a Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d1,d’ song song với nhau b Viết phương mặt phẳng chứa d và d’ c Tính khoảng cách giữa d và d’.[r]
(1)Ôn thi TNTHPT CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Tọa độ vectơ không gian: Vectơ u x i y j z k u (x ; y ; z) Các phép toán của vectơ: Cho hai vectơ a (x1 ; y1 ; z1 ) , b (x ; y ; z ) , k R đó : a b (x1 x ; y1 y ; z1 z ) k.a (kx1 ; ky1 ; kz1 ) a b x1 x ; y1 y ; z1 z a.b x1.x y1.y z1.z , a b x1.x y1.y z1.z a x12 y12 z12 cos(a; b) x1.x y1.y z1.z x12 y12 z12 x 22 y 22 z 22 với a 0; b Tọa độ điểm : * Tọa độ vectơ OM là tọa độ điểm M Như ta có : OM (x; y;z) M (x ; y ; z) * Cho tứ diện ABCD với : A(xA ; yA ; zA), B(xB ; yB ; zB), C(xC ; yC ; zC) ta có : AB (x B x A ; y B y A ; z B z A ) AB AB (x B x A )2 (y B y A )2 (z B z A )2 xA xB y yB z zB ; yM A ; zM A 2 x x x y y y z z z G(x G ; yG ; z G ) là trọng tâm ABC thì x G A B C ; yG A B C ; z G A B C 3 G(x G ; yG ; z G ) là trọng tâm tứ diện ABCD thì x x x xD y yB yC yD z z z zD xG A B C ; yG A ; zG A B C 4 M(x M ; y M ) là trung điểm AB thì x M Tích có hướng hai vectơ: Cho vectơ a (x1 ; y1 ; z1 ) , b (x2 ; y2 ; z2 ) đó tích có hướng hai vectơ a , b là vectơ kí hiệu là [ a , b ] và có toạ độ : y1 z1 z1 x1 x1 y1 [a, b] ; ; (y1z y z1;z1x z x1; x1y x y1 ) y z z x x y Chú ý:1 Hai vectơ a và b cùng phương và [a, b] Ba vectơ a , b và c đồng phẳng và [a, b].c a [a, b] và b [a, b] (Tích có hướng hai vectơ là vectơ vuông góc với hai vectơ đó) [a, b] a b sin với là góc hai vectơ a vaø b Diện tích tam giác, thể tích hình hộp, khối tứ diện: Diện tích tam giác ABC : S ABC AB, AC / Thể tích hình hộp ABCD.A/B/C/D/ : VABCD A B C D AB, AD AA / Thể tích khối tứ diện ABCD : VABCD / / / AB, AC AD Phương trình mặt cầu: a Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c) bán kính R có dạng Năm học 2008-2009 Lop12.net Trang 1/6 (2) Ôn thi TNTHPT (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 b.Phương trình (S) : x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = (a2 + b2 + c2 – d > 0) là phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính : R a2 b2 c2 d BÀI TẬP: Bài 1: Cho ba vectơ a = ( 2;1 ;0 ),b = ( 1; -1; 2) , c = (2 ; 2; -1 ) a) Tìm tọa độ vectơ : u 2a 3b 5c b) Chứng minh vectơ a, b, c không đồng phẳng c) Hãy biểu diển vectơ v = (3 ; ; -7 ) theo ba vectơ a, b, c 2 2 d) Tính: a.b c ; a b.c ; 3a a.b b c b ; a, b ; a, b c e) Tính góc haivectơ a và b Bài 2: Cho vectơ a = (1; m; 2), b = (m+1; 2;1 ) , c = (0 ; m-2 ; ) Định m để vectơ đó đồng phẳng Bài3:Tìm tọa độ vectơ x , biết rằng: a) a x và a (1; 2;1) b) a x b và a (3; 1; 4) , b (2; 5;3) Bài : Cho điểm M(1; 2; 3) a)Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc điểm M: i) Trên các mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz ii) Trên các trục tọa độ: Ox, Oy, Oz b) Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M: i) Qua gốc tọa độ O ii) Qua mặt phẳng Oxy iii) Qua Trục Oy Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; -1; 1), C'(4; 5; -5) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại Bài 6: a) Trên trục Oy tìm điểm cách hai điểm: A(3; 1; 0) và B(-2; 4; 1) b) Trên mpOxz tìm điểm cách ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1) Bài 7: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1) a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh tam giác b) Tính chu vi và diện tích ABC c) Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABDC là hình bình hành d/ Tìm toạ độ trọng, trực tâm ABC e) Tính độ dài đường cao ABC hạ từ đỉnh A f) Tính các góc ABC g/ Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC h) Tính diện tích hình bình hành ABCD Bài 8: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện b) Tìm góc tạo các cạnh đối diện tứ diện ABCD c) Tính thể tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A d/ Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD e/ Xác định toạ độ chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng (BCD) Bài 9: Trong các phương trình sau đây ,phương trình nào là phương trình mặt cầu ,khi đó rõ toạ độ tâm và bán kính nó ,biết: a) S : x y z x y z b) S : x y z x y z c) S : 3x y 3z x y z d) S : x y z x y Bài 10: Lập phương trình mặt cầu (S) ,biết : a) Tâm I(2;1;-1), bán kính R=4 b) Đi qua điểm A(2;1;-3) và tâm I(3;-2;-1) c) Đi qua điểm A(1;3;0),B(1;1;0) và tâm I thuộc 0x d) Đường kính AB với A(-1;2;3), B(3;2;-7) Bài 11: Viết phương trình mặt cầu (S) biết : a) Tâm I(1;2;-2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P):6x-3y+2z-11=0 Năm học 2008-2009 Lop12.net Trang 2/6 (3) Ôn thi TNTHPT c) Bán kính R = và tiếp xúc với (P): x+2y+2z+3=0 điểm M(1;1;-3) Bài 12: Trong không gian với hệ toạ 0xyz, cho điểm A(1;0;1), B(2;1;2),C(1;-1;1),D(4;5;-5) a) Viết phương trình tham số đường thẳng qua D và vuông góc với mp(ABC) b) Viết phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện ABCD c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D và tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Ph trình mặt phẳng () có vectơ pháp tuyến n ( A ; B ; C) và qua điểm M(x0, y0, z0) x0 ) B( y y0 ) C( z z0 ) có dạng () : A( x Phương trình tổng quát mặt phẳng: ():Ax +By+Cz+D= 0(A2+B2+C2 >0) với n (A ; B ; C) là vtpt 3.Các trường hợp đặc biệt: Trong không gian (Oxyz) cho ( ):Ax + By + Cz + D = 1) mp qua gốc toạ độ O D = 2) mp song song chứa Ox A = 3) mp song song trùng với (Oxy) A = B = 4) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: Mặt phẳng () cắt các trục toạ độ Ox, Oy, Oz các điểm có toạ độ các điểm (a ; x y z ; 0), (0 ; b ; 0),(0 ; ; c) có phương trình dạng : (a.b.c≠ 0) a b c Vị trí tương đối hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng: () : A1x + B1y + C1z + D1 = 0, () : A2x + B2y + C2z + D2 = () cắt () A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 () // () A B1 C1 D1 A B2 C2 D () () A B1 C1 D1 A B2 C2 D * ( ) ( ) A1 A2 B1B2 C1C2 Khoảng cách từ điểm M(x0 ; y0 ; z0) đến mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = là: dM ; () Ax By Cz D A B2 C2 Góc hai mặt phẳng: Cho hai mặt phẳng: () : A1x + B1y + C1z + D1 = () : A2x + B2y + C2z + D2 = Gọi là góc hai mặt phẳng () và () thì ta có: A1A B1B C1C | n( ) n( ) | cos = | n( ) | | n( ) | A12 B12 C12 A 22 B 22 C 22 BÀI TẬP: Bài 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) thỏa các điều kiện sau: a) (P) qua điểm M (2;3;-1) và có vtpt n (3; 4; 1) b) (P) qua điểm A(1;2;-4), B(3;1;-3) , C(1;-5;1) c) (P) là mặt phẳng trung trực AB biết: A(2;1;1), B(2;-1;-1) d) (P) qua điểm M (2;1;5)và song song với mặt phẳng (Q): 2x + 5y –z +3 = e) (P) qua M(1;1;1) và song song với các trục 0x và 0y f) (P) qua điểm M(1;-1;1) và N (2;1;1) và cùng phương với trục 0z g) (P) qua I(2;6;-3) và song song với mặt phẳng Oxy h) (P) qua A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x-2=0 , (Q) : y-z-1=0 Bài 2: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3) B(1;6;2) C(5;0;4) D(4;0;6) Năm học 2008-2009 Lop12.net Trang 3/6 (4) Ôn thi TNTHPT a) Viết phương trình tổng quát các mặt phẳng (ABC) b) Viết phương trình tổng quát mp(P) qua cạnh AB và song song với cạnh CD c) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (P) Bài 3: Viết phương trình tổng quát (P) a) Đi qua A(1;2;3) ,B(2;2;3) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0 b) Chứa 0x và qua A(4;-1;2) , c) Chứa 0y và qua B(1;4;-3) Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3) và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz các điểm A, B, C cho OA = OB = OC Bài 5: Cho hai mặt phẳng (P): 2x –y + 5x = và (Q): -2x + y -5z +7 = a) Chứng tỏ (P) //(Q) b) Tính khoảng cách mặt phẳng (P) và (Q) PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN Phương trình tham số – Phương trình chính tắc: Đường thẳng qua M0(x0 ; y0 ; z0), có VTCP u (a ; b ; c) thì : x x at a)Phương trình tham số : y y bt z z ct b)Phương trình chính tắc : x x0 y y0 z z0 (a.b.c ≠ 0) a b c Vị trí tương đối hai đường thẳng: Đường thẳng 1 qua M1(x1 ; y1 ; z1), vectơ phương u (a ; b1 ; c1 ) Đường thẳng 2 qua M1(x2 ; y2 ; z2), vectơ phương u (a ; b ; c ) Khi đó, u1 , u2 M1 M2 a)1 cắt 2 a1 : b1 : c1 a2 : b2 : c2 b)1 // 2 a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1) c)1 2 a1 : b1 : c1 = a2 : b2 : c2 = (x2 – x1) : (y2 – y1) : (z2 – z1) u1 , u M1M d)1 chéo 2 Vị trí tương đối đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng qua M(x0 ; y0 ; z0) có vectơ phương u (a ; b ; c) Mặt phẳng () : Ax + By + Cz + D = có n (A ; B ; C) Khi đó : a) cắt () u và n không vuông góc Aa + Bb + Cc Aa Bb Cc Ax By Cz D b) // () u và n vuông góc và không có điểm chung Aa Bb Cc Ax By Cz D c) () u n và có điểm chung 4.Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng qua M0(x0 ; y0 ; z0) có vectơ phương u (a ; b ; c) là: d (M; ) M M , u |u| Khoảng cách hai đường thẳng chéo : Năm học 2008-2009 Lop12.net Trang 4/6 (5) Ôn thi TNTHPT Cho hai đường thẳng 1 và 2 chéo với 1 qua M1(x1 ; y1 ; z1), vectơ phương u (a ; b1 ; c1 ) và 2 qua M2 (x2 ; y2 ; z2), vectơ phương u (a ; b ; c ) u , u M 1M Khoảng cách hai đường thẳng 1 và 2 là d 1; u1 , u2 Góc hai đường thẳng: Đường thẳng 1 có vectơ phương u (a ; b1 ; c1 ) Đường thẳng 2 có vectơ phương u (a2 ; b2 ; c2 ) u1 u2 Gọi là góc hai đường thẳng 1 và 2 ta có cos u1 u2 a1a2 b1b2 c1c2 a12 b12 c12 a22 b22 c22 Góc đường thẳng và mặt phẳng: Cho đường thẳng có vectơ phương u (a ; b ; c) và mặt phẳng () có VTPT n (A ; B ; C) | n.u | Gọi là góc đường thẳng và ( ) Ta có : sin | n |.| u | Aa Bb Cc A B2 C2 a2 b2 c2 BÀI TẬP: Bài 1:Lập phương trình tham số và phươngtrình chính tắc ( có) đường thẳng (d) các trường hợp sau : a) (d) qua điểm M(1;0;1) và nhận a(3; 2;3) làm VTCP b) (d) qua điểm A(1;0;-1) và B(2;-1;3) x t c) (d) qua điểm M(2;3;-5) và song song với đường thẳng (d’) d : y 2t , t R z 2t d) (d) qua A(1;1;1) song song với mặt phẳng (P)x+y+z+1=0 và vuông góc với đường x t thẳng d : y 2t , t R z 2t Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát các giao tuyến mặt phẳng ( P) : x - y z - và các mặt phẳng toạ độ Bài 3: Cho mặt phẳng (P) qua điểm A(3;0;0), B(0;6;0), C(0;0;9) Viết phương trình tham số đường thẳng (d) qua trọng tâm tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó Bài 4: Lập phương trình tham số, chính tắc ( có) đường thẳng (d) qua điểm A(1;2;3) và vuông góc với đường thẳng (d1): x 2t : : y 3t z 3 t Năm học 2008-2009 x 1 y z 1 và đường thẳng ( ) cho 1 tR Lop12.net Trang 5/6 (6) Ôn thi TNTHPT Bài 5: Lập phương trình tham số, chính tắc ( có) đường thẳng (d) qua điểm A(1;2;3) và vuông đường thẳng (d1): x 2t : y 3t z 3 t x 1 y z và cắt đường thẳng ( ) cho : 3 1 tR Bài 6: Xét vị trí tương đối hai đường thẳng (d) và (d’) biết : x 2 y5 z7 a) (d): b) d): x 1 y 1 z 1 x 1 t và (d ') : y 3t z 4t và (d ') x 1 y z 1 1 Bài 7: Xét vị trí tương đối đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết: x t a) d : y t , t R (P): x-y+z+3=0 z t x 12 4t b) d : y t , t R (P): y+4z+17=0 z t Bài 8: Cho mặt phẳng (P) : 2x+y+z=0 và đường thẳng d : x 1 y z 3 a) Tìm toạ độ giao điểm A (d) và (P) b) Lập phtrình đường thẳng (d1) qua A vuông góc với (d) và nằm mặt phẳng (P) c) Viết phương trình hình chiếu đường thẳng (d) lên mặt phẳng (P) Bài 9: Cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho : x 2t d : y t z 1 3t d1 : x y z 1 t R a) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm nó b) Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2) Bài 10: cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho : x 7 3t d1 : y 2t z 3t x t1 d : y 9 2t1 z 12 t t, t R a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d1),(d2) chéo b) Tính khoảng cách (d) và (d’) c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung (d1),(d2) Bài 11: cho hai đường thẳng (d1),(d2) có phương trình cho : x 2t x y z 1 (d ) : y t và (d’) : 1 z t a) Chứng tỏ hai đường thẳng (d1),(d’) song song với b) Viết phương mặt phẳng chứa (d ) và (d’) c) Tính khoảng cách (d) và (d’) Năm học 2008-2009 Lop12.net Trang 6/6 (7)