Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 2 ; a AD a .Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của AB; SC tạo với đáy một góc bằng 45 .Tính [r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HĨA BÀI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN I Lý thuyết cần nhớ
1 Cách chọn gốc tọa độ
Ưu điểm:Khi ta chọn tọa độ điểm cần áp dụng kiến thức hình giải tích khoảng cách, góc, chứng minh vng góc…Tuy nhiên, với số Em học sinh việc tính tọa độ vấn đề? Về ngun tắc Em chọn gốc tọa độ nằm chổ nào, chọn chổ việc tính tọa độ thuận lợi nhất? Sai lầm khơng người dẫn đến việc tính tọa độ điểm phức tạp thấy chân đường cao hình chóp chọn làm gốc tọa độ Trong số trường hợp Em chọn dẫn đến việc tính tọa độ khó khăn dễ bị chán nản Để thuận lợi cho việc tính tọa độ Em nhớ nguyên tắc sau 2.Nguyên tắc chọn gốc tọa độ
+Vẽ hình thực đa giác đáy bên cạnh
+Ưu tiên chọn gốc tọa độ góc vng đa giác đáy ưu tiên chân đường cao Tất nhiên chân đường cao mà trùng gốc vuông đáy ta chọn gốc tọa điểm ln tốt + Nhìn vào hình thực để tính tọa độ điểm mặt phẳng đáy trước Sau tính điểm phát sinh đỉnh
+ Cứ quan tâm vào việc chọn trục Ox Oy; đáy, sau gắn trụcOz vào xong Chẳng hạn ta có số trường hợp chọn gốc tọa độ sau:
1 Đáy hình vng Chọn tọa độ đỉnh
2 Đáy hình chữ nhật
3 Hình thoi Chọn góc tọa độ tâm I hình thoi y
x D A
B C
x y
D
B C
A
x y
C I
A
(2)4 Hình thang vng
Chọn góc tọa độ gốc vng
5 Tam giác vng Chọn góc tọa độ gốc vng
6 Tam giác Góc tọa độ trung điểm H cạnh tam giác
7 Tam giác cân Góc tọa độ trung điểm H cạnh đáy
8 Hình bình hành Kẻ thêm đường cao BH góc tọa độ H
y
x
B C
A D
x y
C B
A
y
y H
B
A C
y
y H
B
A C
y x
H D
B C
(3)II Một số yêu cầu thường gặp
1 Chứng minh quan hệ song song,vng góc 2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cho điểm M x y z 0; 0; 0 mặt phẳng
P :AxBy Cz D Khi đó:
0
2 2
;
Ax By Cz D d M P
A B C
3 Khoảng cách hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng điểm d1;d2có hai vectơ phương ;a b Các điểm A B thuộc 1;d2
d Khi đó:
2
; ;d
;
a b AB d d
a b
4 Góc hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng điểm d1;d2có hai vectơ phương ;a b.Khi đó:
2
cos ; d
a b
d
a b III Bài tập mẫu
Chú ý: Các ví dụ đây, Thầy sử dụng phương pháp tọa độ để giúp Em giải triệt để ý sau tốn hình khơng gian thơi Ý vẩn tính bình thường theo hình khơng gian túy nhé!
Ví dụ 1.(Trích đề THPT Quốc Gia -2016) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng cân B; AC= 2a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AC; đường thẳng A’B tạo với mặt phẳng (ABC) góc45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ chứng minhg A’B vng góc B’C
Giải
P
d(M;(P))
M
d1
d2 a
b B A
y
2a
B C
45
x
z B'
C'
H
A B
(4)+ TínhVABC A B C ' ' '
Gọi H trung điểm AC, ta có A H' ABC A'BH 45 Tam giác ABC vuông cân B AC=2a nên ta tính được: BH a vàAB BC a Suy ra: 2
2
ABC
S a a a Tam giác A’HB
vuông H A'BH 45 có nên tam giác A’HB vng cân H Suy A H BH a' Do :
' ' ' '
ABC A B C ABC
V A H S a a a
+ Chứng minh A B B' 'C
Dựng hệ trục tọa độ Bxyz hình vẽ, Bz AH A Bx C By/ / ; ; Ta có:
0;0;0 ; 2;0;0 ; 0; 2;0 ; a22;a22;0 ; ' a22;a22;
B A a C a H A a
Ta có:
2
' ' ' ; ;
2
a a
BB AA B a và
2 2
' ; ; ; ' ; ;
2 2
a a a a
BA a CB a
Ta có : ' ' 2 2 0 ' '
2 2
a a a a
CB BA a a A B B C
Bình luận: Nhìn dài dịng, quen Em tính tọa độ nhanh Trong phần ta tính điểm nằm trục tọa độ trước Sau tính điểm xung quanh, dựa vào đặc điểm tạo chúng Ví dụ: tính tọa độ điểm A C áp dụng tính chất trung điểm Em có tọa độ điểm H Tung độ hoành độ H tung độ hoành độ A’ cần thêm độ cao A’H ta có tọa độ điểm A’ Các tứ giác bên hình hình bình hành nên
2
' ' ' ; ;
2
a a
BB AA B a
Ví dụ (Trích đề THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh
a SA vng góc mặt phẳng(ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) bằng45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB,AC Phân tích:
Đề cho SA(ABCD)và ABCD hình vng q tốt Ta chọn A làm góc tọa độ ln Giải
45
a z
y
x D
B
A
C S
a
a
a y
x B A
(5)Giải + TínhVS ABCD.
Ta có: SC ABCD; SCA45 ABCD hình vng cạch a suy raSA AC a
2
13 13 23
S ABCD ABCD a
V SA S a a
+ Tính d AC SB ;
Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Ta có:A0;0;0 ;B ;0;0 ; a C a a; ;0 ; 0;0; S a 2 Đường thẳng AC có vectơ phương ACa a; ;0cùng phương u1;1;0
Đường thẳng SB có vectơ phương SB a;0;a 2cùng phương v 1;0; 2
u v; 2; 2; ;AB a;0;0
Vậy:
; 10
;
5 ;
u v AB a
d SB AC
u v
Ví dụ (Trích KA -2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; 3 2a
SD
;hình chiếu vng góc S (ABCD) trung điểm cạnh AB Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD)
Giải
z
x
y
a 3a
2
H
D
C A
B S
a
a
a y
x B A
(6)60
y x
z
C'
B'
H A
C
B A'
+ TínhVS ABCD.
Gọi H trung điểm AB, ta có AH ABCD Tam giác ADH vuông A nên:
2 2
4
a a
HD AD AH a Tam giác SHD vuông H nên :
2 5
4a 4a
SH SD HD a Khi :
2
13 13 3
S ABCD ABCD a
V SH S a a
+ Tính d A SBD ;
Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ, Az/ / SH Ta có:
0;0;0 ;B ;0;0 ; ;0;0 ; ;0; ; 0; ;0
2
a a
A a H S a D a
Ta có BD a a; ;0 phương u 1;1;0; ;0; 2a
BS a phương v 1;0;2 Mặt phẳng (SBD) qua điểm B có vectơ pháp tuyến nu v; 2;2;1có phương trình:
SBD: 2x2y z 2a0 Vậy: A; 2 3a
d SBD
Ví dụ 4.(Trích KB -2014) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB; đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABC) góc60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ điểm B đến (ACC’A’)
Giải
y
x H
C
(7)+ TínhVABC A B C ' ' '
Gọi H trung điểm AC, ta có A H' ABC A'BH 60 Tam giácABC cạnh a H trung điểm AB nên
2 a
CH
2 3
4
ABC a
S Tam giác A’HC vuông H nên ' tan60
2a
A H CH
Do : ' ' ' ' 3 3 3
2
ABC A B C ABC a a a
V A H S
+ Tính dB;ACC A' '
Dựng hệ trục tọa độ Hxyz hình vẽ Ta có:
3
0;0;0 ; ;0;0 ;B ;0;0 ; 0; ;0 ; ' 0;0;
2 2
a a a a
H A C A
Ta có ' ;0;3 2a 2a
AA phương u 1;0;3;
3 ; ;0 2a a2
AC phương v 1; 3;0 Mặt phẳng ACC A' ' qua điểm A có vectơ pháp tuyến nv u; 3 3;3; 3có phương trình:
' ' : 3 3 3 0 2a
ACC A x y z Vậy: B; ' '3 13
13a
d ACC A
Bình luận: Trong tốn để viết phương trình mặt phẳng ACC A' 'ta cần tìm ba điểm thuộc mặt phẳng ACC A' 'là Như tiết kiệm thời gian
Ví dụ (Trích KD -2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân A; mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA; BC
Giải
+ TínhVS ABCD.
Gọi H trung điểm BC, tam giác SBC nên ta có
SH BC MàSBC ABC, SHABC x
y
z
H B
A
C S
y
x a
H
B A
(8)Tam giác SBC cạnh a nên
2 a
SH
Tam giác ABC vng cân A BC=a,ta tính
2 a
AB AC
Khi đó: . 1 1 3.1 2 3
3 2 2 24
S ABCD ABC a a a a
V SH S
+ Tính d SA BC ;
Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ, với Az SH/ / Ta có:
0;0;0 ;B a22;0;0 ;C 0; a22;0 ; a42;a42;0 ; a42;a42;a23
A H S
Ta có
2; 2;
4
a a a
AS phương u 2; 2;2 3;
2; 2;0
2
a a
BC
cùng phương v1; 1;0 Ta có
2 ; 3;2 3; 2 ; ;0;0
2
a
u v AB
Vậy:
6
; 3
;
4
; 32
a
u v AB a
d SA BC
u v
Ví dụ (Trích KA -2013) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông A; ABC30 mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vng góc đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)
Giải
+ TínhVS ABCD.
Gọi H trung điểm BC, tam giác SBC nên ta có
SH BC MàSBC ABCvà SBC ABCBC ,do SHABC x
y
z
H B
A
C S
x a
y
30°
H A
C
(9)Tam giác SBC cạnh a nên
2 a
SH Tam giác ABC vng A ABC30 , ta có:
sin60 3; sin30
2
a a
AC BC AB BC
Khi đó: . 1 1 3.1 3
3 2 2 16
S ABCD ABC a a a a
V SH S
+ Tính dC;SAB
Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ, với Az SH/ / Ta có:
0;0;0 ;B a23;0;0 ;C 0; ;0 ; a2 a4 43; ;0 ;a a4 23; ;a a 3
A H S
Ta có
23 ;0;0
a
AB phương u1;0;0;
3; ; 4
a a a
AS phương v 3;1;2 3 Ta có u v; 0; 3;1 , mặt phẳng SAB qua điểm A có vectơ pháp tuyến n0;2 3; 1 có phương trình:SAB: 3y z 0 Vậy: C; 3 39
13 a
d SAB
Ví dụ (Trích KB -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc đáy Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Giải
+ TínhVS ABCD.
Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cạnh a nên ta có SH AB
2 a
SH
MàSAB ABCDvà SAB ABCDAB ,do SHABC
z
x
y
a
H
D
C A
B S
a
a y
x H
B A
(10)Vậy:
13 13 2 36
S ABCD ABCD a a
V SH S a
+ Tính dA;SDC
Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ, với Az SH/ / Ta có:
3 0;0;0 ;B ;0;0 ;C ; ;0 ;D 0; ;0 ; ;0;0 ; ;0;
2a 2a a2
A a a a a H S
Ta có DCa;0;0 phương u1;0;0;
3 ; ;
2
a a
DS a phương v1; 2; 3 Mặt phẳng SDC qua điểm D có vectơ pháp tuyến nv u; 0; 3;2có phương trình:
SDC: 3y2z 3a0 Vậy: A; 21 7a
d SDC
Ví dụ (Trích KD -2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a; cạnh bên SA
vng góc với đáy; BAD120 ; M trung điểm cạnh BC vàSMA45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC)
Giải
+ TínhVS ABCD.
120 60
BAD BAC ABCđều
2 ABCD
a a
AM S SAMvuông A
45
SMA SAMvuông cân A
a
SA AM
Vậy:
2
13 13 2 23 4
S ABCD ABCD a a a
V SA S
+ Tính dD;SBC
z
y
x
120°
M I
D
B
A
C S
a
a a
x
y
120°
I M
D B
A
(11)Gọi I tâm hình thoi Ta tính ;
2
a a
AI CI IB ID Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ, với Iz SA/ /
Ta có:
3 3
0;0;0 ;A ;0;0 ;C ;0;0 ;B 0; ;0 ;D 0; ;0 ; ;0;
2a 2a a2 a2 2a a2
I S
Ta có
3 ; ;0 2
a a
BC phương u1; 3;0;
3 ; ; 2a a2 a2
BS phương
1; 3;
v Mặt phẳng SBC qua điểm C có vectơ pháp tuyến nu v; 3; 3;2 3có phương trình: : 2 3 0
2a
SBC x y z Vậy: D;
a
d SBC
Ví dụ (Trích KA -2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB choHA2HB Góc SC mặt phẳng (ABC) 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC
Giải
+ TínhVS ABCD.
Gọi I trung điểm AB, tam giác ABC nên ta có ;
a
CI AB CI ;
6a
IH
Góc SC phẳng (ABC) góc SCH, suy raSCH60 Ta có:
2 7; .tan60 21
3
a a
HC IC IH SH CH Do đó:
13 13 321 43 127
S ABCD ABC a a a
V SH S
60
B x
y z
I H A
C S
y
x
60°
I C
B
(12)+ Tính d SA BC ; .Chọn hệ trục tọa độ Ixyz hình vẽ, với Iz SH/ / Ta có:
3 21
0;0;0 ;A ;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ; ;0;0 ; ;0;
2 2 6
a a a a a a
I H S
Ta có
2 ;0; 21 3a a
AS phương u2;0; 21;
3 ; ;0 2a a2
BC
cùng phương v 1; 3;0 Ta có u v; 63; 21;2 ; ABa;0;0 Vậy:
; 42
;
8 ;
u v AB a
d SA BC
u v
Ví dụ 10 (Trích KB -2012) Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA2 ;a AB a Gọi H hình chiếu vng góc SA cạnh SC Chứng minh SC vng góc mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a
Phân tích:Để chứng minh SC vng góc mặt phẳng (ABH) ta cần chứng minh SC vng góc với cạnh mặt phẳng (ABH) Muốn vậy, cần tìm tọa độ điểm sử dụng tích vơ hướng để chứng minh vng góc.Bài làm theo cách trực tiếp nhanh Tất nhiên phương pháp nhanh hay chậm phụ thuộc vào tốn cụ thể Có thể ta thấy phương pháp tọa độ dài dịng, nhiên có ta thấy phương pháp hiệu Tóm lại tùy vào toán,mỗi phương pháp thể ưu khuyết điểm Các Em quan tâm tham khảo tài liệu “Chuyên đề hình khơng gian” Thầy biên soạn theo cách giải hình học khơng gian túy
Giải
+ Chứng minh SCABH
Gọi I trung điểm AB; G trọng tâm ABC Ta cóSGABC ; 3;GC
2
a a
CI AB CI
B x
y z
G I
A
C S
H
B x
a y
x
60°
G
I C
(13)SGC vuông tai G, nên 2 33
3 a
SG SC GC Chọn hệ trục tọa độ Ixyz hình vẽ, với Iz SG/ /
Ta có:
3 3 33
0;0;0 ;A ;0;0 ;B ;0;0 ;C 0; ;0 ;G 0; ;0 ; 0; ;
2a 2a a2 a6 a6 a
I S
Ta có
3 33 ;0;0 ; 0; ;
3
a a
AB a SC Khi đó, AB SC 0 SC AB
MàSC AH , SCABH + Tính VS ABH.
Mặt phẳng (ABH) qua I có vectơ pháp tuyến
3 33 0; ;
3
a a
SC phương n0;1; 11 Ta có phương trình ABH y: 11z0
Khi đó: ;
4a
SH d S ABH . 1 1 33 3 11
3 3 12
S ABC ABC a a a
V SG S
Mà
3
7 7. 11
8 96
S ABH
S ABH S ABC S ABC
V SH V V a
V SC
Ví dụ 11.(Trích KD -2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng;tam giác A’AC
A’C=a Tính theo a thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) Giải
+ TínhVABB C' '
Tam giác A’AC vuông cân A ' ' AC
2
a
A C a AA Do
2 a
AB AD
Khi đó: ' ' 1 ' ' 1 .1
3 2 2 48
ABB C BB C a a a a
V AB S
+ Tính d A BCD ; '
z
y
x
D'
C' A'
C A
D
B B'
y
x B A
(14)Dựng hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ Ta có:
2 0;0;0 ;B ;0;0 ; ; ;0 ;D 0; ;0 ; ' 0; ;
2 2 2
a a a a a a
A C D
Ta có 0; ;0
a
BC phương u0;1;0;
2 ' ; ;
2 2a a a
BD phương v 1;1; 2 Mặt phẳng BCD' qua điểm B có vectơ pháp tuyến nu v; 2;0;1có phương trình:
' : 2 0
a
BCD x z Vậy: A; ' 6a
d BCD
Ví dụ 12 (Trích KA -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân B;
2
AB BC a; hai mặt mặt (SAB) (SAC) vuông góc mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng chứa SM song song BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.BCMN khoảng hai đường thẳng AB SN
Phân tích:Bài Em cần nhớ cách xây dựng mặt phẳng
/ /
/ /
SMN BC
MN BC
SMN ABC MN
Khi N trung điểm AC
Giải
+ TínhVS.MNCB
Do mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc mặt phẳng (ABC) suy SAABC Ta có:
BC SA BC SAB BC SB
BC AB , SBA góc SB mặt phẳng (ABC) suy
60 tan60 2
SBA SA AB a
y x
z
60°
N
M A
B
C
S y
x N
M A
(15)Ta có:
/ /
/ /
SMN BC
MN BC N
SMN ABC MN trung điểm AC; MN BC2 a BM; AB2 a
Diện tích:
3
2
MNCB a
S MB MN BC Vậy:
2
.MNCB 13 13.2 3.32
S MNCB a
V SA S a a
+ Tính d AB SN ;
Chọn hệ trục tọa độ Bxyz hình vẽ, với Bz SA/ / Ta có:
2 ;0;0 ;B 0;0;0 ;C 0;2 ;0 ; ; ;0 ; ;0;2 3
A a a N a a S a a
Ta có BA2 ;0;0a phương u1;0;0; NSa a a; ;2 3 phương v1; 1;2 3 ;
u v; 0; 3; ;BN a a; ;0
Khi đó:
2
; 2 39
AB;
13
; 13
a
u v BN a
d SN
u v
Ví dụ 13.(Trích KB -2011) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1có đáy ABCD hình chữ nhật;
;
AB a AD a Hình chiếu vng góc A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ADD A1 1 mặt phẳng (ABCD) 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D 1 1 1và khoảng cách từ điểm B1đến mặt phẳng A BD1
Giải
+ Tính
1 1
ABCD A B C D
V
Gọi I giao điểm AC BD A I1 ABCD; gọi E trung điểm ADIE AD y
x
z
I E
C1 B1
D1 A1
D
C A
B
y x
a a
a
a
E I
D C B
(16)Suy
1
AD IE
AD A IE AD A E
AD A I Do A EI1 góc hai mặt phẳng ADD A1 1 mặt phẳng (ABCD) 1 60 1 tan60 3
2 a2
AB
A EI A I IE
Diện tích đáy: SABCD a a 3a2
Thể tích:
1 1
3
23 32
ABCD A B C D ABCD a a
V A I S a /
+ Tính dB ;1 A BD1
Dựng hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ, với Az/ / A1I.Ta có:
1
3 3
0;0;0 ;B ;0;0 ; 0; 3;0 ; ; ;0 ; ; ;
2 2 2
a a a a a
A a D a I A
Ta có:
1 1 32a a; 23;a23
BB AA B
Ta có BD a a; 3;0 phương u 1; 3;0;
1 2 2a a; 3;a23
BA phương
1; 3;
v Mặt phẳng A BD1 qua điểm B có vectơ pháp tuyến nu v; 3; 3;0có phương trình:A BD1 : 3x 3y3a0 Vậy: B ;1 1
2
a
d A BD
Ví dụ 14 (Trích đề thi thử - THPT Trần phú 2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a;I trung điểm AB; H giao điểm BD CI Hai mặt phẳng (SCI) (SBD) vng góc mặt phẳng (ABCD) Góc (SAB) (ABCD) 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA CI
Giải
y z
E
H I
C
A D
B
S
y
x E
H
I B
A
(17)+ TínhVS ABCD.
Ta có:
SCI ABCD
SBD ABCD SH ABCD
SCI SBD SH
Kẻ HE AB E, màAB SH , ABSEHAB SE
Suy SEH góc (SAB) (ABCD) SEH60 Ta cóHIB đồng dạng
1 1
2 a3
HB IB
HCD HB BD
HD CD
Ta có :HBE vng E sin 2.sin 45
3
a a
HE HB HBE ; SHE vuông H
tan60
3
a
SH HE
Vậy:
3
13 .S 13 3 93
S ABCD ABCD a a
V SH a
+ Tính d SA CI ;
Chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ, Az SH/ / Ta có:
0;0;0 ;B ;0;0 ; 0; ;0 ; ; ;0 ;I ;0;0 2a
A a D a C a a ;
2
1 ; ;0 ; ;
3 3a a 3 3a a a
BH BD H S
Ta có: ; ;0
2 a
IC a phương u1;2;0;
2 ; ; 3 3a a a
AS phương v2;1; 3 Ta có : u v; 2 3; 3; ; ACa a; ;0
Khi đó:
3
; 2
SA;
4
; 24
a
u v AC a
d CI
u v
Ví dụ 15 (Trích đề thi thử THPT Khối Châu -2016) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình
thoi cạnh a; ;
2
a a
(18)Giải
+ TínhVKSDC
Từ giả thuyết: ; ;
2
a a
AB a SA SB SAB vuông S
2 2a
AB
SH
Khi
2
a
SA SH AH SAH Gọi I trung điểm AH ;
4
a
SI AH SI Mặt khác, SAB ABCDnên ta có đượcSI ABCD
Diện tích đáy: 1
2
KDC ABD a a
S S
Thể tích : 1 1 3
3 32
KSDC KDC a a a
V SI S
+ Tính cos SH; DK
Gọi F tâm hình thoi Ta tính ;F
2
a a
FB FD A FC Chọn hệ trục tọa độ Fxyz hình vẽ, với Fz SI/ / Ta có:
3 3
0;0;0 ;B ;0;0 ;D ;0;0 ;A 0; ;0 ;C 0; ;0 ;H ; ;0 ;
2 2 4
3 3 3
; ;0 ; ; ; ; ; ;0
8 8 4
a a a a a a
F
a a a a a a a
I S K
Ta có
3
; ; 8a 8a a4
SH phương u 1; 3; 3 ;
3 ; 3;0 4a a4
DK phương
3;1;0
v
Khi : cos SH;
4
u v DK
u v
(19)IV Bài tập rèn luyện
Bài (Trích KD -2011) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B; BA3 ;a BC a4 ; mặt phẳng (SBC) vng góc mặt phẳng (ABC) BiếtSB2 3a SBC30 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a
Bài (Trích KA -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm AB AD; H giao điểm CN MD Biết SH vng góc mặt phẳng (ABCD)
SH a Tính theo a thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng MD SC Bài (Trích KB -2010) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB= a Góc mặt phẳng (A’BC) 60 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC
Bài (Trích KD -2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; cạnh bên SA=a; hình chiếu
vng góc S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC,
4 AC
AH Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a
Bài (Trích KA -2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D; 2 ,
AB AD a CD a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp
S.ABCD theo a
Bài (Trích KB -2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cóBB a' ;góc BB’ mặt phẳng (ABC) ; tam giác ABC vng C BAC60 Hình chiếu B’ mặt phẳng (ABC) trùng vói trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a
Bài (Trích KD -2009) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vng B; ,
AB a AA' ,A'C 3a a Gọi M trung điểm A’C’; I giao điểm AM A’C Tính theo a
thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)
Bài (Trích KA -2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy tam giác ABC
vuông A; AB a AC a , hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc hợp hai đường thẳng AA’ B’C’
(20)Bài 10 (Trích KD -2008) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vuông;
AB BC a,cạnh bên AA a' Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM B’C
Bài 11 (Trích KA -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; mặt bên (SAD) tam giác nằm mặt phẳng vng góc đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB,BC, CD Chứng minh AM vng góc với BP tính theo a thể tích khối tứ diện CMNP
Bài 12 (Trích KB -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA; M trung điểm AE;N trung điểm BC Chứng minh MN vng góc với BD tính theo a khoảng cách hai đường thẳng MN AC
Bài 13 (Trích KD -2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang, ABC BAD 90 ; ; 2
BA BC a AD a Cạnh bên SA vng góc với đáy cạnh bên SA a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Chứng minh tam giác SCD vng tính theo a khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SDC)
Bài 14 (Trích KA -2006) Cho hình trụ có đáy hai đường trịn tâm O O’ Bán kính đáy với chiều cao a Trên đường tròn O lấy điểm A đường tròn O’ lấy điểm B cho AB=2a Tính thể tích khối tứ diện OO’AB
Bài 15 (Trích KB -2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với AB a ;ADa 2;SA a SA vng góc mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N trung điểm AD SC; I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vng góc mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB theo a
Bài 16 (Trích KD -2006) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a ;SA2a SA vng góc mặt phẳng (ABC) Gọi M, N hình chiếu vng góc A cạnh SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
Bài 17 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC vng A, AB=2a, AC=a, AA’=3a Tính thể tích khối lăng trụ khoảng cách hai đường thẳng AB’ BC
Bài 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, mặt phẳng (SBD) vng góc đáy hai đường
thẳng SA SD hợp với đáy góc 30 Biết AD a 6;BD2avà ADB45 Tính thể tích khối chóp S.ADBC khoảng cách từ đỉnh C đến mặt phẳng (SAD)
(21)Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a; mặt bên SAD tam giác SB a
Gọi E, F trung điểm AD AB Gọi H giao điểm FC EB Chứng minh
;
SE EB CH SB tính theo a thể tích khối chóp C.SEB
Bài 21 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang cân; AD đáy lớn, AD2 ;a AB BC CD a
Hình chiếu S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC cho HC2HA Góc hai mặt phẳng (SDC) (ABCD) 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SA CD
Bài 22 Cho hình chóp S.ABC có đáy vng cân đỉnh B, AB a SA a , SA vng góc mặt phẳng (ABC) Gọi M N trung điểm AB SA Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SCM)
Bài 23 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vng cạnh a, hình chiếu vng góc A’ mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC choHC3HA;góc tạo AA’ mặt phẳng (ABCD) 60 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ sin góc hợp đường thẳng A’A mặt phẳng (A’CD)
Bài 24 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm I Cạnh SA vng góc mặt phẳng (ABCD)
SA a Biết bán kính đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD 3
a ACB30
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AC SB
Bài 25 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm I; AB a ;BCa 3, tam giác SAC vng S Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H đoạn thẳng AI Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cáchtừ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
Bài 26 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B; AB BC a ,AD 2 a Cạnh SA vng góc với mặt (ABCD); góc hai mặt phẳng (SCD) (ABCD) 45 Gọi M trung điểm AD Tính thể tích khối chóp S.MCD khoảng cách hai đường thẳng SM BD
Bài 27 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a; cạnh SA vng góc đáy SB hợp với mặt
phẳng (ABC) 45 Gọi M, N trung điểm SB BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AMN)
(22)Bài 29 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, AB a ;AD 2 a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABC) góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SD AC Bài 30 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ cóAB a ;BC ; a ACB120 Đường thẳng A’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) góc 30 Gọi M trung điểm BB’ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AM CC’
Bài 31 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông với AB AC a Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt phẳng (ABC) góc 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng A’B B’C’
Bài 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B Các mặt phẳng (SAB) (SAD)
cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Cho AB2 ,ADa a SA BC a CD; ; 2 5a Gọi H điểm thuộc đoạn thẳng AD cho AH a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BH SC
Bài 33 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a; tam giác SAB vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc mặt phẳng (ABC) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC cosin góc hợp hai đường thẳng SB AC
Bài 34 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A với AB a AC ; 2 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc BC cho HB2HC, góc SB mặt phẳng đáy 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SB AC
Bài 35 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 60 Gọi M trung điểm BC N trung điểm CC’ Tính theo a thể tích khối chóp A.BB’C’C khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (AB’N)
Bài 36 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C) Bài 37 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB2 Gọi M N trung điểm cạnh SA, SC cho BM vng góc DN Tính thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng DN AB
(23)Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD góc đường thẳng SC mặt phẳng (SAD)
Bài 39 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA a AB a AC ; ; 2a; SA vng góc mặt phẳng (ABCD) Gọi G trọng tâm tam giác SAC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCG)
Bài 40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB2 ;a AD a ; K hình chiếu vng góc B lên đường chéo AC; điểm H,M trung điểm AK DC Cạnh SH vng góc với mặt phẳng (ABCD); góc SB mặt phẳng (ABCD) bằng45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB MH
Bài 41 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi I trung điểm của cạnh AB; hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABC) trung điểm H CI; góc SA mặt phẳng (ABC) bằng60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm H đên mặt phẳng (SBC) Bài 42 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy hình thoi cạnh a, góc ACB60 Mặt phẳng (A’BD) tạo với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối hộp khoảng cách hai đường thẳng CD’ BD
Bài 43 Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAC) vng góc mặt phẳng (ABC); SA AB a AC ; 2a vàASC ABC 90 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC cosin góc hai mặt phẳng (SAB) (SBC)
Bài 44 Cho hình chóp S.ABCD có SAABCD SA a ABCD; , hình chữ nhật có AB2 ;a AD5a Điểm E thuộc BC cho CE=a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ASDE
Bài 45 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật vớiAB a AD ; 2a SAABCD Gọi M trung điểm CD SC hợp với mặt phẳng đáy góc cho tan
5
Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) Bài 46 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, 3
2a
SD Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn thẳng AB Gọi K trung điểm AD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng HK SD
Bài 47 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SAABCD Cạnh SC tạo với mặt phẳng (SAB) góc 30 Goi E trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD
(24)Bài 48 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC60 Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) SC tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng AB SD
Bài 49 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh, a 3;BAD120 Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABC) mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABCD) góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SC
Bài 50 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm AB Mặt bên (AA’C’C) tạo với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (AA’C’C) Bài 51 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật vớiAB2 ;a AD a Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AB; SC tạo với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
Bài 52 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy tam giác ABC vuông cân A;
AB a Hình chiếu vng góc A’ xuống mặt phẳng (ABC) trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách hai đường thẳng AA’ BC
Bài 53 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân BC AD/ / .Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABCD) trung điểm H AD; SH a AB BC CD a AD ; ; 2a Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB AD
Bài 54 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông cân; AB AC a M trung điểm AB Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC góc SC với mặt phẳng (ABC) bằng60 Tính theo a thể tích khối chóp S.BMC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC)
Bài 55 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, Hình chiếu vng góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm G tam giác ABC; góc SA mặt phẳng (ABCD)
30 Tính thể tích khối chóp S.ABCD cosin góc hợp đường thẳng AC mặt phẳng (SAB) Bài 56 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Tam giác SAB nằm mặt
phẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết SD2 3a đường thẳng SC tạo với đáy góc