Bài soạn on tap:nguyen ham

Ôn tập: nguyên hàm I.Lý thuyết 1. Định nghĩa: Hàm số F(x) đợc gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b), nếu với mọi x (a; b); ta có F(x) = f(x) 2. Nhận xét: + Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là nguyên hàm của h/số f(x) trên khoảng (a; b) + Ngợc lại, mọi nguyên hàm của h/số f(x) trên khoảng (a; b) đều ó thể viết dới dạng F(x) + C, với C là hằng số Ta kí hiệu biểu thức F(x) + C là dxxf )( ( đọc là tích phân của f(x)dx) dxxf )( = F(x) + C Trong đó: đợc gọi là dấu tích phân, f(x) là hàm số dới dấu tích phân; f(x)dxlà biểu thức dới dấu tích phân và đó cũng là vi phân của h/số F(x) 3. Tính chất: ( ) )()( ' xfdxxf = = dxxfadxxaf )()( ( Với a là hằng số) = dxxgdxxfdxxgxf )()())()(( 1. Bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. <= = = + = = + 10, ln 0,ln 1, 1 1 a a a dxa edxe xx x dx x dxx xdx x x xx kxx x dx kxx x dx xxdx xxdx = += = = ,cot sin 2 ,tan cos cossin sincos 2 2 2. Các ph ơng pháp tính nguyên hàm : A.Ph ơng pháp 1 : Đa về các nguyên hàm cơ bản Ví dụ : Nguyên hàm của h/số f(x) = 4x 2 là +== C x dxxdxx 3 444 3 22 Nguyên hàm của h/số f(x) = sinx + cosx là +=+=+ Cxxxdxxdxdxxx sincoscossin)cos(sin Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = 5(x 2 2x+ 3) b) f(x) = 5(3x 2 1) 2 c) f(x) = 3 2 1 x d) f(x) = 2 x .3 2x+1 e) 2 2 1 2 )( x x xf + = f) f(x) = 3 3 x g) f(x) = xx 22 cossin 1 h) f(x) = 3sin 2 x/2 i) f(x) = 2 1 x k) f(x) = (2tanx + cotx) 2 m) f(x) = 2 3 ) 2 ( x x + B.Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp đổi biến số Tính dxxf )( + Đặt u = u(x) + Lấy vi phân 2 vế, để tính dx theo u và du + Biểu thị f(x)dx theo u và du. G/s f(x)dx = g(u)du + Tính += CuGduug )()( + Thay u trong G(u) theo biểu thức của nó theo x Ví dụ: 1) Tìm nguyên hàm của h/s f(x) = (5x + 3) 5 . Ta có nguyên hàm của h/s f(x) = (5x + 3) 5 là + dxx 5 )35( . Tính + dxx 5 )35( + Đặt u = 5x + 3 => du = (5x + 3) = 5dx. Từ đó có dx = du 5 1 + + dxx 5 )35( = CuC u duuduu +=+== 6 6 55 30 1 65 1 5 1 5 1 = 1/30(5x + 3) 6 + C 2) Tìm nguyên hàm của h/s f(x) = cos 2 xsinx Ta có nguyên hàm của h/s f(x) là xdxxsincos 3 Tính xdxxsincos 3 + Đặt u = cosx => du = (cosx)dx = -sinxdx. Từ đó sinxdx = - du + xdxxsincos 3 = +== C u duuduu 4 )( 4 33 =-1/4(cosx) 4 + C Bài tập áp dung: Tính nguyên hàm các hàm số sau a) f(x) = (-2x + 5) 4 b) f(x) = sin 4 xcosx c) f(x) = 54 3 )56( + x x d) f(x = xx sin.1cos2 e) f(x) = 1 + x x e e f) f(x) = 53 1 + x g) f(x) = x x .3 2 h) f(x) = tanx i) f(x) = 2 )2sin5( cos + x x k) f(x) = x x 4 2 cos sin B.Ph ơng pháp 2 : Phơng pháp đổi biến số Tính dxxf )( Chú ý: Để tính một số nguyên hàm, đôi khi ngời ta đổi biến số thành một hàm lợng giác của biến mới. 1. Nếu hàm số dới dấu tích phân chứa 22 xa thì đặt x = asinu hoặc a = acosu. 2. Nếu có 22 xa + thì đặt x = a.tanu hoặc x = a.cotu 3. Nếu có 22 ax thì đặt x = u a sin hoặc x = u a cos Ví dụ: Tính dxx 2 4 Giải: Đặt x = 2.sinu với u [ 2 ; 2 ] => dx = 2.cosudu Ta co: uuuux cos2cos4)sin1(4sin444 2222 ==== Khi đó +== === C u uduudu u uduuduudxx ) 2 2sin .(2)2cos1(2 2 2cos1 4cos4cos2.cos24 22 Ghi nhớ: A. Các hệ thức sau đây thờng đợc dùng để tính nguyên hàm: 1. dx = d(x + b) 2. kdx = d(kx) = d(kx + b) 3. xdx = 1/2d(x 2 ) 4. x n dx = )( 1 1 1 + + n xd n 5. dx/x = d(lnx) 6. e kx dx = 1/kd(e kx ) 7. cosxdx = d(sinx ) 8. sinxdx = - d(cosx) 9. )(tan cos 2 xd x dx = 10. )(cot sin 2 xd x dx = B. Bảng nguyên hàm đợc suy ra từ phơng pháp đổi biến số +=+== + +++ )cos( 1 )sin(.3 ln. .2 1 .1 bkx k dxbkx ak a dxae k dxe bkx bkxbkxbkx + + =+ + 1 )(1 )(.4 1 bkx k dxbkx +=++= + += + )sin( 1 )cos(.7)cot( 1 )(sin .6)tan( 1 )(cos .5 22 bkx k dxbkxbkx kbkx dx bkx kbkx dx Chẳng hạn: C xd xd dxCxxdx x xxx += += + =+= + +++ 3ln 3 2 1 )32(3 2 1 2 )32( 33.2 4 3 cos 3 4 4 3 sin1 32 323232 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng công thức ở phần ghi nhớ a) f(x) = (-2x + 5) 4 b) f(x) = sin 4 xcosx c) f(x) = 54 3 )56( + x x d) f(x = xx sin.1cos2 e) f(x) = 1 + x x e e f) f(x) = 53 1 + x g) f(x) = x x .3 2 h) f(x) = tanx i) f(x) = 2 )2sin5( cos + x x k) f(x) = x x 4 2 cos sin Bài 2: Tính các tích phân sau 1) dxx 2 2 2) + 4 2 x dx 3) 9 2 x dx B. Ph ơng pháp 3 : Nguyên hàm từng phần Tính dxxf )( . Nếu biểu thức dới dấu tích phân f(x)dx thờng có dạng: f(x)dx P(x)e x dx P(x)sinxdx P(x)cosxdx P(x)lnxdx e x sinxdx u P(x) P(x) P(x) lnx sinx dv e x dx sinxdx cosxdx P(x) e x dx (Với P(x) là đa thức ) Khi đó ta đã đa dxxf )( về dạng udv Sau đó ta áp dụng công thức sau: = vduvuudv . (*): Công thức nguyên hàm từng phần . Quy tắc tính: 1. Viết f(x)dx dới dạng udv 2. Tính u và v (v = dv ) 3. Thay vào (*) Ví dụ áp dụng Tính + xdxx sin)12( Đặt u = 2x + 1 => du = (2x + 1)dx = 2.dx dv = sinxdx => v = -cosx Do đó áp dụng công thức (*) ta có: +++=++=+ Cxxxxdxxxxdxx sin2cos)12(cos2cos)12(sin)12( Bài tập áp dung: Tìm nguyên hàm các hàm số sau đây 1) f(x) = x 2 .cosx 2) f(x) = (x + 2).sin2x 3) f(x) = (-x + 3)e x 4) f(x) = (x 2 + 1)e -x 5) f(x) = (3x 6)lnx 6 ) f(x) = (-x 2 + 1)lnx 7) f(x) = e x .cosx 8) f(x) = e 2x sinx . h/số f(x) = sinx + cosx là +=+=+ Cxxxdxxdxdxxx sincoscossin)cos(sin Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) f(x) = 5(x 2 2x+ 3) b). +++ 3ln 3 2 1 )32(3 2 1 2 )32( 33.2 4 3 cos 3 4 4 3 sin1 32 323232 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng công thức ở phần ghi