Cuộc hành trình của bài toán trên với dụng ý : Nếu với bạn các quá trình suy luận trên là đơn giản thì cũng còn bao việc phải tiếp tục suy nghĩ đó là: 1.. Từ bài toán 2 cùng với cách chu[r]
(1)Nh÷ng kÕt qu¶ nhËn ®îc tõ mét bµi to¸n quen thuéc -*** -I Đặt vấn đề Dạy cho học sinh bài tập này đến bài tập khác chú ý đến số lượng mà thiếu dạy tư thì nhiều vô íc Đành muốn có học sinh giỏi thì Thầy phải đọc nhiều,làm nhiều, trang bÞ nhiÒu kiÕn thøc kü n¨ng cho häc sinh.Trong trß ( thËm chÝ c¶ ThÇy ) cha t×m ®îc lời giải bài toán thì việc hướng dẫn cho trò nghiên cứu lời giải thông qua tài liệu là điều cần làm Điều đó có ý nghĩa chúng ta hiểu đựơc các khâu “ chốt ” có tính định lời giải Kèm theo đó là phải có thái độ nhận xét , phê phán không thoã mãn điều cßn h¹n chÕ theo nhiÒu nghÜa : vÝ dô nh lêi gi¶i cßn cha ®îc tù nhiªn, hoÆc cha cã tÝnh tæng quát, vv Để từ đó tìm cách khắc phục, tìm lời giải tốt đến bài toán tổng quát Sau đây là ví dụ nhằm minh hoạ cho các ý tưởng trên nhằm góp phần rền luyện n¨ng lùc gi¶i to¸n cho hoc sinh II C¸c vÝ dô Bài toán sau đây bạn đã gặp với nhiều cách giải : 0 a, b, c Bµi to¸n A Cho sè thùc a, b , c tho· m·n: Chøng minh P= a b c a b c Truíc hÕt chóng ta xÐt mét lêi gi¶i sau cña bµi to¸n Lêi gi¶i1 Do vai trò bình đẳng a, b, c nên ta có thể giả sử: a b c Từ đó ta có : a b c 3a a (1) P a b c a b c 2bc(b.c 0) a b c a (3 a ) 2a 6a P 2a 6a = 2a 6a 2(a 3a 2) (do (1) ) DÔ thÊy dÊu “ = ‘’ bµi to¸n xÈy vµ chØ ( a; b; c ) = ( 2;1; ) ( cã mét sè b»ng 2, mét sè b»ng vµ mét sè b»ng ) Râ rµng lêi gi¶i rÊt ng¾n gän! §äc kü lêi gi¶i ta rót ®îc mét sè nhËn xÐt sau Nhận xét : - Khâu chốt định lời giải là: 2) Sử dụng tính bình đẳng các biến 1) đưa đánh giá : b c b c (*) b dÊu ‘ = ‘’ ë (*) c 3) Với b và c không lúc đó (*) không xây đẳng thức hay nói cách khác lời giải bài toán sÏ sao? ta xÐt bµi to¸n sau ®©y x; y; z Bµi to¸n Cho sè thùc x, y , z tho· m·n: Chøng minh x y z 12 P = x y z 50 Ta tìm cách đưa giả thiết trên đoạn có cận trái là để sủ dụng (*) với lời giải sau đây a x Lêi gi¶i: §Æt: b y Do x , y , z a; b; c vµ a+ b + c = Theo bµi c z to¸n ta sÏ cã: 2 a b c x 3 y 3 z 3 x y z 6 x y z 27 x y z 50 Dễ thấy dấu đẳng thức xẩy và ( x; y ; z ) = ( 5;4;3 ) ( có sè b»ng 5, mét sè b»ng vµ mét sè b»ng ) Lop12.net (2) Nhận xét Theo dõi qua trình giải các bài toán trên ta thấy bất đẳng thức tổng quát cho k k k k më réng (*) lµ: x k a1 a a n x a1 a a n x 0; 0.(k N ; ) ai DÊu “ = ” (**) a a3 a n Bất đẳng thức này có thể chứng minh dễ dàng Từ đó ta có thể đề xuát bài toán tổng quát sau: Bµi to¸n tæng qu¸t I1 x; 0; a (i 1; n) Cho n+1 sè x; a1 ; a ; a n ( n> 2) tho· m·n: x a1 a a n b > a> b a ba n 1 · k k k H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P = x k a1 a a n víi k lµ sè tù nhiªn ; k b ; a Ta cã quyÒn gi¶ sö x = x x1 x x n b (n 1) x x n 1 k k Sử dụng bất đẳng thức trên ta có ãP x k b x Xét hàm f ( x) x k b x b Ta cã f / ( x) k x k 1 (b x) k 1 f / ( x) 22 x b x 0; a ( ®kiÖn cña bài toán) Từ đó có bảng biến thiên hàm số f (x) sau: b b x a n 1 + f / ( x) f (x) k k b b b k k Ta cã f ( ) b A; f (a ) a (b a ) B n 1 n 1 n 1 b b ; a1 b P = A x ; x a; a a3 a n Do a1 n 1 n 1 b b b a ba tho· m·n n 1 n 1 P = B x a; a1 b a VËy MaxP = MaxA; B (bài toán là trường hợp đặc biệt n = a= 2; b = Max P = 2 5) Lop12.net (3) b a n 1 Điều kiện “ kép” này thực chất là để đảm bảo cho các số x và a1 0; a Vậy thì đièu kiện nµy kh«ng tho· m·n tøc lµ th× bµi to¸n tæng qu¸t t×m Max P sÏ nh thÕ nµo? TÊt nhiªn đó bất đẳng thức mở rộng (**) không còn hiệu lực nữa.Ta bắt đầu : NhËn xÐt 3: Trong bµi to¸n tæng qu¸t I1 ta ®© giíi h¹n ®kiÖn: b a Cho c¸c sè x; a ; a ; a n 0; a tho· m·n: x a1 a a n b Gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = k k k x k a1 a a n bao nhiêu các trường hợp sau: b a Trường hợp 1: n 1 (Câu trả lời quá đơn giản Bài toán đặt lúc này là vô nghĩa.) b b a Trườnghợp n 1 Trường hợp b 2a VÝ dô bµi to¸n cô thÓ sau : Bµi to¸n Cho sè t; m; n tho· m·n: t ; m; h 0;2 GÝa trÞ lín nhÊt cña P t m h b»ng bao nhiªu? t m h b b a) ( ë ®©y a=2;b=5; n =2; n 1 Như trên ta đã nói bất đẳng thức đã sử dụng (**) không còn hiệu lực Vậy lời giải bài toán tổng quát cho trường hợp này sao? (ta tạm gọi là bài toán I2 sau đây) Để bµi viÕt qu¸ dµi t«i xin t¹m thêi dõng l¹i bµi to¸n nµy ë ®©y vµ xin hÑn gÆp l¹i bµi viÕt kh¸c Cuộc hành trình bài toán trên với dụng ý : Nếu với bạn các quá trình suy luận trên là đơn giản thì còn bao việc phải tiếp tục suy nghĩ đó là: 1) B¹n h·y gi¶i bµi to¸n b b a hoÆc 2) H·y gi¶i bµi to¸n tæng qu¸t trªn nh»m kh¾c phôc mét “ lç hæng” n 1 cô thÓ lµ: b 2a Bµi to¸n I2 x; 0; a “ Cho n+1 sè x, a , a , a n tho· m·n: x a1 a a n b 2a b b a n 1 k k k H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P x k a1 a a n (k N ; k 2) ) Từ bài toán cùng với cách chuyển bài toán đưa đến bài toán tổng quát I1 ( còn “ lç hæng” ) b¹n h·y thay gi¶thiÕt 0; a bµi to¸n I1 b»ng gi¶ thiÕt ; ( 0) víi “ lç hổng” trên để có bài toán tổng quát bài toán I1 Hơn bạn khắc phục điều thì đã đến điều mà bài viết này mong đợi Bạn hãy đề xuát bài toán tổng quát cuối cùng cho bài toán và tiếp tục giải nó biết đâu từ đó lại thu điều lạ! 4) Víi gi¶ thiÕt cña c¸c bµi to¸n trªn nhng nÕu thay P b»ng c¸c biÓu thøc kh¸c mµ c¸c biÕn cã vai trò bình đẳng thì ta lớp các bài toán tương tự đầy tính sáng tạo giải nó Lop12.net (4) Bµi to¸n B Cho phương trình: ax bx c x (*) vµ a ax bx c b ax bx c c x (**) Chøng minh r»ng: 1) PT (*) cã nghiÖm PT (**) cã nghiªm : Lêi gi¶i ThËt vËy gi¶ sö (*) cã nghiÖm tøc lµ tån t¹i x0 : ax0 2 bx0 c x0 Suy ra: a ax0 bx0 c b(ax0 bx0 c) c ax0 bx0 c x0 nghÜa lµ PT(**) còng cã nghiệm x0 Từ đó ta có mệnh đề 1) chứng minh B©y giê cã thÓ cho häc sinh c©u hái sau: Câu hỏi 1: Tìm điều kiện a,b, c để phương trình (**) có nghiệm? Câu hỏi 2: Tìm điều kiện a,b, c để phương trình (**) vô nghiệm? - Sai lầm học sinh trả lời câu hỏi là : “ Điều kiện để (**) có nghiệm là phương trình (*) cã nghiÖm - Sai lầm học sinh trả lời câu hỏi là: “ Điều kiện để (**) vô nghiệm là phương trình (*) v« nghiÖm Thực mệnh đề 1) mệnh đề: “ Phương trình (**) vô nghiệm PT (*) vô nghiệm” Nh vËy viÖc tr¶ lêi c©u hái trªn lµ cha cã c¬ së Với câu hỏi trên thực chất là tìm đk cần và đủ a, b, c để phương trình (**) vô nghiÖm ( cã nghiÖm) Như lời giải trên không có hiệu lực để trả lời các câu hỏi 1) và 2) Ta phải tìm hướng khác để giải Để giải (**) ta đưa (**) hệ đối xứng cách đặt : y ax bx c Khi đó (**) tương x y (1) ay by c x ax bx c y ax bx c y ®¬ng víi: ax ay b ax bx c y ( x y )(ax ay b 1) ax bx c y (2) (1)vn VËy (**) v« nghiÖm (2)vn x y (1) V« nghiÖm ax x(b 1) c 0(3) 2 a 0; b 1; c a0 ax x(b 1) c 0vn (I ) (b 1) 4ac a 0; b 1 (2)vn 2 2 a x (ab a ) x a b 0(a 0)vn a (b 1) 4(ac 1) (b 1) 4ac Kết hợp trường hợp trên ta có: “ Điều kiện cần và đủ để phương trình (**) vô nghiệm là a 0; b 1; c (b 1) 4ac Chú ý đây chính là điều kiện cần và đủ để (*) vô nghiêm Nhưng kết luận cña häc sinh ë trªn lµ mét sù “ hó ho¹ “ mµ th«i Lop12.net (5) Từ đó ta có mệnh đề đúng sau : “ pT (**) PT (* ) ” và “ PT (**) có nghiệm (*) có nghiªm.” Từ kết này ta có thể sáng taọ nhiều bài toán giải phương trình hấp dẫn II C¸c vÝ dô ¸p dông Ví dụ Giải phương trình: x x x x x (1) có dạng (**) Ta xét phương trình : x x x (2) có dạng (*) đây a=1; b = -1; c=2 Do (2) x x v« nghiÖm vËy (1) v« nghiÖm Ví dụ Giải phương trình : x x x x (3) Trước hết ta viết x x x x x x x x x Bây ta tìm các sè m vµ n cho: x x x x x mx n m x mx n n Bằng cách đồng các hệ số các đa thức vế ta có hệ: 2m 2 m m 2n 4 m 1 (3) x x x x x n 2 2mn m n mn n Do phương trình x x x x x Đây là nghiệm (3) Từ đó: ( 3) x x x x1 3; x 3; x3 ; x Ví dụ Phương trình sau đây có nghiệm hay không: x x x x x §kiÖn x Đặt x t (t 0) x x t 2t Phương trình đã cho có dạng: (t 2t 1) 2(t 2t 1) t.(*) Xét phương trình: t 2t t ( t t ) vô nghiệm nên (*) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho vô nghiệm III Kết luận Trên đây là câu chuyện dạy học toán theo lối suy nghĩ tôi đã làm Hiện tài liệu toán thật nhiều Nhưng ý tưởng dạy và rèn luyện tư thì phải thực theo nh÷ng ®êng kh«ng ph¶I theo kiÓu ch¹y t×m gi÷a biÓn ,bëi c¸c bµi to¸n còng mªnh m«ng nh biÓn c¶ Bµi viÕt dõng l¹i ë ®©y Sau ®©y lµ mét sè bµi tËp tù gi¶i mµ qu¸ tr×nh h×nh thµnh qu¸ tr×nh suy luËn ë trªn Mét sè bµi tËp a, b, c 0;2 Cho sè thùc a, b , c tho· m·n: a b c 4 Chøng minh: a b c 17 1 a; b; c Cho sè thùc a, b, c tho· m·n: a b c Chøng minh r»ng a b c 36 Lop12.net (6) a, b, c, d Cho sè thùc a, b, c, d tho· m·n : a b c d 2 2 Chøng minh: a) a b c d 32 b) a b c d 128 a, b, c 0;2 4.Cho sè thùc a,b , c tho· m·n : a b c T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = a (b c) b (a c) c (a b) 2abc ( §s: MaxP = ) a; b; c; d 0;4 5.Cho sè thùc a, b , c ,d tho· m·n: a b c d T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P = a (b c d ) b (c d a ) c (d a b) d (a b c) 2(abc bcd cda dab) (§s: Max P = 128) Giải các phương trình sau: x x x Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: x mx mx m ( x 1) 4m (NguyÔn TiÕn Minh THPTBC Hång Lam – Th¸ng 4/2009) @@@ Lop12.net (7)