Đang tải... (xem toàn văn)
Ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n Vấn đề 1: Nhận diện bản chất vấn đề là tổ hợp khi yếu tố thứ tự không quan hệ Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc t-ơng ứng Các sai lầm th-ờng gặp khi giải toán đại số tổ hợp[r]
(1)§Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp Môc lôc Trang Lêi nãi ®Çu Ch-¬ng I Kh¸i niÖm më ®Çu A C¬ së lÝ thuyÕt B Ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n Vấn đề 1: Dùng Qui tắc nhân Vấn đề 2: Dùng Qui tắc cộng 4 4 Ch-¬ng II ChØnh hîp – Ho¸n vÞ A C¬ së lÝ thuyÕt B Ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n Vấn đề 1: Nhận diện chất vấn đề là chỉnh hợp yếu tố thứ tự là cốt lõi Vấn đề 2: Xếp dặt n phần tử hoán vị Vấn đề 3: Chứng minh tính chất liên quan đến A rn và Pn 6 7 10 Ch-¬ng III Tæ hîp – NhÞ thøc Newton A C¬ së lÝ thuyÕt B Ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n Vấn đề 1: Nhận diện chất vấn đề là tổ hợp yếu tố thứ tự không quan hệ Vấn đề 2: Sử đụng quy tắc t-ơng ứng Các sai lầm th-ờng gặp giải toán đại số tổ hợp Vấn đề 3: Chứng minh hệ thức cách nêu ý nghĩa tổ hợp vấn đề Vấn đề 4: Chứng minh hệ thức các Cnk 16 16 17 17 22 25 26 28 Vấn đề 5: Chứng minh hệ thức bậc hai Cnk k n 30 Vấn đề 6: Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình chứa C Vấn đề 7: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Vấn đề 8: Tìm hệ số luỹ thừa biểu thức khai triển Vấn đề 9: Tính tổng các Cnk 32 34 36 39 Vấn đề 10: Tính các tổng Cnk ph-ơng pháp đạo hàm và tích phân 41 GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net (2) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp Lêi nãi ®Çu Lý chọn đề tài Toán học là môn khoa học có nhiều lợi để phát triển trí tuệ cho học sinh Trong quá trình gi¶ng d¹y m«n to¸n, viÖc ®-a nh÷ng ph-¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng to¸n gióp cho viÖc gi¶i các bài toán đó trở nên dễ dàng và ngắn gọn Từ đó tạo hứng thú và say mê cho học sinh học tập môn toán Trong ch-ơng trình toán tr-ờng THPT, đại số tổ hợp là nội dung khó học sinh Các bài toán dễ sai xét thiếu tình huống, xét tình bị trùng lặp hau kh«ng thÊy ®îc ®©y lµ bµi to¸n chØnh hîp hay tæ hîp … Tuy nhiªn, c¸c bµi to¸n d¹ng nµy th-êng g¾n liÒn víi thùc tiÔn vµ rÊt thùc tÕ, nªn th-êng g©y ®-îc sù høng thó häc tËp cho học sinh Chính vì vậy, việc h-ớng dẫn và đ-a ph-ơng pháp giải cho các bài toán đại số tổ hợp là cần thiết Nó đòi hỏi ng-ời giáo viên phải không ngừng nâng cao trình độ và khả s- ph¹m cña m×nh Vì lí này tôi đã chọn đề tài các ph-ơng pháp giải các bài toán đại số tổ hợp cho s¸ng kiÕn kinh nghiÖm cña m×nh T«i mong r»ng víi s¸ng kiÕn nµy sÏ lµ mét tµi liÖu thiÕt thùc cho giáo viên và học sinh học đại số tổ hợp, góp phần giúp các em đạt kết cao các kì thi Tú tài và tuyển sinh vào các tr-ờng Cao đẳng hay Đại học Mục đích, nhiệm vụ và đối t-ợng nghiên cứu 2.1 Mục đích nghiên cứu: Phát và hệ thống hóa ph-ơng pháp để giải các bài toán đại số tổ hợp tr-ờng THPT 2.2 NhiÖm vô nghiªn cøu: Tìm hiểu và đ-a các ph-ơng pháp giải các nội dung chính phần đại số tổ hợp 2.3 §èi t-îng nghiªn cøu: Học sinh lớp 11 và 12 học phần đại số tổ hợp, cách tính đạo hàm và tích phân hàm số (tùy mức độ nhận thức học sinh) Ph-¬ng ph¸p nghiªn cøu: Nghiên cứu lý luận: SGK và các tài liệu tham khảo liên quan đến đại số tổ hợp CÊu tróc cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm: Më ®Çu Ch-¬ng I: Kh¸i niÖm më ®Çu Ch-¬ng II: ChØnh hîp – ho¸n vÞ Ch-¬ng III: Tæ hîp – NhÞ thøc Newton KÕt luËn s¸ng kiÕn kinh nghiÖm GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net (3) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp Ch-¬ng I Kh¸i niÖm më ®Çu A C¬ së lý thuyÕt I Bé s¾p thø tù gåm n phÇn tö Mét d·y sè h÷u h¹n gåm n phÇn tö viÕt d-íi d¹ng (a1, a2,…, ak,…, an) gäi lµ mét bé s¾p thø tù gåm n phÇn tö hay gäi t¾t lµ bé n s¾p thø tù II Quy tắc phép đếm Qui tắc nhân phép đếm Giả sử hành động H gồm nhiều giai đoạn liên tiếp A, B, C,…Nếu ta có m cách khác để thực giai đoạn A, đã thực xong A ta có n cách thực giai đoạn B, đã thực xong B ta có p cách thực giai đoạn C …thì ta có tất m n p cách chọn để th-c hành động H Qui tắc cộng phép đếm Nếu r tập hợp A1, A2,… Ar đôi rời lần l-ợt có số phần tử là n1, n2 ,… nr thì phần hợp cña c¸c tËp hîp nµy cã sè phÇn tö lµ n1 + n2 +… + nr B ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n Vấn đề 1: Dïng Qui t¾c nh©n Để tính số cách xảy hành động phức tạp ta phân tích hành động đó thành các giai đoạn đơn giản và áp dụng qui tắc nhân phép đếm Ví dụ Trong vòng đấu loại thi cờ vua có 2n ng-ời tham dự Mỗi ng-ời chơi đúng bàn với người khác Chứng minh có 1.3.5…(2n -1) cách đặt Gi¶i Xét n đấu thủ (cầm quân trắng chẳng hạn) • Với ng-ời chơi thứ nhất, có 2n – cách chọn đấu thủ anh Còn lại 2n – ng-ời ch-a đấu, nên • Với ng-ời chơi thứ hai, có 2n – cách chọn đấu thủ anh Còn lại 2n – ng-ời ch-a đấu • Với ng-ời chơi thứ ba, có 2n – cách chọn đấu thủ anh ……………… • Với người thứ n có cách chọn đối thủ còn lại Vậy có 1.3.5… (2n – ) cách đặt thi Vấn đề 2: Dïng Qui t¾c céng NÕu c«ng viÖc thø nhÊt cã thÓ thùc hiÖn theo m c¸ch , c«ng viÖc thø hai cã thÓ thùc hiÑn theo n cách và hai công việc này không thể đồng thời thực thỉ có m + n cách để thực hai c«ng viÖc VÝ dô NÕu th- viÖn cã 85 quyÓn s¸ch To¸n vµ 63 quyÓn s¸ch LÝ th× mét häc sinh cã 85 + 63 = 148 cách để m-ợn Toán Lí từ th- viện GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net (4) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp VÝ dô Trong 2006 n¨m qua cã bao nhiªu n¨m kh«ng ph¶i lµ n¨m TuÊt ? Gi¶i LÊy n¨m TuÊt 2006 lµm mèc thêi gian (t = 0) råi ng-îc dßng thêi gian trë vÒ qu¸ khø th× 2006 sè n¨m lµ béi cña 12 lµ n¨m TuÊt Ta cã tÊt c¶ = 167 n¨m TuÊt 12 Cßn l¹i 2006 – 167 = 1839 n¨m kh«ng ph¶i lµ n¨m TuÊt Bµi TËp 1.1 Cã bao nhiªu sè ch½n , lín h¬n 5000 , gåm ch÷ sè kh¸c HD : Ch÷ sè hµng ngµn và chữ số hàng đơn vị là chẵn + Cã 3.5.8.7 = 840 sè ch½n b¾t ®Çu b»ng ch÷ sè lÎ + Cã 2.4.8.7 = 448 sè ch½n b¾t ®Çu b»ng ch÷ sè ch½n VËy tæng céng cã 1288 sè 1.2 Gi¶ sö p1 , p , , p n lµ c¸c sè nguyªn tè kh¸c Hái cã bao nhiªu -íc sè cña sè q p1k1 p2k2 pnkn §S: (k1 + 1) (k2 + )… (kn + 1) 1.3 Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu: a) Sè tù nhiªn gåm cã ba ch÷ sè kh¸c nhau; b) Sè tù nhiªn gåm cã hai ch÷ sè kh¸c nhau; c) Sè tù nhiªn §S: a) sè; b) 6sè; c) 15 sè 1.4 Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm ch÷ sè kh¸c ®-îc thµnh lËp tõ 0, 1, 2, 3, 4, 5, H-íng dÉn: Gäi sè cÇn t×m cã d¹ng ab XÐt c¸c tr-êng hîp cña b ta cã 13 sè Cã tÊt c¶ bao nhiªu sè cã thÓ thµnh lËp tõ c¸c ch÷ sè 2,4,6,8 nÕu a) Số đó nằm từ 200 đến 600 b) Số đó gồm chữ số c) Số đó gồm chữ số khác §S : a) 32 b) 64 c) 24 1.6 Cã bao nhiªu sè kh¸c nhá h¬n 2.10 chia hÕt cho cã thÓ viÕt bëi c¸c ch÷ sè 0, 1, §S : 4373 GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net (5) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp Ch-¬ng II chØnh hîp - ho¸n vÞ a C¬ së lÝ thuyÕt I kh¸I niÖm vÒ giai thõa §Þnh nghÜa: Víi n , n Tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n đ-ợc gọi là n - giai thừa Ký hiệu: n! n! 1.2 n * Quy -íc: 0! = vµ 1! = TÝnh chÊt * n! (n 1)!.n * n! (k 1)(k 2) n (n k ) k! * n! (n k 1)(n k 2) n (n k )! Ii chØnh hîp §Þnh nghÜa Cho mét tËp A cã n phÇn tö Mét chØnh hîp n chËp r (r n) cña n phÇn tö lµ mét b« s¾p thø tù gồm r phần tử khác lấy từ n phần tử đã cho TÝnh chÊt Hai chØnh hîp n chËp r cña n phÇn tö lµ kh¸c nÕu - HoÆc chóng cã Ýt nhÊt mét phÇn tö kh¸c - HoÆc chóng gåm r phÇn tö nh- nh-ng s¾p xÕp theo thø tù kh¸c Sè chØnh hîp chËp r cña n phÇn tö lµ A rn = n(n – 1)(n – 2) (n – r + 1) n! (n k )! b»ng tÝch cña r sè nguyªn d-¬ng liªn tiÕp Iii ho¸n vÞ §Þnh nghÜa Một hoán vị n phần tử khác là cách xếp đặt thứ tự n phần tử đó (nghĩa là chØnh hîp n chËp n ) Sè c¸ch ho¸n vÞ n phÇn tö lµ Pn = n! (nghÜa lµ b»ng tÝch cña n sè d-¬ng ®Çu tiªn ) GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net (6) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp b ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n Vấn đề 1: Nhận diện chất vấn đề là chỉnh hợp yếu tố thứ tự là cốt lõi VÝ dô Cho mét ®a gi¸c låi cã 15 c¹nh Hái cã bao nhiªu vect¬ kh¸c vect¬ víi ®iÓm đầu và điểm cuối là các đỉnh đa giác? Gi¶i Đa giác lồi có 15 cạnh nên có 15 đỉnh, hai đỉnh thì luôn phân biệt và đỉnh thì không thẳng hàng Do đó ta lấy điểm tuỳ ý 15 điểm thì số vectơ lập đ-ợc là chỉnh hợp chập 15! cña 15 phÇn tö VËy sè vect¬ lµ: A152 15.14 210 (vect¬) (15 2)! VÝ dô Cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè víi ba ch÷ sè kh¸c cho tr-íc Gi¶i Mỗi số có r chữ số là chỉnh hợp chập r số đã cho (r 3) VËy cã A 13 sè víi ch÷ sè , A 32 sè víi ch÷ sè , A 33 sè víi ch÷ sè Tæng céng cã A 13 + A 32 + A 33 = + 3.2 + 3.2.1 = 15 sè Ví dụ Trong tr-ờng đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có môn tự chọn, sinh viên phải chọn môn đó, môn chính và môn phụ Hỏi có cách chọn? Gi¶i Sè c¸ch chän lµ chØnh hîp chËp cña phÇn tö.VËy cã : A 32 = 3.2 = c¸ch chon VÝ dô Víi c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè ch½n, mçi sè gåm ch÷ sè kh¸c Gi¶i - Ta sÏ chän ®-îc mét sè nh- vËy b»ng c¸ch chän mét ch÷ sè ch½n 0, 2, lµm ch÷ sè hàng đơn vị rổi ghép với chỉnh hợp chập chữ số ch-a dùng đến cã 3.A 54 sè nhvËy - Nh-ng ta ph¶i lo¹i c¸c sè b¾t ®Çu b»ng 0, sè nh- vËy ®-îc lËp b»ng c¸ch chän mét hai số chẵn 2, làm đơn vị ghép thêm chỉnh hợp chập số khác ch-a dùng đến, và cuối cùng đặt số tr-ớc số đó cã 2.A 34 sè nh- vËy - VËy cã 3.A 54 – 2.A 34 = 5.4.32.2 – 4.3.22 = 312 sè VÝ dô Víi c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè, mçi sè gåm ch÷ sè khác và đó thiết phải có mặt chữ số 5, Gi¶i - Ta sÏ ®-îc mét sè nh- vËy b»ng c¸ch lÊy mét chØnh hîp chËp cña ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, råi thªm ch÷ sè vµo mét vÞ trÝ bÊt k× Cã 5A 64 sè nh- vËy GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net (7) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp - Nh-ng ta ph¶i lo¹i c¸c sè b¾t ®Çu b»ng 0, mét sè nh- vËy ®-îc thµnh lËp b»ng c¸ch lÊy mét chỉnh hợp chập chữ số 1, 2, 3, 4,6 rổi xen chữ số vào vị trí bất kì và cuối cùng đặt chữ số tr-ớc chữ số đó Cã 4A 35 sè nh- vËy - VËy ta cã 5A 64 – 4A 35 = 6.52.4.3 – 5.42.3 = 1560 sè Bµi tËp 2.1 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập đ-ợc bao nhiêu số có chữ số đó a) Cã mét ch÷ sè b) Cã ch÷ sè vµ c¸c ch÷ sè dÒu kh¸c HD & §S : a) Có thảy 4.73 = 1372 số đó có 3.72 = 147 số bắt đầu Còn lại 1372 – 147 = 1225 sè b) Có tất 4A = 840 số đó có 3A = 90 số bắt đầu Còn lại 840 – 90 = 750 số 2.2 Cã bao nhiªu sè cã ch÷ sè kh¸c HD & §S : A 10 – A 39 = 4536 2.3 Tõ s¸u ch÷ sè 2, 3, 5, 6, 7, a) Cã bao nhiªu gåm ch÷ sè kh¸c cã thÓ t¹o ? b) Trong đó có bao nhiêu số nhỏ 400 ? c) Cã bao nhiªu sè ch½n ? d) Cã bao nhiªu sè lÎ ? e) Cã bao nhiªu sè lµ béi sè cña ? §S : a) A 36 = 120 b) 2A 52 = 40 c) 2A 52 = 40 d) 120 – 40 = 80 e) 1A 52 = 20 2.4 T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d-¬ng cã ch÷ sè kh¸c a) Cã bao nhiªu sè lín h¬n 700 ? b) Cã bao niªu sè lÎ ? c) Cã bao nhiªu sè ch½n ? d) Cã bao nhiªu xè chia hÕt cho ? §S : a) 3.8.9 = 216 b) 8.8.5 = 320 c) 9.8.1 + 8.8.4 = 256 d) 9.8.1 + 8.8.1 = 136 2.5 Xét các biển số xe là dãy gồm chữ cái đứng đầu và chữ số đứng sau Các chữ cái đ-ợc lấy tõ 26 ch÷ c¸i A, B, …, Z C¸c ch÷ sè ®îc lÊy tõ 0, 1, …, a) Có bao nhiêu biển số đó có ít chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi khác b) Có bao nhiêu biển số có chữ cái khác đòng thời có đúng chữ số lẻ và chữ số lẻ đó khác §S a) 420 000 biÓn sè b) 487 500 biÓn sè 2.6 Có bao nhiêu số d-ơng bé 1000 mà số có các chữ số đôi khác §S : 738 sè 2.7 Tõ X = {0, 1, 3, 5, 7} cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè, mçi sè gåm ch÷ sè kh¸c vµ kh«ng chia hÕt cho §S : 54 sè 2.8 Tõ ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè ch½n mçi sè gåm ch÷ sè kh¸c §S : 1260 sè GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net (8) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp Vấn đề 2: XÕp dÆt n phÇn tö cña mét ho¸n vÞ VÝ dô Tõ ch÷ sè 1, 2, cã thÓ t¹o d-îc bao nhiªu sè gåm ch÷ sè kh¸c ? Gi¶i Mçi sè gåm ch÷ sè kh¸c t¹o tõ 1, 2, lµ mét ho¸n vÞ cña phÇn tö VËy cã : P3 = 3! = sè (các số đó là : 123, 132, 213, 231, 312, 321 ) Ví dụ Ng-ời ta cần soạn đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, chia thành chủ đề, chủ đề gồm 10 câu hỏi Cần xếp thứ tự 50 câu hỏi cho các câu cùng chủ đề đứng gần nhau, chủ đề đứng đầu và chủ đề 2, không đứng kề Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp? Gi¶i Chủ đề 2, đứng tuỳ ý : tr-ớc tiên, theo chủ đề, đây là hoán vị chủ đề 2, 3, 4, 5, có 4! cách Tiếp theo các câu chủ đề, chủ đề có 10! cách Vậy có : 4!5.10! = 120.10! c¸ch Chủ đề 2, đứng kề : Xem chủ đề và là phần tử, ta có hoán vị phần tử (2,3), 4, hay (3, 2), 4.5 có : 2.3! cách Tiếp theo các câu chủ đề, có : 5.10! cách Nªn cã : 2.3!.5.10! = 60.10! c¸ch VËy sè c¸ch s¾p theo yªu cÇu lµ : 120.10! – 60.10! = 60.10! = 217 728 000 c¸ch Ví dụ Có bi đỏ và bi trắng có kính th-ớc khác đôi Có bao nhiêu cách c¸c bi nµy thµnh mét hµng cho hai bi cïng mÇu kh«ng ®-îc n»m kÒ Gi¶i Xét hộp đựng bi có 10 ô trống thẳng hàng, ô đ-ợc đánh số từ đến 10 - Lấy bi đỏ vào vị trí ô mang số chẵn 2, 4, 6, 8, 10 ta có5! cách Sau đó lấy bi trắng bỏ vào vÞ trÝ cßn l¹i ta còng cã 5! c¸ch VËy tr-êng hîp nµy cã 5!.5! c¸ch - Lập luận t-ơng tự lấy bi đỏ bỏ vào các ô mang số lẻ, lấy bi trắng bỏ vào ô số chẵn ta cã 5!.5! c¸ch VËy sè c¸ch tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ : 2.5!.5! = 28 800 c¸ch Ví dụ a) Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh bàn tròn b) Mét thiÕu n÷ cã n vá sß kh¸c Hái cã bao nhiªu c¸ch x©u chóng thµnh mét chuçi c) Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm phân biệt làm đỉnh Gi¶i GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net (9) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp a) Vị trí t-ơng đối các đại biểu hoàn toàn không đổi ta hoán vị vòng họ theo chiều định (nghĩa là hoán vị vòng không có phần tử nào là phần tử cuối cùng, n! phÇn tö ®Çu tiªn) VËy sè c¸ch s¾p xÕp lµ = ( n – 1)! n Ta có định lí : ''Số hoán vị vòng n phần tử là Pn – = ( n – 1)! '' b) Với cách xâu định, ta lật xâu chuỗi sang bề khác (lật ngửa) ta lại đ-ợc cách n 1! ho¸n vÞ kh¸c mçi c¸ch x©u øng víi hai ho¸n vÞ vßng vµ cã tÊt c¶ Pn - = c¸ch x©u 2 c) Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo hai chiều theo 2n cách khác mà đa giác n 1! không thay đổi sè ®a gi¸c lµ Bµi tËp 2.9 Có bao nhiếu số gồm đủ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, HD : Có 6! số đó 5! số bắt đầu số Vậy có 6! – 5! = 720 số 2.10 Có bao nhiêu cách xếp học sinh đứng thành hàng ngang để chụp ảnh l-u niệm, biết đó có em không đứng xa HD : Coi bạn không đứng xa lập thành nhóm thì có 5! cách xếp đặt Với cách trên thì có 3! cách xếp hoán vị bạn đó Vậy có 5!.3! = 720 2.11 Trong phßng cã bµn dµi, mçi bµn cã ghÕ Ng-êi ta muèn xÕp chç ngåi cho 10 häc sinh gåm nam vµ n÷ Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp chç ngåi nÕu a) C¸c häc sinh ngåi tuú ý b) C¸c häc sinh nam ngåi mét bµn, häc sinh n÷ ngåi mét bµn §S : a) 10! = 626 800 c¸ch b) 2!.5!.5! = 28 800 c¸ch 2.12 Tõ X = {1, 2, 3, 4,5, 6} thiÕt lËp c¸c ch÷ sè kh¸c Hái c¸c sè lËp ®-îc cã bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạch §S : 480 sè 2.13 Xét các số gồm chín chữ số đó có số và chữ số còn lại là 2, 3, 4, Hỏi có bao nhiªu sè mµ a) N¨m ch÷ sè mét xÕp kÒ b) C¸c ch÷ sè ®-îc xÕp tuú ý §S : a) 120 sè b) 3024 s« 2.14 Trong các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập đ-ợc bao nhiêu số có chữ số đó chữ số có mặt đúng lần còn các chữ số khác có mặt đúng lần §S : 720 sè Vấn đề 3: Chứng minh tính chất liên quan đến A rn và Pn VÝ dô TÝnh tæng c¸c sè tù nhiªn gåm ch÷ sè kh¸c ®-îc lËp tõ 1, 3, 4, 5, 6, 7, Gi¶i Gäi n = a1 a a3 a a5 Sè c¸c sè n lµ A 56 = 6! = 720 sè 1! GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 10 (10) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp XÐt c¸c ch÷ sè hµng d¬n vÞ, mçi ch÷ sè 1, 3, 4, 5, 7, xuÊt hiÖn 720 = 120 lÇn Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 120(1 + + + + + 8) = 120.28 = 3360 T-¬ng tù, tæng c¸c ch÷ sè hµng chôc lµ: 3360.10 tæng c¸c ch÷ sè hµng tr¨m lµ: 3360.102 tæng c¸c ch÷ sè hµng ngµn lµ: 3360.103 tæng c¸c ch÷ sè hµng v¹n lµ: 3360.104 Do đó S = 3360(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 3360.11111 = 37 332 960 Ví dụ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số lớn và đôi khác Tính tæng c¸c sè trªn Gi¶i Gäi n = a1 a a3 a a5 vµ X = {5, 6, 7, 8, 9} Sè c¸c sè n chän tõ X lµ 5! = 120 Xét các chữ số hàng đơn vị, số lần xuất loại chữ số nên chữ số 120 xuÊt hiÖn = 24 lÇn Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là : 24(5 + + + + 9) = 24.35 = 840 T-¬ng tù, tæng c¸c ch÷ sè hµng chôc lµ: 840.10 tæng c¸c ch÷ sè hµng tr¨m lµ: 840.102 tæng c¸c ch÷ sè hµng ngµn lµ: 840.103 tæng c¸c ch÷ sè hµng v¹n lµ: 840.104 Do đó S = 840(1 + 10 + 102 + 103 + 104) = 840.11111 = 333 240 VÝ dô Chøng minh r»ng tÝch P = (n + 1)(n + 2) …(2n) chia hÕt cho tÝch P = 1.3.5…(2n –1) TÝnh th-¬ng sè Gi¶i Ta cã (n!) P = (2n)! = [1.3.5…(2n – 1)][2.4…(2n)] P = P 2n.n! = 2n P' A 3x + 5A 2x VÝ dô Gi¶I bÊt ph-¬ng tr×nh : 21x Gi¶i §iÒu kiÖn x N vµ x A 3x + 5A 2x 21x x! x! +5 x 3! x 2! 21x x(x -1)(x – 2) + 5x(x – 1) (x -1)(x – 2) + 5(x – 1) x2+ 2x – 24 –6 x 21x 21 (do x 3) Do x N vµ x nªn x = 3, x = lµ nghiÖm GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 11 (11) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp VÝ dô Chøng minh r»ng víi n N vµ n A22 th× A32 An2 n n Gi¶i Ta cã : A21 A32 1! 2! 3.2 1 A42 2! 4! 4.3 1 An2 n ! n! 1 n n Cộng vế theo vế n – đẳng thức trên ta đ-ợc : A22 A32 VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh : x! A42 An2 2 x 1! x 1! víi x 1 n n n n N* gi¶i x! x 1! x 1! 6 x! x 1! x x 1! x 1! x 1! x 1! x x x 1! x x x 1! x x x2 5x x x VËy nghiÖn cña ph-¬ng tr×nh lµ : x = vµ x = P 15 VÝ dô Gi¶i bÊt ph-¬ng tr×nh : n ( ) Pn Pn Pn Gi¶i §iÒu kiÖn : n N vµ n Ta cã : GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 12 (12) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp n 4! n! n ! 15 n 1! n n n 2! n n 1!n 2! n n 15 n n 8n 12 Do ®iÒu kiÖn n 15 n 1! n 7n 12 15n n N vµ n nªn n {3, 4, 5} VÝ dô Gi¶i ph-¬ng tr×nh P x A 2x + 72 = 6(A 2x + P x ) Gi¶i N vµ x §iÒu kiÖn x Ta cã : P x A 2x + 72 = 6(A 2x + P x ) x! x! + 72 = x 2! x 2! x! 2x! x!x(x – 2) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!] (x2 – x – 12)x! = 6(x2 – x – 12) (x2 – x – 12)(x! – 6) = x2 x 12 x! x x x x x : lo¹i VÝ dô Gäi Pn lµ sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö Chøng minh : a) Pn – Pn-1 = (n – 1)Pn-1 b) + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n – 1)Pn-1 = Pn Gi¶i a) Ta cã : Pn-Pn-1 = n! – ( n– 1)! = n( n – 1)! – (n – 1)! = (n – 1).(n – 1)! = (n – 1).Pn-1 c) Tõ kÕt qu¶ trªn, ta cã : GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 13 (13) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp P2 VËy : P1 (2 1) P1 P3 P2 (3 1) P2 P4 P3 (4 1) P3 Pn Pn (n 1) Pn Pn – P1 =P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n-1)Pn-1 Pn = + P1 + 2P2 + 3P3 + … + (n-1)Pn-1 VÝ dô 10 T×m c¸c sè ©m d·y sè x1, x2, …, xn víi xn = An4 Pn 143 Pn víi Pn lµ sè ho¸n vÞ cña n phÇn tö Gi¶i §iÒu kiÖn n N \ {0} n 4! 143 n! Ta cã xn = n ! 4n ! VËy xn < n n n! n n 4n 143 28n 95 143 4n ! ( n! ) 19 20 n Do n = 1, 2, 3, … nªn n = 1, n = VËy sè cÇn t×m lµ x1 = x1 = 5.4 143 63 6.5 143 143 15 4.2 23 n VÝ dô 11 Chøng minh víi mäi n N : n! n Gi¶i Theo bất đẳng thức Cauchy : 1+2+3+…+n n 1.2 n Mµ 1, 2, 3, …, n lµ mét cÊp sè céng nªn 1+2+3+…+n GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net n n 14 (14) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp n n Do đó : n n n n! n n! n n n ! Bµi tËp 2.15 Cã bao nhiªu sè cã ch÷ sè kh¸c nhau.TÝnh tæng cña chóng ĐS : Có 648 số Tổng các số đó là 355 680 2.16 TÝnh tæng S cña tÊt c¶ c¸c ho¸n vÞ cña sè 123456 vµ ph©n tÝch S thµnh thõa sè nguyªn tè §S : Tæng c¸c ho¸n vÞ lµ 777 777 = 23.33.5.72.11.13.37 2.17 TÝnh c¸c tæng a) S = Anr Anr Anr m 1 b) S’ = An An An3 m HD : a) S = [ 1.2 …r + 2.3 …(r +1) + … + ( n + m – r + 1)( n + m – r + 2) … (n + m)] – [ 1.2 …r + 2.3 …(r +1) + … + ( n – r )( n – r + 1) … (n – 1)] = Anr 1m Anr r 1 1 1 T-¬ng tù cho c¸c b) An 2n n n An k Céng l¹i ta ®-îc : 1 1 S’ = n m n m n n 2.18 Chøng minh r»ng : Ank 2.19 Chøng minh : Ann k2 Ank kAnk 11 Ann k1 k Ann k 2.20 T×m sè nguyªn d-¬ng n tho¶ m·n hÖ thøc a) An3 20n b) An5 18 An4 c) An2 10 n d) A An1 n A An8 2.21 Gäi Pn lµ sè c¸ch ho¸n vÞ n vËt kh¸c a) T×m hÖ thøc gi÷a Pn vµ Pn– b) TÝnh P1 vµ suy biÓu thøc cña Pn c) Chứng minh định lí : "Số song ánh hai tập X, Y cùng có n phần tử là Pn = n!" HD : a) Pn = n Pn– ( Có n cách xen phần tử thứ n vào n – phần tử đã xếp thứ tự sẵn) b) P1 = 1, Pn = n! 2.22 §Æt S n P1 P2 3P3 Tn P1 P2 P3 TÝnh Sn + Tn, Sn HD : Sn + Tn = P1 3P2 P3 Pn = P2 P3 = Tn + Pn– – P1 nPn Pn n Pn Pn GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 15 (15) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp Sn Pn P1 n ! 2.23 Cã thÓ lËp ®-îc bao nhiªu sè lín h¬n 2000 víi c¸c sè 0, 1, 2, 3, mµ kh«ng sè nµo lÆp l¹i HD : XÐt tr-êng hîp – Các số có chữ số : Có cách chọn chữ số hàng ngàn Sau đó có A43 cách chọn phần còn lại cã A43 72 sè – Các số có chữ số : Có 5! số đó có 4! số bắt đầu phải loại cã 5! 4! 96 sè – Tæng céng cã 72 + 96 = 168 sè Ch-¬ng III tæ hîp – NHÞ thøc newton A c¬ së lý thuyÕt i tæ hîp §Þnh nghÜa Cho n phÇn tö kh¸c Mét tæ hîp chËp k cña n phÇn tö lµ mét tËp chøa k phÇn tö Sè tæ hîp n chËp k lµ : n n n n k 1.2.3 k Cnk n! k! n k ! TÝnh chÊt a) Cnk Cnn b) Cn0 Cnn 1, Cn1 c) Cnk Cnk Cnk 11 (HÖ thøc Pascal) n k k1 Cn k Cn1 Cn2 Cnn 2n d) Cnk e) Cn0 k Cnn n II NHÞ Thøc NEWTON C«ng thøc : a b n n Cn0a nb0 Cn1a n 1b1 Cnna 0b n Cnk a n k b k (n = 0, 1, 2, …) k n C¸c hÖ sè Cnk cña c¸c lòy thõa a b víi n lÇn l-ît lµ 0, 1, 2, … ®-îc s¾p thµnh tõng hµng cña tam gi¸c sau ®©y, gäi lµ tam gi¸c Pascal : 1 1 GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 16 (16) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp 1 Sè h¹ng thø k+1 lµ Cnk an k bk HÖ Qu¶ : x n 3 + 10 10 Cn0 Cn1 x Cn2 x n Cnn x n b.ph-¬ng ph¸p gi¶i to¸n Vấn đề 1: Nhận diện chất vấn đề là tổ hợp yếu tố thứ tự không quan hệ VÝ dô §Ò thi tr¾c nghiÖm cã 10 c©u hái, häc sinh cÇn chän tr¶ lêi c©u a) Hái cã mÊy c¸ch chän tïy ý ? b) Hái cã mÊy c¸ch chän nÕu c©u ®Çu lµ b¾t buéc? c) Hái cã mÊy c¸ch chän c©u ®Çu vµ c©u sau? Gi¶i a) Chän tïy ý 10 c©u ®Çu lµ tæ hîp chËp cña 10 phÇn tö, cã : 10! 10.9 C108 45 c¸ch 8! 10 ! b) V× cã c©u b¾t buéc nªn ph¶i chän thªm c©u c©u cßn l¹i ®©y lµ tæ hîp chËp cña phÇn tö, cã : 7! 7.6 C75 21 c¸ch 5! ! c) Chän c©u ®Çu, cã C54 c¸ch TiÕp theo, Chän c©u sau, cã C54 c¸ch.VËy theo quy t¾c nh©n cã : 5! 25 c¸ch 4!.1! VÝ dô Tõ nam vµ n÷ -u tó, cã bao nhieu c¸ch thµnh lËp mét ban c¸n sù ng-êi C54 C54 đó: a) Có đúng nữ b) Cã Ýt nhÊt n÷ c) B¹n A vµ b¹n B kh«ng thÓ rêi d) B¹n X vµ b¹n Y kh«ng thÓ lµm viÖc chung víi Gi¶i a) Cã C42 c¸ch chän n÷ sinh sè ng-êi, Cã C74 c¸ch chän nam sinh C42 C74 6.35 210 c¸ch chän ban c¸n sù GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 17 (17) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp b) Cã C42 C74 c¸ch chän n÷ nam, Cã C43.C73 c¸ch chän n÷ nam Cã C44 C72 c¸ch chän n÷ nam C42 C74 C43.C73 C44 C72 6.35 4.35 1.21 371 c¸ch lËp mét ban c¸n sù cã it nhÊt n÷ c) Cã C94 c¸ch chän ban c¸n sù chøa c¶ A vµ B Cã C96 c¸ch chän ban c¸n sù kh«ng chøa c¶ A vµ B Cã C94 C96 126 84 210 c¸ch chän ban c¸n sù nÕu A vµ B kh«ng chÞu rêi d) Trong C116 c¸ch lËp ban c¸n sù cã C94 c¸ch nhËn c¶ X vµ Y Cßn l¹i C116 C94 462 126 336 cách lập ban cán không đồng thời chứa X và Y VÝ dô Mét ®oµn tÇu cã toa chë kh¸ch : toa I, II, III Trªn s©n ga cã hµnh kh¸ch chuÈn bÞ ®i tÇu BiÕt r»ng mçi toa cã Ýt nhÊt chç trèng Hái : a) Cã bao nhiªu c¸ch s¾p hµnh kh¸ch lªn toa b) Có bao nhiêu cách hành khách lên tầu để có toa đó có vị khách Gi¶i a) Mçi kh¸ch cã c¸ch lªn toa I hoÆc II hoÆc III VËy sè c¸ch s¾p kh¸ch lªn toa lµ: 3.3.3.3 = 81 c¸ch 4! c¸ch 3! Sè c¸ch s¾p kh¸ch cßn l¹i lªn toa II hoÆc III lµ : c¸ch VËy nÕu kh¸ch ë toa I th× cã : 4.2 = c¸ch LËp luËn t-¬ng tù nÕu kh¸ch ë toa II hoÆc III còng lµ c¸ch VËy sè c¸ch tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ : + + = 24 c¸ch b) Sè c¸ch s¾p kh¸ch lªn toa I lµ : C43 VÝ dô Cã 30 c©u hái kh¸c gåm c©u khã 10 c©u trung b×nh vµ 15 c©u dÔ Tõ 30 câu đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu khác nhau, cho đề phải có lo¹i (khã, trung b×nh, dÔ) vµ sè c©u dÔ kh«ng Ýt h¬n 2? Gi¶i Số đề thi gồm câu dễ câu trung bình và câu khó : 15! 10! C152 C102 5 23625 2!.13! 2!.8! Số đề thi gồm câu dễ câu trung bình và câu khó : 15! 5! C152 10.C52 10 10500 3!.12! 2!.3! Số đề thi gồm câu dễ câu trung bình và câu khó : 15! C153 10.5 50 22750 3!.112! Vì các cách chọn đôi khác nhau, nên số đề kiểm tra là : 23625 + 10500 + 22750 = 56 875 Ví dụ Một đội văn nghệ có 10 ng-ời đó có nữ và nam Có bao nhiêu cách chia đôi văn nghệ : a) Thµnh nhãm cã sè ng-êi b»ng vµ mçi nhãm cã sè n÷ b»ng b) Có bao nhiêu cách chọn ng-ời đó không quá nam Gi¶i a) Do mçi nhãm cã sè ng-êi b»ng nªn mçi nhãm phai cã ng-êi Do sè n÷ b»ng nªn mçi nhãm ph¶i cã n÷ VËy mçi nhãm ph¶i cã n÷ nam GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 18 (18) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp Sè c¸ch chän lµ : C63.C42 6! 4! 120 3!.3! 2!.2! b) Sè c¸ch chän ng-êi toµn n÷ lµ : C65 6! Sè c¸ch chän n÷ vµ nam lµ : C64 60 4!2! Vậy số cách chọn ng-ời đó không quá nam là : + 60 = 66 VÝ dô Cã 16 häc sinh gåm häc sinh giái, kh¸, trung b×nh Cã bao nhiªu c¸ch chia sè học sinh thành tổ, tổ có ng-ời, có học sinh giỏi và ít học sinh khá Gi¶i Vì tổ có học sinh giỏi nên số học sinh giỏi tổ là Vì tổ có ít học sinh khá nên số học sinh khá tổ là Do đó xem số học sinh giỏi, khá, trung bình tổ là toạ độ véctơ chiều ta có tr-ờng hợp tổ là (1, 2, 5), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (2, 3, 3) T-ơng ứng tr-ờng hợp đó tổ là (2, 3, 3), (2, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 2, 5) Ta th¸y tr-êng hîp bÞ trïng.VËy chØ cã tr-êng hîp lµ : Tr-êng hîp : Số cách chọn tổ nào đó có giỏi, khá, trung bình là : 3.C52 C85 VËy tæ cßn l¹i cã giái, kh¸, trung b×nh tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n Tr-êng hîp : Số cách chọn tổ nào đó có giỏi, khá, trung bình là : 3.C53.C84 VËy tæ cßn l¹i cã giái, kh¸, trung b×nh tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n Do đó số cách chia học sinh thành tổ thoả mãn yêu cầu bài toán là : 5! 8! 5! 8! 3.C52 C85 3.C53.C84 3780 2!3! 5!3! 3!2! 4!4! Ví dụ Có bi xanh, bi đỏ, bi vàng có kích th-ớc đôi khác Có bao nhiêu c¸ch chán : a) viên bi đó có đúng viên bi đỏ b) viên bi đó số bi xanh số bi đỏ Gi¶i a) số cách chọn bi đỏ : C52 sè c¸ch chän bi xanh hay vµng : C134 Vậy số cách chọn bi có đúng bi đỏ : C52 C133 5! 13! 7150 2!3! 4!9! b) Số cách chọn bi xanh, bi đỏ, bi vàng : 9.5.1 = 45 Số cách chọn bi xanh, bi đỏ, bi vàng : 9! 5! 4! C92 C52 C42 2160 2!7! 2!3! 2!2! Số cách chọn bi xanh và bi đỏ: 9! 5! C93.C53 840 3!6! 3!2! Vậy số cách chọn viên bi đó số bi xanh số bi đỏ : 45 + 2160 + 840 = 3045 GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 19 (19) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp Ví dụ Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng và bi vàng Ng-ời ta chọn bi từ hộp Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy không đủ mầu Gi¶i Sè c¸ch chän bi bÊt k× 15 bi trªn lµ : C154 1365 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng là : C42 5.6 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng là : 4.C52 Số cách chọn bi đỏ, bi trắng, bi vàng là : 4.5.C62 Vậy số cách chọn bi đủ mầu là : 4! 5! 6! 30.C42 24.C52 20C62 30 24 20 180 240 300 720 2!2! 2!3! 2!4! Do đó số cách chọn bi không đủ mầu là :1365 – 720 = 645 Bµi tËp 3.1 Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có đề kiểm tra khác Cần chọn học sinh cho môi đề kiểm tra Hỏi có cách chọn? §S : Cã C124 C84 34 650 c¸ch 3.2 Mét häc sinh ph¶i tr¶ lêi 10 13 c©u hái kiÓm tra : a) Cã bao nhiªu c¸ch chän? b) Cã bao nhiªu c¸ch nÕu c©u ®Çu lµ b¾t buéc? c) Cã bao nhiªu c¸ch nÕu ph¶i tr¶ lêi hai c©u ®Çu? d) Có bao nhiêu cách phải trả lời đúng câu đầu? e) Cã bao nhiªu c¸ch nÕu ph¶i tr¶ lêi Ýt nhÊt c©u ®Çu? 10 §S : a) C13 b) C118 165 c) 2.C119 110 286 e) C C C C 5 C C d) C53.C87 80 276 3.3 Có 12 học sinh -u tú Cần chọn học sinh để dự đại hội học sinh -u tú toàn quốc Có mÊy c¸ch chän : a) Tïy ý? b) Sao cho häc sinh A vµ B kh«ng cïng ®i? c) Sao cho häc sinh A vµ B cïng ®i hoÆc cïng kh«ng ®i? §S : a) 495 c¸ch b) 450 c¸ch c) 225 c¸ch 3.4 Cã nhµ to¸n häc nam, nhµ to¸n häc n÷ vµ nhµ vËt lÝ nam Muèn lËp ®oµn c«ng t¸c cã ng-êi gåm c¶ nam lÉn n÷, cÇn cã c¶ nhµ to¸n häc lÉn vËt lÝ Cã bao nhiªu c¸ch chän §S : 90 c¸ch 3.5 Cã tem th- kh¸c vµ b× th- còng kh¸c Ng-êi ta muèn chän tem th-, b× th- và dán tem th- đó lên bì th- đã chọn Mỗi bì th- có tem th- Hỏi có bao nhiêu c¸ch lµm nh- vËy §S : 1200 c¸ch 3.6 Một bài 52 lá ; có loại : cơ, rô, chuồn, bích loại 13 lá Muốn lấy lá đó phải có đúng lá cơ, đúng lá rô và không quá lá bích Hỏi có bao cách? §S : 39 102 206 c¸ch 3.7 Cho tËp gåm 10 phÇn tö kh¸c T×m sè tËp kh¸c rçng chøa sè ch½n c¸c phÇn tö §S : 511 3.8 Một hộp có cầu xanh đánh số từ đến 6, cầu đỏ đánh số từ đến 5, GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng 20 Lop12.net (20) §Ò tµi nghiªn cøu khoa häc: §¹i sè tæ hîp cầu vàng đánh số từ đến a) Hái cã bao nhiªu c¸ch lÊy qu¶ cÇu cïng mÇu qu¶ cÇu cïng sè b) Hái cã bao nhiªu c¸ch lÊy qu¶ cÇu kh¸c mÇu, qu¶ cÇu kh¸c mÇu vµ kh¸c sè §S : a) Cã 34 c¸ch lÊy qu¶ cÇu cïng mÇu ; Cã c¸ch lÊy qu¶ cÇu cïng sè b) Cã 120 c¸ch lÊy qu¶ cÇu kh¸c mÇu ; Cã 64 c¸ch lÊy qu¶ cÇu kh¸c mÇu vµ kh¸c sè 3.9 Xếp bi đỏ có bán kính khác và bi xanh giống vào hộc có ô trống a) Cã bao nhiªu c¸ch xÕp kh¸c b) Có bao nhiêu cách xếp khác bi đỏ xếp cạnh và bi xanh xếp cạnh §S :a) 840 c¸ch b) 48 c¸ch 3.10 Một tập thể có 14 ng-ời gồm nam và nữ đó có An và Bình Ng-ời ta muốn chọn tổ công tác gồm người Tìm số cách chọn mõi trường hợp sau :’ a) Trong tæ ph¶i cã mÆt c¶ nam lÉn n÷ b) Trong tổ phải có tổ tr-ởng ,5 tổ viên , An và Bình không đồng thời có mặt tæ §S : a) 2974 c¸ch b) 15 048 c¸ch 3.11 Sè 210 cã bao nhieu -íc sè §S : 16 sè 3.12 Một trăm số đánh số 1, 2, …, 100 bán cho 100 người Có giải thưởng đó có giải độc đắc a) Cã bao nhiªu c¸ch tÆng gi¶i? b) Có bao nhiêu cách tặng giải vé số 47 trúng giải độc đắc c) Cã bao nhiªu c¸ch tÆng gi¶i nÕu vÐ sè 47 lµ mét c¸c gi¶i tróng d) Cã bao nhiªu c¸ch tÆng gi¶i nÕu vÐ sè 47 kh«ng tróng gi¶i e) Có bao nhiêu cách tặng giải vé số 47 và 19 trúng giải f) Nếu các vé số 19, 47 và 73 trúng giải g) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 trúng giải h) Nếu các vé số 19, 47,73 và 97 không trúng giải i) Nếu giải độc đắc rơi vao các vé số 19, 47,73 và 97 j) NÕu c¸c vÐ sè 19, 47 tróng gi¶i cßn c¸c vÐ sè 73 vµ 97 kh«ng tróng gi¶i §S : a) 94 109 400 b) 941 094 c) 764 376 d) 90 345 024 e) 114 072 f) 2384 g) 24 h) 79 727 040 i) 764 376 j0 109 440 3.13 Bảng chữ cái có 26 kí tự đó có nguyên âm a) Có bao nhiêu chữ gồm kí tự đó có phụ âm khác và nguyên âm khác nhau? §S : 596 000 b) Trong đó có bao nhiêu chữ ch-á b? §S: 228 000 c) Trong đó có bao nhiêu chữ ch-á b và c? §S: 22 800 d) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu b và chứa c? §S: 4560 e) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu b và kết thúc c? §S: 1140 f) Trong đó có bao nhiêu chữ bắt đầu b và chứa a? §S: 18 240 g) Trong đó có bao nhiêu chữ ch-á a, b, c? §S: 9120 3.14 Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} a) Cã bao nhiªu tËp cña A chøa mµ kh«ng chøa b) Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n gåm ch÷ sè kh¸c mµ kh«ng b¾t ®Çu bëi 123 lËp tõ A §S : a) 64 b) 3348 sè 3.15 Cã ng-êi ViÖt, ng-êi Th¸i, ng-êi Trung Quèc vµ ng-êi TriÒu Tiªn CÇn chän ng-êi ®i dù héi nghÞ Hái cã mÊy c¸ch chän cho : a) Mỗi n-ớc có đại biểu? b) Không có n-ớc nào có đại biểu? §S : a) 4480 c¸ch b) 4320 c¸ch GV Dương Đình Chiến – Trường THPT Chi Lăng Lop12.net 21 (21)