Hãy viết p.trình mpP đi qua các hình chiếu của A trên các trục tọa độ, và p.trình mpQ đi qua các hình chiếu của A trên các mặt phẳng tọa độ.. B/ Vị trí tương đối của hai mặt phẳng..[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I/ PHÉP TOÁN VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Baøi 1: Cho ΔABC coù taâm G vaø M laø ñieåm tuøy yù ko gian a/ CMR: MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 b/ Tìm quyõ tích caùc ñieåm M cho MA2 + MB2 + MC2 = k2 Bài 2: Cho tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm ΔBCD và O là trung điểm AG; M là điểm tùy ý uuur uuur uuur uuur r a/ CMR: 3OA + OB + OC + OD = b/ CMR: 3MA2 +MB2+MC2+MD2 =6MG2 +3OA2 +OB2 +OC2+OD2 c/ Tìm quyõ tích caùc ñieåm M thoûa: 3MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = k2 Baøi 3: Cho hình laäp phöông ABCD.A’B’C’D’ Hai ñieåm M, N naèm treân hai caïnh B’C’ vaø CD cho MB’ = CN CMR: AM ⊥ BN Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh : uuuur uuuur uuur uuuur uuuur uuuur a/ AC ' + A ' C = AC b/ AC ' − A ' C = 2CC ' II/ VECTƠ VAØ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài 1: Trong không gian Oxyz Hãy viết tọa độ các vectơ: → → → → a/ a = − e1 + e3 → → 1→ d/ d = e2 − e3 → → → → → → b/ b = e1 − e2 c/ c = e1 − e2 + e3 → → → 3→ e/ e = − e1 f/ f = 4, e1 → → → Bài 2: Hãy viết dạng: x e1 + y e2 + z e3 các vectơ sau đây : → → → a/ u = ( 2;1; −3) b/ v = (− c/ m = ( ; 0; π ) ;0; ) → → d/ p = ( 0; −2;5) e/ q = (0;0; −2) → → → Baøi 3: Trong khoâng gian Oxyz, cho 3õ vectô: a = (2; −5;3); b = (0; 2; −1); c = (1;7; 2) → → 1→ → a/ Tính tọa độ vectơ : x = a − b + c b/ Cho biết M(–1;2;3); hãy tìm tọa độ các điểm A, B, C cho: uuur → uuur → uuuur → MA = a; MB = b ; MC = c Bài 4: Tìm tọa độ vectơ x biết: → → → → → → → → → a/ x + b = b = (1; −2;1) b/ x + a = b a = (5; 4; −1); b = (2; −5;3) → → → → → → c/ x − a = x + b a = (5;6;0); b = (−3; 4; −1) Bài 5: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z) Gọi M1, M2, M3 là hình chiếu vuông góc điểm M trên các trục Ox, Oy, Oz Gọi M 1' , M 1' , M3’ là hình chiếu vuông góc điểm M trên các mặt phẳng Oxy, Oyz, Ozx Tìm tọa độ các điểm M1’, M2’, M3’ Áp dụng cho M(–1,2,3) Bài 6: Cho điểm M có tọa độ (x; y; z) Tìm tọa độ điểm: a/ N đối xứng với M qua mặt phẳng Oxy b/ P đối xứng với M qua trục Ox c/ Q đối xứng với M qua gốc tọa độ O Áp dụng với M(–2; 5; 1) Baøi 7: Trong khoâng gian Oxyz, cho ñieåm: A(0; 2; –1); B(1; 1; 3) vaø C(–1; 2; –2) a/ Tìm tọa độ trọng tâm G ΔABC b/ Tính dieän tích ΔABC Baøi 8: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’ bieát: A(1; 0; 1); B(2; 1; 2); D(1; –1; 1); C’(4; 5; –5) a/ Tìm tọa độ các đỉnh còn lại hình hộp b/ Tìm tọa độ tâm các mặt ABCD và ABB’A’ hình hộp đó Baøi 9: Cho hai boä ñieåm: A(1; 3; 1); B(0; 1; 2); C(0; 0; 1) vaø A’(1;1;1); B’(–4; 3; 1); C’(–9; 5; 1) Hoûi boä naøo coù ñieåm thaúng haøng ? → → Bài 10: Tính tọa độ vectơ tích có hướng hai vectơ a , b trường hợp sau: → → → → a/ a = (3;0; −6); b = (2; −4;5) b/ a = (1; −5; 2); b = (4;3; −5) Lop12.net (2) → → c/ a = (0; 2; 3); b = (1; 3; − 2) → → → d/ a = (1; −1;1); b = (0;1; 2) → e/ a = (4;3; 4); b = (2; −1; 2) Bài 11: Tính khoảng cách hai điểm A, B trường hợp: a/ A(4;–1; 1); B(2; 1; 0) b/ A(2; 3; 4); B(6; 0; 4) c/ A( ; 1; 0); B(1; ; 1) → → Bài 12: Tính góc hai vectơ a , b trường hợp sau : → → → → a/ a = (4;3;1); b = (−1; 2;3) b/ a = (2; 4;5), b = (6;0; −3) Bài 13: Cho ΔABC với A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1) a/ Tính caùc goùc cuûa ΔABC b/ Tìm tọa độ tâm G ΔABC c/ Tính chu vi và diện tích tam giác đó Bài 14: Tìm điểm M trên trục Oy, biết M cách điểm A(3; 1; 0) và B(–2; 4; 1) Bài 15: Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách uuu ñieå m A(1; 1; 1), B(–1; 1; 0) vaø C(3; 1; –1) r uuur Baøi 16: Tính dieän tích cuûa hình bình haønh ABCD coù AB = (6;3; −2) vaø AD = (3; −2; 6) ur ur ur Bài 17: Xét đồng phẳng ba vectơ a , b , c tr.hợp sau: → → → a/ a = (4; 2;5); b = (3;1;3); c = (2;0;1) → c/ a = (4;3; 4); → → → → → b/ a = (1; −1;1); b = (0;1; 2); c = (4; 2;3) → → → b = (2; −1; 2); c = (1; 2;1) d/ a = (−3;1; −2); b = (1;1;1); c = (−2; 2;1) uuur r ur ur uuuur r ur ur Baøi 18: Cho hình hoäp ABCD.A’B’C’D’, bieát A(1; 0; 1) vaø B(2; 1; 2); OD = i − j + k , OC ' = 4i − j − 5k Tìm tọa độ các đỉnh còn lại Bài 19: Cho A(2;–1; 1), B(4; 5; –2) Đường thẳng Ab cắt mp Oxyz điểm M Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào? Tìm tọa độ điểm M Baøi 20: Cho A(1; 1; 1), B(5; 1; –2) vaø C(7; 9; 1) a/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng b/ Phân giác góc A ΔABC cắt BC D Tìm tọa độ D c/ Tính cosin cuûa goùc BAC vaø dieän tích ΔABC Baøi 21: Cho A(1; 2; 1), B(5; 3; 4) vaø C(8; 3; –2) a/ CMR: ABC laø tam giaùc vuoâng b/ Tìm tọa độ chân đường phân giác tam giác kẻ từ B c/ Tính dieän tích cuûa ΔABC Baøi 22: Cho A(1; 0; 1), B(–1; 1; 2), C(–1; 1; 0) vaø D(2; –1; –2) a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh hình chữ nhật b/ Tính đường cao ABCDuuur kẻ từ đỉnh D r ur ur Baøi 23: Cho A(1; 0; 0), B(0; 0; 1) vaø OC = 2i + j + k a/ CMR: A, B, C laø ba ñænh cuûa moät tam giaùc b/ Tính chu vi vaø dieän tích cuûa ΔABC c/ Tìm tọa độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành d/ Tính độ dài đường cao ΔABC hạ từ đỉnh A e/ Tính caùc goùc cuûa ΔABC Baøi 24: Cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) vaø D(–2; 1; –1) a/ CMR: A, B, C, D là bốn đỉnh tứ diện b/ Tính góc tạo các cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD c/ Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A Baøi 25: Cho A(1; –2; 2), B(1; 4; 0), C(–4; 1; 1) vaø D(–5; –5; 3) a/ CMR: tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc b/ Tính diện tích tứ giác ABCD Bài 26: Cho tứ diện PABC, biết P(1; –2; 1), A(2; 4; 1), B(–1; 0; 1) và C(–1; 4; 2) Tìm tọa độ hình chiếu vuoâng goùc cuûa P treân (ABC) Lop12.net (3) uuur ur r Baøi 27: Cho A(4; 2; 6), B(10; –2; 4), C(4; –4; 0) vaø OD = k − i ( ) a/ CMR: ABCD laø hình thoi b/ Tính dieän tích cuûa hình thoi ⎛ ⎞ ⎛5 ⎞ ⎛ ⎞ ⎛9 ⎞ Baøi 28: Cho A ⎜ 2; ;1⎟ , B ⎜ ; ;0 ⎟ , C ⎜ 5; ;3 ⎟ , D ⎜ ; ; ⎟ ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ a/ CMR: boán ñieåm treân laø boán ñænh cuûa hình bình haønh b/ Tính diện tích hình bình hành đó Baøi 29: Cho A(1; 0; 1), B(–2; 1; 3) vaø C(1; 4; 0) a/ Tìm hệ thức x, y, z để điểm M(x; y; z) thuộc mp(ABC) b/ Tìm trực tâm H ΔABC c/ Tìm tâm I và bán kính R đường tròn ngoại tiếp ΔABC III/ MAËT PHAÚNG TRONG KHOÂNG GIAN A/ Phöông trình cuûa maët phaúng Baøi 1: Laäp phöông trình tham soá vaø toång quaùt cuûa mp(α) ñi qua ñ A(2; –5; 1), B(3; 4; –2) C(0; 0; –1) Baøi 2: Cho ñieåm M(2; –1; 3) vaø mp(α) coù p.trình 2x –y + 3z –1 = a/ Lập pt tổng quát mp(β) qua M và song song với mp(α) b/ Haõy laäp phöông trình tham soá cuûa mp(β) noùi treân Baøi 3: Haõy laäp pt mp(α) ñi qua ñieåm M(7; 2; –3), N(5; 6; –4) vaø song song vôi truïc Oz Bài 4: Lập pt mp(α) qua điểm M(2; –1; 2) và vuông góc với các mp: 2x – z + = và y = Bài 5: Lập pt mp(α) qua gốc tọa độ và vuông góc với các mp: 2x – y + 3z – = và x + 2y + z = Bài 6: Lập pt mp(α) qua hai điểm A(1; –1; –2) B(3; 1; 1) và vuông góc với mp x – 2y + 3z – = ⎧ x = + t1 ⎪ Baøi 7: Cho mpα coù phöông trình tham soá : ⎨ y = −2 + t ⎪ z = −5 − t + t ⎩ a/ Hãy lập phương trình tổng quát mp(α’) qua gốc tọa độ và song song với mpα b/ Tính góc ϕ tạo mp(α’) và mp(β) có pt: x + y + 2z –10 = Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(7; 3; 4) đến mp(α) có phương trình: 6x – 3y + 2z –13 = Bài 9: Cho mp(α) : 2x – 2y – z – = Lập phương trình mp(β) song song với mp(α) và cách mp(α) khoảng d = Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng trường hợp sau: a/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với trục Oy b/ Đi qua M(1; 3; –2) và vuông góc với đ.thẳng AB với A(0; 2; –3) và B(1; –4; 1) c/ Đi qua M(1; 3; –2) và song song với mp: 2x – y + 3z + = Bài 11: Cho hai điểm A(2; 3; –4) và B(4; –1; 0) Viết pt mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB Bài 12: Cho ΔABC, với A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3) và C(4; 5; 6) Viết phương trình mp(ABC) Bài 13: Viết ptmp qua 2điểm P(3; 1; –1) và Q(2; –1; 4) và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + = Bài 14: Cho A(2; 3; 4) Hãy viết p.trình mp(P) qua các hình chiếu A trên các trục tọa độ, và p.trình mp(Q) qua các hình chiếu A trên các mặt phẳng tọa độ Bài 15: Viết p.trình mp qua điểm M(2; –1; 2), ssong với trục Oy và vuông góc với mp: 2x – y + 3z + = Bài 16: Viết phương trình mặt phẳng trường hợp sau: a/ Qua I(–1;–2;–5) và đồng thời ⊥ với hai mp (P): x + 2y –3z +1 = và (Q): 2x – 3y + z + = b/ Qua M(2; –1; 4) và cắt chiều dương các trục tọa độ Ox, Oy, Oz P, Q, R cho : OR = 2OP = 2OQ c/ Qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P): 2x – y –12z – = 0, (Q): 3x + y – 7z – = vaø vuoâng goùc với mp(R): x + 2y + 5z – = d/ Qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P): x + 3y + 5z – = 0, mp(Q): x – y – 2z + = vaø song song với trục Oy e/ Là mp trung trực đoạn thẳng AB với A(2; 1; 0), B(–1; 2; 3) f/ mp(X) nhaän M(1; 2; 3) laøm hình chieáu vuoâng goùc cuûa N(2; 0; 4) leân treân mp(X) B/ Vị trí tương đối hai mặt phẳng Bài 1: Xác định m để hai mặt phẳng: Song song với nhau? Trùng nhau? Cắt nhau? Lop12.net (4) a/ (P): 2x –my + 3z –6 + m = 0; (Q): (m+3)x –2y + (5m +1)z–10 = b/ (P): (1– m)x + (m + 2)y + mz + = 0; (Q): 4mx – (7m + 3)y –3(m + 1)z + 2m = Baøi 2: Cho maët phaúng (P): 2x – y + z + = 0; (Q): x + 3y –z + = vaø (R): –2x + 2y+ 3z + = a/ Chứng minh (P) cắt (Q) b/ Vieát p.trình mp(S) qua giao tuyeán cuûa hai mp(P), (Q) vaø qua ñieåm M(1; 2; 1) c/ Viết p.trình mp(T) qua giao tuyến hai mp(P), (Q) và song song với mp(R) d/ Viết p.trình mp(U) qua giao tuyến hai mp(P), (Q) và vuông góc với mp(R) Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng trường hợp sau: a/ Ñi qua M(2; 1; –1) vaø qua giao tuyeán cuûa hai maët phaúng coù phöông trình: x – y + z – = ; 3x – y + z – = b/ Qua giao tuyến hai m.phẳng: y + 2z – = 0; x + y – z – = đồng thời song song với mp: x + y + z = c/ Qua giao tuyến hai m.phẳng: 3y – y + z –2 = 0; x + 4y –5 = đồng thời vuông góc với mp: 2x – z + = Baøi 4: Tìm ñieåm chung cuûa ba maët phaúng: a/ x + 2y – z – = 0; 2x – y + 3z + 13 = 0; 3x – 2y + 3z + 16 = b/ 4x + y + 3z – = 0; 8x – y + z – = 0; 2x – y – 2z – = Bài 5: Cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 3), B(3; –2; 1), C(–4; 1; 1) và D(1; 1; –3) a/ Vieát phöông trình caùc maët phaúng (ABC), (ABD) b/ Tính góc (ABC) và (ABD) ur c/ Tìm pt mp(P) chứa CD và // với vectơ v = (m; 1–m; 1+m) Định m để mp(P) vuông góc với mp(ABC) d/ Định m, n để mp(P) trùng với mp: 4x + ny + 5z + – m = Bài 6: Viết p.trình mặt phẳng qua M(0; 2; 0), N(2; 0; 0) và tạo với mpOyz góc 600 Bài 7: Tìm điểm M’ đối xứng M qua mp(P) biết: a/ M(1; 1; 1) vaø mp(P): x + y – 2z – = b/ M(2; –1; 3) vaø mp(P): 2x – y – 2z – = Bài 8: Cho tứ diện ABCD với A(–1; –5; 1), B(2; –4; 1), C(2; 0; –3) và D(0; 2; 2) a/ Laäp phöông trình caùc maët phaúng (ABC), (ABD) b/ Tính cosin cuûa goùc nhò dieän caïnh AB, caïnh BC c/ Tìm điểm đối xứng điểm A qua các mp(BCD), (OBC) Bài 9: Cho đường thẳng MN biết M(–6; 6; –5), N(12; –6; 1) a/ Tìm giao điểm đường thẳng MN với các m.phẳng tọa độ b/ Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp(α) có phương trình: x– 2y + z–9 = và tính sin góc ϕ đ.thẳng MN và mp(α) c/ Viết p.trình tổng quát mp chứa đ.thẳng MN và // với trục Oz C/ Chuøm maët phaúng Baøi 1: Cho hai maët phaúng caét (P): 3x – 2y + 2z + = vaø (Q): 5x – 4y + 3z + = a/ Viết phương trình mp(R) qua M(1; –2; 1) và chứa giao tuyến hai mp(P) và (Q) b/ Viết pt mp(T) vuông góc với mp: x + 2y + z = và chứa giao tuyến hai mp(P) và (Q) c/ Viết phương trình mp(U) chứa giao tuyến hai mp(P) và (Q) và tạo với mp: x + y – z = goùc nhoïn a maø cosa = 3/125 Bài 2: Định l, m để mp(P):5x + ly + 4z + m = thuộc chùm mp: λ(3x – 7y + z – 3) + μ(x – 9y – 2z + 5) = IV/ ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN A/ Phương trình đường thẳng Bài 1: Lập phương trình tham số và tổng quát đường thẳng d qua điểm M(2; 0;–3) và nhận → a = (2; −3;5) laøm vectô chæ phöông Bài 2: Lập p.trình đường thẳng d qua điểm M(–2; 6; –3) và: Lop12.net (5) ⎧ x = + 5t ⎪ a/ Song song với đường thẳng a: ⎨ y = −2 − 2t ⎪ z = −1 − t ⎩ b/ Lần lượt song song với các trục Ox, Oy, Oz Bài 3: Lập p.trình tham số và p.trình tổng quát đường thẳng d: a/ Ñi qua hai ñieåm A(1; 0; –3), B(3, –1; 0) ⎧3x − y + z − = b/ Đi qua điểm M(2; 3;–5) và // với đ.thẳng: ⎨ ⎩ x + 3y − 2z + = Baøi 4: Trong mpOxyz cho ñieåm A(–1; –2; 0) B(2; 1; –1) C(0; 0; 1) a/ Hãy viết phương trình tham số đường thẳng AB b/ Tính đường cao CH ΔABC và tính diện tích ΔABC c/ Tính thể tích hình tứ diện OABC Baøi 5: Vieát p.trình tam soá, chính taéc, toång quaùt cuûa ñ.thaúng d bieát: a/ d qua M(2; 0; –1) vaø coù vectô chæ phöông laø (–1; 3; 5) b/ d qua M(–2; 1; 2) vaø coù vectô chæ phöông laø (0; 0; –3) c/ d qua M(2; 3; –1) vaø N(1; 2; 4) Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d biết: a/ d qua M(4; 3; 1) và // với đ.thẳng:( x = + 2t; y = –3t; z = + 2t) x − y +1 z + b/ d qua M(–2; 3; 1) và song song với đ.thẳng: = = ⎧x + y − z + = c/ d qua M(1; 2; –1) và song song với đ.thẳng: ⎨ ⎩2 x − y + z − = Bài 7: Viết p.trình tổng quát đ.thẳng d dạng giao hai m.phẳng song song với các trục Ox, Oy bieát p.trình tham soá cuûa d laø: ⎧ x = + 2t ⎧ x = −1 + t ⎪ ⎪ a/ ⎨ y = −1 + 3t b/ ⎨ y = − 4t ⎪ z = −4 + 3t ⎪ z = + 2t ⎩ ⎩ Baøi 8: Vieát p.trình chính taéc cuûa ñ.thaúng d bieát pt toång quaùt cuûa noù laø: ⎧2 x − y + z + = ⎧x + y − z + = a/ ⎨ b/ ⎨ ⎩2 x − z + = ⎩2 x − y + z − = x −1 y + z − Baøi 9: Vieát ptrình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñt d: = = a/ Treân mpOxy b/ Treân mpOxz c/ Treân mpOyz ⎧2 x − y + z + = Baøi 10: Vieát ptrình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñt d: ⎨ treân mp: x + y + z – = ⎩2 x − z + = Bài 11: Viết phương trình đường thẳng các trường hợp sau: a/ Đi qua điểm (–2; 1; 0) và vuông góc với mp: x + 2y – 2z = b/ Đi qua điểm (2; –1; 1) và vuông góc với hai đường thằng: ⎧x + y +1 = ⎧2 x + y − = (d1): ⎨ ; (d2): ⎨ ⎩2 x − z = ⎩z = Baøi 12: Cho A(2; 3; 1), B(4; 1; –2), C(6; 3; 7) vaø D(–5; –4; 8) Vieát ptts, chính taéc vaø toång quaùt cuûa: a/ Đường thẳng BM, với M là trọng tâm ΔACD b/ Đường cao AH tứ diện ABCD ⎧6 x + y + z + = Bài 13: Viết ptct đ.thẳng d qua M(1; 4; –2) và ssong với đ.thẳng: ⎨ ⎩3 x − y − z − = ⎧x − 2z − = Bài 14: Viết ptts đt nằm mp(P): x + 3y – z + = và vuông góc với đt d: ⎨ taïi giao ⎩ y − 2z = điểm đường thẳng d và mp(P) Lop12.net (6) x y z +1 = = x +1 y + z − Bài 16: Lập p.trình đường thẳng qua điểm (–4; –5; 3) và cắt hai đường thẳng: ; = = −2 −1 x − y + z −1 = = −5 ⎧x + y − z + = x −1 y + z Bài 17: Lập ptts đt d qua điểm (0; 0; 1), v.góc với đt: = = vaø caét ñt: ⎨ ⎩x +1 = x +1 y −1 z − Baøi 18: Cho ñ.thaúng d: vaø mp(P): x – y- z – = = = a/ Tìm ptct đường thẳng d qua điểm M(1; 1; –2), song song với mp(P) và vuông góc với d b/ Goïi N = d ∩ (P) Tìm ñieåm K treân d cho KM = KN B/ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VAØ CÁC MẶT PHẲNG ⎧3 x + y − z + = Bài 1: Viết p.trình mặt phẳng qua điểm (3; –2; 1) và vuông góc với đường thẳng: ⎨ ⎩2 x − y + 3z + = Bài 2: Lập p.trình các giao tuyến mp: 5x – 7y + 2z – = với các mặt phẳng tọa độ Tìm giao điểm mặt phẳng đã cho với các trục tọa độ Baøi 3: Laäp phöông trình tham soá vaø toång quaùt cuûa ñöông thaúng d: a/ Đi qua điểm M(2; –3; –5) và ⊥ với mp(α): 6x – 3y – 5z + = b/ Đi qua điểm N(1; 4; –2) và // với các mp : 6x + 2y + 2z + = và 3x – 5y – 2z – = Bài 4: Lập phương trình tham số và tổng quát đường thẳng d: a/ Ñi qua hai ñieåm A(1; –2; 1), B(3; 1; –1) b/ Đi qua điểm M(1; –1; –3) và ⊥ với mp(α): 2x – 3y + 4z – = ⎧ x − y − 3z − = c/ Đi qua điểm C(2; 3; –1) và // với đt có p.trình: ⎨ ⎩ 2x + y − z + = Bài 15: Lập p.trình đường thẳng qua điểm (3; 2; 1), vuông góc và cắt đường thẳng: ⎧x − 2z − = Bài 5: Cho đường thẳng a có p.trình: ⎨ vaø mp(α) coù phöông trình: z + 3y – z + = ⎩ y − 2z = a/ Tìm giao ñieåm H cuûa a vaø mp(α) b/ Lập ptđt Δ nằm mp(α), qua điểm H và vuông góc với đường thẳng a ⎧ x + 2y − z − = Baøi 6: Cho ñt a: ⎨ vaø mp(α): 3x–2y + 3z + 16 = ⎩2 z − y + 3z + 13 = a/ Tìm giao điểm M đường thẳng a và mp(α) b/ Gọi ϕ là góc a và mp(α) Hãy tính sinϕ c/ Lập pttq đường thẳng a’, với a’ là hình chiếu vuông góc đường thẳng a trên mp(α) Baøi 7: Cho mp(α) coù p.trình: 6x + 2y + 2z + = vaø mp(β) coù p.trình: 3x – 5y – 2z – = a/ Hãy viết p.trình tham số đ.thẳng d qua điểm M(1; 4; 0) và song song với (α) và (β) b/ Lập phương trình mp(γ) chứa đường thẳng d và qua giao tuyến hai mp (α) và (β) c/ Lập p.trình mp(P) qua M và vuông góc với (α) và (β) Baøi 8: Cho mp(α) coù phöông trình: 2x – 3y + 3z – 17 = vaø hai ñieåm A(3; –4; 7), B(–5; –14; 17) a/ Viết p.trình tham số đ.thẳng d qua A và vuông góc với (α) b/ Hãy tìm trên α điểm M cho tổng các khoảng cách từ M đến A và B là bé ⎧ 2x − y + z − = Bài 9: Cho đường thẳng d có phương trình: ⎨ ⎩x + y − 2z − = a/ Hãy tìm giao điểm đường thẳng a với các mp tọa độ b/ Hãy tìm vectơ phương đường thẳng d c/ Gọi M là giao điểm đt a với mp(α) có pt: x + y – z + 12 = Hãy tính tọa độ M d/ Gọi ϕ là góc đường thẳng d và mpα nói trên Hãy tính sinϕ Bài 10: Trong mpOxyz cho hai đường thẳng Δ và Δ’ có p.trình: Lop12.net (7) ⎧ x = 3+ t ⎪ Δ : ⎨ y = −2 − t ⎪ z = 2t ⎩ ; x − y +5= ⎧ Δ’ : ⎨ ⎩ 2x − z − − = a/ Tìm vectơ chi phương đường thẳng và tính góc hai đường thẳng đó b/ Viết phương trình mp(α) chứa Δ và song song với Δ’ c/ Chứng minh Δ và Δ’ chéo Tính khoảng cách chúng ⎧ x+ y+ z−4=0 x − y −1 z − Bài 11: Viết phương trình mp chứa đường thẳng: ⎨ vaø ssong ñt : = = 2 ⎩2 x − y + z − = ⎧x = 1− t ⎧ x = 2−t ⎪ ⎪ Bài 12: Viết ptđt d nằm mặt phẳng: y + 2z = và cắt hai đường thẳng: ⎨ y = t ; ⎨ y = + 2t ⎪ z = 4t ⎪z = ⎩ ⎩ ⎧ x = 3t ⎪ Bài 13: Viết p.trình đ.thẳng song song với đường thẳng: ⎨ y = − t và cắt hai đường ⎪z = + t ⎩ ⎧ 2x − y − z + = x −1 y + z − thaúng: ⎨ ; = = ⎩x − y + 4z − = ⎧x + y + z −1 = x −1 y z − Bài 14: Viết ptđt d qua điểm (1;–1; 1) và cắt hai đường thẳng: ⎨ ; = = −1 ⎩ y + 2z − = Bài 15: Cho hai đường thẳng: x +1 y −1 z − x−2 y+2 z d: ; d’: = = = = −2 1 a/ CMR: d vaø d’ cheùo b/ Viết p.trình đường thẳng vuông góc chung d và d’ ⎧2kx + y − z + = Bài 16: Với giá trị nào k thì đường thẳng: ⎨ naèm mpOyz ⎩ x − ky + z − = ⎧x = t ⎪ Baøi 17: Cho ñt d1: ⎨ y = − 2t ; d2: ⎪ z = 14 − 3t ⎩ ⎧ x = − 4h ⎪ ⎨ y = + h ; d3: ⎪ z = + 5h ⎩ ⎧ x − 4y − = ⎨ ⎩5 x + z − 35 = a/ CMR: d1 vaø d2 cheùo b/ CMR: d1 và d3 cắt Tìm tọa độ giao điểm chúng c/ Tìm góc nhọn d1 và d2 d/ Tìm p.trình hai mp (P) // (P’) và qua d1 và d2 ⎧5 x − y + 3z − = Baøi 18: Cho ñt d: ⎨ vaø ba mp (P): x + y – z – = 0; (Q): 2x – 3y – z –10 = 0; ⎩ x + y + z + 15 = (R): x + y + 2z – = a/ CMR: d ⊥ (P), d ⊂ (Q), d // (R) x y z = = −1 −1 Bài 19: Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau; tìm tọa độ giao điểm; lập p.trình mp chứa hai đ.thẳng đó ⎧4 x − y − = x −1 y + z − ; d2: ⎨ a/ d1: = = ⎩ 3x − z + = b/ Tìm ptđt qua điểm chung (P), (Q), (R) và đồng thời cắt d và cắt đường thẳng: ⎧x − y − z − = b/ d1: ⎨ ; ⎩ 3x − y − 11 = ⎧x + y − z −1 = d2: ⎨ ⎩ x + y +1 = Lop12.net (8) ⎧ x = 2t − ⎪ c/ d1: ⎨ y = 3t − ; ⎪ z = 4t + ⎩ ⎧x = + t ⎪ d2: ⎨ y = −1 − 4t ⎪ z = 20 + t ⎩ Bài 20: Chứng minh hai đường thẳng d1và d2 chéo Lập ptđt d vuông góc và cắt hai đường thẳng đó ⎧x + 3y − = ⎧x − y − z = a/ d1: ⎨ ; d2: ⎨ ⎩ y − z −1 = ⎩ 2x + z = x−7 y −3 z −9 x − y −1 z −1 b/ d1: ; d2: = = = = −1 −7 x t = + ⎧ ⎧x + y − z + = ⎪ c/ d1: ⎨ ; d2: ⎨ y = −2 + t ⎩ 2x − y +1 = ⎪ z = 3−t ⎩ ⎧ x = + 2t ⎧ x = 2t ⎪ ⎪ d/ d1: ⎨ y = − 2t ; d2: ⎨ y = − 4t ⎪ z = −t ⎪ z=4 ⎩ ⎩ x + y − z + =0 ⎧ Baøi 21: Cho ñt d: ⎨ vaø mp(P): 2x – y + 4z + = ⎩2 x + y − z + = a/ CMR: d caét (P) Tìm giao ñieåm A cuûa chuùng b/ Viết p.trình mp(Q) qua d và vuông góc với (P) c/ Viết p.trình tham số giao tuyến (P) và (Q) d/ Viết p.trình đ.thẳng d’ qua A, vuông góc với d và nằm (P) C/ KHOẢNG CÁCH Bài 1: Tìm khoảng cách: a/ Từ điểm A(3; –6; 7) đến mp(β): 4x – 3z –1 = b/ Giữa mp(α): 2x – 2y + z – = và mp(β) :2x – 2y + z + = c/ Từ điểm M(4; 3; 0) đến m.phẳng xác định ba điểm A(1; 3; 0), B(4; –1; 2) và C(3; 0; 1) → d/ Từ gốc tọa độ đến mp(β) qua P(2; 1; –1) và nhận n = (1; −2;3) làm pháp véc tơ Bài 2: Tìm khoảng cách từ điểm P(2,3,-1) đến: ⎧ x = + 3t ⎪ a/ Đường thẳng a có phương trình : ⎨ y = 2t ⎪z = −25 − 2t ⎩ ⎧ 2x − y + z = = b/ Đường thẳng b có phương trình: ⎨ ⎩3x − y + z + 17 = Bài 3: Tính khoảng cách từ M(1; –1; 2), N(3; 4; 1); P(–1; 4; 3) đến mp(Q): x + 2y + 2z – 10 = Bài 4: Tìm tập hợp các điểm cách hai mặt phẳng: (P): 2x – y + 4z + = (Q): 3x + 5y – z – = Bài 5: Tính khoảng cách hai mp (P): Ax + By + Cz + D = và (Q): A’x + B’y + C’z + D’ = 0; đó A =A’, B = B’, C =C’, D ≠ D’ Bài 6: Trên trục Oz tìm điểm cách điểm (2; 3; 4) và mặt phẳng (P): 2x + 3y + z – 17 = Bài 7: Trên trục Oy tìm điểm cách hai mp (P): x + y – z + = và (Q): x – y + z – = x + y −1 z +1 Bài 8: Tính khoảng cánh từ các điểm M(2; 3; 1) và N(1; –1; 1) đến đường thẳng d: = = −2 ⎧x + y − 2z −1 = Bài 9: Tính k/cách từ điểm M(2; 3; –1) đến đt d: ⎨ ⎩x + 3y + 2z + = Bài 10: Tính khoảng cách các cặp đường thẳng sau: x −1 y + z − x + y + z +1 a/ ; = = = = −2 −4 −2 Lop12.net (9) ⎧2 x − z − = ⎧3x + y − = b/ ⎨ ; ⎨ ⎩− x − y + = ⎩3 y − z − = ⎧x = 1+ t ⎧ x = − 3t ⎪ ⎪ c/ ⎨ y = −1 − t ; ⎨ y = −2 + 3t ⎪z = ⎪ z = 3t ⎩ ⎩ Bài 11: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song: (P): x + y – z + = 0; (Q): 2x + 2y - 2z + = Bài 12: Tính khoảng cách hai đường thẳng song song: ⎧ x = − 2t ⎪ d1: – x = y – = z; d2: ⎨ y = + 2t ⎪ z = −1 + 2t ⎩ Bài 13: Tính khoảng cách đường thẳng d song song với mp(P): ⎧2 x + y + z − 10 = d: ⎨ ; (P): y + 4z + 17 = ⎩x + y + z + = Bài 14: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: ⎧x − y − z − = ⎧2 y + z − = d: ⎨ ; d’: ⎨ ⎩x − 3y + = ⎩4 x − y + z − = ⎧2 x − y − = ⎧2 x − y + = Baøi 15: Cho hai ñ.thaúng d: ⎨ vaø d’: ⎨ ⎩ x + 3z + = ⎩ y + 2z +1 = a/ CMR: d // d’ Tính khoảng cách d và d’ b/ Viết p.trình mặt phẳng (P) chứa d và d’ c/ Tính khoảng cách từ điểm (2; 3; 2) đến (P) Baøi 16: Cho ba ñieåm A(1; –2; 1), B(–1; 1; 2) vaø C(2; 1; –2) vaø maët phaúng (P): x + 2y – 2z + = a/ Tìm ñieåm M thuoäc (P) cho MA + MB nhoû nhaát b/ Tìm ñieåm N thuoäc (P) cho NA + NC nhoû nhaát x +1 y − z − Bài 17: Cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình: = = −2 a/ CMR: hai đường thẳng AB và d cùng nằm mặt phẳng b/ Tìm ñieåm I treân d cho IA + IB nhoû nhaát ⎧x + y = ⎧x + y −1 = Bài 18: Cho hai đường thẳng d: ⎨ ; d’: ⎨ ⎩y + z − = ⎩x − y + z + = a/ CMR: d vaø d’ cheùo b/ Tính khoảng cách d và d’ c/ Tìm p.trình cuûa ñ.thaúng qua I(2;3;1) vaø caét caû hai ñ.thaúng d vaø d’ x + y −1 z − Bài 19: Tìm góc tạo đường thẳng: với các trục tọa độ = = 1 Bài 20: Tìm góc tạo các cặp đường thẳng sau: ⎧ x = + 2t ⎧x = − t ⎪ ⎪ a/ ⎨ y = −1 + t ; ⎨ y = −1 + 3t ⎪ z = + 4t ⎪ z = + 2t ⎩ ⎩ ⎧x + y − z −1 = x −1 y + z + ; = = ⎨ ⎩2 x + 3z − = ⎧2 x − y + 3z − = ⎧x − 3y + z − = c/ ⎨ ; ⎨ ⎩x + y + z = ⎩2 x − y + z + = Bài 21: Tính góc tạo các cặp cạnh đối tứ diện có các đỉnh: A(3; –1; 0), B(0; –7; 3), C(–2; 1; –1) vaø D(3; 2; 6) Bài 22: Tính góc đường thẳng d và mặt phẳng (P) biết: b/ Lop12.net (10) x + y −1 z − ; (P): x + y – z + = = = −2 ⎧ x = + 2t ⎪ b/ ⎨ y = −1 + 3t ; (P): 2x – y + 2z – = ⎪z = − t ⎩ ⎧2 x − y + 3z − = c/ ⎨ ; (P): 3x – y + z – = ⎩x − y − z + = a/ d: Baøi 23: Tìm hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm M(1; –1; 2) treân maët phaúng (P): 2x – y + 2z + 12 = Bài 24: Tìm điểm đối xứng điểm M(2; –3; 1) qua mặt phẳng (P): x + 3y – z + = ⎧ x = − 2t ⎧x = t ⎪ ⎪ Bài 25: Lập ptđt vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxz và cắt hai đt: ⎨ y = −4 + t và ⎨ y = −3 + t ⎪z = − t ⎪ z = − 5t ⎩ ⎩ ⎧ x = + 2t ⎪ Bài 26: Tìm điểm đ.xứng điểm M(2; –1; 1) qua đt: ⎨ y = −1 − t ⎪ z = 2t ⎩ x −1 y + z Bài 27: Viết ptđt qua điểm M(0; 1; 1), vuông góc với đt: = = vaø caét ñt: ⎧x + y − z + = ⎨ ⎩x +1 = E/ HÌNH CHIEÁU Baøi 1: Cho hai ñieåm M(1;1;1), N(3;–2; 5) vaø mp(P): x + y –2z –6 = a/ Tính khoảng cách từ N đến mp(P) b/ Tìm hình chieáu vuoâng goùc cuûa M treân mp(P) c/ Tìm p.trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñ.thaúng MN treân mp(P) Baøi 2: Tìm p.trình hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñ.thaúng treân m.phaúng: x − y + z −1 a/ d: ; (P): x + 2y + 3z + = = = ⎧2 x − y − = b/ ⎨ ; (P): x + 2y + z – = ⎩3x − z − = ⎧2 x + y − z + = Baøi 3: Cho ñieåm M(–1; –1; –1) vaø ñ.thaúng d: ⎨ Gọi H, K là hình chiếu vuông góc ⎩x − y + z −1 = cuûa M treân d vaø treân maët phaúng (P): x + 2y – z + = Tính HK Bài 4: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(–1; 2;3), B(0; 4;4), C(2; 0; 3) và D(5; 5; –4) a/ Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc D trên mp(ABC) b/ Tính thể tích tứ diện Bài 5: Cho3điểm A(–1; 2; 3), B(–2; 1; 1) và C(5; 0; 0) Tìm tọa độ hchiếu vuông góc C’ C trên đt: AB ⎧x = t ⎧x = h ⎪ ⎪ Bài 6: Cho hai đường thẳng d: ⎨ y = + t và d’: ⎨ y = −6 + 3h ⎪ z = −1 + h ⎪ z = + 2t ⎩ ⎩ a/ Tìm phương trình đường vuông góc chung d và d’ b/ Gọi K là hình chiếu điểm I(1; –1; 1) trên d’ Tìm ptts đt qua K, vgóc với d và cắt d’ Bài 7: Mp(P): x + 2y + 3z – = cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz A, B, C a/ Tìm tọa độ trực tâm, tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC b/ Tìm p.trình chính tắc trục đường tròn (ABC) ⎧ x − z + 23 = ⎧x − 2z − = Baøi 8: Cho hai ñ.thaúng d1: ⎨ vaø d2: ⎨ ⎩ y − z + 10 = ⎩ y + 2z + = a/ Viết p.trình các mp(P), (Q) // với và qua d1, d2 b/ Tính khoảng cách d1 và d2 c/ Viết p.trình đ.thẳng d song song với trục Oz và cắt d1, d2 10 Lop12.net (11) IV/ MAËT CAÀU A/ Phöông trình cuûa maët caàu Baøi 1: Tìm taâm vaø baùn kính maët caàu coù phöông trình: a/ x2 + y2 + z2 – 8x + 2y + = b/ x2 + y2 + z2 +4x + 8y – 2z – = c/ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 6x – 3y + 15z – = d/ x2 + y2 + z2 – 2mx – 4y + 2mz + = e/ x2 + y2 + z2 – 2mx + my + 3z – = Baøi 2: Laäp phöông trình maët caàu (S) bieát: a/ Coù taâm I(2; 1; –2) vaø qua A(3; 2; –1) b/ Có đường kính AB, với A(6; 2; –5) và B(–4; 0; 7) c/ Có tâm I(–2; 1; 1) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y – 2z + = d/ Qua ba ñieåm A(1; 2; –4), B(1; –3; 1), C(2; 2; 3) vaø coù taâm naèm treân mpOxy e/ Qua hai điểm A(1; –2; –4), B(0; 3; 0) và tiếp xúc với các mặt phẳng (P): x = 3; (Q): y = f/ Có tâm I(6; 3; –4) và tiếp xúc với Oy g/ Ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1) x −1 y z − h/ Có tâm I(3; –5; –2) và tiếp xúc với đ.thẳng d: = = −1 ⎧ x = −2 i/ Coù taâm naèm treân ñt d: ⎨ và tiếp xúc với hai mp: (P): x – 2z – = 0; (Q): 2x – z + = ⎩y = j/ Qua ba ñieåm A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) vaø coù taâm naèm treân mpOyz Baøi 3: Cho S(–3;1;–4), A(–3;1; 0), B(1; 3; 0), C(3;–1; 0), D(–3;–3;0) a/ CMR: ABCD laø hình vuoâng vaø SA laø ñ/cao cuûa h/choùp S.ABCD b/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD ⎧x = + t ⎧x = ⎪ ⎪ Bài 4: Cho hai đ.thẳng d: ⎨ y = − t và d’: ⎨ y = + 2h Lập p.trình mặt cầu nhận đoạn vuông góc chung ⎪z = ⎪z = h ⎩ ⎩ d và d’ làm đường kính Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) qua các đường tròn sau: ⎧ x2 + y = ⎧ x + y = 25 vaø (C2): ⎨ (C1): ⎨ ⎩z = ⎩z = ⎧( x − 1)2 + ( y − 2)2 + ( z + 2) = 49 Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) qua gốc tọa độ và đường tròn (C): ⎨ ⎩2 x + y − z − = Baøi 7: Laäp p.trình mc (S) ñi qua M(1; 1; 1) vaø qua ñtroøn laø giao tuyeán cuûa hai mc: (S1): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – = vaø (S2): x2 + y2 + z2 + 4x – 2z – 11 = B/ Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu Bài 1: Xét vị trí tương đối hai mặt cầu (S) và mp(P): a/ (S): x2 + y2 + z2 –6x –2y + 4z + = 0; (P): x + 2y + z – = 2 b/ (S): x + y + z –6x +2y –2z + 10 = 0; (P): x + 2y –2z + = c/ (S): x2 + y2 + z2 +4x + 8y –2z – = 0; (P): x + y + z – 10 = 2 d/ (S): x + y + z – x – 2z + = 0; (P): 4x + 3y + m = e/ (S): (x – 1)2 + y2 + (z – 2)2 = 4; (P): 2x + y – z + m = Baøi 2: Cho maët phaúng (P): 2x – 2y – z + = vaø maët caàu (S): (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 a/ Lập p.trình đ.thẳng qua tâm mặt cầu (S) và vuông góc với mp(P) b/ CMR: mp(P) caét maët caàu (S) c/ Viết p.trình đường tròn (C) là giao tuyến (S) và (P) Tìm tâm và bán kính đường tròn đó Bài 3: Tìm tâm và bán kính các đường tròn sau: 11 Lop12.net (12) ⎧ x + y + z − x + y − z + 10 = a/ ⎨ ⎩x + y − 2z +1 = ⎧ x + y + z − 12 x + y − z + 24 = b/ ⎨ ⎩2 x + y + z + = Baøi 4: Laäp phöông trình tieáp dieän cuûa maët caàu: a/ x2 + y2 + z2 – 6x – 2y + 4z + = taïi ñieåm M(4; 3; 0) b/ (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c2)2 = R2 mà tiếp diện song song với mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = Baøi 5: Cho mp(P): x + 2y + 2z + = vaø maët caàu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 4z = Tìm p.trình các mp song song với mp(P) và tiếp xúc với mặt cầu (S) Baøi 6: Cho hai ñieåm A(–1; –3; 1), B(–3; 1; 5) a/ Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB b/ Viết phương trình các tiếp diện mặt cầu mà chứa trục Ox Baøi 7: Laäp p.trình tieáp dieän cuûa (S): x2 + y2 + z2 + 2x – 4y –6z +5 = 0: a/ Tieáp dieän ñi qua ñieåm M(1; 1; 1) ⎧2 x − y − = b/ Tiếp diện qua đường thẳng d: ⎨ ⎩ z −1 = x y −1 z c/ Tiếp diện song song với đường thẳng d’: = = −4 ⎧x − y − z − = d/ Tiếp diện vuông góc với đường thẳng d”: ⎨ ⎩2 x − y + z − = C/ Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu Bài 1: Xét vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu: x y −1 z − a/ (S): x2 + y2 + z2 –2x + 4z + = 0; d: = = −1 2 x + y − z − =0 ⎧ b/ (S): (x – 1)2 + (y – 2)2 + z2 = 16; d: ⎨ ⎩x − 2z − = c/ (S): x2 + y2 + z2 –2x –4y + 2z – = 0; ⎧ x = −2 − t ⎪ d: ⎨ y = t ⎪ ⎩ z = − 3t ⎧ x = −5 + 3t ⎪ Baøi 2: Cho mc(S): (x+2) + (y–1) + (z +5) = 49 vaø d: ⎨ y = −11 + 5t ⎪ z = − 4t ⎩ 2 a/ Tìm giao ñieåm cuûa d vaø maët caàu (S) b/ Tìm p.trình các m.phẳng tiếp xúc với (S) các giao điểm trên ⎧x = ⎪ 2 Baøi 3: Cho mc(S): (x+2) + (y–1) + z = 26 vaø ñ.thaúng d: ⎨ y = −1 − 3t ⎪ z = −4 + 5t ⎩ a/ Tìm giao điểm A, B d và mc(S) Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng d b/ Tìm p.trình các mặt phẳng tiếp xúc với (S) A và B Baøi 4: Cho maët caàu (S) coù taâm I(2; 1; 3) vaø baùn kính R = a/ Chứng minh T(0; 0; 5) thuộc mặt cầu (S) b/ Lập p.trìnhurtiếp tuến (S) T biết tiếp tuyến đó: i/ Coù VTCP u = (1; 2; 2) ii/ Vuông góc với mp(P): 3x – 2y + 3z – = ⎧ x − y + 3z − = iii/ Song song với đường thẳng d: ⎨ ⎩x + y − z = 12 Lop12.net (13) Baøi 5: Vieát pttt cuûa m/caàu (S): x2 + y2 +urz2 –2x –4y + 2z – = thoûa: a/ Qua A(–4; 3; 0) vaø coù VTCP u = (4; 1; 1) x y −1 z b/ Qua A(–2; 1; 3) và vuông góc với đ.thẳng d: = = −2 13 Lop12.net (14)