Tõ (a) (b) nhận đợc :

2 S

div(gradp)- = p

t ρ χ ∂

∂

Hay :

2 2 S

p - =

c

p t

∂ ∆

∂ (13)

Víi : S

0 c =

S ρ χ

Trong : ∆ tốn tử Laplace : ∆ =p div(gradp) • Ph−ơng trình lan truyền vận tốc :

¾ Tõ (12) suy :

2

0 0

v 1 1 v

S

p p

t ρ t x ρ x t ρ x χ

⎛ ⎞

∂ = − ∂ ∂⎛ ⎞= − ∂ ∂⎛ ⎞= − ∂ −

⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎝ x⎠

∂ ∂

⇒ 22 22

0

v v

0

S

t ρ χ x

∂ − ∂ =

∂ ∂

Hay :

2 2 2

v v

0

S

x c t

∂ − ∂

∂ ∂ = (14) Víi : S

0 c =

S ρ χ

¾ Tỉng quát hoá cho trờng hợp sóng âm lan truyền theo ba chiÒu :

2 2 v v S c t ∂ ∆ −

∂ = (15)

4) Sự lan truyền sóng âm phẳng chạy :

a) Nghiệm sóng phẳng chạy phơng trình Đalămbe :

ã Xét sóng phẳng lan truyền chất lu theo phơng Ox, đợc mô tả vận tốc

v v( , )= x t ex áp suất p = p(x,t) Phơng trình lan truyền theo chiều có dạng :

2 2 2

S

- =

c p p x t ∂ ∂ ∂ ∂ ; 2 2

v v

0

S

x c t

∂ − ∂ =

∂ ∂

ã Ngời ta chứng minh đợc nghiệm tổng quát phơng trình truyền sóng Đalămbe

có dạng:

v( , ) ( ) ( ) x

S S

x x

x t f t g t

c c

⎛ ⎞

=⎜ − + +

⎝ ⎠⎟e (16a)

0

( , ) S ( ) ( )

S S

x x

p x t c f t g t

c c

ρ ⎡ ⎤

= ⎢ − − + ⎥

⎣ ⎦ (16b)

(L−u ý r»ng biÓu thøc cđa p(x,t) cã dÊu (-) phÝa tr−íc hµm g)

NghiÖm (

S ) x f t

c

mô tả sóng phẳng chạy theo phơng Ox theo chiều x tăng, nghiệm

( S ) x g t c

+ mô tả sóng phẳng chạy theo phơng Ox theo chiều x giảm với vËn tèc lan trun

. S c

• Vectơ vận tốc dịch chuyển phần tử chÊt l−u song song víi ph−¬ng trun sãng ⇒

sóng âm sóng dọc

b) Súng phng chy đơn sắc - Hệ thức tán xạ:

Xét sóng phẳng chạy đơn sắc, tần số góc ω, vectơ sóng k =k e x(Giá trị k=2π/λ cịn gi l s súng)

Trờng vận tốc áp suất dv p mô tả dới dạng phức nh sau :

( )

( ) v v i t kx

x i t kx

e e

p p e

ω ω − − ⎧ = ⎪ ⎨ =

⎪⎩ Hay :

( )

( ) S v v

.c v

i t kx x i t kx

e e p e ω ω ρ − − ⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪⎩

Phơng trình lan truyền theo chiều ứng với ¸p suÊt d− p :

2 2 2

1

0

S

p p

x c t

∂ ∂

− =

∂ ∂ trë thµnh:

2

2

( )

S k p c ω − + = ⇒ 2 S k c ω

c) VËn tèc ©m :

VËn tèc sãng ©m chÊt l−u b»ng :

0

S

S c

ρ χ

=

• Trong chÊt khÝ :

Có thể xác định đ−ợc vận tốc truyền âm chất khí cách xem nh− chất khí khí lý

t−ởng Đối với biến thiên đẳng entropie, ta có :

Pρ−γ = =A const

⇒ P A .γ ργ P.ρ γ ργ γ γ ρP γ P

ρ ρ

− − − −

∂ = = = =

∂ ⇒

0

1

S

S

P P

ρ ρ

χ

P

ρ ρ γ γ

∂

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟ = ≈

∂

⎝ ⎠

⇒ VËn tèc sãng ©m chÊt khÝ :

0

1

S

S

P R

c T0

M

γ γ

ρ ρ χ

= = =

Đối với không khí (M = 29g.mol-1), điều kiện áp suất thông thờng xem nh lµ mét khÝ

lý t−ởng l−ỡng nguyên tử (γ =7 / 5), ta có : cS =331 /m s nhiệt độ T0 = 273 K (0 C) Giá trị phù hợp với thực nghiệm

Vận tốc âm tăng nhiệt độ khí tăng ⇒ Sóng âm lan truyền khơng khí 250C (T0 =

2980K) có vận tốc 346 / lớn vận tốc nhiệt độ T

S

c = m s

s

0 = 273 K (0 C)

Vận tốc âm tăng, khối lợng mol khí mà lan truyền giảm xuống Đối víi khÝ H2 (M =

2g mol-1), vËn tèc cđa ©m ë 2730K : 1200 /

S

c = m lớn nhiều so với giá trị không khí

@ Trong chất lỏng :

Ta cã :

0

long khi Skhi

khi long Slong c

c

ρ χ

ρ χ

=

Chất lỏngcó khối l−ợng riêng lớn khoảng nghìn lần so với chất khí, điều kiện nhiệt độ

vµ áp suất bình thờng Tuy nhiên, bù lạiS chất láng nhá h¬n nhiỊu so víi chÊt khÝ VËn

tốc truyền âm chất lỏng lớn so với chÊt khÝ

⇒

@ Trong vËt r¾n :

Mơ hình ngun tử liên kết lò xo đ−ợc dùng để xác định vận tốc truyền sóng

một vật rắn đồng chất đẳng h−ớng B−ớc sóng lớn so với khoảng cách nguyên tử

VËn tèc lan truyÒn sóng âm chất rắn :

2

S

Ka c

M

=

VËn tèc sóng âm chất rắn thờng lớn chất lỏng

Đ2 Năng lợng sóng âm :

Khi phần tử môi tr−ờng thực dao động, nhận đ−ợc l−ợng từ nguồn sóng

Khi dao động đ−ợc truyền tạo thành sóng, l−ợng đ−ợc truyền môi tr−ờng

Chúng ta hÃy tìm biểu thức lợng sóng

1) Mật độ khối l−ợng:

Mật độ khối l−ợng sóng âm phần l−ợng chứa đơn vị thể tích mơi

tr−ờng Mật độ khối l−ợng sóng âm bao gồm mật độ khối động eK mt

khối eP : eS =eK +eP

Mật độ khối động t−ơng ứng với chuyển động vĩ mô đơn vị thể tích chất l−u (có

khối lợng ) : v2

2 K

e = Do sóng âm nhiễu loạn nhỏ môi trờng

(ρ0là khối l−ợng riêng chất l−u trạng thái đứng yên) ⇒

1 v K

e = ρ

b) Mật độ ca th nng :

ã Sự dịch chun cđa chÊt l−u kÌm theo mét biÕn thiªn nhá

khối lợng riêng tác dụng áp suất d Cách tính

tớch ly đơn vị thể tích chất l−u, t−ơng tự nh− cách tính

thế biến dạng đàn hồi tích lũy lò xo V

ρ

= p0→ p0+ p

0→ p • Xét đơn vị khối l−ợng chất l−u ( tích V

ρ

= )

H×nh 3:

Thế biến dạng tích lũy đơn vị khối l−ợng chất l−u

khi áp suất d− thay đổi từ đến p, ng−ợc dấu với công cung

cấp cho chất l−u áp suất thay đổi từ đến p :

0

0

1

( ) ( ) (

p p

PM

e P p dV P p d )

ρ

= −∫ + = −∫ +

0 2 0 2 0

0

0 0

( ) ( ) ( )

p p p

S

d d

P p ρ P p µ χ P p dp

ρ ρ ρ

=∫ + =∫ + =∫ +

(L−u ý r»ng:µ ρ χ= 0 Sp)

⇒

0

0

S S

PM

e P χ p χ p

ρ ρ

= +

Đối với dao động, giá trị trung bình số hạng thứ 0

0

S P p χ

ρ b»ng

⇒ Thế t−ơng ứng với đơn vị khối l−ợng chất l−u (có thể tích V

ρ

= ) :

0

1

S pM

e χ p

ρ

=

⇒ Mật độ khối năng:

2

p S

e = χ p

V

( )

S V dS

N i Mdτ

H×nh 4:

Π

@ Tóm lại: Mật độ khối l−ợng sóng âm:

2

1

v

2

S K P S

e =e +e = ρ + χ p 2) Biểu thức cân lợng :

• Gọi ES l−ợng sóng âm chứa thể tích V cố định

chÊt l−u vào thời điểm t (V đợc giới hạn bề mặt S - Hình 4) d

là phân tố thể tích chất lu nằm điểm M dS phân

tố diện tích bề mặt S nằm điểm N Ta có : ES =∫∫∫Ve M t dS( , ) τ

Độ biến thiên ES đơn vị thời gian:

V

= (M,t) d

S S

dE e

dt t τ

∂ ∂

∫∫∫

Lấy đạo hàm eS theo thời gian, kết hợp với việc sử dụng ph−ơng trình liên kết (11) :

0

v p

v p v gradp p.div v = - div (pv)

S

S e

t ρ t χ t

∂ ∂ ∂

= + = − −

Suy : (M,t)

V V

= (M,t) d div (pv) d

S S

dE e

dt t τ τ

∂

= − ∂

∫∫∫ ∫∫∫

áp dụng định lý Green-Ostrogradski, cuối suy đ−ợc :

(M,t) (N,t)

V (M,t) d = Vdiv (pv) d = - (pv)

S S

e dE

dS

t τ dt τ

∂

= − = −

∂

∫∫∫ P ∫∫∫ ∫∫

S (17)

Nh− vËy, biÓu thøc cân luợng cục bộ sóng âm :

div ( ) + eS

t

∂ Π

∂ = víi : Π =pv

• Ta cã : dES

P dt

= − độ giảm l−ợng ES sóng âm chứa thể tích V

đơn vị thời gian P cơng suất truyền qua bề mặt S (năng l−ợng truyền qua bề mặt S

mt n v thi gian)

Thông lợng vectơ qua bề mặt S giới hạn thể tích V : nh

bằng công suất P qua bề mặt S Vectơ

pv

Π = (N,t)

S(pv) dS

∫∫

pv

Π = gọi vectơ mật độ thông

năng l−ợng truyền qua đơn vị diện tích vng góc với ph−ơng truyền sóng đơn vị

thời gian gọi mật độ thơng sóng âm [W m

Π

-2] 3) C−ờng độ âm :

Để đặc tr−ng cho độ mạnh âm, ng−ời ta dùng hai đại l−ợng c−ờng độ âm độ to của âm @ C−ờng độ âm I sóng âm cơng suất trung bình mà sóng âm truyền qua mt n v din

tích vuông góc với phơng trun sãng : I = Π = pv

• Với sóng phẳng chạy lan truyền theo phơng Ox theo chiều x tăng : p = 0cSv

I = pv =ρ0cS v2

• Với sóng phẳng chạy đơn sắc : 0

1 v = v

2

I= p p

MỈt kh¸c: p = ρ0cSv0, suy :

2 0

0 p

1

v

2 S

S

I c

c ρ

ρ

= =

C−ờng độ âm đặc tr−ng cho độ mạnh âm ph−ơng diện vật lý

@ Độ to L(mức âm) âm đ−ợc định nghĩa nh− sau :

0 10log I

L

I

⎛ ⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ với I0 c−ờng độ âm ứng với tần số khoảng 1500Hz (I0 = 10-12W.m-2)và gọi ng−ỡng nghe trung bình của tai L d−ợc

tính đề-xi-ben (dB)

Độ to âm đặc tr−ng cho độ mạnh âm ph−ơng diện sinh lý.

Giá trị L số tiếng động nh− sau : Xào xạc : 10 dB; Đ−ờng phố khơng có xe

cé : 30 dB; Nãi chun b×nh th−êng : 60 dB; Nhãm nh¹c rock : 110 dB; Ng−ìng ®au : 120 dB (ë

§3 Phản xạ truyền qua sóng âm :

Xét sóng phẳng chạy lan truyền èng

dÉn cã tiÕt diÖn b»ng h»ng sè

1) Điều kiện biên (Hình 5) :

Xét phản xạ của sóng phẳng chạy mặt

phân cách hai môi trờng chất lu

Giả sử sóng tới vuông góc với mặt phẳng phân cách môi trờng (1) (khối lợng riêng 1, vận

tốc truyền sóng c1) môi trờng (2) (khối

lợng riªng ρ2 , vËn tèc trun sãng c2)

Sãng tíi 1

1

( x) f t

c

tạo nên sóng phản xạ

1

( x) g t

c

+ vµ mét sãng trun qua 2

2

( x) f t

c −

BiÓu thức mô tả sóng môi trờng (1) (2) :

1 1 1

1

v ( , )x t f x t( , ) g x t( , ) f t x g t x

c c

⎛ ⎞ ⎛

= + = ⎜ − ⎟+ ⎜ +

⎝ ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

vµ : 1 1 1[ 1 1 ] 1 1 1 1

1

p ( , )x t c f x t( , ) g x t( , ) c f t x g t x

c c

ρ ρ ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎤

= − = ⎢ ⎜ − ⎟− ⎜ + ⎞⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎟⎠

⎣ ⎦

2 2 v ( , )x t f x t( , ) f t x c

⎛ ⎞

= = ⎜ −

⎝ ⎠⎟

vµ : 2 2 2 2 2

2

( , ) ( , ) x

p x t c f x t c f t

c

ρ ρ ⎛ ⎞

= = ⎜

⎝ − ⎠⎟

2) TÝnh liªn tơc cđa vËn tốc (Hình 6) :

Trên bề mặt phân cách, dịch chuyển, vận tốc chất lu vuông góc với bề mặt nh nhau:

1x 2x v ( , ) v ( , )x t = x t

f x t1( , )0 +g x t1( , )0 = f x t2( , )0

⇒

H×nh 5:

( )1 ( , )ρ1 c1

Sãng tíi Sóng phản xạ

Sóng truyền qua

( )2 ( , )ρ2 c2

x’ x

0

x

Lớp chất lu khối lợng M

Hình 7:

( )1 ( , )ρ1 c1 ( )2 ( , )ρ2 c2

x’ x

0

x

1( , ).0

p x t S p x t S2( , ).0

H×nh 6:

( )1 ( , )ρ1 c1

VËn tèc phần tử chất lu

môi trờng (1)

( )2 ( , )ρ2 c2

x

0

x

• •

VËn tèc mét phần tử chất lu

môi trờng (2)

x

3) Tính liên tục áp suất (Hình 7):

Xét lớp chất l−u có khối l−ợng M, tiết diện S bề dày không đáng kể, nằm mặt phân

cách D−ới tác dụng áp suất d− p1và p2, chuyển động lớp chất l−u đ−ợc mơ tả ph−ơng trình: Ma t( )=S p x t[ 1( , )0 −p x t2( , )0 ]

1( , )0 2( , )0

p x t = p x t

⇒ ρ1 1c [f x t1( , )0 −g x t1( , )0 ]= ρ2 2c f x t( , )0

BiÓu thøc p x t1( , )0 = p x t2( , )0 cho thấy áp suất liên tục bề mặt phân cách

4) Hệ số phản xạ hệ số truyền qua sóng âm :

ã Hệ số phản xạ : Tỉ số biên độ (hoặc l−ợng) sóng phản xạ biên độ (hoặc l−ợng) sóng tới xét bề mặt phân cách

Hệ số truyền qua: Tỉ số biên độ (hoặc l−ợng) sóng truyền qua v biờn (hoc

năng lợng) sóng tới xét bề mặt phân cách

ã Từ điều kiện biên :

1( , )0 1( , )0 2( , )0

f x t +g x t = f x t vµ :ρ1 1c [f x t1( , )0 −g x t1( , )0 ]= ρ2 2c f x t( , )0

⇒ 1 0 2 2 0 1 2 2 0

1 1

1

( , ) ( , ) ( , )

2

c c c

f x t f x t f x t

c c ρ ρ ρ ρ ρ + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ + ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 2

1

1 1

( , ) ( , )

2

c c

g x t f x t

c ρ ρ ρ − ⎡ ⎤ = ⎢⎣ ⎥⎦

• Từ suy đ−ợc hệ số phản xạ (theo biên độ) vận tốc áp suất d− :

0

1 1

1 1 2

12(v) 12(p)

0 1 2

1 1

1

( ) ( )

( ) ( )

x x

g t c g t

c c c c

r r

x c c x

f t c f t

c c ρ ρ ρ ρ ρ ρ + − + − = = = − = − + − −

Và hệ số truyền qua (theo biên độ) vận tốc áp suất d− :

0

2 2

2 1 1 1

12(v) 12(p)

0 1 2 2 2

1 1

1 ( ) ( ) ( ) ( ) x x

f t c f t

c c c c c

x c c c x c

f t c f t

c c ρ ρ ρ ρ τ τ ρ ρ ρ ρ ρ − − = = = = + − −

Các đại l−ợng C1 1

c Z

S

ρ

= vµ C2 2

c Z

S

= đợc gọi trở kháng âm ống dẫn có tiết diện S

ã Hệ số phản xạ R hệ số truyền qua T tính theo lợng :

phanxa x toi x e S R e S Π =

Π vµ :

truyenqua x toi x e S T e S Π = Π

Trong : Π vectơ mật độ thơng sóng t−ơng ứng

2

1 toiv 1 (

toi ρc ρc f x t, )

Π = =

2 1 1( , )0

phanxa ρ c g x t

Π =

2 2 ( , )0

truyenqua ρ c f x t

Π =

Từ suy :

2

1 2

1 2

c c R c c ρ ρ ρ ρ − ⎛ ⎞ = ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ vµ : ( )

1 2

1 2

4 c c T R c c ρ ρ ρ ρ = = − +

ắ Ghi :

o Đối với mặt phân cách chất lỏng - chất khí : R vµ T << Sù trun qua cđa sãng ©m gi÷a

chiếc xuồng máy quay n−ớc, ng−ời đứng b khú nghe hn nhiu

o Đối với mặt phân cách chất rắn - chất khí : phản xạ gần nh hoàn toàn Sự phản xạ

giảm mạnh nh dùng chất rắn mềm nhẹ nh chất bần, chất mút

Có thể tạo nên tờng cách âm tèt b»ng c¸ch xÕp tiÕp nèi mét vËt liƯu nặng cứng

nh bê tông với vật liệu nhẹ mềm nh bần, pôlime xốp (không khí bị giam lòng

các vật liệu này)

o Để thấy rõ hiệu sóng âm truyền qua mặt phân cách, thực thí

nghiệm sau :

+ Cầm âm thoa không khí, âm thoa đợc kích thích va chạm ban đầu, ta

khó nghe âm âm thoa phát Nh vậy, truyền qua sóng âm chất rắn

một chất khí hiƯu qu¶

+ Nếu âm thoa đ−ợc nối với hộp cộng h−ởng, âm nghe đ−ợc hoàn toàn rõ, cỏc dao ng ca

nó đợc truyền cho hộp cộng hởng hộp lại truyền cho không khí Nh vậy, truyền qua

sóng âm hai chất rắn có hiệu

+ Đặt bình đầy nớc lên hộp cộng hởng Cho âm thoa tiếp xúc với nớc, âm lại nghe

thấy đợc Nh vậy, truyền qua sóng âm chất rắn chất lỏng có hiệu

Tài liệu tham khảo :

[1] Sóng, Năm thứ hai, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette Supérieure, Nxb Giáo dơc Hµ Néi 2002 [2] Ondes, DeuxiÌme annÐe, PC-PC* PSI-PSI*, Hachette SupÐrieure, 2000

[3] L−ơng Dun Bình, Ngơ Cơng Trí, Nguyễn Hữu Hồ, Vật lý đại c−ơng, Tập II : Dao động