Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d1, d 2 của tam giác đã cho... Vậy phương trình chính tắc của E là:.[r]
(1)http://ductam_tp.violet.vn/ SỞ GD & ĐT BẮC NINH TRƯỜNNG THPT LƯƠNG TÀI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2010 Môn: Toán – Ngày thi: 06.4.2010 Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Phần chung cho tất các thí sinh (7 điểm ) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y 2x x2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt các đường tiệm cận (C) A và B Gọi I là giao điểm các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Câu II (2 điểm) x x x Giải phương trình sin sin x cos sin x cos 2 4 2 2 Giải bất phương trình log (4 x x 1) x ( x 2) log x Câu III (1 điểm) e x ln x dx x ln x Tính tích phân I ln x Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a BC = a SA a , SAB SAC 30 Tính thể tích khối chóp S.ABC Câu V (1 điểm) Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = biểu thức P a 3b 3 b 3c 3 Tìm giá trị nhỏ c 3a Phần riêng (3 điểm) Thí sinh làm hai phần: Phần phần Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn) Câu VIa (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng d : x y d 2: 3x +6y – = Lập phương trình đường thẳng qua điểm P( 2; -1) cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d tạo tam giác cân có đỉnh là giao điểm hai đường thẳng d1, d2 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x y z Gọi A’là hình chiêú A lên mặt phẳng Oxy Gọi ( S) là mặt cầu qua điểm A’, B, C, D Xác định toạ độ tâm và bán kính đường tròn (C) là giao (P) và (S) Câu VIIa (1 điểm) Tìm số nguyên dương n biết: 2C22n1 3.2.2C23n 1 (1)k k (k 1)2 k 2 C2kn 1 n(2 n 1)2 n1 C22nn11 40200 Lop12.net (2) Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao) Câu VIb (2 điểm) 1.Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho Hypebol (H) có phương trình: x2 y2 1 16 Viết phương trình chính tắc elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật sở (H) Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho P : x y z và đường thẳng (d ) : x3 y z , điểm A( -2; 3; 4) Gọi là đường thẳng nằm trên (P) qua giao điểm ( d) và (P) đồng thời vuông góc với d Tìm trên điểm M cho khoảng cách AM ngắn Câu VIIb (1 điểm): 2 x 1 y 2 3.2 y 3 x Giải hệ phương trình x xy x Hết -Chú ý: Thí sinh dự thi khối B và D không phải làm câu V Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: Số báo danh Câu I Dáp án Nội dung Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số 1) Hàm số có TXĐ: R \ 2 2) Sự biến thiên hàm số: a) Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: * lim y ; lim y x2 Điểm 1,00 0,25 0,25 x 2 Do đó đường thẳng x = là tiệm cận đứng đồ thị hàm số * lim y lim y đường thẳng y = là tiệm cận ngang đồ thị hàm số x x b) Bảng biến thiên: Ta có: y' 0, x x 2 Bảng biến thiên: x - + y’ - 0,25 - + y - * Hàm số nghịch biến trên khoảng ;2 và 2; Lop12.net (3) 3) Đồ thị: 3 2 3 2 + Đồ thị cắt trục tung 0; và cắt trục hoành điểm ;0 + Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) hai tiệm cận làm tâm đối xứng y 0,25 3/2 O I x 3/2 Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ 2x 1 , x0 , y' (x0 ) Ta có: M x0 ; x0 x0 22 Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng: :y 1,00 0,25 1 2x (x x ) x0 x 2x ; B2x 2;2 Toạ độ giao điểm A, B và hai tiệm cận là: A 2; x0 Ta thấy x A x B 2x y y B 2x x0 xM , A y M suy M là 2 x0 0,25 trung điểm AB Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2x (x0 2)2 2 2 (x ) x0 x 1 Dấu “=” xảy (x0 2)2 (x ) x0 0,25 S = IM (x0 2)2 II Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) Giải phương trình lượng giác x x 2 x sin sin x cos sin x cos (1) 2 2 1 sin x sin x cos x sin x cos x sin x 2 2 x x x x x x sin x sin cos sin x 1 sin x sin cos sin cos 1 2 2 x x x sin x sin 1 sin sin 2 Lop12.net 0,25 điểm 0,25 0,25 0,25 (4) sin x x k x k x sin x x k, k Z k2 x k4 2 x x 2 sin sin 2 II Giải bất phương trình 0,25 điểm 1 x x x x ĐK: 2 4x 4x (2x 1)2 x * 0,25 Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: log (1 2x ) 2x ( x 2)log (1 2x ) 1 xlog (1 2x) 1 0,25 x x x x log (1 2x) log 2(1 2x) 2(1 2x) x x x x log (1 2x) log 2(1 2x) 2(1 2x) 0,25 Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 1 x x < 0,25 III Tính tích phân e điểm e ln x dx 3 x ln xdx x ln x 1 I e +) Tính I1 ln x x ln x dx Đặt t ln x t ln x; tdt dx x 0,25 Đổi cận: x t 1; x e t 2 t t3 1 22 I1 tdt t dt 2 t t 3 1 1 dx du e u ln x x +) Tính I x ln xdx Đặt dv x dx v x e I2 x3 e3 x3 ln x 1e x dx 31 3 I I1 3I IV e e3 e3 2e3 9 2 2e 3 0,25 0,25 0,25 0,25 Tính thể tích hình chóp Lop12.net điểm (5) S M A C N B Theo định lí côsin ta có: SB SA AB 2SA.AB.cosSAB 3a a 2.a 3.a.cos30 a Suy SB a Tương tự ta có SC = a Gọi M là trung điểm SA , hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB SA, MC SA Suy SA (MBC) 3 0,25 0,25 Ta có VS ABC VS MBC VA MBC MA.S MBC SA.S MBC SA.S MBC Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng nên chúng Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân M Gọi N là trung điểm BC suy MN BC Tương tự ta có MN SA 2 0,25 a a a 3a MN2 AN2 AM2 AB2 BN2 AM2 a MN 16 4 Do đó VS ABC SA MN.BC a V a a a3 16 0,25 Tìm giá trị nhỏ biểu thức áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có điểm 1 1 1 (x y z) 33 xyz 9 (*) x y z xyz xyz x y z 1 áp dụng (*) ta có P 3 3 3 a 3b b 3c c 3a a 3b b 3c c 3a 0,25 áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có a 3b 1 a 3b 3 b 3c 1 b 3c 1.1 b 3c 3 c 3a 1 c 3a 1.1 c 3a 3 a 3b 1.1 0,25 1 a 3b b 3c c 3a a b c 3 3 Do đó P Suy Dấu = xảy a b c abc a 3b b 3c c 3a Vậy P đạt giá trị nhỏ a b c / Lop12.net 0,25 0,25 (6) VIa.1 Lập phương trình đường thẳng Cách 1: d1 có vectơ phương a1 (2;1) ; d có vectơ phương a (3;6) Ta có: a1.a 2.3 1.6 nên d1 d và d1 cắt d2 điểm I khác P Gọi d là đường thẳng qua P( 2; -1) có phương trình: điểm 0,25 d : A(x 2) B(y 1) Ax By A B d cắt d1, d2 tạo tam giác cân có đỉnh I và d tạo với d1 ( d2) góc 450 2A B A2 B A 3B cos 450 3A 8AB 3B 2 (1)2 B 3A * Nếu A = 3B ta có đường thẳng d : 3x y * Nếu B = -3A ta có đường thẳng d : x 3y Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d : 3x y 0,25 0,25 0,25 d : x 3y Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, đó d song song với đường phân giác ngoài đỉnh là giao điểm d1, d tam giác đã cho Các đường phân giác góc tạo d1, d2 có phương trình 2x y 2 (1)2 3x y 32 0,25 3x 9y 22 (1 ) 2x y 3x y 9x 3y ( ) +) Nếu d // 1 thì d có phương trình 3x 9y c Do P d nên c c 15 d : x 3y +) Nếu d // 2 thì d có phương trình 9x 3y c Do P d nên 18 c c 15 d : 3x y Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán d : 3x y d : x 3y VIa Xác định tâm và bán kính đường tròn Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0) * Giả sử phương trình mặt cầu ( S) qua A’, B, C, D là: a x y2 z 2ax 2by 2cz d 0, b2 c d 0,25 0,25 0,25 điểm 0,25 2a b d a 2a b 4c d 14 Vì A' , B, C, D S nên ta có hệ: b 1 8a b 4c d 29 c 1 8a b 4c d 21 d 1 0,25 Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: x y z x y z 5 2 (S) có tâm I ;1;1 , bán kính R 29 +) Gọi H là hình chiếu I lên (P) H là tâm đường tròn ( C) +) Gọi ( d) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P) (d) có vectơ phương là: n 1;1;1 x / t 5 Suy phương trình d: y t H t;1 t;1 t 2 z t 5 Do H d (P ) nên: t t t 3t t Lop12.net 0,25 (7) 5 1 H ; ; 3 6 IH 75 29 75 31 186 , (C) có bán kính r R IH2 36 6 36 0,25 VII a Tìm số nguyên dương n biết điểm n 1 2 k k k n 1 n * Xét (1 x) C n 1 C n 1x C n 1x (1) C n 1x C n 1x (1) * Lấy đạo hàm hai vế (1) ta có: 0,25 (2 n 1)(1 x )2 n C12 n 1 2C 22 n 1x (1) k kC 2k n 1x k 1 (2n 1)C 22 nn 11x n (2) Lại lấy đạo hàm hai vế (2) ta có: 2n(2n 1)(1 x)2n1 2C22n1 3C32n1x (1)k k(k 1)C2kn1xk 2 2n(2n 1)C22nn11x2n1 Thay x = vào đẳng thức trên ta có: k k 2 k 2n 1 2n(2n 1) 2C 22n 1 3.2.2C2n C n 1 2n(2n 1)22n 1 C 2n 1 ( 1) k(k 1)2 1 VIb.1 Phương trình đã cho 2n(2n 1) 40200 2n n 20100 n 100 Viết phương trình chính tắc E líp (H) có các tiêu điểm F1 5;0; F2 5;0 Hình chữ nhật sở (H) có đỉnh là M( 4; 3), x y2 ( với a > b) a b2 (E) có hai tiêu điểm F1 5;0; F2 5;0 a b2 52 1 Giả sử phương trình chính tắc (E) có dạng: M 4;3 E 9a 16 b a b 2 0,25 0,25 điểm 0,25 0,25 2 a 40 2 2 9a 16b a b b 15 a b 0,25 Từ (1) và (2) ta có hệ: Vậy phương trình chính tắc (E) là: x y2 1 40 15 VIb Tìm điểm M thuộc để AM ngắn x 2t Chuyển phương trình d dạng tham số ta được: y t z t 0,25 0,25 điểm 0,25 Gọi I là giao điểm (d) và (P) I 2t 3; t 1; t 3 Do I P 2t 2(t 1) (t 3) t I 1;0;4 * (d) có vectơ phương là a (2;1;1) , mp( P) có vectơ pháp tuyến là n1;2;1 a, n 3;3;3 Gọi u là vectơ phương u 1;1;1 x u : y u Vì M M u; u;4 u , AM1 u; u 3; u z u Lop12.net 0,25 0,25 (8) AM ngắn AM AM u AM.u 1(1 u) 1(u 3) 1.u u VIIb 0,25 16 Vậy M ; ; 3 3 Giải hệ phương trình: điểm 2 3x 1 y 3.2 y 3x (1) 3x xy x (2) x x 1 Phương trình (2) x(3 x y 1) 3 x xy x x 1 x x x 1 3 x y y x 0,25 * Với x = thay vào (1) y 3.2 y y 12.2 y y 8 y log 11 11 0,25 x 1 thay y = – 3x vào (1) ta được: x 1 3 x 1 3.2 y 3x Đặt t x 1 Vì x 1 nên t t lo¹ i x log 1 (3) t t t t t y log (3 ) * Với x x log Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm và y log y log (3 ) 11 Lop12.net 0,25 0,25 (9)