Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải toán

Trong qu¸ tr×nh d¹y häc m«n to¸n ë bËc trung häc phæ th«ng, chóng ta gÆp rÊt nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương trình.Để giải các bài[r]

Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n Phần một: Đặt vấn đề Hiện ,giáo dục không ngừng cải cách và đổi Để kịp với xu hướng này ,rất nhiều yêu cầu đặt Một số đó chính là làm để có phương pháp giải toán hay ,nhanh,mà cho kết chính xác Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số là phương pháp giải toán Có nhiều bài toán nhìn tưởng khó,nếu giải thì lời giải khó hiểu,rắc rối Nhưng áp dụng phương pháp này ,bài toán trở thành đơn giản ,gọn nhiều Đó chính là ứng dụng phương pháp này ,ngoài phương pháp sử dụng tính đơn điệu còn phát huy ưu việt nhiều trường hợp khác Nói tóm lại,Phương pháp này cần thiết các em học sinh chuẩn bị ôn thi tốt nghiệ trung học phổ thông,thi đại học và cao đẳng.Nó giúp các em phát huy tèi ®a tÝnh s¸ng t¹o viÖc t×m ®­¬ng gi¶i to¸n nhanh nhÊt ,hay nhÊt vµ chÝnh x¸c nhÊt Trong qu¸ tr×nh d¹y häc m«n to¸n ë bËc trung häc phæ th«ng, chóng ta gÆp rÊt nhiều bài toán chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương trình.Để giải các bài toán dạng trên có bài ta giải nhiều phương pháp khác , có bài có thể giải phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số.Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán là phương pháp hay,thông thường để giải bài toán đơn giản,gọn nhẹ so với phương pháp khác Tuy nhiên để học sinh có kỹ ta cần hệ thống hoá lại bài tập ,để học sinh và giáo viên bít lóng tóng h¬n Phương pháp sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán ,chiếm vị trí đặc biệt quan trọng các bài toán chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình ,bất phương trình ,hệ phương trình.Phương pháp này dựa trên mối liên hệ tính đồng biến và nghịch biến hàm số với đạo hàm nó SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n Để sử dụng phương pháp này,điều cốt yếu là chúng ta cần xây dựng hàm số thích hợp ,rồi nghiên cứu tính đồng biến ,nghịch biến nó trên đoạn thích hợp.Các hàm số nhiều trường hợp có thể nhận tra từ đầu ,còn các trường hợp đặc biệt ta cần khôn khéo để phát chúng SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n Phần hai: Nội dung ,phương pháp ,cách thức thực A.KiÕn thøc cÇn nhí ! Hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a;b] gọi là đồng biến trên đoạn ấy, với x1 < x2 thuộc đoạn [a ;b] ta có f(x1) < f(x2) Điều kiện để y = f(x) đồng biến trên [a ;b] là y'= f(x)  , x  [a ;b] Đồng thời dấu ''='' đạt số điểm riêng biệt Đối với hàm đồng biến thì ymax= y(b) , ymin= y(a) (a < b) ,đồng thời phương tr×nh f(x) =0 cã nghiÖm th× nghiÖm Êy lµ nhÊt Tương tự, y = f(x) gọi là nghịch biến trên [a ;b] là y' = f'(x)  , x  [a;b] Đồng thời dấu ''='' đạt số điểm riêng biệt Đối với hàm nghịch biến thì ymax= y(a) , ymin= y(b) (a < b) ,đồng thời phương trình f(x) =0 có nghiệm thì nghiệm là Hàm số y = f(x) đồng biến nghịch biến trên đoạn [a;b] gọi là đơn điệu trên đoạn Hàm đơn điệu có tính chất quan trọng sau đây: f(x) = f(y)  x = y Nếu f(x) đồng biến , g(x) nghịch biến thì : 1) Nếu phương trình f(x) = g(x) có nghiệm x = x0 thì nghiệm là 2) Nghiệm bất phương trình f(x) > g(x) là giao x>x0 và miền xác định bất phương trình 3) Nghiệm bất phương trình f(x) < g(x) là giao x< x0 và miền xác định bất phương trình SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n B.Mét sè vÝ dô : I VÝ dô 1: Phương trình giải phương trình: x 1 -  x = (1) Gi¶i: ®iÒu kiÖn -1  x   (1)  x  = 1+  x Cã nghiÖm x = 3, v× 1 = = +  = §óng và vì vế trái là hàm đồng biến ( đạo hàm dương) , vế phải là hàm nghịch biến ( đạo hàm âm), nªn x = lµ nghiÖm nhÊt cña (1) Nhận xét.Cái hay cách giải này là đưa phương trình vô tỷ sử dụng tính đơn điệu , tránh bình phương lần dễ dẫn đến nghiệm x5 +x3 -  3x +4 =0 Ví dụ 2.Giải phương trình Gi¶i: §iÒu kiÖn x  1/ §Æt f(x) = x5 +x3 -  3x +4 Ta cã f'(x) = 5x4 +3x2 + >0  3x  f(x) đồng biến / ( , ] Mặt khác f(-1) = nên phương trình f(x) = có nghiệm x = -1 Ví dụ Giải phương trình x  15  x   x  Giải.Phương trình  f ( x)  x   x   x  15  (*) Nếu x  / thì f(x) <0  phương trình (*) vô nghiệm   NÕu x >2/3 th× f'(x) = + x    x>  x  15   x 8 2   f(x) đồng biến /  ,   3  Mà f(1) = nên (*) có đúng nghiệm x = SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán Trường THPT Dương Đình Nghệ Ví dụ 4: Giải bất phương trình :  2   x GV: Vò Hoµng S¬n 2  2 x x (1) Giải: Nhận thấy x = là nghiệm ,vì đó ta có : 2-     22 x x 2 3 2 3 V× 2x > nªn (1)       1 4     Do 2 2  1 4 Nªn vÕ tr¸i lµ hµm nghÞch biÕn ,vµ v× vËy x =2 lµ nghiÖm nhÊt cña (1) NhËn xÐt C¸i hay cña c¸ch gi¶i nµy lµ ph¸t hiÖn c¬ sè bÐ h¬n để sử dụng tính nghịch biến Ví dụ 5:Giải phương trình : x + lg(x2 -x -6) = +lg(x +2) Gi¶i: §iÒu kiÖn x +2>0, x2 - x -6 >0  x  VËy (1)  x + lg(x +2) +lg(x -3) = +lg(x +2)  lg(x -3) = -x (2) Phương trình này có nghiệm x =4 vì đó ta có lg1 = đúng Vì vết trái đồng biến (cơ số lôgarit lớn 1).Vế phải nghịch biến ( đạo hàm âm) , Nªn (2) cã nghiÖm nhÊt x = ( tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x > 3) Ví dụ 6: Giải phương trình 2log3cotgx = log2cosx Gi¶i: §iÒu kiÖn cosx > 0,sinx > §Æt  log2cosx = y  cosx = 2y  log3cotg2x = log2cosx = y cotg2x = 3y V× cotg2x cos x 4y =   cos x  y y 3  3y - 12y = 4y     y  1, cã nghiÖm nhÊt y = -1 4 Vì vế trái số 3/4 <1 là hàm nghịch biến ,vế phải số 3>1 là hàm đồng biến VËy cosx = 2-1 = 1/2  x =  /  2k , k  R KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ,ta ®­îc nghiÖm cña (1) lµ : x=   k , k  z Nhận xét Cái hay cách giải này là đưa (1) dạng phương trình mũ không chính tắc để sử dụng tính đơn điệu SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n Ví dụ 7: giải phương trình x - 2x = log (x + 1) - log x (1) Gi¶i: §iÒu kiÖn: x > víi ®iÒu kiÖn Êy (1)  x (3-2x) - log (x + Do x > nªn x+ ) x (2)  vµ vÕ ph¶i lµ hµm loga cã c¬ sè lín h¬n 1, x nên là hàm đồng biến  log (x + )  log22 = x Vậy thì vế trái dương  x2(3-2x) >0  3-2x > Ta có x2(3-2x) = x.x.(3-2x) là tích số dương ,có tổng không đổi ,nên nó đạt giá trị lớn ,khi x = -2x = Như là VT  ,đạt dấu = x = , VP  , đạt dấu = x =  phương trình có nghiệm x = Nhận xét.Cái hay cách giải này là áp dụng linh hoạt hệ bất đẳng thức Côsi và tính đơn điệu hàm logarit Ví dụ giải các phương trình: 3.4x + (3x-10)2x + - x = Giải đặt y = 2x > 0, đó ta có 3y2 + (3x - 10)y + - x = Từ đó y = 3 x  10  (3 x  8)  NÕu y1 = = 2x  x = -log23 y1 = hoÆc y2 = 3-x Nếu y2 = - x = 2x , ta có x = là nghiệm , vì đó -1 = đúng và vì vế trái là hàm nghịch biến ( có đạo hàm âm) , vế phải là hàm đồng biến ( số hàm mũ lớn 1) Nhận xét.Cách giải này hay chổ biết chọn ẩn số thích hợp để đưa phương trình bậc hai và sử dụng tính đơn điệu hàm số SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán Trường THPT Dương Đình Nghệ II GV: Vò Hoµng S¬n Bất hương trình VÝ dô giải bất phương trình x9 > - 2x  (2) Gi¶i: §iÒu kiÖn x  vế trái là hàm đồng biến( đạo hàm dương) vế phải la hàm nghịch biến(đạo hàm âm) nên nghiệm (2) là giao x  và x > x vói x là nghiệm phương trình x9 = - 2x  ; phương trình cuối có nghiệm x =0, vì đó ta có =5- đúng và vế trái đồng biến, vế phải nghịch biến VËy nghiÖm cña (2) lµ giao cña x  va x > x > Nhận xét.Cái hay cách giải này là đưa bất phương trình vô tỷ sử dụng tính đơn điệu , tránh bình phương lần dễ dẫn đến nghiệm x   x   x   13 x   Ví dụ Giải bất phương trình Gi¶i §iÒu kiÖn x  5/7 XÕt f(x) = Ta cã f'(x) = x   x   x   13 x  7 13    0 x  3 (5 x  7) 4 (13 x  7)3 5 (13 x  7) 5   F9x) đồng biến /  ,   Mặt khác f(3) = nên bpt f(x) < 7   x  5/  f ( x)  f (3)     x  x  Nhận xét.Cái hay cách giải này là đưa bất phương trình vô tỷ sử dụng tính đơn điệu,trong đó muốn giải cách khác khó khăn Ví dụ 3.Giải bất phương trình 2x + Gi¶i §iÒu kiÖn x > 0.§Æt f(x) = 2x + x  x   x  x  35 x  x   x2  x 2x  Ta cã f'(x) =    0 2 x x7 x  7x SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán   29 2  , f      35   12     Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n   29  Nên f(x) đồng biến và đó f(x) < 35 = f      12   Ví dụ 4: Giải bất phương trình : Gi¶i: §iÒu kiÖn: x  0, x + x    1  0, x   x x  29  0 x   12  1  x  x x x Do vËy (1)  x3   x3   §Æt (1) x 1 (2) x3   u  x3   v  ,khi đó  u  v    (2)   2  u  v u  v  (u  v)(u  v)   u  v   u -v    v  u  1 VËy : x3   §¸p sè : x  v  (thÝch hîp) 5  x3   x   4 HoÆc xÐt VT =f(x)= x3   x3  là hàm đồng biến Suy nghiệm (2) là giao x  và x > x0 ,trong đó x0 là nghiệm phương trình : Suy x0 = x3   x3  = 5 ,suy bất phương trình có nghiệm x  4 Nhận xét.Cái hay cách giải là sử dụng tính đồng biến và sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa hệ bất phương trình hệ phương trình bậc ,tránh việc bình phương vế (dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm)và tránh việc giải phương trình bậc cao SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n Ví dụ 5: Giải bất phương trình x   x   x  x  10   x (1) Gi¶i: §iÒu kiÖn x  -2 x2 u0 §Æt x5 v 0 x  x  10  uv Suy Do u và v đồng biến x  -2 Vế trái là hàm đồng biến , vế phải là hàm nghịch biến Nên nghiệm (1) là giao x  -2 và x < x0 với x0 là nghiệm phương trình: x   x   x  x  10   x V× u2 +v2 = 2x +7 ,suy 2x = u2 +v2 -7 Vµ u2 +v2 +2uv +( u +v) -12 =0 §Æt u +v = t >0 ta ®­îc : t2 +t -12 = , t > u  v  u  v    u 1  2 u  v   u  v     Suy t =3 vËy  Từ đó u = x    x  1 VËy nghiÖm cña (1) lµ 2  x  1 Nhận xét.Cái hay cách giải này là dùng tính đơn điệu các hàm số để đưa bất phương trình vô tỷ hệ phương trình bậc VÝ dô 6.Víi gi¸ trÞ nµo cña tham sè m th× bpt sau cã nghiÖm? x2 + x  m  m  m   Giải: Đặt t = x  m   t2 = x2 -2mx +m2 , đó (1)  y = t2 +2t +2mx +m -1  Cã nghiÖm t  Ta cã y' = 2t +2  y' =  t = -1 Nªn ymin = y(0) = 2mx +m -1 = 2m2 +m -1   -1  m  Nhận xét.Cái hay cách giải này là sử dụng giá trị tuyệt đối x  m làm ẩn số để đưa parabol theo t   Không phải xét tương quan x và y làm cho cách giải nhẹ nhµng h¬n SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán Trường THPT Dương Đình Nghệ III GV: Vò Hoµng S¬n Hệ Phương trình cot x - coty  x -y (1) VÝ dô 1: T×m c¸c sè x   0;   ,y   0;   tho¶ m·n hÖ :  (2) 5x + y = 2 Giải : Viết phương trình (1) dạng : x - cotx = y - coty (3) XÐt hµm sè f(t) = t - cot t , < t <  Khi đó f(t) xác định t   0;  và f'(t) = +  > , t   0;  sin t f(t) đồng biến t   0;  Tõ (3)  f(x) = f(y)  x = y Thay vào phương trình (2) hệ ,ta đựoc x = y = 2 13 VÝ dô 2: Gi¶i hÖ :  x  y  tan x  tan y      tan x  tan y  2, x, y   0;   Giải : Viết phương trình (1) dạng x - tan x = y - tan y (3)      ,cã f'(t) = 1- < ,do t   0;  cos t  2  2 Và xét hàm f(t) = t - tant xác định t   0;  < cos t < 1.VËy f( t) nghÞch biÕn Tõ (3) suy f(x) = f(y)  x = y vµ tõ (2)  tan x = tan y =  x = y = VÝ dô 3: Chøng tá r»ng víi a  hÖ :  a2 2 x  y  y   a2  2 y  x  x Cã nghiÖm nhÊt a2 a2 Gi¶i: §iÒu kiÖn : x  , y  Do x vµ cïng dÊu , Do y vµ cïng dÊu y x  x> , y> 0.Bëi vËy : SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán 10 Trường THPT Dương Đình Nghệ (1)  2x2y = y2 + a2 (1)' (2)  2y2x = x2 +a2 GV: Vò Hoµng S¬n (2)' (1)'-(2)' ta ®­îc:2xy (x -y) = (y-x)(y+x)  ( x-y) ( 2xy +x+y) =0,do x > 0,y >0 nªn ( 2xy +x+y) >0 Do đó x - y =0 hay x = y.Thay x =y vào (1)' ta : f(x) = 2x3 -x2 = a2 ; f'(x) = 6x2 -2x Ta cã b¶ng biÕn thiªn: x  f’ f  - - 0// + -1/27 CT Từ đó suy phương trình : 2x3 -x2 = a2 ( a2 > 0) có nghiệm Nhận xét.Cái hay cách giải này là từ hệ đối xứng loại (1) -(2) ,không trừ trực tiếp ,mà biến đổi trước để trừ (1') cho (2') thì phương trình hệ không chứa tham sè,nªn tr¸nh ®­îc biÖn luËn 2 x   y  y  y  VÝ dô 4.Gi¶i hÖ : 2 y   z  z  z  2 z   x  x  x Giải.Xét hàm đặc trưng f(t) = t3 +t2 +t với t   Ta có f'(t) = 3t2 +2t +1 = 2t2 +(t+1)2 >0  f(t) đồng biến Gi¶ sö : x  y  z  f ( x)  f ( y )  f ( z )  2z +1  x   y   zx y yz x  y  z x  y  z Hệ đã cho     2 2 x   x  x  x ( x  1)( x  1)  x  y  z 1   x  y  z  1 SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán 11 Trường THPT Dương Đình Nghệ III GV: Vò Hoµng S¬n Bất đẳng thức ex > +x , x  VÝ dô Chøng minh r»ng : Giải : Đặt f(x) = ex -x -1 , đó f'(x) = ex -1 *NÕu x> th× f(x) > nªn f t¨ng trªn [ 0; +  ) Do đó f(x) > f(0) =0  ex > x +1 nên f giảm trên (-  ,0) đó f(x) > f(0) = *NÕu x<0 th× f'(x) <  ex > x +1 VËy ex > x +1 x  VÝ dô Chøng minh r»ng nÕu x > 0, th× ln x < t víi t > Gi¶i XÐt hµm sè f(t) = lnt Ta cã f (t) = x 1 2 t   t t 2t LËp b¶ng xÐt dÊu sau: t + f'(t) ft) - Nh­ vËy x  ,cã f(x)  f(4)  lnx - x  ln4-2 Do 4<e2  ln4 < ,vËy tõ (1) suy lnx - x <  ln x < x (®pcm) VÝ dô Chøng minh r»ng log19992000 > log20002001 Gi¶i XÐt hµm sè f(x) = logx(x +1) víi x > Khi đó bất đẳng thức đã cho có dạng tương đương sau : f( 1999) > f(2000) Ta cã f(x) = logx(x +1) = ln( x  1) ln x SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán 12 Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n x x ln x ln( x  1) ln  x ln x  ( x  1)ln( x  1) ( x  1) x1 x  x  f(x) =   0 ln x x( x  1)ln x x( x  1)ln x Vậy f(x) là hàm nghịch biến x > 1,do đó (2) hiển nhiên đúng + ln x nÕu x > x VÝ dô Chøng minh r»ng ln ( 1+  x ) < Gi¶i.XÐt hµm sè f(t) = ln( 1+  t ) - lnt - (®pcm) víi t > t t Ta cã 1 1 t2  t  t f(t) = - + = >0 2 t t 1 1 t t 1 t Do đó f(t) là hàm đồng biến t > 0, vì x > ,nên 1  f(x) < f(+  ) = lim f(t) = lim ln(1   t )  ln t   t t  t 1 1 t2 ) =0  f(x) < lim (ln t  t  ln(1+  x ) < lnx +  ®.p.c.m x VÝ dô Chøng minh r»ng : x > ln(x +1) , x > Gi¶i : §Æt f(x) = x - ln(x +1) liªn tôc trªn [ ,+  ) cã f'(x) = - x   0; x  x 1 x 1  f t¨ng trªn [ ,+  )  f(x) > f(0) =0 VÝ dô Chøng minh r»ng : lnx > Gi¶i : §Æt f(x) = lnx - 2( x  1) x 1  x > ln(x+1) víi x > víi x>1 2( x  1) ( x>1) liªn tôc trªn [ ; +  ) x 1 ( x  1)   0, x  Ta cã f'(x) =  x ( x  1) x( x  1) VËy víi x > ta cã f(x) > f(1) =  f t¨ng trªn [ ; +  ) Từ đó suy lnx > SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán 2( x  1) x 1 víi x>1 13 Trường THPT Dương Đình Nghệ  VÝ dô cho <  < Gi¶i xÐt hµm sè : f(x) = Chøng minh r»ng: sin  > VÝ dô cho <  <  sin x   víi x  0,  x  2 f(x) lµ hµm nghÞch biÕn trªn ( 0,  < 2 x cos x  sin x cos x( x  tgx)    = suy f'(x) < x  0,   x2 x2 Ta cã f'(x) = V× < GV: Vò Hoµng S¬n    f(  ) > f(  )  ) sin   sin >   sin  >   ®.p.c.m   Chøng minh r»ng:  sin  + cos  >   Gi¶i.xÐt hµm sè : f(x) = xsinx + cosx - víi x  0,   2    f'(x) = sinx + xcosx -sinx = xcosx   x  0,   2 V× f' = chØ x = hoÆc x = 0< < V×      f là hàm đồng biến trên 0,   2   f(0) < f(  )  <  sin  + cos  -  sin  + cos  >  ®.p.c.m VÝ dô 9.Chøng minh r»ng : sinx < x < tgx víi < x <  Gi¶i §Æt f(x) = x - sin x , x  (0; ] Và có đạo hàm trên ( ;   Khi đó f liên tục trên [ , )  f t¨ng trªn [ ,   ] ]  Từ đó x >  f(x) > f(0)  x > sinx với x  (0; )   Tương tự ta có x < tgx , x   0;   2 SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán 14 Trường THPT Dương Đình Nghệ VÝ dô 10 Chøng minh r»ng nÕu < x <  GV: Vò Hoµng S¬n th× 2sinx + 2tgx  2x+1 Giải: áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : 2sinx +2tgx  2sin xtgx Ta chøng minh : 2sin xtgx  2x+1  2sinx +tgx  22x  sinx +tgx  2x ( x  (0;  )) §Æt f(x) = sinx +tgx -2x víi < x< Ta cã f'(x) = cosx + V× < x <   2 cos x nên cosx > cos2x Do đó : f'(x) > cos2x + 2  cos x   f t¨ng trªn (0; )  f(x) > f(0) =    sinx +tgx > 2x , x   0;   2 (®pcm) x3 Ví dụ 11 Chứng minh bất đẳng thức : x  sin x với x > Gi¶i : §Æt f(x) = sinx + x3 -x x2 Ta cã f'(x) = cosx + -1 f''(x) = - sin x +x > ( theo vÝ dô )  f'' t¨ng trªn ( ; +  )  f'(x) > f'( 0) = 0, víi x >  f t¨ng trªn ( ; +  )  f(x) > f( 0) = 0, víi x >  x- x3  sin x ( ®pcm) Nhận xét : Từ cách giải ví dụ 11 ta đến kết tổng quát sau : Giả sử f có đạo hàm cấp n trên ( a,b) thoả : f(a) = f'(a) = f''(a) = = f(n-1)(a) = vµ f(n) >0 x   a; b  th× f(x) >0 , x   a; b  SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán 15 Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n Ví dụ 12.Chứng minh : sinx < x Giải : đặt f(x) = x - x x víi x >  120 x3 x5 - sinx , víi x >  120 Ta cã : x2 x4 f'(x) =    cos x 24 x3 f'' (x) = - x  sin x f(4)(x) = x - sinx f(5)(x) = 1-cosx  f(0) = f'(0) = f''(0)=f(3)(0) =f(4)(0) =0  f(x) > ;  x > C.Một số bài tập tương tự x2 1.Chøng minh r»ng : ln(1+x) > x  2.Chøng minh r»ng : ln(1+  x ) < x>0  ln x , x>0 x Chøng minh r»ng : logx(x+1) > logx+1(x+2) , x  4.Giải bất phương trình : x    2x   y3 x   sin y    z3 5.Giải hệ phương trình :  y   sin z   x3 z   sin x   e x  e x  y  y  6.Gi¶i hÖ : e y  e y  z  z  z zx e  e  x 7.Giải phương trình : 3.25x-2 +(3x-10).5x-2 +3-x = SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán 16 Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n Phần 3:Kết đạt và bài học kinh nghiệm 1.ý nghÜa thùc tiÔn -Sau rèn luyện hệ thống kiến thức trên,các em học sinh đã mạnh dạn ,linh hoạt việc dùng đạo hàm để giải toán -Cái hay cách giải này là sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức ,giải phương trình, giải bất phương trình, giải hệ phương trình -Tr¸nh ®­îc viÖc biÖn luËn theo tham sè ë mét sè bµi to¸n -Tránh phải xét nhiều trường hợp số bài toán -Tránh phải áp dụng bất đẳng thức côsi cần phải chứng minh -Tránh việc bình phương hai vế dễ dẫn đến sai sót ,thừa nghiệm và tránh việc giải phương tr×nh bËc cao 2.KÕt qu¶ thu ®­îc HÕt SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán 17 Trường THPT Dương Đình Nghệ GV: Vò Hoµng S¬n Sở giáo dục và đào tạo hoá Trường THPT Dương đình nghệ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Néi dung Sử dụng tính đơn điệu hàm số để giải toán Gi¸o Viªn: Vò Hoµng S¬n M«n: To¸n Trường: THPT Dương Đình Nghệ N¨m Häc: 2007 - 2008 SKKN: Sử dụng tính đơn điệu hàm Lop12.net số để giải toán 18