Bài tập Giá trị lớn nhất - nhỏ nhất

 Ngoài ra có thể sử dụng các phép biến đổi, hằng đẳng thức,… bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki,… Nếu đạo hàm f’x giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến hoặc [r]

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT  NHỎ NHẤT § TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa GIả sử hàm số f xác định trên tập hợp a)Nếu tồn điểm x  ( cho f(x)  f( x ) x gọi là giá trị lớn hàm số f trên b)Nếu tồn điểm x    ) , kí hiệu là : M = maxf(x) D cho f(x) ≥ f( x ) x gọi là giá trị nhỏ hàm số f trên thì số M = f( x ) thì số m = f( x ) , kí hiệu là : m = minf(x) D  Muốn chứng tỏ số M( m) là giá trị lớn ( giá trị nhỏ ) hàm số f trên tập hợp cần rõ : a) f(x)  M ( f(x) ≥ m ) với x  cho f( x ) = M ( f( x ) = m ) b) tồn ít điểm x   Quy ước : Khi nói giá trị lớn hay nhỏ f mà không nói trê thì ta hiểu đó là giá trị lớn hay nhỏ f trên tập xác định nó Phương pháp  Cách : Hàm số liên tục trên [a; b] – Giải phương trình f’(x) = các nghiệm x1; x2; ;xn[a;b] – Tính f(x1); f(x2); ; f(xn); f(a); f(b) – So sánh các giá trị trên tìm minf(x) ; maxf(x) D D  Cách : D  [a; b] hàm số không liên tục / [a; b] Lập bảng biến thiên  Cách : Biện luận phương trình – Tìm điều kiện phương trình f(x) = y có nghiệm x[a; b] – Tập hợp các giá trị này là miền giá trị f(x) trên [a;b]  Ngoài có thể sử dụng các phép biến đổi, đẳng thức,… bất đẳng thức thông dụng : Cauchy, Bunhiacốpxki,… Nếu đạo hàm f’(x) giữ nguyên dấu trên đoạn [a; b] thì hàm số đồng biến nghịch biến trên đoạn Do đó f(x) đạt giá trị lớn và giá trị nhỏ các đầu mút đoạn Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số liên tục / [a; b] |1| y = x3 – 3x2 trên [1; 3]  Hàm số xác định nên liên tục trên [1; 3]  x   [ 1; ]  y’ = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) ; ta có y’=   x   y(2) = – 4; y(1) = – 2; y(3) = 0.Vậy: M = max y = y(3) = , m = y = y(2) = -4 [ 1; ] f(x)  - x trên [–2; 2]  Hàm số xác định nên liên tục trên - ;2 Lop12.net [ 1; ] x  f'(x)  - x2 Ta có f’(x) =  x =  [–2; 2];  f(0) = 2; f(–2) = 0; f(2) = Do đó: - x  x = ± 2; max - x  x =0 [ 2;2] [ 2;2] (có thể lập bảng biến thiên hàm số f trên đoạn - ;2 Từ bảng biến thiên , ta kết quả) Cách 2:  x  - ;2 , ta có :  x    x2   4  x     - x    - x    f(x)  Ta lại có f(x) = với x =  và f(x) = với x = Do đó : - x  x = ± 2; max - x  x = [ 2;2] [ 2;2] y  x   x  Điều kiện  x   2  x   Hàm số xác định nên liên tục trên D = [–2; 2] x  x x    x2  x    y   1 y    1 2  x2  x2 4  x  x x  y( 2)  2, y ( 2)  2, y (2)  Vậy max y  y( 2) = 2; y  y(  2) =  [ 2;2] [ 1; ] 2x  trên [0; 2]  D =  \ {–1}  Hàm số xác định nên liên tục trên [0; 2] x 1  y   0, x  [0 ; 2] Ta có y(0) = – ; y(2) = ( x  1)2 y= Vậy: max y  y(2) = ; y  y(0) =  [ 0; ] [0;2] y = x  sin2x trên [     y’ = – 2cos2x y     2cos x   cos x   y(   )     ; ]  Hàm số xác định nên liên tục trên [  ; ] 2 2      x   +k chọn x =   [  ; ] 2 6       , y( )   , y(  )   , y( )  6 2 2     , m = y  y(  )   Vậy: M = max y  y( )      2 2 [ ; ] [ ; ] 2 2 (TN04) y = 2sinx  sin3 x trên [0; ] Lop12.net  Hàm số xác định nên liên tục trên [0; ]  Đặt t = sinx với x  [0; ]  t  [0; 1] Ta có y = 2t  t = g(t) 1 y    4t , y     4t   t   t  ( vì t  0) 2 g( )= 2 2 , g(0) = , g(1) = 3 2 1  t =  sin x  x 2 m = y  g = g(0) = t =  sin x   x   x   KQ: M = max y  max g = g( [0; ] [0;1] [0; ] )= [0;1] y = x  x  x  trên [–1; 1]  Hàm số xác định nên liên tục trên [–1;1] x  y   x  12 x  x , y    x [ x  x  2]    x   x   [ 1;1] y(0) = 1, y(1) = , y(  1)  10 KQ: M = max y  y( ) = 10 , m = y  y(0) = 2 [ 1;1] [ 1;1] Ví dụ 2: Tìm GTLN_GTNN các hàm số có D ≠ [a; b] y  x  2x   BBT D=  y   2x  , y    2x    x  Vậy: Khoâng coù GTLN Min y = y(1) =  y  4x  3x  Bảng biến thiên D=  y   12x  12x = 12x2 (1 x) y    12x2 (1 x)   x  0, x  Vậy: M =max y = y(1) = ; Khoâng coù GTNN  y x Ta coù : x + 4 với x > Cách 1: Áp dụng bđt Côsi cho hai số dương x và x x 4 2 x   y  , x  (0;+) x x Daáu "=" xaûy  x =  x   x  Vaäy : M = max y  (0;+ ) x Caùch : D  (0; ) y   1 x2 , y    1 Bảng biến thiên Lop12.net x2   x2   x  Vaäy : Khoâng coù GTLN ; m =min y = y(2) = (0; ) y  x 3x y   x  TXÑ : D = (   ; 3] x 3x Bảng biến thiên   3x 3x , y     3x   x  Vaäy : M =max y = y(2) = Khoâng coù GTNN  x y trên nửa khoảng (2;3] x 2 3 TXÑ : D = (2;3]; y    0, với x  (2;3] (x  2)2 Vaäy : Khoâng coù GTLN ; m =min y = y(3) = (2;3] x  x  trên nửa khoảng (  1;+)  Bảng biến thiên x 1 TXÑ : D = (  1;+) y y  x  ; y    x  2x    (x  1)  x  2 x  2x KQ: M =max y = y(0) = Khoâng coù GTNN ( 1; ) Bài tập tự luyện x2 Tìm GTLN : a/ y = + 5x +6 b/ y = 2x33x4 Tìm GTNN : a/ y = (x+2)2 / x (x > 0) b/ y = x2 + 2/x (x > 0) Tìm GTLN; GTNN : a/ y = x3 + 3x29x+3 trên [–4; 4] b/ y = |x2+3x+2| trên [–10; 10] c/ y =  2x trên [–1;1] d/ y = x+sin2x trên [0; ] Chu vi hình chử nhật p = 36 Dựng hình chử nhật có diện tích lớn Trong các hình chử nhật có diện tích 24, tìm hình có chu vi nhỏ 6.Tìm GTLN; GTNN : a/ y = x4  3x3  2x2 + 9x trên [2; 2] b/ y = 3x+ 10-x c/ y = (x+2) 4-x d/ y = (3x) x  / [0;2] Lop12.net