Ôn thi - Đơn điệu của hàm số (phần 1)

Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý 1 : Định lý về giá trị trung bình của phép vi phân Định lý Lagrange: Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm trên khoảng a;b thì... CÁ[r]

http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn SỰ ĐỒNG BIẾN VÀ NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa : Giả sử K là khoảng , đoạn nửa khoảng Hàm số f xác định trên K gọi là  Đồng biến trên K với x 1, x  K , x  x  f x  f x ;      Nghịch biến trên K với x 1, x  K , x  x  f x  f x     Điều kiện cần để hàm số đơn điệu : Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I    Nếu hàm số f đồng biến trên khoảng I thì f ' x  với x I    Nếu hàm số f nghịch biến trên khoảng I thì f ' x  với x I Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu : Định lý : Định lý giá trị trung bình phép vi phân (Định lý Lagrange): Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm trên khoảng a;b thì     tồn ít điểm c  a ;b cho      f b  f a  f ' c b a Định lý : Giả sử I là khoảng nửa khoảng đoạn , f là hàm số liên tục trên I và có đạo hàm điểm I ( tức là điểm thuộc I không phải đầu mút I ) Khi đó :  Nếu f ' x  với x  I thì hàm số f đồng biến trên   khoảng I ;    Nếu f ' x  với x  I thì hàm số f nghịch biến trên khoảng I ; Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn  Nếu f ' x  với x  I thì hàm số f không đổi trên   khoảng I Chú ý :  Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm f ' x  trên     khoảng a;b thì hàm số f đồng biến trên a;b     Nếu hàm số f liên tục trên a;b  và có đạo hàm f ' x  trên   khoảng a;b thì hàm số f nghịch biến trên a;b  B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : Xét chiều biến thiên hàm số   Xét chiều biến thiên hàm số y  f x ta thực các bước sau:  Tìm tập xác định D hàm số  Tính đạo hàm y '  f ' x        Tìm các giá trị x thuộc D để f ' x  f ' x không xác định ( ta gọi đó là điểm tới hạn hàm số )  Xét dấu y '  f ' x trên khoảng x thuộc D    Dựa vào bảng xét dấu và điều kiện đủ suy khoảng đơn điệu hàm số Ví dụ :Xét chiều biến thiên các hàm số sau: y   x  3x  24x  26 y  x  3x  3x  Giải: y   x  3x  24x  26 Hàm số đã cho xác định trên  Ta có : y '  3x  6x  24 Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn x  4 y '   3x  6x  24    x  Bảng xét dấu y ' x  4 y'      y '  0, x   ; 4  ,  2;    y  ; 4  , 2;      y '  0, x  4;2  y đồng biến trên khoảng 4;2 , nghịch biến trên các khoảng Hoặc ta có thể trình bày : Hàm số đã cho xác định trên  Ta có : y '  3x  6x  24 x  4 y '   3x  6x  24    x  Bảng biến thiên x  4 y'    y'      Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng 4;2 , nghịch biến trên các     khoảng ; 4 và 2;  y  x  3x  3x  Hàm số đã cho xác định trên     Ta có: f ' x  3x  6x   x       f ' x   x  1 và f ' x  với x  1   Vì hàm số đồng biến trên nửa khoảng ; 1 và  1;  nên hàm số đồng biến trên  Hoặc ta có thể trình bày : x  1  Lop12.net http://mathsvn.violet.vn y'  http://violet.vn/mathsvn   y'  Vì hàm số đồng biến trên nửa khoảng ; 1 và  1;  nên hàm số đồng biến trên    Ví dụ :Xét chiều biến thiên các hàm số sau: 1 y   x  2x  4 y  x  2x  Giải: x  2x  Hàm số đã cho xác định trên  Ta có: y '   x  4x  x x  y   x  y'    x  2 Bảng biến thiên x  y'  2    0    y'       Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 , 0;2 và nghịch    biến trên các khoảng 2; , 2;  y  x  2x  Hàm số đã cho xác định trên  Ta có: y '  4x  4x  4x x    Vì x   0, x   nên y '   x  Lop12.net http://mathsvn.violet.vn Bảng biến thiên x  y'   y' http://violet.vn/mathsvn      Vậy, hàm số đồng biến trên khoảng 0;  và nghịch biến trên   khoảng ; Ví dụ :Xét chiều biến thiên các hàm số sau: 2x  1 y  x 1 x 2 y  x 1 Giải: 2x  x 1 Hàm số đã cho xác định trên khoảng ; 1  1;  y   Ta có: y '   x  1     0, x  1     Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 và 1;  x 2 x 1 Hàm số đã cho xác định trên khoảng ;1  1;  y   Ta có: y '  -  x 1      0, x      Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và 1;  Ví dụ :Xét chiều biến thiên các hàm số sau: x  2x  1 y  x 2 x  4x  y  x 2 Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Giải: x  2x  x 2 Hàm số đã cho xác định trên khoảng ; 2  2;  y   Ta có: y '  x  4x   x 2  x  5 y'    x  Bảng biến thiên : x  5 y'   y'    , x  2 2         biến trên các khoảng  ; 5  và 1;      Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng 5; 2 và 2;1 , nghịch x  4x  y  x 2 Hàm số đã cho xác định trên khoảng ; 2  2;   Ta có: y '  x  4x  x  2 Bảng biến thiên : x  y'  y'     0, x  2 2           Vậy , hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 và 2;  Ví dụ : Tìm khoảng đơn điệu hàm số f x  sin x trên khoảng 0;2    Lop12.net  http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn Giải: Hàm số đã cho xác định trên khoảng 0;2       Ta có : f ' x  cos x , x  0;2  3 ,x  2 Chiều biến thiên hàm số nêu bảng sau :     f ' x  0, x  0;2  x  x   f x  f' x   3   2 1    3  Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  và  ;2  , nghịch biến  2     3  trên khoảng  ;  2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Xét chiều biến thiên các hàm số sau: x  2x y  x  3x  8x  2 y  x 1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau: y  2x  3x  y   x  6x  9x  3 y  x  2x  y  2x  x Chứng minh hàm số: y   x nghịch biến trên đoạn  0;2  y  x  x  cos x  đồng biến trên  y  cos 2x  2x  nghịch biến trên  Cho hàm số y  sin2 x  cos x Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn   a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch  3   biết trên đoạn  ;   3    b) Chứng minh với m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm thuộc đoạn  0;   Hướng dẫn 1 y  x  3x  8x  Hàm số đã cho xác định trên  Ta có f ' x  x  6x      f ' x   x  2, x  Chiều biến thiên hàm số nêu bảng sau : x f' x    f x            Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ;2 và 4;  , nghịch   biến trên khoảng 2; x  2x x 1 Hàm số đã cho xác định trên tập hợp  \ y     Ta có f ' x  x  1   0, x   x  1  x  1 x  2x  2 Chiều biến thiên hàm số nêu bảng sau : Lop12.net http://mathsvn.violet.vn x f' x    http://violet.vn/mathsvn        f x   Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và 1;      y  2x  3x  Hàm số đã cho xác định trên  Ta có f ' x  6x  6x          f ' x  0, x  ; 1 , 0;   f x đồng biến trên khoảng  ; 1 và  0;   f '  x   0, x   1;   f x  nghịch   biến trên khoảng 1;   Ngoài : Học sinh có thể giải f ' x  , tìm hai nghiệm x  1, x  , kẻ bảng biến thiên kết luận y  x  2x  Hàm số đã cho xác định trên    Ta có f ' x  4x  4x         1;  và 1;   f '  x   0, x   ; 1 ,  0;1  f x  nghịch  ; 1 và  0;1 f ' x  0, x  1; , 1;   f x đồng biến trên khoảng biến trên khoảng   Ngoài : Học sinh có thể giải f ' x  , tìm hai nghiệm x  1, x  0, x  , kẻ bảng biến thiên kết luận Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn y   x  6x  9x  3 Hàm số đã cho xác định trên     Ta có f ' x  4x  12x    2x   3 và f ' x  với x  2  3 Vì hàm số nghịch biến trên nửa khoảng  ;  và 2  hàm số nghịch biến trên      f' x 0x  3   ;   nên 2  y  2x  x Hàm số đã cho xác định trên  0;2  1x Ta có f ' x  , x  0;2 2x  x f ' x  0, x  0;1  f x đồng biến trên khoảng          f '  x   0, x  1;2   f  x  nghịch  0;1 ; biến trên khoảng 1;2  Hoặc có thể trình bày :      f '  x   0, x  1;2   f  x  nghịch f ' x  0, x  0;1  f x đồng biến trên đoạn  0;1 ; biến trên đoạn 1;2  y   x nghịch biến trên đoạn  0;2  Dễ thấy hàm số đã cho liên tục trên đoạn  0;2  và có đạo hàm   f' x  x  x2 trên đoạn  0;2     với x  0;2 Do đó hàm số nghịch biến y  x  x  cos x  đồng biến trên  Hàm số đã cho xác định trên  Ta có f ' x  3x   sin x   Vì 3x  0, x      sin x  0, x   nên f ' x  0, x   Do đó hàm số đồng biến trên  Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn y  cos 2x  2x  nghịch biến trên  Hàm số đã cho xác định trên  Ta có f ' x  2 sin 2x   0, x   và       f ' x   sin 2x  1  x     k, k   Hàm số nghịch biến trên đoạn        k ;   k    , k     Do đó hàm số nghịch biến trên      a ) Chứng minh hàm số đồng biến trên đoạn  0;  và nghịch  3   biết trên đoạn  ;   3  Hàm số liên tục trên đoạn  0;   và     y '  sin x cos x  , x  0;    Vì x  0;   sin x  nên khoảng  0;   : f '  x    cos x  21  x  3    y '  0, x   0;  nên hàm số đồng biến trên đoạn  3    0;   3    y '  0, x   ;   nên hàm số nghịch biến trên đoạn 3      ;  3   b) Chứng minh với m  1;1 , phương trình sin2 x  cos x  m có nghiệm thuộc đoạn  0;        x  0;  ta có y  y  y     y  nên phương trình  3 3   cho không có nghiệm m  1;1  Lop12.net http://mathsvn.violet.vn http://violet.vn/mathsvn      x   ;   ta có y   y  y    1  y  Theo định lý 3  3  5 giá trị trung gian hàm số liên tục với m  1;1   1;  , 4        tồn số thực c   ;   cho y c  Số c là nghiệm 3  phương trình sin x  cos x  m và vì hàm số nghịch biến trên đoạn    ;   nên trên đoạn này , phương trình có nghiệm 3   Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc đoạn  0;   Lop12.net