Henri Lebesgue 1875 – 1941 Ít nhất theo một chuyên gia bình luận về toán học đương thời, “sự kiện chính về thời đại chúng ta sẽ được các nhà toán sử học tương lai tô đậm là sự biến động [r]
(1)Lịch sử Toán Học giới? Năm 1900, các thành viên Hội toán học quốc tế họp Paris nghe các đồng nghiệp trội báo cáo toán học kỉ David Hilbert (1862 -1943) vừa hoàn thành công trình tiếng Grundlagen der Geometrie (Nền tảng Hình học), cách tân toàn công trình Cơ Euclid cách sử dụng phương pháp tiên đề Hilbert đề 23 bài toán chưa giải thách thức cho kỉ Nhận định ông chính xác đến mức bài toán số đó dẫn tới kết mới, và chí lời giải cho phần bài toán Hilbert đem lại công nhận quốc tế cho tác giả nó Hầu hết các bài toán này đã giải quyết; số ít còn là câu hỏi mở toán học đương thời [6] David Hilbert (1862 -1943) Tuy nhiên, Hilbert không thể thấy trước toán học nở rộ kỉ 20 Tốc độ phát triển lạ thường năm 1800 đã tiếp tục với lượng kiến thức toán học 15 hay 20 năm lại tăng lên gấp đôi Vì thế, toán học sản sinh từ sau chiến tranh giới thứ hai nhiều tất thời lịch sử trước đó! Có khoảng 300 tạp chí định kì xuất nhiều địa điểm khác trên giới dành phần chủ yếu quan tâm vào việc công bố các bài viết toán Chỉ riêng tạp chí trừu tượng Mathematical Reviews năm công bố khoảng 8000 tóm tắt các bài báo vừa công bố có chứa các kết nghiên cứu Do đó, gọi kỉ này là “thời hoàng kim toán học” là điều có thể hiểu Tuy nhiên số lượng không thôi chưa phải là Lop12.net (2) chìa khoá cho vị trí độc đáo mà toán học kỉ 20 giành lịch sử toán học Điều cốt yếu cần hiểu là bên duới tăng trưởng đáng kinh ngạc kiến thức này là xu hướng tiến tới thống nhất, thống sâu rộng và hiệu nhiều Descartes và Leibniz đã tưởng Nến tảng cho thống này là tính trừu tượng Mặc dù các thứ hình học phi-Euclid kỉ 19 đã mở đường cho cách xử lí tiên đề trừu tượng toán học nói chung, nhiều mối quan hệ các ngành chính toán học còn chưa xuất năm 1940 Sự thừa nhận đây các lí thuyết thống này và lĩnh vực rộng lớn chưa khám phá mà các lí thuyết đó mở đã đưa số nhà toán học bậc xem điểm kết thúc chiến tranh giới lần điểm bắt đầu kỉ nguyên toán học Khi đến gần thời điểm tại, việc đánh giá chính xác ý nghĩa tương đối các kết toán học không thể thực được, vì việc so sánh các đóng góp cá nhân riêng lẻ với không thực đây, nhiệm vụ đó để dành cho các hệ Do đó, mặc dù tất các nhà toán học nêu trội qua tôn vinh cộng đồng khoa học đại không có ý đó là liệt kê đầy đủ và phạm vi chủ đề định trình bày không phải là khào sát tổng hợp toán học kỉ 20 Mục đích chính phần này nêu cách vắn tắt phạm vi và uy các hoạt động toán học đuơng thời Nhờ công trình Boole và việc thừa nhận phương pháp tiên đề hình thức theo sau đời các thứ hình học phi-Euclid, quan tâm đến tảng logic toán học bắt đầu lan nhanh chóng Công trình đáng chú ý kế tục các cố gắng mở đầu Boole logic toán là Principia Mathematica, công trình đồ sộ gồm xuất vào các năm 1910 – 1913 đó hai nhà triết học – toán học Bertrand Russell (1872 – 1970) và Alfred North Whitehead (1861 – 1947) đã cố hoàn thành giấc mơ Leibniz cách biểu thị toàn toán học hệ thống kí hiệu logic phổ quát (universal logical symbolism) Hilbert mơ ước hợp toán học, ông đã miệt mài nhiều năm để tìm tập hợp đơn lẻ quán chứng minh các tiên đề mà toàn toán học có thể dùng làm sở Đến đây toán học bước vào giai đoạn phát triển Lop12.net (3) Bertrand Russell (1872 – 1970) Alfred North Whitehead (1861 – 1947) Bắt đầu với mãnh da thú, toán học bước đầu ăn diện với vài quần áo sang trọng và sau đó có nguyên tủ quần áo may dệt công phu Bây giờ, ăn mặc lịch, toán học bắt đầu nhìn vào túi mình tìm lỗ thủng chưa thấy Các lỗ thủng bắt đầu lộ Bertrand Russell tìm thấy điểm không quán lí thuyết tập hợp Cantor, lí thuyết mà toàn toán học phải đặt sở trên đó Đìều này đã khiến mục tiêu Hilbert càng đáng mong mỏi hơn, đó cộng đồng toán học đã bị chấn động sâu sắc Kurt Gödel (1906 – 1978) chứng minh mục tiêu này không thể đạt Gödel đã đặt móng cho khám phá ngoạn mục kỉ 20 Năm 1964, dựa trên kết Gödel, Paul J Cohen đã chứng minh giả thiết liên tục (continuum hypothesis) lẫn tiên đề lựa chọn (axiom of choices) độc lập với các tiên đề thừa nhận lí Lop12.net (4) thuyết tập hợp Vì Cohen đã trở thành Saccheri lí thuyết tập hợp qua việc chứng tỏ hai mệnh đề đó (giả thiết liên tục, tiên đề lựa chọn) không thể chứng minh từ tiên đề khác và việc hàm chứa các phủ định chúng lí thuyết tập hợp có thể dẫn tới lí thuyết trọn vẹn hoàn toàn mẻ Kurt Gödel (1906 – 1978) Paul J Cohen (1934 – 2007) Khi lấy lại bình tĩnh từ kinh ngạc ban đầu, các nhà toán học đã chấp nhận kiện là không thể chứng minh tính quán toán học từ nội toán học và lại tiếp tục khai phá các chuyên ngành riêng mình Thật ra, phát triển hầu hết các phần riêng lẻ toán học Lop12.net (5) thật không bị ảnh hưởng chấn động làm lung lay móng nó Đại số đã trở nên khái quát xa so với trước đây, và các xu hướng tương tự tiến đến tính trừu tượng hình học đã dẫn đến bước tiến vượt bậc lĩnh vực hình học đại số (algebraic geometry) Cayley sáng lập kỉ trước Một lĩnh vực ghép khác phát triển là hình học vi phân (differential geometry), tổng hợp hình học và nhiều mảng giải tích nhờ có trổi dậy mối quan tâm tạo các cố gắng hợp lí thuyết trọng trường với vài tượng điện từ Bản thân giải tích trải qua biến thái lạ thường kỉ này Khi Henri Lebesgue (1875 – 1941) làm cách mạng lí thuyết tích phân, ông đã mở cách xử lí thống và trừu tượng cho giải tích, điển hình qua các lí thuyết giải tích tổng quát các không gian trừu tượng E H Moore phát triển năm 1906 và Maurice Eréchet năm 1928 Việc khái quát hoá này đã nối kết giải tích với đại số và tôpô Henri Lebesgue (1875 – 1941) Ít theo chuyên gia bình luận toán học đương thời, “sự kiện chính thời đại chúng ta các nhà toán sử học tương lai tô đậm là biến động lạ thường xảy và xung quanh cái mà trước đây gọi là tôpô đại số (algebraic topology).” Tôpô đại số bắt đầu ngành nghiên cứu chính với công trình Henri Poincaré vào cuối Lop12.net (6) kỉ trước, và nửa đầu kỉ 20 nó trở thành cái nôi phát triển số công cụ mạnh mẽ ngành toán học Có lẽ thành tựu bật ngành tôpô kỉ 20 xảy vào năm 1962 nhà toán học Mĩ John Milnor (1931 – ) chứng minh bác bỏ định liên hệ tôpô đại số với ngành đàn anh nó là tôpô tổ hợp (combinarorial topology) Chứng minh Milnor cho các không gian tương đương tổ hợp không thiết phải tương đương đại số đã giúp ông giành huy chương Fields, giải thưởng toán học quốc tế tương tự giải Nobel Ngoài việc mở rộng biên giới kiến thức toán học, các phương pháp đại số tôpô còn trở thành sở cho lĩnh vực là đại số đồng điều (homological algebra), ngành học này tạo nên kết nối vững cho thống các lí thuyết trước đây còn tách rời đại số, giải tích và hình học Mặc dù cho mãi đến năm 1955 Henri Cartan và Samuel Eilenberg xuất sách đầu tiên lí thuyết tổng quát đại số đồng điều, lí thuyết này đã bước vào quá trình thâm nhập vào phần lớn các ngành toán học John Milnor (1931 – ) Henri Paul Cartan (1900-1980) Lop12.net (7) Samuel Eilenberg (1913—1998) Cùng với xu hướng thống nghiên cứu, thường kèm mong muốn đúc kết và đơn giản hoá các kết đã có Một biểu bật mong muốn này lịch sử toán học là xuất Cơ Euclid Trong kỉ này có cố gắng khác để tích hợp tất các ngành toán học đương thời vào khuôn khổ Nó bắt đầu vào năm 1930 nhóm nhỏ các nhà toán học trẻ Pháp hơp thành hội kín và viết chung duới bút danh giả là Nicolas Bourbaki Quyển sách đầu tiên loạt sách toàn thư họ là Éléments de Mathématique [7] (Những điều toán học) xuất năm 1939, và đã có 40 loạt sách này Quyển sách cuối cùng nhóm xuất vào năm 1983 là Spectral Theory (Lí thuyết phổ) [8] Khi tiếng tăm loạt sách Bourbaki lan rộng, Hội các cộng tác viên Bourbaki (L’Association des Collaborateurs de Nicolas Bourbaki) thêu dệt huyền thoại đầy đủ tiểu sử “con ngưòi” đã viết công trình này Bằng cách đó họ cố xoay xở để giữ gìn bí mật các thành viên nhóm Bourbaki, dù vài tên tuổi bị lộ đó có Jean Dieudonné và André Weil (được số người đánh giá là nhà toán học vĩ đại còn sống lúc đó) Nhóm Bourbaki hiểu rõ tầm vóc lớn lao nhiệm vụ mình kiện là toán học sáng tạo trước là môn thể thao cho người trẻ tuổi, vì họ đồng ý với rời khỏi nhóm truớc tuổi 50 và đề cử đồng nghiệp trẻ thay mình Nicolas Bourbaki đã trở nên học giả quốc tế tiếng đầy bí mật, luôn luôn đỉnh cao sáng tạo nghề nghiệp, liên tục cung cấp cho giới khoa học hàng loạt các trình bày đại, rõ ràng, chính xác Lop12.net (8) lĩnh vực toán học đương thời Phong cách trình bày họ hiệu đến mức nhiều kí hiệu và thuật ngữ họ còn dùng giờ, kí hiệu tập rỗng Ø, kí hiệu các tập số N, Z, Q, R, C, kí hiệu dẫn đến ═>…, các từ đơn ánh (injective) , toán ánh (surjective), song ánh (bijective)… Jean Dieudonne (1906 – 1992) André WEIL (1906-1998) Bourbaki congress 1951 Việc sử dụng các kĩ thuật toán học khoa học vật lí và xã hội đã lan rộng và xuyên suốt đến mức là vô ích cố tổng kết tiến đại lĩnh vực toán ứng dụng Tuy nhiên, có nhiều người mà công trình họ phải nêu đây tầm ảnh hưỏng sâu rộng chúng đến giới chúng ta sống Albert Einstein (1879 – 1955) tuổi 26 đã làm môt cách mạng khoa học vật lí với thuyết tương đối, phân tích khác biệt thay đổi dựa phần trên hình học Riemann Công trình Einstein khiến ông trở nên nhà khoa học tiếng thời đại John von Neumann (1903 – 1957) là người Mĩ gốc Hungary chủ trì việc phát triển số máy tính điện tử đầu tiên Viện nghiên cứu cao cấp Princeton, giúp cho việc phát triển lí thuyết quantum (lượng tử), và xem là người sáng lập lí thuyết trò chơi Lí thuyết đáng lưu ý ông vành các toán tử [9] đã đem ánh sáng mối liên hệ thú vị và bất ngờ giải tích, đại số và hình học Von Neumann có đóng góp quan trọng việc chế tạo bom nguyên tử và bom hydrogen (kinh khí) và xây dựng các dự báo thời tiết dài hạn Cuối cùng phải kể đến cha đẻ tự động hoá là Norbert Wiener (1894 – 1964), người mà công trình xử lí thông tin đã tạo lĩnh vực là Cybernetics (Điều khiển học), lấy tên từ tựa đề sách Cybernetics, or Control and Communication in the Man and the Machine (Cybernetics, hay Điều khiển và Thông tin Con Nguời và Máy móc) ông xuất năm 1948 Lop12.net (9) Albert Einstein (1879 – 1955) John von Neumann (1903 – 1957) Lop12.net (10) Norbert Wiener (1894 – 1964) Nét độc đáo toán ứng dụng kỉ 20 là việc phát minh và phát triển máy tính điện tử Khả chúng có thể thực các tính toán thông thường với tốc độ hàng tỉ phép tính giây đã làm thay đổi tận gốc rể các phương pháp giải vấn đề không khoa học vật lí mà khoa học xã hội Các môn khoa học xã hội chuyển trọng tâm mình từ khảo sát định tính sang định lượng, chuyển đổi vô cùng khó khăn thường có quá nhiều biến số có mặt các tình xã hội Việc xử lí các biến số này thực không thể nào làm các kĩ thuật cũ, máy tính có thể mô và phân tích các tình phức tạp dính dáng tới hàng trăm yếu tố, kể người, theo dõi các hậu ngẫu nhiên và các liệu thích đáng khác Vì thế, máy tính nhanh chóng trở thành công cụ cần thiết cho nghiên cứu và huấn luyện kinh tế học, xã hội học, giáo dục và các lĩnh vực liên quan khác Ngoài ra, “thời đại máy tính” ảnh hưởng tới chính toán học Năm 1976 Wolfgang Haken và Kenneth Appel đã dùng máy tính để chứng minh bài toán tô màu (còn gọi là bài toán màu [10]) Lop12.net (11) (minh hoạ bài toán màu) Vào cuối kỉ này, toán học len lỏi vào nghệ thuật hình học phân dạng (fractal geometry) đã tạo hình dạng đẹp đẽ chưa thấy trước đây Người xem cha đẻ loại hình học đương đại này là nhà toán học Mĩ Benoit B Mandelbrot (1924 -), ông đã dùng máy tính khám phá hình tiếng hình học phân dạng gọi là tập Mandelbrot Máy tính đã tạo nhu cầu cho ngành logic toán quan tâm tới vấn đề thiết kế và điều khiển máy (như là lập mã) và trợ giúp và khuyến khích phát triển việc phân tích số liệu Benoit B Mandelbrot (1924 – ) Lop12.net (12) Tập hợp Mandlbrot chú thích [6] Hiện 10 bài đã giải xong, bài giải phần và bài còn là bài toán mở Còn bài còn lại quá lỏng lẻo để có thể nói đã giải hay chưa giải [7] Nhóm Bourbaki cố ý bỏ chữ “s” cuối từ “Mathématiques” để thể lòng tin mạnh mẽ họ vào tính thống toán học [8] Hiện còn có Hội các công tác viên Nicolas Bourbaki, hội này tổ chức các seminar Bourbaki năm lần Các seminar này là hội nghị quốc tế gồm 200 nhà toán học đến dự để nghe trình bày các chủ đề lựa chọn Bourbaki (hay Hội các cộng tác viên) Ấn phẩm cuối cùng Hội này năm 1998, chương 10 VI Nhóm giao hoán [9] Vành là tập hợp trên đó có phép toán, có đầy đủ các tính chất giống phép cộng và phép nhân tập số nguyên ngoại trừ phép toán thứ hai (tương tự phép nhân) không thiết phải có tính giao hoán (vành với phép toán thứ có tính giao hoán gọi là vành giao hoán) [10] ‘Bài toán màu’ phát biểu cách đơn giản là: “Có thể dùng không quá màu để tô màu bất kì đồ nào” (dĩ nhiên phải thoả điều kiện là nước có củng biên giới phải tô khác màu) Lop12.net (13)