oán chính xác c$ng hàm.. ch ng minh..[r]
(1)S GIÁO D C VÀ ÀO T O H I D ****************** NG TÊN SÁNG KI N “ M T S K THU T CH NG MINH B T NG TH C” Môn: Toán Kh i l p: 10 – 12 NH N XÉT CHUNG: I M TH NG NH T B ng s : B ng ch : Giám kh o s 1: Giám kh o s 2: N M H C: 2009 – 2010 Lop12.net (2) S GIÁO D C VÀ ÀO T O H I D TR NG THPT H NG QUANG ************** NG S phách TÊN SÁNG KI N “M T S K THU T CH NG MINH B T NG TH C” MÔN: TOÁN TÊN TÁC GI : ÁNH GIÁ C A NHÀ TR HO C T B MÔN, TR NG TH, THCS NG THPT, TRUNG TÂM (Nh n xét, x p lo i, ký, óng d u) Lop12.net (3) PH N 1: I Lí ch n TV N tài: Trong gi ng d y môn toán, ngoài vi c giúp h c sinh n m ch c ki n th c c b n thì vi c phát huy tính tích c c c a h c sinh, bi t áp d ng các ph pháp ã h c vào gi i các bài toán là i u r t c n thi t B t nh ng n i dung quan tr ng nh t c a ch ng th c là m t ng trình toán tr ng ph thông Nó có m t h u h t t t c các b môn: S h c, Hình h c, L ng giác và Gi i tích Bài toán ch ng minh b t cho thi ng, ph nêu m t s k% thu&t giá tr nh nh t ng c s! d ng, ngoài oán giá tr l n nh t và nh nh t có th còn òi h i kinh nghi m l#n thông minh Và vi c d oán ng th c ho c tìm giá gi i lo i bài toán này, các ki n i s , Gi i tích, Hình h c, vv… th ra, ch"ng m c nào ó, vi c d n nhi u toán mà B Giáo D c và ào T o tr l n nh t, giá tr nh nh t khá ph bi n ngh%a d c quan tâm các kh i A, B, D, bài toán ch ng minh b t th c t ng h p v is , ng th c và bài toán tìm giá tr l n nh t, nh nh t là m t nh ng bài toán các kì thi M y n m g n ây, h u h t các ng ng ti n ch ng minh b t oán chính xác c$ng hàm ch ng minh Trong bài vi t này, xin ng th c ho c tìm giá tr l n nh t, c d' dàng h n và sau các ví d c th , là bài toán c t ng quát hóa giúp cho ta có cái nhìn t ng quát h n II B c tài tài: c chia làm ba ph n Ph n 1: Nêu lí ch n tài và b c c tài Ph n 2: ây là n i dung chính, g(m ba k% thu&t ó là A M t s k thu t ch ng minh b t ng th c I K thu t 1: S! d ng b t ng th c Cô-si, k t h p tách ghép và phân nhóm, gi thi t ban u, bi n k t h p các ph ib t ng th c v b t c bi t là t" ng th c (ng b&c sau ó m i ng pháp II K thu t 2: C$ng v#n là k% thu&t s! d ng b t ng th c (ng b&c nh ng Lop12.net d ng c ng phân (4) s ) ph n này ch y u áp d ng ba d ng b t ng th c c suy t" các b t ng th c c b n III K thu t 3: K% thu&t i bi n ch ng minh b t ng th c hay tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c nhi u h n m t bi n ta có th bi u di'n các bi n s c a bi u th c ó theo m t bi n s m i, ó vi c tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c theo bi n s m i này (chú ý chính là vi c ch ng minh b t c a bi u th c ban n i u ki n c a nó) c$ng ng th c hay tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t u Trong ph n này tôi nêu d ng d ng D ng là các bi u th c có tính n tính áp d ng c k t h p các ph ng pháp véc t tr ng áp ng c p, d ng là các bi u th c tham gia bài toán g i cho ta liên h c ph i bi n th B M t s bài t p áp d ng Ph n 3: K t lu&n và ki n ngh Lop12.net i x ng, d ng là các bài toán ng pháp khác (5) PH N 2: GI I QUY T V N A M T S K! THU T CH"NG MINH B T #NG TH"C I K$ thu%t 1: S d ng b t ng th c Cô-si k t h p tách, ghép và phân nhóm gi i quy t c các bài toán d i ây ta s* k t h p m t s k% n ng nh : + D oán d u b+ng x y + S! d ng gi thi t bi n i b t ng th c v b t ng th c (ng b&c + S! d ng k% thu&t tách ghép và phân nhóm B sung thêm m t s s h ng sau s! d ng b t ng th c Cô-si ta kh! c m#u s c a bi u th c phân th c Ví d 1: Cho a, b, c là ba s d ng th a mãn i u ki n a + b + c = 3 a3 b3 c3 Ch ng minh r+ng: + + ≥ (1) ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b ) Nh n xét: u tiên bi n i b t ng th c ban u v d ng ng b c, sau ó ta th y vai trò c a a, b, c nh nhau, d oán d u b ng x y a = b = c =1 a3 Khi ó áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng, coi là m t ( a + b )( a + c ) a+b a+c s thì s h ng th hai và th ba ph i là và 8 Bài gi i S! d ng gi thi t a + b + c = a b t ng th c v b t ng th c (ng b&c m t hai v a3 b3 c3 a+b+c (1) ⇔ + + ≥ ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b ) Áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng ta có: a3 a+b a+c + + ≥ 3 ( a + b )( a + c ) Ch ng minh t b3 ng t ta c$ng a3 ( a + b )( a + c ) a+b a+c 3a = c: b+c b+a + ≥ 3 8 b3 ( b + c )( b + a ) b+c b+a 3b = c3 c+a c+b + + ≥ 3 c + a c + b 8 ( )( ) c3 ( c + a )( c + b ) c+a c+b 3c = ( b + c )( b + a ) + C ng v v i v các b t ng th c trên và bi n i ta c b t ng th c: 3 a b c a+b+c + + ≥ = ( pcm) 4 ( a + b )( a + c ) ( b + c )( b + a ) ( c + a )( c + b ) ng th c x y và ch, a = b = c = Sau ây là các ví d c gi i quy t theo h ng trên Ví d 2: Cho a, b, c là ba s d ng th a mãn i u ki n a + b + c = Lop12.net (6) a3 b3 c3 + + ≥ (1) Ch ng minh r+ng: b ( 2c + a ) c ( 2a + b ) a ( 2b + c ) Bài gi i S! d ng gi thi t a + b + c = a b t ng th c v b t ng th c (ng b&c m t hai v a3 b3 c3 a+b+c (1) ⇔ + + ≥ b ( 2c + a ) c ( 2a + b ) a ( 2b + c ) Áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng ta có: a3 b 2c + a a3 + + ≥ 3 b ( 2c + a ) b ( 2c + a ) b 2c + a =a b3 c 2a + b b3 + + ≥ 3 c ( 2a + b ) c ( 2a + b ) c 2a + b =b c3 a 2b + c c3 + + ≥ 3 a ( 2b + c ) a ( 2b + c ) a 2b + c =c Ch ng minh t ng t ta c$ng c: C ng v v i v các b t ng th c trên ta c b t ng th c: 3 a b c a + b + c 3( a + b + c ) + + + + ≥a+b+c b ( 2c + a ) c ( 2a + b ) a ( 2b + c ) a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ = ( pcm) b ( 2c + a ) c ( 2a + b ) a ( 2b + c ) ng th c x y và ch, a = b = c = Ví d 3: Cho a, b, c là ba s d ng th a mãn i u ki n ab + bc + ca = a b c Ch ng minh r+ng: + + ≤ + a2 + b2 + c2 Bài gi i S! d ng gi thi t ab + bc + ca = a b t ng th c v b t ng th c (ng b&c không hai v Áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng ta có: a a a a a a = = ≤ + a+b a+c a+b a+c + a2 a + ab + bc + ca Ch ng minh t ng t ta c$ng c: b b b b b b = = ≤ + b+c b+a b+c b+a + b2 b + ab + bc + ca ⇔ c c c c c ≤ + c+a c+b c+a c+b + c2 c + ab + bc + ca C ng v v i v các b t ng th c trên ta c b t ng th c: = c = Lop12.net (7) a + a2 + b + b2 + c + c2 ≤ a+b b+c c+a + + = ( pcm) a+b b+c c+a ng th c x y và ch, a = b = c = Ví d 4: Cho a, b, c là ba s d ng th a mãn i u ki n a + b + c = ab bc ac Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P = + + 2c + ab 2a + bc 2b + ac Bài gi i ab ab ab ab 1 Ta có: = = ≤ + 2c + ab c ( a + b + c ) + ab ( c + a )( c + b ) c + a c + b T ng t : bc bc = = 2a + bc a ( a + b + c ) + bc bc ( a + b )( a + c ) ≤ bc + a+b a+c ca ca ca ca 1 = = ≤ + 2b + ca b ( a + b + c ) + ca ( b + c )( b + a ) b + c b + a C ng v v i v các b t ng th c trên ta c: ab bc ac bc + ca bc + ab ca + ab a + b + c P= + + ≤ + + = =1 2c + ab 2a + bc 2b + ac 2( a + b) 2( c + a) 2( c + b) ng th c x y và ch, a = b = c = V&y giá tr l n nh t c a bi u th c P b+ng Ví d 5: Cho a, b, c là ba s d ng th a mãn i u ki n a + b + c = a3 b3 c3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P = + + b + 2c c + 2a a + 2b Nh n xét: các s h ng bi u th c P có b c hai, vì v y, ngoài vi c d oán d u b ng, s d ng k thu t tách ghép và phân nhóm, vv… ta ph i làm xu t hi n ánh giá c ng là m t bi u th c b c Bài gi i Áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng ta có: a ( b + 2c ) a3 a a ( b + 2c ) a + ≥ = b + 2c b + 2c b ( c + 2a ) b3 b3 b ( c + 2a ) 2b + ≥ = c + 2a c + 2a c ( a + 2b ) c3 c3 c ( a + 2b ) 2c + ≥ = a + 2b a + 2b C ng v v i v các b t ng th c trên ta c: Lop12.net (8) a3 b3 c3 ab + bc + ca 2 + + + ≥ a + b2 + c b + 2c c + 2a a + 2b 3 3 a b c ⇔ + + ≥ a + b + c − ( ab + bc + ca ) b + 2c c + 2a a + 2b 3 M t khác, d' dàng ch ng minh c: ab + bc + ca ≤ a + b + c a3 b3 c3 + + ≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2 Do ó ta có: b + 2c c + 2a a + 2b 3 3 a b c 1 ⇔P= + + ≥ a2 + b2 + c2 = b + 2c c + 2a a + 2b 3 D u “=” x y ⇔ a = b = c = V&y giá tr nh nh t c a bi u th c P b+ng 3 Ví d 6: Cho a, b, c là ba s không âm và th a mãn i u ki n a + b + c = a3 b3 c3 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: P = + + + b2 + c2 + a2 Bài gi i 3 a b c3 2 P +3= +b + +c + + a2 2 1+ b 1+ c 1+ a ( ( ) ( ( a3 ) ) ( ) ) + b2 + c2 b3 b3 ⇔P+ = + + + + + 2 2 4 2 1+ b 1+ b 1+ c 1+ c a3 c3 c3 + a2 + + + 2 + a2 + a2 a6 b6 c6 + 3 + 3 = a + b2 + c = 16 16 16 2 2 3 ⇔P≥ − = = 2 23 2 32 D u “=” x y a = b = c = V&y giá tr nh nh t c a bi u th c P b+ng Sau ây, ta s* xét m t bài toán c$ng có th gi i quy t theo ph ng pháp trên, nh ng tr c h t ph i bi n i bi u th c i u ki n m t cách h p lí và khéo léo l a ch n nhóm các c p s v i Ví d 7: Cho x, y, z là các s th c d ng tho mãn: xyz = x + y + z + xyz Ch ng minh r+ng: x + y + z ≤ Bài gi i ⇔P+ ( ≥ 3 Lop12.net ) (9) T" gi thi t xyz = x + y + z + ⇔ 1 + + =1 1+ x 1+ y 1+ z 1 = a, = b, = c v i a, b, c > và a + b + c = 1+ x 1+ y 1+ z 1− a b + c 1− b c + a 1− c a + b x= = , y= = , z= = a a b b c c a b b c c a + + ≤ xyz ⇔ Nên x + y + z ≤ b+c c+a c+a a+b a+b b+c Áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng ta có: a b a b ≤ + b+c c+a a+c b+c Ta t b c b c ≤ + c+a a+b b+a c+a c a c a ≤ + a+b b+c c+b a+b a b b c c a + + b+c c+a c+a a+b a+b b+c a b b c c a ≤ + + + + + = a+c b+c b+a c+a c+b a+b ng th c x y và ch, x = y = z = V&y b t ng th c ã cho luôn úng Ví d 8: Cho ba s th c d ng x, y, z Ch ng minh r+ng: x y z + + ≥1 x + yz y + zx z + xy Bài gi i a , b, c > x y z t a= ,b= ,c= a + b + c =1 x+ y+z x+ y+z x+ y+z x x a x+ y+z Ta có = = x + yz a + 8bc x y z +8 x+ y+z x+ y+z x+ y+z a b c Do ó b t ng th c ã cho tr thành: + + ≥1 2 a + 8bc b + 8ca c + 8ab Áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng ta có: Do ó Lop12.net (10) a a + 8bc + a ( ) + a a + 8bc ≥ 3a ⇔ 2a ( ) + a a + 8bc ≥ 3a a + 8bc a + 8bc 2b 2c T ng t : + b b + 8ca ≥ 3b; + c c + 8ab ≥ 3c 2 b + 8ca c + 8ab C ng ba b t ng th c trên v i ta c: P + a + b3 + c3 + 24abc ≥ M t khác ta l i có: = ( a + b + c ) = a + b3 + c3 + ( a + b )( b + c )( c + a ) ≥ a + b3 + c3 + 24abc ( ( ) ( ) P ≥ − a + b3 + c3 + 24abc ≥ − = ) P ≥ ( pcm) ⇔ x = y = z Nh n xét: T cách gi i trên ta có th t ng quát bài toán trên nh sau: “ Cho các s th c d ng x, y, z và s th c λ ≥ Ch ng minh r ng: x y z ” + + ≥ 2 + λ x + λ yz y + λ zx z + λ xy ng th c x y và ch, a = b = c = Ví d ( thi i h c kh i B n m 2007): Cho x, y là ba s th c d ng thay i Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: x y z P=x + +y + +z + yz zx xy Nh n xét: T k thu t trên, áp d ng gi i cho ví d này, ta có th có m t s cách gi i nh sau ây, cách gi i và thiên nhi u h c sinh h c l p c dùng 10, ch a ti p c n n vi c kh o sát hàm s , cách gi i và thì nhi u h c sinh h c l p 12 Và theo ánh giá ch quan, tôi th y cách gi i là cách gi i g n nh t Bài gi i Cách gi i 1: x2 y z x y z P= + + + + + 2 yz zx xy x2 y z y2 x z z2 y x P= + + + + + + + + 2 xz xy 2 yz xy 2 xz yz Áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng ta có: x2 y z y2 x z z2 y x 3 P= + + + + + + + + ≥ + + = 2 xz xy 2 yz xy 2 xz yz 2 2 ng th c x y ⇔ x = y = z = 1.V&y giá tr nh nh t c a bi u th c P là Cách gi i 2: x y z x2 y z x2 + y + z P=x + +y + +z + = + + + yz zx xy 2 xyz 10 Lop12.net (11) x2 + y y + z z + x2 Do x + y + z = + + ≥ xy + yz + zx 2 x2 y2 z2 nên P ≥ + + + + + x y z 2 x2 1 y2 1 z2 1 ⇔P≥ + + + + + + + + 2x 2x 2y 2y 2z 2z Áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng ta có: ⇔ P ≥ 3 x2 1 y2 1 z2 1 + 3 + 3 = 2x 2x 2y 2y 2z 2z ng th c x y ⇔ x = y = z = V&y giá tr nh nh t c a bi u th c P là Cách gi i 3: x2 y2 z2 L&p lu&n nh cách ta có: P ≥ + + + + + x y z t2 Xét hàm s : f ( t ) = + , ∀t > t t3 − f ' ( t ) = t − , f ' ( t ) = ⇔ = ⇔ t = 1∈ ( 0; +∞ ) t t Ta có b ng bi n thiên: t -∞ f '(t) +∞ - + +∞ +∞ f (t) 3 T" b ng bi n thiên ta suy f ( t ) ≥ , ∀t > P≥ ng th c x y ⇔ x = y = z = V&y giá tr nh nh t c a bi u th c P là Cách gi i 4: x y z x2 y z x y z P=x + +y + +z + = + + + + + yz zx xy 2 yz zx xy Áp d ng b t ng th c Cô-si cho s d ng ta có: 11 Lop12.net (12) ( xyz ) x2 y z x y z P= + + + + + ≥ 3.3 + 3.3 = ( xyz ) + 3.3 yz zx xy xyz xyz 2 3 t t = xyz , t > Khi ó P ≥ t + , t > t t + , t > T" ó theo cách 3, ta suy k t qu Xét hàm s : f ( t ) = t II K$ thu%t 2: S& d ng b't (ng th)c *ng b%c d+ng c,ng phân s Ngoài các b t ng th c c b n ã h c ch ng trình nh b t ng th c Cô-si, b t ng th c Bunhiacopxki, ta th ng s! d ng m t s d ng b t ng th c c b n nh sau D ng 1: 1 ≥ a) ∀x, y > ta luôn có: ( x + y ) + ng th c x y ⇔ x = y x y b) ∀x, y, z > ta luôn có: ( x + y + z ) 1 + + ≥ x y z ng th c x y ⇔ x = y = z D ng 2: 1 a) ∀x, y > ta luôn có: + ≥ ng th c x y ⇔ x = y x y x+ y 1 b) ∀x, y, z > ta luôn có: + + ≥ x y z x+ y+z ng th c x y ⇔ x = y = z D ng 3: x2 y2 ( x + y ) + ≥ a) ∀a, b > ta luôn có: a b a+b x2 y2 z ( x + y + z ) b) ∀a, b, c > ta luôn có: + + ≥ a b c a+b+c D ng và d ng d! dàng c suy t b t ng th c Cô-si * Ta ch ng minh cho d ng 3a: ( a + b ) bx2 + ( a + b ) ay − ab ( x + y )2 ( bx − ay )2 x2 y ( x + y ) + ≥ ⇔ ≥0⇔ ≥0 a b a+b ab ( a + b ) ab ( a + b ) B t ng th c cu i luôn úng ∀a, b > * Ch ng minh d ng 3b: 2 x2 y2 z ( x + y ) z2 ( x + y + z ) + + ≥ + ≥ Áp d ng d ng 3a ta có: ( pcm) a b c a+b c a+b+c Ví d 10 ( thi i h c kh i A n m 2005): 1 Cho a, b, c là ba s d ng th a mãn + + = a b c 12 Lop12.net (13) Ch ng minh r+ng: P = 1 + + ≤1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Bài gi i Cách gi i 1: Bi n i và áp d ng b t ng th c c ng m#u s d ng 2a ta c: 1 1 1 1 1 1 ≤ + ≤ + + = + + 2a + b + c 2a b + c 2a b c a 2b 2c 1 1 1 1 ≤ + ≤ + + a + 2b + c 2b a + c 2b a c = 1 1 + + b a 2c 1 1 1 1 1 1 ≤ + ≤ + + = + + a + b + 2c 2c a + b 2c a b c 2a 2b C ng v v i v các b t ng th c trên ta c b t ng th c: 1 1 1 1 + + ≤ + + = = ( pcm) 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a b c ng th c x y và ch, a = b = c = Cách gi i 2: Bi n i và áp d ng b t ng th c c ng m#u s d ng 2a ta c: 1 1 1 1 = ≤ + ≤ + + 2a + b + c ( a + b ) + ( a + c ) a + b a + c 16 a b c 1 1 1 = ≤ + ≤ + + a + 2b + c ( a + b ) + ( b + c ) a + b b + c 16 a b c 1 1 1 1 = ≤ + ≤ + + a + b + 2c ( a + c ) + ( b + c ) a + c b + c 16 a b c C ng v v i v các b t ng th c trên ta c b t ng th c: 1 1 1 1 + + ≤ + + = = ( pcm) 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c a b c ng th c x y và ch, a = b = c = Cách gi i 3: V#n áp d ng b t ng th c d ng 2a và b t ng th c Cô-si cho các s d có: 2a + b + c = ( a + b ) + ( a + c ) ≥ ab + ac ( ) 1 1 ≤ + T ng t ta c: ab ab + ac ac 1 1 1 1 1 1 1 P≤ + + ≤ + + + + + =1 ab a b b c c a bc ca Nh n xét: V i k thu t “tách s ” ta có th t ng quát hóa bài toán này theo h ng sau: Khi ó: 1 ≤ 2a + b + c ng ta 13 Lop12.net (14) Cho n s th c d tr ng a1 , a2 , , an th"a mãn 1 + + + = k (k > cho a1 a1 an c) Ch ng minh r ng: 1 + + m1a1 + m2 a2 + + mn an m2 a1 + + mn an−1 + m1an k ≤ mn a1 + m1a2 + + mn−1an m1 + m2 + + mn Trong ó m , m , , m n là các s nguyên d ng tùy ý gi i bài toán t ng quát, ta áp d ng b t ng th c Cô-si cho m = m1 + m2 + + mn s , ó có m1 s a1, m2 s a2,…,mn s an Ví d 11: Cho a, b, c là ba s d ng Ch ng minh r+ng: ab bc ca a+b+c + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b Bài gi i Bi n i và áp d ng b t ng th c c ng m#u s d ng 2b ta c: ab 1 1 = ab ≤ ab + + a + 3b + 2c a + c b + c 2b ( a + c ) + ( b + c ) + 2b + bc 1 1 = bc ≤ bc + + b + 3c + 2a b + a c + a 2c ( b + a ) + ( c + a ) + 2c ca 1 1 = ca ≤ ca + + c + 3a + 2b c + b a + b 2a ( c + b ) + ( a + b ) + 2a c b t ng th c: C ng v v i v các b t ng th c trên ta ab bc ca a + b + c bc + ca ca + ab ab + bc + + ≤ + + + a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b a+b b+c c+a ⇔ ab bc ca a+b+c ( pcm) + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b ng th c x y và ch, a = b = c Ví d 12: Cho a, b, c là ba s d ng th a mãn a + b + c ≤ Tìm giá tr nh nh t c a bi u 2009 th c: P = + 2 ab + bc + ca a +b +c Bài gi i 2009 Ta có: P = + 2 ab + bc + ca a +b +c 1 2007 = + + + 2 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca a +b +c 2007 Áp d ng b t ng th c d ng 2b ta có: P ≥ + ( a + b + c ) ab + bc + ca 14 Lop12.net (15) c: ab + bc + ca ≤ M t khác ta ch ng minh Do ó: P ≥ ( a + b + c )2 + 2007 ( a + b + c )2 ( a + b + c )2 ≥ + 669 = 670 ng th c x y và ch, a = b = c = V&y giá tr nh nh t c a bi u th c P b+ng 670 Ví d 13: Cho a, b, c là các s d ng th a mãn a + b + c = abc Tìm giá tr l n nh t a b c c a bi u th c: P = + + a + bc b + ca c + ab Bài gi i a b c 1 Ta có: P = + + = + + a + bc b + ca c + ab a + bc b + ca c + ab a b c Áp d ng b t ng th c d ng 2b ta có: 1 1 a b c P= + + ≤ + + + + + bc ca ab a bc b ca c ab a+ b+ c+ a b c a + b2 + c2 a b c 2 =1⇔ + + =1 Theo gi thi t ta có: a + b + c = abc ⇔ abc bc ca ab 1 1 ab + bc + ca ab + bc + ca Do ó P ≤ + + +1 = +1 = +1 a b c abc a2 + b2 + c2 ab + bc + ca M t khác < ab + bc + ca ≤ a + b + c ≤1 a + b2 + c2 ab + bc + ca 1 Nên P ≤ + ≤ (1 + 1) = 2 a +b +c ng th c x y ⇔ a = b = c = V&y giá tr l n nh t c a bi u th c P b+ng Ví d 14 ( thi ngh Olympic 2007): Cho a, b, c là các s d ng th a mãn a + b + c = Tìm giá tr nh nh t c a a b c bi u th c: P = + + 1− a 1− b 1− c Bài gi i − (1 − a ) − (1 − b ) − (1 − c ) a b c P= + + = + + 1− a 1− b 1− c 1− a 1− b 1− c 1 = − 1− a + − 1− b + − 1− c 1− a 1− b 1− c 15 Lop12.net (16) ( 1 + + − 1− a + 1− b + 1− c 1− a 1− b 1− c Áp d ng b t ng th c d ng 2b ta có: P≥ − 1− a + 1− b + 1− c 1− a + 1− b + 1− c = ( M t khác: ) ( 1−a + 1−b + 1−c) ≤3.(1−a +1−b+1−c) =6 0< 1− a + 1−b + 1−c ≤ ng th c x y và ch, a = b = c = − 6= Do ó P ≥ ) V&y giá tr nh nh t c a P là Ví d 15: Cho a, b, c là các s d ng th a mãn a + b + c = Tìm giá tr nh nh t c a a3 b3 c3 bi u th c: P = + + 2 − − a b ( ) ( ) (1 − c )2 Bài gi i 3 a b c a4 b4 c4 P= + + = + + 2 2 a b c a a b b − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c (1 − c )2 Áp d ng b t ng th c d ng 3b ta có: P= a4 a (1 − a ) + b4 b (1 − b ) + c4 c (1 − c ) ≥ (a + b2 + c ) a (1 − a ) + b (1 − b ) + c (1 − c ) 2 Xét hàm s : f ( t ) = t (1 − t ) = t − 2t + t ; ∀t ∈ ( 0;1) f ' ( t ) = 3t − 4t + 1; f ' ( t ) = ⇔ t1 = ∈ ( 0;1) ; t2 = 1∉ ( 0;1) Ta có b ng bi n thiên: t -∞ 0 + f '(t) - 27 f (t) 0 T" b ng bi n thiên ta có < f ( t ) ≤ , ∀t ∈ ( 0;1) 27 16 Lop12.net +∞ (17) Do ó: < a (1 − a ) + b (1 − b ) + c (1 − c ) ≤ ( P≥ a + b2 + c2 ) 2 = a + b2 + c ( ) 4 = , ∀a, b, c ∈ ( 0;1) 27 ( a + b + c )2 ≥ = 1 ng th c x y ⇔ a = b = c = V&y giá tr nh nh t c a bi u th c P là III K$ thu%t 3: K$ thu%t -i bi.n Trong các n sinh vào i h c nh ng n m g n ây, bài toán ch ng minh b t ng th c ho c tìm giá tr l n nh t, nh nh t khá ph bi n M t k% n ng quan tr ng gi i nh ng bài toán d ng này là i bi n s a bài toán ban u v bài toán n gi n h n Tùy vào t"ng d ng toán mà ta có th a các cách i bi n khác Ví d ph i chú ý n các i u ki n ràng bu c c a -n, n tính i x ng, tính (ng b&c, dùng b t ng th c ph nh b t ng th c Cô-si, Bunhiacopxki, vv…Trong ph n này, tôi xin a m y d ng nh sau D+ng 1: Khi g p bài toán d ng: “Cho các s th c x, y th a mãn f(x, y) = g(x, y) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a P = h(x, y) Trong ó f(x, y), g(x, y) u là các bi u th c ng c p i v i x và y ” thì ta có th gi i bài toán theo cách sau V i y = 0, th! tr c ti p c V i y ≠ 0, t x = ty, t ∈ R Thay vào gi thi t f(x, y) = g(x, y), ta s* tính x, y theo t T" ó tìm c t&p giá tr c a P Theo h ng này, ta xét các ví d sau Ví d 16 ( thi i h c kh i B n m 2008): Cho hai s th c x, y thay i và th a mãn x + y = (*) Tìm giá tr l n nh t và nh nh t c a bi u th c: P = Cách gi i 1: P= ( x + xy ) + xy + y = ( x + xy ) + xy + y Bài gi i ( x + xy ) x + y + xy + y = ( x + xy ) x + xy + y N u y = thì t" (*) ta có x = Suy P = Xét y ≠ t x = ty, ó 2t + 12t P= ⇔ ( P − ) t + ( P − ) t + 3P = (1) t + 2t + 3 V i P = 2, ph ng trình (1) có nghi m t = V i P ≠ 2, ph ng trình (1) có nghi m ⇔ ∆ ' = −2P2 − 6P + 36 ≥ ⇔ −6 ≤ P ≤ 3 ho c x = − P = - x = , y=− ,y= 13 13 13 10 17 Lop12.net (18) 3 ho c x = − ,y= , y=− 10 10 10 10 V&y giá tr l n nh t c a P b+ng 3, giá tr nh nh t c a bi u th c P b+ng -6 Cách gi i 2: x + xy x + xy x + xy P= = = + xy + y x + y + xy + y x + xy + y P = x = ( ) ( ) ( ) N u y = thì t" (*) ta có x = Suy P = 2t + 12t Xét y ≠ t x = ty, ó P = t + 2t + 2t + 12t −8t + 12t + 36 Xét hàm s : f ( t ) = ; f '(t ) = ; 2 t + 2t + t + 2t + ( ) t=− f '(t ) = ⇔ t =3 Ta có b ng bi n thiên: t -∞ f '(t) - 3 + +∞ - f (t) -6 T" b ng bi n thiên ta có 3 , y=− ho c x = − ,y= R 10 10 10 10 3 , y=− , y= f ( t ) = −6 t = − ó x = ho c x = − R 13 13 13 10 V&y giá tr l n nh t c a P b+ng 3, giá tr nh nh t c a bi u th c P b+ng -6 Cách gi i 3: x = co s t Vì x + y = nên t(n t i t ∈ [ 0;2π ] cho: y = sin t max f ( t ) = t = ó x = ( cos t + 6sin t cos t ) cos2t + 6sin2t + 1 + 2sin t cos t + 2sin t + sin2t - cos2t nên P(2 + sin2t – cos2t) = cos2t + 6sin2t + ⇔ (P – 6)sin2t – (P + 1)cos2t = – 2P Ph ng trình -n t có nghi m và ch, ( P − )2 + ( P + 1)2 ≥ (1 − P )2 ⇔ P + 3P − 18 ≤ ⇔ −6 ≤ P ≤ V&y giá tr nh nh t c a bi u th c P b+ng - 6, giá tr l n nh t c a P b+ng Khi ó ta có: P = 18 Lop12.net = (19) Ví d 17: Cho hai s x, y th a mãn x + xy + y = (*) Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c: P = x − xy + y Bài gi i N u y = thì t" (*) ta có x = ±1 , ó P = x − xy + y t − t + x N u y ≠ 0, ta có P = = , v i t = , t ∈R y x + xy + y t + t +1 ( ) ) t2 −1 t2 − t + Xét hàm s : f ( t ) = ; f '(t ) = ; 2 t + t +1 t + t +1 ( f ' ( t ) = ⇔ t = ±1 Ta có b ng bi n thiên: t -∞ f '(t) -1 + - 0 +∞ + f (t) x = 1; y = −1 T" b ng bi n thiên ta có max f ( t ) = t = - x = −1; y = 1 x= y=± R f ( t ) = R t = V&y giá tr l n nh t c a bi u th c P là 3, giá tr nh nh t c a bi u th c P là Ví d 18: Cho x, y, z là các s th c th a mãn x + y + xy ≤ Ch ng minh r+ng: −4 − ≤ x − xy − y ≤ − Bài gi i t A = x + xy + y ; B = x − xy + y N u y = theo gi thi t A = x ≤ B = x Do ó: −4 − ≤ ≤ B ≤ < − ( pcm) A x − xy + y t2 − t − x N u y ≠ 0, t t = Ta có: B = = A y x + xy + y t + t +1 ( ) 19 Lop12.net (20) t2 − t − Ta tìm t&p giá tr c a u = ⇔ ( u − 1) t + ( u + 1) t + u + = t + t +1 Vì a = u -1 và b = u +1 không (ng th i b+ng nên mi n giá tr c a u là −3 − −3 + ∆ ≥ ⇔ −3u − 6u + 13 ≥ ⇔ ≤u≤ 3 Ta có B = A.u và < A ≤ nên suy −4 − ≤ B ≤ − ( pcm) Ta xét bài toán t ng quát Tr/0ng h1p 1: Cho a2 x + b2 xy + c2 y = α b22 − 4a2 c2 < , tìm giá tr l n ( ) nh t, giá tr nh nh t c a bi u th c P = a1 x + b1 xy + c1 y a1 x + b1 xy + c1 y 2 Khi ó ta bi u di'n: = b − 4a2 c2 < α a2 x + b2 xy + c2 y 2 P ( ) Tr/0ng h1p 2: Cho a2 x + b2 xy + c2 y = α , tìm giá tr l n nh t, giá tr nh a1 x + b1 xy + c1 y + β nh t c a bi u th c P = b2 − 4a2 c2 < a2 x + b2 xy + c2 y + γ Trong tr ng h p này ta bi u di'n nh sau: ( ) β β γ γ α = ( a2 x + b2 xy + c2 y ) ; γ = α = ( a2 x + b2 xy + c2 y ) α α α α β a1 x + b1 xy + c1 y + ( a2 x + b2 xy + c2 y ) 2 a x + b xy + c1 y + β α Khi ó P = = a2 x + b2 xy + c2 y + γ a x + b xy + c y + γ a x + b xy + c y ( ) 2 2 α β= nh#ng ví d trên, ta th y c tính ng c p b c th là ng c p b c nh ví d sau Ví d 19: Cho a, b ≥ Ch ng minh r+ng: 3a + 7b3 ≥ 9ab (1) c th hi n, ho$c có Bài gi i t b = t.a (t ≥ 0) Khi ó 3a + 7b3 ≥ 9ab ⇔ 3a + 7t a ≥ 9t a ⇔ a 7t − 9t + ≥ ( ) Do a ≥ nên bài toán t ng ng v i vi c c n ch ng minh 7t − 9t + ≥ 0, ∀t ≥ Xét hàm s : f ( t ) = 7t − 9t + ≥ 0, ∀t ≥ f ' ( t ) = 21t − 18t = 0; f ' ( t ) = ⇔ Ta có b ng bi n thiên: 20 Lop12.net t = ∈ [ 0; +∞ ) t = ∈ [ 0; +∞ ) ( 2) (21)