B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số TÝnh f xdx Chú ý: Để tính một số nguyên hàm, đôi khi người ta đổi biến số thành một hàm lượng giác của biến mới.. Các hệ thức sau đây thường đ[r]
(1)¤n tËp: nguyªn hµm I.Lý thuyÕt §Þnh nghÜa: Hµm sè F(x) ®îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn kho¶ng (a; b), nÕu víi mäi x € (a; b); ta cã F(x)’ = f(x) NhËn xÐt: + Víi mäi h»ng sè C, F(x) + C còng lµ nguyªn hµm cña h/sè f(x) trªn kho¶ng (a; b) + Ngược lại, nguyên hàm h/số f(x) trên khoảng (a; b) ó thể viết dạng F(x) + C, víi C lµ h»ng sè Ta kí hiệu biểu thức F(x) + C là f ( x)dx ( đọc là tích phân f(x)dx) f ( x)dx = F(x) + C Trong đó: gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm số dấu tích phân; f(x)dxlà biểu thức dấu tích phân và đó là vi phân h/số F(x) TÝnh chÊt: f ( x)dx f ( x) ' af ( x)dx a f ( x)dx ( Víi a lµ h»ng sè) ( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx B¶ng nguyªn hµm c¸c hµm sè c¬ b¶n dx x x 1 x dx 1, 1 dx x ln x , x x x e dx e x a dx cos xdx sin x sin xdx cos x dx cos x dx sin x tan x , x k cot x , x k ax ,0 a ln a Các phương pháp tính nguyên hàm: A.Phương pháp 1: Đưa các nguyên hàm VÝ dô : Nguyªn hµm cña h/sè f(x) = 4x2 lµ 2 x dx 4 x dx Nguyªn hµm cña h/sè f(x) = sinx + cosx lµ (sin x cos x)dx sin xdx cos xdx cos x sin x C Bµi tËp ¸p dông: Bµi 1: T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau: a) f(x) = 5(x2 – 2x+ 3) b) f(x) = 5(3x2 – 1)2 c) f(x) = x 2x2 e) f ( x) x2 d) f(x) = 2x.3 2x+1 f) f(x) = 3 x Lop12.net x3 C (2) sin x cos x i) f(x) = x m) f(x) = (3 x ) x g) f(x) = h) f(x) = 3sin2x/2 k) f(x) = (2tanx + cotx)2 B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số TÝnh f ( x)dx + §Æt u = u(x) + Lấy vi phân vế, để tính dx theo u và du + BiÓu thÞ f(x)dx theo u vµ du G/s f(x)dx = g(u)du + TÝnh g (u )du G (u ) C + Thay u G(u) theo biÓu thøc cña nã theo x VÝ dô: 1) T×m nguyªn hµm cña h/s f(x) = (5x + 3)5 Ta cã nguyªn hµm cña h/s f(x) = (5x + 3)5 lµ (5 x 3)5 dx TÝnh (5 x 3) dx 5 + Đặt u = 5x + => du = (5x + 3)’ = 5dx Từ đó có dx = du u6 5 ( x ) dx u du u du C u C = 1/30(5x + 3)6 + C = 5 30 + 2) T×m nguyªn hµm cña h/s f(x) = cos2xsinx Ta cã nguyªn hµm cña h/s f(x) lµ cos xsin xdx TÝnh cos3 xsin xdx + Đặt u = cosx => du = (cosx)’dx = -sinxdx Từ đó sinxdx = - du + 3 cos xsin xdx = u (du ) u du u4 C =-1/4(cosx)4 + C Bµi tËp ¸p dung: TÝnh nguyªn hµm c¸c hµm sè sau a) f(x) = (-2x + 5)4 c) f(x) = x3 (6 x 5)5 ex ex g) f(x) = 3x x cos x i) f(x) = (5 sin x 2) e) f(x) = b) f(x) = sin4xcosx d) f(x = cos x 1.sin x f) f(x) = 3x h) f(x) = tanx k) f(x) = Lop12.net sin x cos x (3) B.Phương pháp 2: Phương pháp đổi biến số TÝnh f ( x)dx Chú ý: Để tính số nguyên hàm, đôi người ta đổi biến số thành hàm lượng giác biến Nếu hàm số dấu tích phân chứa a x thì đặt x = asinu a = acosu Nếu có a x thì đặt x = a.tanu x = a.cotu NÕu cã VÝ dô: TÝnh Gi¶i: x a thì đặt x = a a hoÆc x = sin u cos u x dx §Æt x = 2.sinu víi u € [ ; ] => dx = 2.cosudu 2 Ta co: x sin u 4(1 sin u ) cos u cos u Khi đó x dx cos u.2 cos udu 4 cos udu 4 cos 2u sin 2u du 2 (1 cos 2u )du 2.(u )C 2 Ghi nhí: A Các hệ thức sau đây thường dùng để tính nguyên hàm: dx = d(x + b) kdx = d(kx) = d(kx + b) xdx = 1/2d(x2) xndx = d ( x n 1 ) n 1 cosxdx = d(sinx ) 10 dx/x = d(lnx) sinxdx = - d(cosx) ekxdx = 1/kd(ekx ) dx d (tan x) cos x dx d (cot x) sin x B Bảng nguyên hàm suy từ phương pháp đổi biến số e kx b dx e kx b k 4. (kx b) dx a kx b a kx b dx k ln a sin(kx b)dx cos(kx b) k (kx b) 1 k 1 dx tan(kx b) cos (kx b) k dx cot(kx b) sin (kx b) k Ch¼ng h¹n: sin xdx cos x C 4 2 x 3 13 C ln 3 x dx 3 x Bµi tËp ¸p dông: Lop12.net 7. cos(kx b)dx d (2 x 3) 3 x d (2 x 3) 2 sin(kx b) k (4) Bµi 1: T×m nguyªn hµm cña c¸c hµm sè sau b»ng c«ng thøc ë phÇn ghi nhí a) f(x) = (-2x + 5)4 b) f(x) = sin4xcosx x3 c) f(x) = (6 x 5)5 d) f(x = cos x 1.sin x ex e) f(x) = x e 1 g) f(x) = 3x x cos x i) f(x) = (5 sin x 2) f) f(x) = 3x h) f(x) = tanx k) f(x) = sin x cos x Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau 1) x dx 2) dx 3) x2 dx x2 B Phương pháp 3: Nguyên hàm phần Tính f ( x)dx Nếu biểu thức dấu tích phân f(x)dx thường có dạng: f(x)dx P(x)exdx P(x)sinxdx P(x)cosxdx P(x)lnxdx exsinxdx … u P(x) P(x) P(x) lnx sinx … dv exdx sinxdx cosxdx P(x) exdx … (Víi P(x) lµ ®a thøc ) Khi đó ta đã đưa f ( x)dx dạng udv Sau đó ta áp dụng công thức sau: udv u.v vdu (*): C«ng thøc nguyªn hµm tõng phÇn Quy t¾c tÝnh: Viết f(x)dx dạng udv TÝnh u’ vµ v (v = dv ) Thay vµo (*) VÝ dô ¸p dông TÝnh (2 x 1) sin xdx §Æt u = 2x + => du = (2x + 1)dx = 2.dx dv = sinxdx => v = -cosx Do đó áp dụng công thức (*) ta có: (2 x 1) sin xdx (2 x 1) cos x cos xdx (2 x 1) cos x sin x C Bµi tËp ¸p dung: T×m nguyªn hµm c¸c hµm sè sau ®©y 1) f(x) = x2.cosx 2) f(x) = (x + 2).sin2x 4) f(x) = (x2 + 1)e-x 5) f(x) = (3x – 6)lnx 7) f(x) = ex.cosx 8) f(x) = e2xsinx Lop12.net 3) f(x) = (-x + 3)ex ) f(x) = (-x2 + 1)lnx (5)