Ôn tập: Nguyên hàm

B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số TÝnh  f xdx Chú ý: Để tính một số nguyên hàm, đôi khi người ta đổi biến số thành một hàm lượng giác của biến mới.. Các hệ thức sau đây thường đ[r]

¤n tËp: nguyªn hµm I.Lý thuyÕt §Þnh nghÜa: Hµm sè F(x) ®­îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a; b), nÕu víi mäi x € (a; b); ta cã F(x)’ = f(x) NhËn xÐt: + Víi mäi h»ng sè C, F(x) + C còng lµ nguyªn hµm cña h/sè f(x) trªn kho¶ng (a; b) + Ngược lại, nguyên hàm h/số f(x) trên khoảng (a; b) ó thể viết dạng F(x) + C, víi C lµ h»ng sè Ta kí hiệu biểu thức F(x) + C là  f ( x)dx ( đọc là tích phân f(x)dx)  f ( x)dx = F(x) + C Trong đó:  gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm số dấu tích phân; f(x)dxlà biểu thức dấu tích phân và đó là vi phân h/số F(x) TÝnh chÊt:  f ( x)dx   f ( x) '  af ( x)dx a  f ( x)dx ( Víi a lµ h»ng sè)  ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx B¶ng nguyªn hµm c¸c hµm sè c¬ b¶n  dx  x x  1  x dx    1,   1 dx  x  ln x , x   x x  e dx  e x  a dx   cos xdx  sin x  sin xdx   cos x dx  cos x dx  sin x  tan x , x    k   cot x , x  k ax ,0  a  ln a Các phương pháp tính nguyên hàm: A.Phương pháp 1: Đưa các nguyên hàm VÝ dô : Nguyªn hµm cña h/sè f(x) = 4x2 lµ 2  x dx  4 x dx  Nguyªn hµm cña h/sè f(x) = sinx + cosx lµ  (sin x  cos x)dx   sin xdx   cos xdx  cos x  sin x  C Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau: a) f(x) = 5(x2 – 2x+ 3) b) f(x) = 5(3x2 – 1)2 c) f(x) = x 2x2 e) f ( x)   x2 d) f(x) = 2x.3 2x+1 f) f(x) = 3 x Lop12.net x3 C sin x cos x i) f(x) = x m) f(x) = (3 x  ) x g) f(x) = h) f(x) = 3sin2x/2 k) f(x) = (2tanx + cotx)2 B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số TÝnh  f ( x)dx + §Æt u = u(x) + Lấy vi phân vế, để tính dx theo u và du + BiÓu thÞ f(x)dx theo u vµ du G/s f(x)dx = g(u)du + TÝnh  g (u )du  G (u )  C + Thay u G(u) theo biÓu thøc cña nã theo x VÝ dô: 1) T×m nguyªn hµm cña h/s f(x) = (5x + 3)5 Ta cã nguyªn hµm cña h/s f(x) = (5x + 3)5 lµ  (5 x  3)5 dx TÝnh  (5 x  3) dx 5 + Đặt u = 5x + => du = (5x + 3)’ = 5dx Từ đó có dx = du u6 5 ( x  ) dx u du  u du   C  u  C = 1/30(5x + 3)6 + C =    5 30 + 2) T×m nguyªn hµm cña h/s f(x) = cos2xsinx Ta cã nguyªn hµm cña h/s f(x) lµ  cos xsin xdx TÝnh  cos3 xsin xdx + Đặt u = cosx => du = (cosx)’dx = -sinxdx Từ đó sinxdx = - du + 3  cos xsin xdx =  u (du )   u du   u4  C =-1/4(cosx)4 + C Bµi tËp ¸p dung: TÝnh nguyªn hµm c¸c hµm sè sau a) f(x) = (-2x + 5)4 c) f(x) = x3 (6 x  5)5 ex ex  g) f(x) = 3x x cos x i) f(x) = (5 sin x  2) e) f(x) = b) f(x) = sin4xcosx d) f(x = cos x  1.sin x f) f(x) = 3x  h) f(x) = tanx k) f(x) = Lop12.net sin x cos x B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số TÝnh  f ( x)dx Chú ý: Để tính số nguyên hàm, đôi người ta đổi biến số thành hàm lượng giác biến Nếu hàm số dấu tích phân chứa a  x thì đặt x = asinu a = acosu Nếu có a  x thì đặt x = a.tanu x = a.cotu NÕu cã VÝ dô: TÝnh Gi¶i:  x  a thì đặt x = a a hoÆc x = sin u cos u  x dx   §Æt x = 2.sinu víi u € [  ; ] => dx = 2.cosudu 2 Ta co:  x   sin u  4(1  sin u )  cos u  cos u Khi đó   x dx   cos u.2 cos udu  4 cos udu  4  cos 2u sin 2u du  2 (1  cos 2u )du  2.(u  )C 2 Ghi nhí: A Các hệ thức sau đây thường dùng để tính nguyên hàm: dx = d(x + b) kdx = d(kx) = d(kx + b) xdx = 1/2d(x2) xndx = d ( x n 1 ) n 1 cosxdx = d(sinx ) 10 dx/x = d(lnx) sinxdx = - d(cosx) ekxdx = 1/kd(ekx ) dx  d (tan x) cos x dx  d (cot x) sin x B Bảng nguyên hàm suy từ phương pháp đổi biến số  e kx  b dx  e kx  b k 4. (kx  b) dx    a kx  b a kx  b dx  k ln a  sin(kx  b)dx   cos(kx  b) k (kx  b) 1 k  1 dx  tan(kx  b) cos (kx  b) k  dx   cot(kx  b) sin (kx  b) k Ch¼ng h¹n:  sin xdx   cos x  C 4 2 x 3 13  C ln  3 x  dx   3 x  Bµi tËp ¸p dông: Lop12.net 7. cos(kx  b)dx  d (2 x  3)    3 x  d (2 x  3) 2 sin(kx  b) k Bµi 1: T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau b»ng c«ng thøc ë phÇn ghi nhí a) f(x) = (-2x + 5)4 b) f(x) = sin4xcosx x3 c) f(x) = (6 x  5)5 d) f(x = cos x  1.sin x ex e) f(x) = x e 1 g) f(x) = 3x x cos x i) f(x) = (5 sin x  2) f) f(x) = 3x  h) f(x) = tanx k) f(x) = sin x cos x Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau 1)   x dx 2)  dx 3) x2   dx x2  B Phương pháp 3: Nguyên hàm phần Tính  f ( x)dx Nếu biểu thức dấu tích phân f(x)dx thường có dạng: f(x)dx P(x)exdx P(x)sinxdx P(x)cosxdx P(x)lnxdx exsinxdx … u P(x) P(x) P(x) lnx sinx … dv exdx sinxdx cosxdx P(x) exdx … (Víi P(x) lµ ®a thøc ) Khi đó ta đã đưa  f ( x)dx dạng  udv Sau đó ta áp dụng công thức sau:  udv  u.v   vdu (*): C«ng thøc nguyªn hµm tõng phÇn Quy t¾c tÝnh: Viết f(x)dx dạng udv TÝnh u’ vµ v (v =  dv ) Thay vµo (*) VÝ dô ¸p dông TÝnh  (2 x  1) sin xdx §Æt u = 2x + => du = (2x + 1)dx = 2.dx dv = sinxdx => v = -cosx Do đó áp dụng công thức (*) ta có:  (2 x  1) sin xdx  (2 x  1) cos x   cos xdx  (2 x  1) cos x  sin x  C Bµi tËp ¸p dung: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y 1) f(x) = x2.cosx 2) f(x) = (x + 2).sin2x 4) f(x) = (x2 + 1)e-x 5) f(x) = (3x – 6)lnx 7) f(x) = ex.cosx 8) f(x) = e2xsinx Lop12.net 3) f(x) = (-x + 3)ex ) f(x) = (-x2 + 1)lnx