Gọi M là tâm của đường tròn C di động sao cho C tiếp xúc trong với C1, tiÕp xóc ngoµi víi C2.. Th.S NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net.[r]
(1)Chủ đề 4: Phương pháp toạ độ mặt phẳng I KiÕn thøc c¬ b¶n Toạ độ điểm, toạ độ véctơ: Hệ toạ độ Oxy gồm hai trục Ox, Oy vuông góc với gốc O, với hai véctơ đơn vị tương ứng là i, j : Toạ độ điểm: M ( x; y ) OM xi y j Toạ độ véctơ: a (a1 ; a2 ) a a1 i a2 j Biểu thức toạ độ các phép toán véctơ: Cho a (a1 ; a2 ) ; b (b1 ; b2 ) vµ A(xA; yA); B(xB; yB) Ta cã: a.b a1b1 a2b2 (tích vô hướng) a b a1b1 a2b2 a a12 a2 (độ dài véctơ) AB AB ( xB x A ) ( yB y A ) a1b1 a2b2 cos(a, b) a12 a2 b12 b2 a b ab 1 a2 b2 a b (a1 b1 ; a2 b2 ) a b (a1 b1 ; a2 b2 ) k a (ka1 ; ka2 ) AB ( xB x A ; yB y A ) a kb a1b2 a2b1 Phương trình đường thẳng a) Phương trình tham số, phương trình chính tắc: x x0 a1t y y0 a2t Đường thẳng qua điểm M0(x0; y0) có véctơ phương a (a1 ; a2 ) ptts: NÕu a1.a2 th× cã PT chÝnh t¾c lµ: x x0 x x0 a1 a2 b) Phương trình tổng quát, phương trình dạng đoạn chắn: PTTQ đt có dạng: Ax By C đó n ( A; B) là VTPT, (A2 + B2 > 0) x y a b NÕu ®i qua ®iÓm M0(x0; y0) cã vÐct¬ PT n ( A; B) th× cã PT: A( x x0 ) B( y y0 ) c) Góc hai đường thẳng và 2: cos(1 , ) cos(a1 , a2 ) cos(n1 , n2 ) , đó a1 , a2 ; n1 , n2 là VTCP và VTPT và d) §êng th¼ng cã VTCP a (a1 ; a2 ) th× mét VTPT lµ n (a2 ; a1 ) VTPT n ( A; B) th× mét VTCP lµ a ( B; A) Chó ý a n Nếu cắt trục Ox, Oy A(a; 0); B(0; b) thì có PT dạng: e) Hai ®êng th¼ng song song th× VTPT cña ®t nµy lµ VTPT cña ®t kia; VTCP cña ®t nµy lµ VTCP cña ®t Hai ®êng th¼ng vu«ng gãc th× VTPT cña ®t nµy lµ VTCP cña ®t f) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: d ( M , ) Ax0 By0 C A2 B 4) §êng trßn a) Phương trình đường tròn: Phương trình đường tròn tâm I(a; b), bán kính R là: (x – a)2 + (y - b)2 = R2 Phương trình: x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = là phương trình đường tròn tâm I(-A; -B), bán kÝnh R = A2 B C b) TiÕp tuyÕn cña ®êng trßn: LuyÖn thi §H – C§ Th.S NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (2) Chủ đề 4: Phương pháp toạ độ mặt phẳng Cho ®êng trßn (C) t©m I(a; b), b¸n kÝnh R TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M0(x0; y0) cã PT: (a – x0)(x – x0) + (b – y0)(y – y0) = §êng th¼ng : Ax + By + C = lµ tiÕp tuyÕn cña (C) d ( I , ) Aa Bb C A2 B R Qua ®iÓm A n»m ngoµi ®êng trßn (C) lu«n kÎ ®îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C), gäi hai tiÕp ®iÓm lµ M, N ta cã: M, N lµ giao ®iÓm cña (C) vµ ®êng trßn ®êng kÝnh AI; MN AI; AM2 = AN2 = AI2 + R2 Gọi d là khoảng cách từ I đến d < R thì cắt (C) hai điểm MN; MN2 = 2(R2 + d2) M A I N 5) ElÝp a) Định nghĩa: Elíp (E) là tập hợp các điểm M cho tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định F1, F2 luôn số 2a (2a > F1F2 = 2c tiêu cự) ( E ) M F1M F2 M 2a Trong mặt phẳng Oxy phương trình chính tắc (E) có tiêu điểm F1 ( - c; 0), F2(c; 0) và có độ dài trục lớn 2a là: x2 y ; víi b a c , b a; c a b b) C¸c yÕu tè: Bốn đỉnh: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; b), B2(0; -b) §é dµi trôc lín A1A2 = 2a §é dµi trôc nhá B1B2 = 2b Tiªu cù F1F2 = 2c y B1 A1 F1 O B2 F2 A2 x c a b2 1 T©m sai e a a H×nh ch÷ nhËt c¬ së PQRS Hai trục đối xứng Ox, Oy Tâm đối xứng O II Bµi tËp Bài Trong Oxy cho A(3; 1); B(-1; 2) và đường thẳng d: x – 2y +1 = Tìm toạ độ điểm C thuéc d cho tam gi¸c ABC: 1) Cân với đáy là AB §S: C(6/7; 13/14) 2) Vu«ng t¹i C §S: C1(3; 2), C2(-3/5; 1/5) Bài Trong Oxy cho A(1; -1), B(5; -3), C thuộc trục Oy Tìm toạ độ diểm C cho tam gi¸c ABC cã träng t©m G thuéc trôc Ox Bài Lập phương trình các cạnh tam giác ABC biết: 1) Toạ độ đỉnh B(-4; -5), hai đường cao tam giác nằm trên các đường thẳng có phương trình là: 5x + 3y – = 0; 3x + 8y + 13 = §S: 8x – 3y + 17 = 0; 3x – 5y – 13 = 0; 5x + 2y – = LuyÖn thi §H – C§ Th.S NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (3) Chủ đề 4: Phương pháp toạ độ mặt phẳng 2) Toạ độ đỉnh A(1; 3) và hai trung tuyến tam giác nằm trên các đường th¼ng cã PT lµ: x - 2y + = 0; y - = §S: x +2y -7 = 0; x – 4y – = 0; x - y + = 3) Toạ độ đỉnh C(4; -1) đường cao và trung tuyến tam giác kẻ từ cùng đỉnh nằm trên các đường thẳng có phương trình là: 2x - 3y + 12 = 0; 2x + 3y = §S: 3x +7y -5 = 0; 3x +2y – 10 = 0; 9x +11 y + = 4) Toạ độ đỉnh A(-1; 3) Đường cao BH và phân giác CK tam giác nằm trên các đường thẳng có phương trình là: x- y = 0; x + 3y + = §S: x +y -2 = 0; x – 7y –18 = 0; 3x - y + = Bài Lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(2;4), cách hai điểm cho trước M(-1; 3) vµ N(5;1) Bài Cho tam giác ABC có diện tích S = 3/2 Toạ độ các đỉnh A(2; -3); B(3; -2), trọng tâm G thuộc đường thẳng d: 3x – y – = Tìm toạ độ đỉnh C §S: C(- 2; -10); (1; -1) Bài Viết phương trình đường tròn (C) biết: 1) Có tâm I(5; 6) và tiếp xúc với đường thẳng có phương trình: 3x – 4y – = 2) §i qua ba ®iÓm A(0; 6); B(4; 0); C(3; 0) 3) Đi qua A(2; -1) và tiếp xúc với hai trục toạ độ 4) TiÕp xóc víi d: x + y + 13 = vµ tiÕp xóc víi d’: 7x – y – = t¹i M(1; 2) Bµi Cho ®êng trßn (C): x2 + y2 – 4x +8y – = 1) Chøng minh r»ng ®t d: x – y = c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A,B TÝnh AB 2) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết: a) TiÕp ®iÓm (1; 1) b) TiÕp tuyÕn ®i qua D(0; 2) 3) Chøng minh ®êng th¼ng : x + (m-1)y + m = lu«n c¾t (C) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt M, N Tìm m để MN nhỏ Bµi C©uVI.a(§Ò thi §H-KA-2009): Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho h×nh ch÷ nhËt ABCD cã ®iÓm I(6; 2) lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD §iÓm M (1; 5) n»m trªn ®êng th¼ng AB vµ trung ®iÓm E cña c¹nh CD thuéc ®êng th¼ng : x + y – = ViÕt PT ®êng th¼ng AB §S: y – = 0; x – 4y + 19 = Bài CâuVIb(Đề thi ĐH-KB-2009): Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC cân A(1; 4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng : x – y – = Xác định toạ độ các điểm B, C biÕt diÖn tÝch tam gi¸c ABC b»ng 18: §S: B 11 ; ; C ; or : B ; ; C 11 ; 2 2 2 2 2 2 Bµi 10 C©uVIb(§Ò thi §H-KD-2009): Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho ®êng trßn (C): (x-1)2 + y2=1 Gọi I là tâm (C) Xác định toạ độ điểm M thuộc (C) cho IMO=300 §S: M ; 2 Bµi 11 Cho ®êng trßn (C): (x-1)2 + y2 = vµ ®êng th¼ng d: x + y + = Tìm điểm A thuộc d cho từ A kẻ hai tiếp tuyến đến (C) tạo với góc 600 Bµi 12.ViÕt pt ®êng trßn cã t©m thuéc d: 2x + y = vµ tiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng cã phương trình là: 4x - 3y + 10 = ; 4x - 3y + 30 = Bµi 13 Cho A(8;0) ; B(0;6) ViÕt pt c¸c ®êng trßn ngo¹i tiÕp, néi tiÕp tam gi¸c OAB Bài 14 Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác tạo ba đường thẳng có phương trình là: 4x - 3y – 65 = ; 7x - 24y + 55 = ; 3x + 4y – = HD: A(11;-7) ; B(23;9) ; C(-1;2) AB = 20 ; BC =25 ; CA =15 => tam gi¸c t¹i A S =150 , p=30 r =5 I (10;0) Bµi 15 ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (C) : x2 + y2 + 2x – 4y – = BiÕt: TiÕp ®iÓm M (2;2) TiÕp tuyÕn ®i qua A (2;5) HÖ sè gãc k = Bµi 16 ViÕt pt tiÕp tuyÕn chung cña hai ®êng trßn : (C1) : x2 + y2 – 6x + 5y = 0; (C2) : x2 + y2 – 12x – 6y + 44 = LuyÖn thi §H – C§ Th.S NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (4) Chủ đề 4: Phương pháp toạ độ mặt phẳng Bài 17 Lập phương trình đường tròn qua A (2;1) và các giao điểm đường tròn: x2 + y2 – 4x – 6y – = vµ ®êng th¼ng: x – 2y + = LuyÖn thi §H – C§ Th.S NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (5) Chủ đề 4: Phương pháp toạ độ mặt phẳng Bµi 18 ViÕt pt ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c ABC biÕt: A(-1;7) ; B(4;-3) ; C(-4;1) §S : (x + 1)2 + (y - 2)2 = Bµi 19 ViÕt pt ®êng th¼ng ®i qua O(0;0) vµ c¾t (C): x2 + y2 - 2x + 6y – 15 = bëi hai ®iÓm A vµ B, biÕt AB = Bµi 20 Cho hä ®êng cong: (Cm): x2 + y2 - 2x – 2y + m = (m lµ tham sè ) 1) Víi ®iÒu kiÖn nµo cña m th×(Cm) lµ ®êng trßn 2) Tìm m để (Cm) có R = Viết pt tiếp tuyến đường tròn này 2 A 1 ;1 2 3) ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn víi tiÕp tuyÕn trªn Bài 21 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ oxy, cho ABC A PT BC: x – y - = ; các đỉnh A, B thuộc Ox và R đường tròn nội tiếp r = Tìm toạ độ trọng tâm G ABC HD: A(0;0), B(1;0) S = p.r a = + G1, G2 Bài 22 CâuVIa(Đề thi ĐH-KA-2010): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x y vµ d2: 3x y Gäi (T) lµ ®êng trßn tiÕp xóc víi d1 t¹i A, c¾t d2 t¹i hai điểm B và C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình đường tròn (T), biết tam gi¸c ABC cã diÖn tÝch b»ng và điểm A có hoành độ dương ĐS: x y 2 3 Bài 23 CâuVIb(Đề thi ĐH-KA-2010): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm các cạnh AB và AC có phương trình x + y – = Tìm toạ độ đỉnh B và C, biết điểm E(1; - 3) nằm trên đường cao qua đỉnh C tam giác đã cho ĐS: B(0; -4), C(-4; 0) B(-6; 2), C(2; -6) Bài 24 CâuVIa(Đề thi ĐH-KB-2010): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A, có đỉnh C(- 4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 và đỉnh A có hoành độ dương ĐS: 3x – 4y + 16 = Bài 25.CâuVIb(Đề thi ĐH-KD-2010): Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; 2) và là đường thẳng qua O Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên Viết phương trình đường thẳng , biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH ĐS: ( 1) x y Bài 26 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc Elíp (E) biết x2 y 1 r»ng (E) cã t©m sai b»ng vµ h×nh ch÷ nhËt c¬ së cña (E) cã chu vi b»ng 20 §S: x2 y Tìm toạ độ Bài 27 Tong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm C(2; 0) và Elíp (E) các điểm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng với qua trục hoành và ABC ĐS 2; 2 25 Bài 28 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (E): x y và điểm M(1; 1) Viết phương tr×nh ®êng th¼ng ®i qua M vµ c¾t (E) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B cho M lµ trung ®iÓm cña AB x2 y Bài 29 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho (E) hai điểm M, N di động trên các tia Ox và Oy cho MN luôn tiếp xúc với (E) Xác định toạ độ M, N cho MN nhỏ Bài 30 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hai đường tròn (C1): (x+5)2 + y2 = 441; (C2) : (x-5)2 + y2 = 25 Gọi M là tâm đường tròn (C) di động cho (C) tiếp xúc với (C1), tiÕp xóc ngoµi víi (C2) T×m quü tÝch ®iÓm M §S: LuyÖn thi §H – C§ x2 y2 169 144 Th.S NguyÔn Trung Kiªn Lop12.net (6)