Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán giải phương trình, bất phương trình

B/ Thực hiện các giải pháp của đề tài: Để giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình trong các kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt c[r]

Sáng kiến kinh nghiệm ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như ta đã biết, chương trình trung học phổ thông, chuyên đề phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chiếm lượng khá lớn, xuyên suốt từ lớp 10 đến lớp 12 Tuy nhiên chương trình phổ thông, số các bài tập đó có số bài tập mà ta không thể giải phương pháp thông thường, giải gặp nhiều khó khăn và phức tạp Phương trình, bất phương trình với hàm số có mối liên hệ chặt chẽ, ta biết sử dụng đạo hàm để giải các bài toán đó thì bài toán đơn giản Tuy nhiên không phải bài nào ta sử dụng phương pháp hàm số để giải, ứng dụng đạo hàm hàm số để giải là lớn, và đặc biệt số đề thi Đại Học- Cao Đẳng năm gần đây thì có không ít bài toán giải phương pháp hàm số mà đa phần học sinh chưa vận dụng và giải Vì tôi chọn đề tài: “ứng dụng đạo hàm các bài toán giải phương trình, bất phương trình” II/ THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Thuận lợi: Đa số học sinh Trường THPT Võ Trường Toản nghèo hiếu học, quan tâm và giúp đỡ ban giám hiệu các giáo viên môn đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực giải pháp đề tài này Khó khăn: Học sinh chủ yếu là em nông thôn, gia đình xa trường, điều kinh tế khó khăn, ngoài thời gian học trường các em còn phải phụ giúp gia đình Đa số điểm đầu vào học sinh còn thấp, đặc biệt là môn toán Số liệu thống kê: Khảo sát 100 học sinh lớp 12 Trước áp dụng đề tài Số HS Giỏi Khá TB Yếu Kém 50 11 25 Sau áp dụng đề tài Số HS Giỏi Khá TB Yếu Kém 50 15 20 14 III/ NỘI DUNG ĐỀ TÀI A/ Cơ sở lí luận: Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT là hoạt động dạy thầy và hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt là môn toán học cần thiết không thể thiếu đời sống người Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa số các em học sinh ngại học môn này Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net Sáng kiến kinh nghiệm Muốn học tốt môn toán các em phải nắm vững tri thức khoa học môn toán cách có hệ thống, biết vận dụng lí thuyết linh hoạt vào dạng bài tập Điều đó thể việc học đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư lôgic và cách biến đổi giáo viên cần định hướng cho học sinh học và nghiên cứu môn toán có hệ thống chương trình phổ thông, vận dụng lí thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập tổng hợp cách giải Trong sách giáo khoa đại số 10, 11, 12 nêu số cách giải các phương trình, bất phương trình cách đơn giản Việc sử dụng đạo hàm củng để khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số, còn ứng dụng đạo hàm việc giải các bài toán sơ cấp thì chưa sử dụng nhiều và học sinh không biết cách vận dụng, song các đề thi đại học và cao đẳng gần đây việc giải các bài toán có ứng dụng đạo hàm nhiều Đặc biệt là ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình giúp cho học sinh giải số bài toán sẻ đơn giản Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x   x  x   Nếu giải theo cách bình thường đã biết lớp 10 như: bình phương hay đặt ẩn phụ gặp nhiều khó, nhiên tin ý chút ta thấy vế trái là hàm đồng biến và x  là nghiệm phương, sử dụng phương pháp đạo hàm thì ta giải phương trình này đơn giản Ví dụ 2: 2009 x.( x   x)  Bài này ta không thể sử dụng các phép biến đổi bình thường để giải Nhưng sử dụng phương pháp hàm số thì sẻ đơn giản nhiều Và nhiều bài toán khác nửa Do vậy, tôi mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm phương pháp giải gặp các bài toán giải phương trình và bất phương trình Trong giới hạn sáng kiến kinh nghiệm tôi hướng dẫn học sinh số phương pháp giải phương trình và bất phương trình phương pháp ứng dụng đạo hàm B/ Thực các giải pháp đề tài: Để giúp học sinh giải tốt các phương trình, bất phương trình các kì thi, giáo viên cần phải hướng dẫn cho học sinh nhận dạng và sử dụng tốt các phương pháp như: Các phương pháp biến đổi đại số đã học lớp 10, phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải Ở đây, tôi đề cập đến vài khía cạnh nhỏ việc giải phương trình, bất phương trình phương pháp ứng dụng tính đơn đệu hàm số Sau đây, tôi vào nội dung cụ thể 1/ Cơ sở lí thuyết: 1.1/ Cho hàm số y  f ( x) xác định trên D +Nếu f ( x)  x  D dấu xảy hữu hạn điểm thì y  f ( x) đơn điệu tăng trên D +Nếu f ( x)  x  D dấu xảy hữu hạn điểm thì y  f ( x) đơn điệu giảm trên D Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net Sáng kiến kinh nghiệm Hàm số đơn điệu là hàm số tăng giảm *Định lí 1: Nếu hàm số y  f ( x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm phương trình trên D: f ( x)  k không nhiều và f (u )  f (v) và u  v u, v  D Chứng minh: Giả sử phương trình f ( x)  k có nghiệm x  a , tức là f (a)  k Do f(x) đồng biến nên: + x  a suy f ( x)  f (a)  k nên phương trình f ( x)  k vô nghiệm + x  a suy f ( x)  f (a)  k nên phương trình f ( x)  k vô nghiệm Vậy phương trình f ( x)  k có nhiều là nghiệm *Chú ý: +Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình sau: Bài toán yêu cầu giải phương trình: F(x) = Ta thực các phép biến đổi tương đương đưa phương trình dạng f ( x)  k f (u )  f (v) (trong đó u  u ( x); v  v( x) ) và ta chứng minh f(x)là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) Nếu là phương trình: f ( x)  k ta tìm nghiệm, chứng minh nghiệm đó là Nếu là phương trình: f (u )  f (v) ta có u  v giải phương trình này ta tìm nghiệm +Ta có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có nghiệm *Định lí 2: Nếu hàm số y  f ( x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y  g ( x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D phương trình f ( x)  g ( x) không nhiều Chứng minh: Giả sử x = a là nghiệm phương trình: f ( x)  g ( x) tức là f (a)  g (a) Ta giả sử y  f ( x) đồng biến còn y  g ( x) nghịch biến +Nếu x  a suy f ( x)  f (a)  g (a)  g ( x) nên phương trình f ( x)  g ( x) vô nghiệm +Nếu x  a suy f ( x)  f (a)  g (a)  g ( x) nên phương trình f ( x)  g ( x) vô nghiệm Vậy phương trình f ( x)  g ( x) có nhiều nghiệm *Chú ý: Khi gặp phương trình F(x) = ta có thể biến đổi dạng; f ( x)  g ( x) , đó f và g khác tính đơn điệu đó ta tìm nghiệm phương trình và chứng minh nghiệm đó là *Định lí 3: Nếu hàm số y  f ( x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì: f ( x)  f ( y )  x  y ( x  y ) 2/ Ứng dụng đạo hàm để giải phương trình: Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net Sáng kiến kinh nghiệm 2.1/ Dạng 1: Phương trình đã cho đưa dạng: f ( x)  g ( x) (hoặc f (u )  g (u ) )trong đó u  u ( x) a)Phương pháp: Bước 1: Biến đổi phương trình đã cho dạng : f ( x)  g ( x) (hoặc f (u )  g (u ) ) Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) và y  g ( x) trên D *Tính f ' ( x) , g '( x) và xét dấu f ' ( x) , g '( x) kết luận tính đơn điệu hàm số y  f ( x) và y  g ( x) trên D *Kết luận hai hàm số: y  f ( x) và y  g ( x) đơn điệu ngược hai là hàm số *Tìm x0 cho f ( x0 )  g ( x0 ) (hoặc tìm u0 cho f (u0 )  f (u ) ) Bước 3: kết luận *Phương trình đã cho có nghiệm và x  x0 (hoặc u  u0 giải phương trình u  u0 ) *Kết luận nghiệm phương trình trên b)Ví dụ áp dụng: Giải các phương trình sau: Bài 1: 3x   x  x   *Nhận xét: Đối với bài toán này giải theo cách bình thường như: bình phương hay đặt ẩn phụ gặp nhiều khó, nhiên tin ý chút ta thấy vế trái là hàm đồng biến và x = là nghiệm phương trình nên theo định lí 1ta có x = là nghiệm Vậy ta có cách giải sau   57  ,     ĐK: D   Xét hàm số: f(x)= 3x +1 + x + 7x + , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và 7x   x  - 57 nên hàm số f(x) đồng biến f '(x )   2 3x  x  7x  1 Mặt khác ta thấy f(1)= *Nếu x   f ( x)  f (1)  nên phương trình vô nghiệm *Nếu x   f ( x)  f (1)  nên phương trình vô nghiệm Vậy x = là nghiệm phương trình *Chú ý: +Vì các hàm số y  ax  b với a>0là hàm đồng biến và f ( x) là hàm đồng biến thì hàm số n f ( x) (với điều kiện thức tồn tại)cũng là hàm đồng biến nên ta dễ dàng nhận VT phương trình là hàm đồng biến +Dự đoán nghiệm thì ta ưu tiên giá trị x cho các biểu thức dấu nhận giá trị là số chính phương Bài 2: x  x -  - x (2) *Nhận xét: đặt điều kiện và bình phương giải vất vả Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net Sáng kiến kinh nghiệm Ta có thể giải phương pháp hàm số sau: ĐK: D   x / x  3 Xét hàm số: f ( x)  x  x   x  , đó (2)  f ( x)  , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và f '( x)  x    , x  nên hàm số f(x) đồng biến x 3 Mặt khác ta thấy f(4)= *Nếu x   f ( x)  f (4)  nên phương trình vô nghiệm *Nếu x   f ( x)  f (4)  nên phương trình vô nghiệm Vậy x = là nghiệm phương trình Bài 3: x    x  x  x3 (3) *Nhận xét: đặt điều kiện và bình phương đưa phương trình bậc (rất khó giải) Vì ta có thể giải phương pháp hàm số sau: ĐK: D   x / x  1 Xét hàm số: f ( x)  x3  x  x   x  , đó (3)  f ( x)  , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và f '( x)  3x  x    , x  1 nên hàm số f(x) đồng biến x 1 Mặt khác ta thấy f(0)= *Nếu x   f ( x)  f (0)  nên phương trình vô nghiệm *Nếu x   f ( x)  f (0)  nên phương trình vô nghiệm Vậy x = là nghiệm phương trình Bài 4: 2009 x.( x   x)  (4) *Nhận xét: Bài này ta không thể sử dụng các phép biến đổi bình thường để giải Vì ta có thể giải phương pháp hàm số sau: Đặt f ( x)  2009 x.( x   x) với x   , ta có f(x) là hàm liên tục và   x   x  f '( x)  2009 x.ln 2009.( x   x)  2009 x   1  2009 x  ln 2009( x   x)    1    2  x 1   x 1     x2   x  = 2009 x  ln 2009( x   x)     x    Do x   x và ln 2009  nên f '( x)  , x   nên hàm số f(x) đồng biến trên R Mặt khác ta thấy f(0)= *Nếu x   f ( x)  f (0)  nên phương trình vô nghiệm *Nếu x   f ( x)  f (0)  nên phương trình vô nghiệm Vậy x = là nghiệm phương trình Bài 5: 3x   x (5) *Nhận xét: Bài này ta không thể sử dụng các phép biến đổi bình thường để giải Vì ta có thể giải phương pháp hàm số sau: Ta có: 3x   x  3x  x   Đặt f ( x)  3x  x  ta có f '( x)  3x.ln   nên hàm số f(x) đồng biến trên R Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net Sáng kiến kinh nghiệm Mặt khác ta thấy f(1)= *Nếu x   f ( x)  f (1)  nên phương trình vô nghiệm *Nếu x   f ( x)  f (1)  nên phương trình vô nghiệm Vậy x = là nghiệm phương trình Bài 6: log( x  5)   x (6) ĐK: D   x / x  5 Xét hàm số: f ( x)  log( x  5)  x  , đó (6)  f ( x)  , ta có f(x) là hàm liên tục trên D và f '( x)    , x  nên hàm số f(x) đồng biến ( x  5).ln10 Mặt khác ta thấy f(6)= *Nếu x   f ( x)  f (6)  nên phương trình vô nghiệm *Nếu x   f ( x)  f (6)  nên phương trình vô nghiệm Vậy x = là nghiệm phương trình *Chú ý: Nếu phương trình có chứa hàm số mũ (hoặc lôgarit) và hàm đa thức thì ta thường giải phương pháp đạo hàm Bài 7: 3log (1  x  x )  log x (7) *Nhận xét: Với bài này ta không thể giải phương pháp thông thường vì phức tạp và khó giải Ta có thể giải phương pháp sau: ĐK: D   x / x  0 Đặt log x  12t  x  26t  x  24t Phương trình (7) trở thành: 3log (1  26t  24t )  12t   26t  24t  34t   64t  16t  81t t t t    64   16         1  81   81   81  t t t t (7') t t 64 16 1 64 64 16 16 Xét hàm f (t )          có f '(t )    ln    ln    ln  , t 81  81  81  81  81  81   81   81   81  nên hàm số f(t) nghịch biến Mặt khác ta thấy f(1)= *Nếu t   f (t )  f (1)  nên phương trình vô nghiệm *Nếu t   f (t )  f (1)  nên phương trình vô nghiệm Vậy phương trình (7’) có nghiệm là t =1  x  26  x  212  x  4096 2.2/Dạng 2: Phương trình đã cho đưa dạng: f (u )  f (v) đó u  u ( x), v  v( x) a)Phương pháp: Bước 1:Biến đổi phương trình dạng: f (u )  f (v) Bước 2: Xét hàm số y  f (t ) trên D *Tính y ' và xét dấu y’ *Kết luận hàm số y  f (t ) là hàm số đơn điệu trên D, Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net Sáng kiến kinh nghiệm Bước 3: Kết luận *Phương trình đã cho có nghiệm và u  v *Giải phương trình: u  v *Kết luận nghiệm của phương trình đã cho b)Ví dụ áp dụng: Giải các phương trình sau: Bài 1: x   x   x   x D = R *Nhận xét: với cách giải các bài toán dạng thì ta khó khăn để giải bài này Tuy nhiên nhìn kĩ thì ta thấy các biểu thức dấu hai vế có chung mối liên hệ là x   ( x  1)  và x   (2 x )  , đặt u  x  và v  x thì phương trình đã cho trở thành: u   u  v3   v  f (u )  f (v) , đó t2 f (t )  t   t là hàm liên tục và có: f '(t )  3 Do đó: f (u )  f (v)  u  v  x   x  x  1, x    t  1   nên f (t ) luôn đồng biến Vậy phương trình có hai nghiệm: x  1, x       Bài 2: 3x  x   (4 x  2)  x  x   (2) D = R Phương trình (2)    2.3 x  x  x    2(2 x  1)  (2 x  1)  (2 x  1)   v  (2 x  1) ta được:  2u  u u   2v  v  v    f (u )  f (v)   x  x   (4 x  2)   x  x2  Đặt u  3x, 2 Trong đó: f (t )  2t  t t  với t  R Là hàm số liên tục và có: f '(t )   t   t2 t2   0, t  R suy f (t ) là hàm đơn điệu tăng Do đó: f (u )  f (v)  u  v  3x  2 x   x   5 Vậy phương trình có nghiệm: x   Bài 3: sin1975 x  cos1975 x  sin 2009 x  (3) cos 2009 x *Nhận xét: Với bài này sử dụng các phép biến đổi thông thường thì ta không thể giải Nếu nhìn kĩ ta thấy phương trình có thể đưa dạng f (u )  f (v) và giải phương pháp đạo hàm: Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net Sáng kiến kinh nghiệm sin x  k x cos x  ĐK:  Ta thấy s inx  1, cosx  không là nghiệm phương trình Phương trình (3)  sin1975 x  sin 2009 x  cos1975 x   f (u )  f (v) cos 2009 x t   -1,0    0,1 t 2009 2009 Ta có f '(t )  1975.t1974  2010  nên f(t) là hàm đơn điệu tăng t Đặt hàm số f (t )  t1975  Do đó: f (u )  f (v)  u  v  sin x  cos x  x    k Bài 4: 2x 1   log ( x  2)  x   log  1    x  2 x  x (4) *Nhận xét: Với bài này ta không thể giải phương pháp thông thường vì phức tạp và khó giải và ta không thể sử dụng dạng 1, tin ý chút ta có thể nhận thấy các biểu thức vế trái và vế phải có mối liên hệ với Ta có thể giải bài toán theo cách sau ĐK: D   2;     0;     Với điều kiện đó phương trình đa cho tương đương 1  1 1   log x    x    x   log            x  x x   Đặt u  x  2, và v   ta log u  u  2u  log v  v  2v  f (u )  f (v) x Trong đó: f (t )  log t  t  2t với t  Là hàm số liên tục và có: f '(t )  2  2t      suy f (t ) là hàm đơn điệu tăng trên  0;   t.ln ln ln Do đó: f (u )  f (v)  u  v  x     x3  x    x  1  x  x  1   x  1 x Vậy phương trình có nghiệm: x  1 Bài 5:  x  x  x 1  ( x  1) (5) Tương tự các bài tập trên bài này ta cần biến đổi để xuất hàm số cần xét TXĐ: D =  Phương trình (5)   x x  x 1  x  x  Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net  x 1  x   x x  x2  x Sáng kiến kinh nghiệm Đặt u  x  và v  x  x ta 2u  u  2v  v  f (u )  f (v) Xét hàm số f (t )  2t  t víi t   f ’(t )  t ln2    t    f(t) là hàm số đồng biến trên   f (u )  f (v)  x - = x2 - x  x2 - 2x + =  x=1 Vậy phương trình có nghiệm: x  Bài 6: log ( x2  2x  )  x  x  (6) 2x  x  ĐK : D   x / x   Đặt u  x  x   0; v  x  x    u  v  x  3x  u v Phương trình trở thành: log  v  u  log u  log v  v  u  u  log u  v  log v (6’) Xét hàm số f (t )  t  log t víi t >0 f ’(t )    t  t.ln  f(t) là hàm số đồng biến trên t >0  f (u )  f (v)  u = v  u- v =0  x  x    x  1, x  Vậy phương trình có nghiệm: x  1, x  3/ Ứng dụng đạo hàm để giải bất phương trình: 3.1/ Dạng 1: Bất phương trình đã cho đưa dạng: f ( x)  g ( x) (hoặc f (u )  g (u ) )trong đó u  u ( x) a)Phương pháp: Bước 1: Biến đổi bất phương trình đã cho dạng : f ( x)  g ( x) (hoặc f (u )  g (u ) ) Bước 2: Xét hàm số y  f ( x) và y  g ( x) trên D *Tính f ' ( x) , g '( x) xét dấu f ' ( x) và g '( x) , kết luận tính đơn điệu hàm số y  f ( x) và y  g ( x) trên D *Tìm x0 cho f ( x0 )  g ( x0 ) (hoặc tìm u0 cho f (u0 )  f (u ) ) *Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc hàm hằng) thì: f ( x)  g ( x)  x  x0 , x  D (hoặc f (u )  g (u )  u  u0 , x  D ) Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc hàm hằng) thì: f ( x)  g ( x)  x  x0 , x  D (hoặc f (u )  g (u )  u  u0 , x  D ) Bước 3: kết luận *Kết luận nghiệm bất phương trình trên b) Ví dụ áp dụng: Giải các bất phương trình sau: Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net Sáng kiến kinh nghiệm Bài 1: x   x    x  ĐK:  x  Xét hàm số: f (x)  x   x    x víi x  D Ta thấy f(x) là hàm đồng biến  x  (2;4) (vì f’(x) >  x  (2;4)) Lại có: f(3) = đó, bất phương trình có nghiệm x thì x  (3; ) Kết hợp điều kiện tập nghiệm bất phương trình là: S = 3 ; 4 Bài 2: 3  x   2x  2x 1 Xét hàm số: f ( x)  3  x   2x 2x 1 Ta dễ dàng chứng minh f(x) là hàm nghịch biến và f(1)=6 Do đó f(x)  = f(1)  x  Kết hợp điều kiện tập nghiệm bất phương trình là: S = 1;   2 Bài 3: log x   log x   (3) ĐK: x>-1 Các hàm số f1 ( x)  log x  và f ( x)  log x  là các hàm đồng biến trên khoảng (1; ) nên hàm số f (x)  log x   log x  là hàm đồng biến trên khoảng (1; ) Mặt khác: f (0)  (3)  f ( x)  f (0)  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S =  0;   Bài 4: 2.2 x  3.3x  x  (4) x x x 1 1 1 Bất phương trình (4)  2.2  3.3    2.   3.      3 2 6 x x x x x (4’) x 1 1 1 Xét hàm số: f ( x)  2.   3.     là hàm nghịch biến trên R 3 2 6 Mặt khác: f (2)  (4’)  f ( x)  f (0)  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S =  ;  Bài 5: x   x   x   13 x   Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net (5) 10 Sáng kiến kinh nghiệm ĐK: x  đặt f ( x)  Ta có: f '( x)  x   x   x   13 x  7 13    0 x  3  x  2 4  x  3 5 13 x  4 5   f ( x) đồng biến trên  ;   Mà f (3)  nên (5)  f ( x)  f (3)  x  7  Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S =  ;3    3.2/Dạng 2: Bất phương trình đã cho đưa dạng: f (u )  f (v) đó u  u ( x), v  v( x) a)Phương pháp: Bước 1:Biến đổi bất phương trình dạng: f (u )  f (v) Bước 2: Xét hàm số y  f (t ) trên D *Tính y ' và xét dấu y’ *Kết luận hàm số y  f (t ) là hàm số đơn điệu trên D *Nếu f(t) đơn điệu tăng thì: f (u )  g (v)  u  v *Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: f (u )  g (v)  u  v Bước 3: Kết luận *Kết luận nghiệm bất phương trình đã cho b)Ví dụ áp dụng: Giải các bất phương trình sau: Bài 1: 3x  x   (4 x  2)  x  x   (1)     D = R Bất phương trình (1)  3x  x   (4 x  2)  x  x    2.3 x  x  x    2(2 x  1)  (2 x  1)  (2 x  1)   v  (2 x  1) ta được:  2u  u u   2v  v  v    f (u )  f (v)    Đặt u  3x, 2 Trong đó: f (t )  2t  t t  với t  R Là hàm số liên tục và có: f '(t )   t   t2 t2   0, t  R suy f (t ) là hàm đơn điệu tăng Do đó: f (u )  f (v)  u  v  3x  2 x   x   Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net 11 Sáng kiến kinh nghiệm Vậy tập nghiệm bất phương trình:   ;     Bài 2: x  ( x  x  1)  x  x  15 x  14 (2) TXĐ: D =  , BPT (1)  x  (2 x  1)  3  ( x  2)3  x   x   x   ( x  2)3  3( x  2) (*) Xét hàm số : f (t )  t  3t có f '(t )  3t   0, x    f(t) là hàm đồng biến trên   f ( x  1)  f ( x  2)  x   x  Khi đó : (*) 2 x   x   x  1   x    x    x  x    Vậy bất phương trình nghiệm đúng  x   Bài 3: 2( x 1) 1  3x  x  x  (3) TXĐ: D = 1;   (3)  2( x 1) 1  2( x  1)  3x  x  x   2( x 1) 1  2( x  1)  3( x 1)1  ( x  1) (*) Xét hàm số: f (t )  3t 1  t , ta có: f '(t )  3t 1.ln  2t  0, t  Vậy trên D: (*)  f ( 2( x  1))  f ( x  1)  2( x  1)  x   2( x  1)  ( x  1) ,(do x  1)  x  x    x = x  Vậy nghiệm bất phương trình là: x = và  x 4/ Bài tập tự luyện: Giải các phương trình sau : 1)  x  x  3) x  4x  5x   7x  9x  5) x   2x   7) (  )x  (  )x  2x 9) etan 2x     cosx=2 với x   - ;   2  2) x   4  x  4) 2007x  2005x  2006x  2004x 6) 4x   4x   8) log (1  x )  log x 10) x   x   x    11) 3x  x  5x  50 12)  x  10 x  17 x   x x  x 13) x.3 x 1  x  1.3 x   x  x  (HSG Huế - 2002) 14) 2009 x ( x   x)  (HSG Nghệ An -2010) 15) log 2 x  x  11  log 2 x  x  12 (HSG Huế -2003) Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net 12 Sáng kiến kinh nghiệm 16) log 2 ( x  x  2)  log 2 ( x  x  3) 3 17) 42 x  x   x  42 x   x  x  Giải các bất phương trình sau: (ĐH Khối D-2010) 18) x   x   20) log (1  x )  log x 22) 3x  x  5x  50 19) x   x   21) x3  3x  x  16    x 23) x   4  x  24) log 25) (  ) x  (  ) x  x 2 ( x  x  2)  log 2 ( x  x  3) V/ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Việc sử dụng “ứng dụng đạo hàm các bài toán giải phương trình, bất phương trình” có hiệu - Giáo viên phải hướng các em xoáy sâu vào trọng tâm bài học tùy vào bài, nội dung mà áp dụng phương pháp giải cách phù hợp - Cần phải chú ý đến đối tượng học sinh, nên để học sinh tìm tòi, khám phá - Giáo viên cần chủ động khuyến khích các em làm bài toán áp dụng từ dể đến khó * Kiến nghị: - Cần cung cấp thêm tài liệu liên quan tới môn học - Mở lớp bồi dưỡng luyện thi đại học, cao đẳng cho học sinh VI/ KẾT LUẬN Hàm số có nhiều ứng dụng và các ứng dụng đó là sử dụng giải phương trình và bất phương trình Đề tài đã nêu phương pháp chung cho mổi dạng củng minh họa các bài toán cụ thể, đồng thời đưa cho mổi dạng số bài tập với các mức độ khác để học sinh tiếp cận Tuy nhiều nguyên nhân khác nhau, khách quan và chủ quan nên đề tài không tránh khỏi sai sót hạn chế định Rất mong nhận góp ý đồng nghiệp và hội đồng nhà trường VII/ LIỆU THAM KHẢO Phương pháp ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán luyện thi đại học- HUỲNH CÔNG THÁI (Biên soạn) Sách giáo khoa: Đại số và giải tích 11-12 Bài giảng tâm ôn luyện môn toán – TRẦN PHƯƠNG Một số tư liệu trên mạng -Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Thành Lop12.net 13