CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm cực trị của một hàm số cụ thể Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có cực trị Dạng 3: Tìm tham số m để một hàm số đạt cực trị tại điểm x0 cho trước Dạng 4: Tìm t[r]
(1)GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H PHÇN I Kiến thức theo chương trình s¸ch gi¸o khoa ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: I Định nghĩa Cho hàm số y=f(x) xác định trên K 1) f đồng biến (tăng) trên K với x1, x2 K mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2) 2) f nghịch biến(giảm) trên K với x1, x2 (a,b) mà x1<x2 thì f(x1)>f(x2) II Định lý: 1) Cho hàm số f có đạo hàm trên khoảng I Nếu f '( x) xI thì hàm số f đồng biến trên I Nếu f '( x) xI thì hàm số f nghịch biến trên I (Nếu f’(x) =0 số hữu hạn điểm trên khoảng I thì định lý còn đúng) Nếu f’(x)=0 xI thì hàm số f không đổi trên I CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Xét chiều biến thiên cửa hàm số cụ thể Dạng 2: Chứng minh hàm số có chứa tham số m đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác định nó Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đồng biến ( nghịch biến) trên tập xác định nó Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đồng biến( nghịch biến) trên khỏang Dạng 5: Dùng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức BAØI TAÄP: Xeùt chieàu bieán thieân cuûa caùc haøm soá sau: Lop12.net (2) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng a) y x x TT luyÖn thi §H b) y x x 1 c) y x3 3x x d ) y x (4 x ) Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến các hàm số sau: x2 x x 2x a) y b) y x c) y d) y 2 x x 1 x 1 x 4 Chứng minh rằng: a) Haøm soá y x3 x x taêng treân mieàn xaùc ñònh cuûa noù x2 x 1 tăng trên khoảng xác định nó x 1 3 x c) Haøm soá y nghịch biến trên từmg khoảng xác định nó 2x 1 b) Haøm soá y d) Haøm soá y x x nghòch bieán treân [1; 2] e) Hàm số y x đồng biến trên khoảng 3; ) Với giá trị nào m, hàm số y x noù? m đồng biến trên khoảng xác định x 1 Với giá trị nào a, hàm số y x3 x (2a 1) x 3a nghịch biến trên R? Cho haøm soá f ( x) x x a) CMR hàm số f đồng biến trên khoảng [2; + ) b) CMR phöông trình x x 11 coù moät nghieäm nhaát Cho haøm soá f ( x) 2sinx tanx 3x a) CMR hàm số đồng biến trên khoảng [0; ) b) CMR 2sinx tanx 3x, x (0; ) Cho haøm soá f ( x) x 3mx 3(2m 1) x xaùc ñònh m cho haøm soá f taêng treân MXÑ Cho haøm soá f ( x) 2 x (m 1) x 2m x 1 a) Xác định m để hàm số tăng khoảng xác định b) Xác định m để hàm số tăng khoảng (0; + ) 10 Định a để hàm số y x3 (a 1) x (a 3) x tăng khoảng (0;3) HƯỚNG DẪN VAØ ĐÁP SỐ: Đáp số: a) Haøm soá ñb/(- ; 2) vaø nb/(2; + ) b) Haøm soá ñb/(3/4; + ) vaø nb/(- ; 3/4) c) Haøm soá ñb/(- ; 2) (4;+ ) vaø nb/(2; 4) d) Haøm soá ñb/(- ;- ) (0; 2) vaø nb/ ( 2;0) ( 2; ) Đáp số: a) Haøm soá nb/(- ;0) (4; ) vaø ñb/ (0; 2) (2; 4) b) Haøm soá ñb/(- ;-3/2) (1/ 2; ) vaø nb/ (3 / 2; 1) (1; 1/ 2) Lop12.net (3) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H c) Haøm soá nb/(- ; -1) (1;+ ) vaø ñb/(-1; 1) d) Haøm soá nb/(- ; -2) (-2;1) (4;+ ) vaø ñb/(1; 2) (2; 4) Hướng dẫn: Ta coù: y ' m , hàm số đồng biến trên xác định và m ( x 1) Hướng dẫn: a a ' Haøm soá nb treân R Hướng dẫn: a) Haøm soá xñ vaø lieân tuïc treân [2;+ ) vaø f '( x) x(5 x 8) 0, x (2; ) đó hàm số đồng x2 biến trên khoảng [2;+ ) b) Hàm số liên tục trên đoạn [2;3], f(2)=0, f(3)=18 Vì 0<11<18 nên theo định lí gía trị trung gian hàm số liên tục, tồn số thực c thuộc (2;3) cho f(c) = 11 Số c là nghiệm cảu phương trình đã cho Vì hàm số đb trên [2;+ ) nên c là nghiệ caûu phöông trình Hướng dẫn: a) Hàm số đã cho liên tục trên khoảng [0; ) và f '( x) cos x (1 cos x) (2cosx 1) 3 0, x (0; ) đó hàm số f đồng biến trên 2 cos x cos x 2 khoảng [0; ) b) Từ a) suy f(x) > x (0; ) tức là ta có BĐT can chứng minh Hướng dẫn: a 9(m 1) m ' Haøm soá ñb treân R Hướng dẫn: + TXÑ: D = R\ 1 2x2 4x m + y' ( x 1) a) Hàm số tăng trên khoảng xác định x x m 0, x 1 m a ' a b) Hàm số tăng khoảng (0; + ) x x m 0, x ' m a.g (0) S 10 Hướng dẫn: + TXÑ D = R Lop12.net (4) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H + Ta coù: y ' x 2(a 1) x a g ( x) + Hàm số tăng khoảng (0;3) a 3 a.g (0) (a 3) 12 12 a a.g (3) (9 6a a 3) a 2 CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1.Định nghĩa: Cho hàm số f xác định D và điểm x0 D Điểm x0 gọi là điểm cực đại hàm số f tồn khoảng (a;b) chứa điểm x0 cho (a;b) D và f(x) < f(x0) x (a; b) (x ≠ x0) Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu hàm số f tồn khoảng (a;b) chứa điểm x0 cho (a;b) D và f(x) > f(x0) x (a; b) (x ≠ x0) f(x0) gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) hay cực trị hàm số; x0 gọi là điểm cực trị Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Định lí 1:Nếu hàm số f có đạo hàm x0 và đạt cực trị điểm đó thì f’(x) = Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm x0 và đạt cực trị x0 thì tiếp tuyến với đồ thị hàm số (x0; f(x0)) song song hay trùng với trục hoành Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0);(x0;b) đó a) Nếu f’(x) > x (a; x0 ) và f’(x) < x ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực đại x0 b) Nếu f’(x) < x (a; x0 ) và f’(x) > x ( x0 ; b) thì hàm số đạt cực tiểu x0 Nói cách vắn tắt: a) Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực đại b) Nếu x qua x0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực đại QUI TẮC TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Tìm f’(x) Tìm các điểm xi ( i= 1,2,3…) đó đạo hàm hàm số hàm số liên tục không có đạo hàm Xét dấu f’(x) dựa vào định lí để kết luận Định lí Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 ; f’(x0) = 0, f''(xo) thì xo là điểm cực trị hàm số Hơn 1) Nếu f”(x0) > thì x0 là điểm cực tiểu 2) Nếu f”(x0) < thì x0 là điểm cực đại Nói cách khác: 1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0, x0 là điểm cực tiểu Lop12.net (5) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H 2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0, x0 là điểm cực đại QUI TẮC TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Tìm f’(x) Tìm các nghiệm xi ( i= 1,2,3…) phương trình f’(x)=0 Tìm f’’(x) và tính f’’(xi) và dựa vào định lí để kết luận B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm cực trị hàm số cụ thể Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số có cực trị Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị điểm x0 cho trước Dạng 4: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị thoả mãn điều kiện cho trước BAØI TAÄP: Tìm cực trị các hàm số sau: a) y x x b) y 2 x3 x 12 x c) y e) y x3 x 12 x m) y x x 24 x2 x2 2x x 1 d) y x x3 f ) y 5 x3 x x g ) y x x3 24 x 48 x h) y x n) y x x 4 p) y x x x2 q) y x x 2 Tìm cực trị các hàm số sau: a) y = sin2x - cosx, x [0; ] b) y = 2sinx + cos2x, x [0; ] Tìm các hệ số a, b, c cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx + c đạt cực tiểu điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ là Tìm các số thực p, q cho hàm số f ( x) x p 2) = -2 q đạt cực đại điểm x = và f(x 1 x mx đặt cực đại x = xm x2 2x m Chứng minh hàm số y luôn luôn có cực đại và cực tiểu x2 Xác định m để hàm số y Xác định mđể các hàm số sau có cực trị: a ) y x3 x mx b) y x mx x 1 Định m để hàm số y = 2x3 - 3(2m+1)x2 + 6m(m+1)x + đạ cực đại và cực tiểu Chứng minh đó x2 – x1 không phụ thuộc vào m (x2 và x1 là hai điểm cực trị) Xác định m để hàm số y = mx3 + 3x2 + 5x + đạt cực tiểu x = 10 Tìm m để hàm số y = - m2x2 + 2mx – 3m + có giá trị cực đại 3, với m HƯỚNG DẪN VAØ ĐÁP SỐ: a) CÑ(3;10) b) CÑ(-1;-12), CT(2;15) c) CÑ(0;-2), CT(2;2) d) CT(3;15/4) Lop12.net (6) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H e) CÑ(1;8), CT(2;7) f) HS không có cực trị g) CĐ(1;20), CT(-2;-115) CT(2;13) h) CÑ(-1;-7), CT(5;5) m) CT(1;5), CÑ(4;2) n) CT(-2;-1/4), CÑ(4;2) p) CÑ(2;2) q) CÑ(0;2), CT(-1;1), CT(1;1) a) CÑ( 5 ; ) b) CT( ;1 ), CÑ( ; ), CÑ( 5 ; ) a = 3; b = -9; c = Ta coù: f '( x) q , x 1 ( x 1) - Nếu q thì f’(x) > với x khác -1 Do đó hàm số đồng biến trên khoảng xác định chúng Hàm số không có cực đại , cực tiểu - Neáu q > thì phöông trình f’(x) = x2 2x q coù hai nghieäm phaân bieät ( x 1) x1 1 q , x2 1 q Lập bảng biến thiên ta có hàm số đạt cực đại điểm x = -2 và 1 q 2 q 1, f (2) 2 p m = Hướng dẫn: Ta chứng minh y’ = có hai nghiệm phân biệt với m a) m < 4/3 b) m > -3 x2 – x1 = m = -17/12 y '(a ) 10 Hàm số đạt cực đại x = a, y(a) = -3 y "(a) suy m = y (a ) 3 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 1) Định nghĩa : Cho hàm số f xác định trên D ( D R) a) Nếu x0 D : f ( x) f ( x0 ), x D thì số M=f(x0) gọi là GTLN hàm số f trên D Ký hiệu M maxf(x) xD b) Nếu x0 D : f ( x) f ( x0 ), x D thì số M=f(x0) gọi là GTNN hàm số f trên D Ký hiệu m f(x) xD 2) Cách tìm GTLN-GTNN trên D - Lập bảng biến thiên hàm số trên D Dựa vào BBT để kết luận ( Nếu trên bảng biến thiên có cực trị là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) hàm số trên D) 3) Cách tìm GTLN-GTNN hàm số f liên tục trên đoạn [a,b] + Tìm các điểm x1,x2, , xn thuộc (a;b) đó đạo hàm không có đạo hàm + Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a )và f(b) + Tìm số lớn M và số nhỏ m các số trên M max f ( x) ; m f ( x) [ a ,b ] [ a ,b ] B CÁC DẠNG BÀI TẬP: Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cụ thể Dạng 2: Tìm GTLN,GTNN cho đại lượng theo đại lượng biến thiên khác: Lop12.net (7) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H Thiết lập hàm số cho đại lượng đó, tìm GTLN,GTNN cho hàm số đó BAØI TAÄP: Tìm GTLN cuûa caùc haøm soá sau: a) y x x b) y x x Tìm GTNN cuûa caùc haøm soá sau: ( x 2) 2 a) y ( x 0) b) y x ( x 0) x x Tìm GTLN-GTNN cuûa caùc haøm soá sau: a ) y x3 x x x [0; 4] b) y x x x [1;3] c) y x x x [ 2; 2] d ) y sin x x x [ ; ] 2 e) y x3 x x x [4; 4] f ) y x3 x x [3;1] x g ) y x x 16 x [1;3] h) y x (2; 4] x2 m) y x x (1; ) n) y x x x 1 Tìm GTLN-GTNN cuûa caùc haøm soá sau: a) y = cos3x - 6cos2x + 9cosx + 5; b) y = sin3x – cos2x + sinx + Một ngonï hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB = 5km Trên bờ biển có cái kho vị trí C cách B khoảng là 7km Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến M trên bờ biển với vận tốc 4km/h đến C với vận tốc 6khm/h Xác định vị trí điểm M để người đó đến kho nhanh HƯỚNG DẪN VAØ ĐÁP SỐ: a) max y f (2) b) max y f (1) R R y f (2) b) y f (1) a) (0; ) (0; ) a) max y f (1) f (4) 0;4 c) max y f (1) b) max y f (2) 1;3 2 e) max y f (4) 77 y f (1) 4 4;4 4;4 y f (3) 46 3;1 3;1 g ) max y f (3) 25 1;3 y f (2) h) max y f (4) 1;3 ( 2;4] GTNN m) y f (2) , Haøm soá khoâng coù GTLN (1; ) 1;1 ) 2 y f ( 1;1 a) y 11 max y R 1;3 y f ( ) 2 ; 2 n) max y f ( y f (1) 4 y f ( 2) d ) max y f ( ) 2 ; f ) max y f (1) 0;4 ; ; y f (0) f (3) R ) 2 b) y R 23 max y 27 R Lop12.net ; Haøm soá khoâng coù (8) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H BM = 4.472(km) 4 ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ A CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: Phép tịnh tiến hệ toạ độ và công thức chuyển hệ toạ độ Trong mp(Oxy) cho điểm I(x0;y0) Gọi IXY là hệ toạ độ y Y có gốc làI và hai trục IX,IY theo thứ tự có cùng vectơ đơn vị i, j với hai trục Ox, Oy M là điểm bất kì mp, giả sử M(x;y)/(Oxy) và M(X;Y)/(IXY) Tacó: y Y M X X x x x X x0 y Y y0 B DẠNG BÀI TẬP: Viết phương trình đường cong hệ tạo độ BAØI TAÄP: Chứng minh đồ thị các hàm số sau nhận điểm uốn làm tâm đối xứng a) y = x3 – 3x2 + 2x – b) y = - x3 + 3x2 + 2x c) y = x3 + 6x2 + x – 12 Xác định đỉnh I Parabol sau và chứng minh đồ thị chúng có trục đối xứng a) y = x2 - 4x + b) y = 2x2 + 3x – HƯỚNG DẪN VAØ ĐÁP SỐ: Hướng dẫn: a) - Ñieåm uoán: I(1;-1) x X 1 y Y 1 - Công thức chuyển hệ toạ độ phép tịnh tiến theo vectơ OI là - Phương trình (C) hệ toạ độ IXY là Y = X3 – X đây là hàm số lẻ Do đó đồ thị (C) nó nhận gốc toạ độ I làm tâm đối xứng b) và c) làm tương tự Hướng dẫn: x X a) I (2; 1); ;Y X y Y 1 x X b) I ( ; 2); ; Y 2X y Y 2 Phương trình đường cong hệ toạ độ mới: Giả sử (C) là đồ thị hàm số y = f(x) hệ Oxy Tịnh tiến hệ trục Oxy theo vec tơ OI x X x0 ta có phương trình (C) hệ toạ độ y Y y0 với I(x0;y0) theo công thức đổi trục IXY là: Y = (X+x0) – y0 Lop12.net (9) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H 5 TIỆM CẬN A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Tiệm cận ngang: Đường thẳng y=y0 gọi là tiệm cận ngang đồ thị hàm số y = f (x ) lim f ( x) y0 lim f ( x) y0 x x 2) Tiệm cận đứng: Đường thẳng x=x0 gọi là tiệm cận đứng đồ thị hàm số y = f (x ) ít các điều kiện sau thoả mãn: lim f ( x) ; lim f ( x) x x0 x x0 lim f ( x) ; lim f ( x) x x0 x x0 3) Tiệm cận xiên: Đuờng thẳng y= ax+b (a 0) gọi là đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y = f (x ) lim [f ( x) (ax+b)] x lim [f ( x) (ax+b)] x Cách tìm các hệ số a, b tiệm cận xiên y=ax+b a lim x f ( x) x b= lim[f ( x) ax] x (Để tìm tiệm cận xiên hàm số hữu tỉ b2/b1 ta thực phép chia để viết lại hàm số) B DẠNG BÀI TẬP: Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số BAØI TAÄP: Tìm TCĐ và TCN đồ thị hàm số sau: a) y x 2 x b) y 2 x x2 c) y x2 x x 5x2 Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau: y Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: a) y x x 1 b) y x3 x x2 x2 6x 3 c) y x x 3 2x Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau: a ) y x x b) y x x x c) y x d ) y x x a) Xác định giao điểm I hai đường tiệm cận đường cong y b) CMR (H) có tâm đối xứng là I a) Xác định giao điểm I hai đường tiệm cận đường cong y b) CMR (H) có tâm đối xứng là I HƯỚNG DẪN VAØ ĐÁP SỐ: Lop12.net x 5 (H) 2x x 3x (H) x2 (10) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H Đáp số: a) TCN: y = -1, TCÑ: x = b) TCN: y = 0, TCÑ: x = vaø x = -3 c) TCN: y = -1/5, TCÑ: x = -1, x = 3/5 Đáp số: TCX y = x Đáp số: a) TCN: y = -1, TCÑ: x = -1 b) TCX: y = x - 3, TCÑ: x = c) TCX: y = 5x + 1, TCÑ: x = 3/2 Đáp số: a) Đường thẳng y = x - 1/2 là TCX đồ thị (khi x ) Đường thẳng y = - x + 1/2 là TCX đồ thị (khi x ) b) Đường thẳng y = 2x + là TCX đồ thị (khi x ) Đường thẳng y = - là TCN đồ thị (khi x ) c) Đường thẳng y = x là TCX đồ thị (khi x ) Đường thẳng y = -x là TCX đồ thị (khi x ) d) Đường thẳng x = là TCĐ đồ thị (khi x 0 ) Đường thẳng y = x là TCX đồ thị (khi x ) Hướng dẫn và đáp số: xX Y 13 a) I ( ; ) b) 2 4X y Y Hướng dẫn và đáp số: x X Y 2X X y Y 5 a) I (2;5) b) ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Các bước khảo sát hàm số : Các bước khảo sát hàm đa thức Tập xác định Sự biến thiên - Giới hạn vô cực - Chiều biến thiên, cực trị - Bảng biến thiên Đồ thị - Điểm uốn - Điểm đặc biệt - Đồ thị Các bước khảo sát hàm hữu tỷ Tập xác định Sự biến thiên - Giới hạn, tiệm cận - Chiều biến thiên, cực trị - Bảng biến thiên Đồ thị - Tâm đối xứng - Giá trị đặc biệt - Đồ thị Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.Các dạng đồ thị hàm số: Lop12.net (11) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) a>0 Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt a<0 2 O -2 Pt y’ = có nghiệm kép -2 2 Pt y’ = vô nghiệm 2 Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a 0) a>0 a<0 Lop12.net (12) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H Pt y’ = có ba nghiệm phân biệt -2 Pt y’ = có nghiệm -2 Hàm số y = ax b (c 0, ad bc 0) cx d D = ad – bc > D = ad – bc < 4 2 -2 Hàm số y = ax bx c r px q (a.a ' 0, r 0) a ' x b' a ' x b' a.a’ > Pt y’ = có hai nghiệm phân biệt a.a’ < 2 O O -2 -2 -4 -4 Lop12.net (13) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng Pt y’ = vô nghiệm TT luyÖn thi §H 2 O O -2 -2 BAØI TAÄP: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số a ) y x x b) y x x c ) y x x d ) y x x x e) y x4 x2 2 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số a) y x2 2x 1 2 x b) y c) y x 1 3x 2x 1 Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số x2 x x2 x b) y c) y x 1 1 x x 1 x (6 m) x 4 Cho haøm soá y f ( x) mx a) y d ) y 1 x x2 a) Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số qua điểm (-1;1)? b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số m = HƯỚNG DẪN VAØ ĐÁP ÁN: Học sinh dựa vào sơ đồ khảo sát để làm PhÇn II Các vấn đề liên quan đến hàm số và đồ thị XÐt cùc trÞ cña h¸m sè cã chøa tham sè Phương pháp: Cho hầm số y = f(x) xác định trên D Hàm số có cực trị y’ đổi dấu Hàm số không có cực trị y’ không đổi dấu Hàm số có cực trị y’ đổi dấu lần Hàm số có cực trị (cực đại và cực tiểu) y’ đổi dấu lần Hàm số có cực trị y’ đổi dấu lần f '(x ) Hàm số đạt cực đại x0 f ''(x ) f '(x ) Hàm số đạt cực tiểu x0 f ''(x ) Hàm số có đạo hàm và có cực trị x0 => f(x0) = Lop12.net (14) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H f '(x ) Hàm số có đạo hàm và đạt cực trị C x = x0 => f (x ) C Chó ý: Đối với hám số bất kỳ, hàm số có thể đạt cực trị điểm mà đó đạo hàm triệt tiêu đạo hàm không xác định Điều kiện để hàm số có cực trị và điểm cực trị thoả mãn tính chất nào đó I Hµm bËc ba y ax bx cx d y' 3ax 2bx c §Æt g(x) = 3ax 2bx c (*) §å thÞ hµm sè cã cùc trÞ lµ: a y’=g(x) = cã hai nghiÖm ph©n biÖt g Đồ thị có điểm cực trị nằm cùng phía Ox a Hµm sè cã hai gi¸ trÞ cùc trÞ cïng dÊu g y max y Đồ thị có điểm cực trị nằm phía Ox a Hµm sè cã hai gi¸ trÞ cùc trÞ tr¸i dÊu g y max y Đồ thị có điểm cực trị khác phía đường thẳng (d): Ax +By +C = Gọi M1(x1; y1) và M2(x2; y2) là điểm cực đại và cực tiểu đồ thị hàm số Gọi t1 và t2 lµ c¸c gi¸ trÞ cña M1 vµ M2 thay vµo ®êng th¼ng (d): t1 Ax1 By1 C t Ax By C *Đồ thị có điểm cực đại cực tiểu hai phía đường thẳng (d): y' cã nghiÖm ph©n biÖt x1 x2 t1 t Đồ thị có điểm cực đại cực tiểu cùng phía đường thẳng (d): y' cã nghiÖm ph©n biÖt x1 x2 t1 t Hàm số đạt cực trị x1 x2 thoả mãn hệ thức F(x1,x2) = (1) 1 VD: x1 3+ x2 3= 2, , x2 1+ x22=1,… x1 x Lop12.net (15) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H a y’= cã nghiÖm ph©n biÖt x1 x2 ®iÒu kiÖn cña m g b x x a c x1 vµ x2 tho¶ m·n hÖ thøc (1) x1 x a F x1 ,x Gi¶i hÖ suy m §èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn nhËn hay lo¹i gi¸ trÞ cña m II hàm số bậc bốn trùng phương y = ax4 + bx2 +c y’ = 4ax3 + 2bx y’ = 2x(2ax2 + b) = (1) x (2) 2ax b Hµm sè cã cùc trÞ (2) cã nghiÖm ph©n biÖt kh¸c a.b<0 Hàm số có đúng cực trị (2) vô nghiệm có nghiệm kép có nghiệm b»ng ax bx c III Hµm h÷u tØ y b' x c' y’ = g(x) = ab’x2 + 2ac’x + bc’ – cb’ = (bx + c ≠ 0) Hàm số có cực đại và cực tiểu ab' y’ = cã gnhiÖm ph©n biÖt g hµm sè kh«ng cã cùc trÞ y’ = v« nghiÖm hoÆc cã nghiÖm kÐp §å thÞ cã ®iÓm cùc trÞ ë cïng mét phÝa víi Ox: ab' ab' g g y max y max y cã hai nghiÖm ph©n biÖt Đồ thị có điểm cực trị phía Ox: ab' ab' g g y max y max y v« nghiÖm Đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu đồ thị hàm số Lop12.net (16) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H Phương pháp: I Hµm bËc ba y=f(x) = ax3 + bx2 + cx + d y’ = f’(x) = 3ax2 + 2bx + c x x1 Trường hợp f’(x) = (hoành độ các điểm cực trị) x x2 Chia f(x) cho f’(x) ta ®îc: y = f(x) = f’(x).q(x) +αx + Ta cã f’(x1) = 0, f’(x2) = Suy gi¸ tri cùc trÞ lµ: f(x1 ) x1 f(x ) x Gọi M(x, y) là điểm cực trị đồ thị hàm số Ta có: f’(x) = => y = αx + Vậy y = αx + là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số II Hµm h÷u tØ ax bx c u(x) y a'x b v(x) u' v uv ' y' v2 x x1 (Hoành độ các điểm cực trị) y' x x2 u(x) u'(x) Ta cã y’ = v(x) v '(x) Gi¸ trÞ cùc trÞ lµ: u(x1 ) u'(x1 ) 2ax1 b f(x ) v(x1 ) v '(x1 ) a' f(x ) u(x ) u'(x ) 2ax b v(x ) v '(x ) a' Gọi M(x; y) là điểm cực trị đồ thị hàm số, ta có: u(x ) u'(x ) 2ax b y’ = => y = f(x ) v(x ) v '(x ) a' 2ax b VËy y là phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số a' Bµi tËp Ìn luyÖn Tìm các điểm cực trị hàm số đạo hàm cấp 1: a) y = x3 b) y = 3x + + c) y = x.ex x Tìm các điểm cực trị hàm số đạo hàm cấp 2: a) y = sin2x với x[0; ] b) y = x2lnx d) y = ln x x c) y = ex x Xác định tham số m để hàm số y=x33mx2 + (m21)x + đạt cực đại x=2 Lop12.net (17) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H ( Đề thi TNTHPT 20042005) Keát quaû : m=11 Định m để hàm số y = f(x) = x - 3x + 3mx + 3m + a Không có cực trị Keát quaû : m 1 b Có cực đại và cực tiểu Keát quaû : m <1 c Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm điểm cực trị (đạt cực trị x = 0) Hd: M(a;b) là điểm cực trị (C): y =f(x) và khi: f '(a) Keát quaû : m=0 f ''(a) f(a) b d Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu qua O Kq : d:y = 2(m - 1)x+4m+4 vaø m= - x 4x m Định m để hàm số y = f(x) = 1 x a Có cực đại và cực tiểu b Đạt cực trị x = c Đạt cực tiểu x = - Chứng tỏ với m hàm số y = x m(m 1)x m xm Keát quaû : m>3 Keát quaû : m = Keát quaû : m = 1 luôn có cực trị Cho hàm số y = f(x) = x3 - mx2+(m2 - m+1)x+1 Có giá trị nào m để hàm số đạt cực tiểu x = không? Hd và kq : Sử dụng đkc, đkđ Không Cho hàm số y = f(x) = x3 - mx2+(m+2)x - Xác định m để hàm số: a) Có cực trị Keát quaû: m < -1 V m > b) Có hai cực trị khoảng (0;+) Keát quaû: m > c) Có cực trị khoảng (0;+) Keát quaû: m < - V m > Biện luận theo m số cực trị hàm số y = f(x) = - x +2mx2 - 2m+1 Hd vaø kq : y’= - 4x(x2 - m) m 0: cực đại x = m > 0: cực đại x= m và cực tiểu x = 10 Định m để đồ thị (C) hàm số y = f(x) = x x m có hai điểm cực trị nằm khác x 1 phía so với Ox Keát quaû : m > 11 Định m để hàm số y = f(x) = x3 - 6x2+3(m+2)x – m - có cực trị và hai giá trị cực trò cuøng daáu Keát quaû : 17 < m < =2x3 12 Chứùng minh với m hàm số y = f(x) đạt cực trị hai điểm x1 và x2 với x2 - x1 là số 13 Tìm cực trị các hàm số : a) y x b) y x 2x c) y = x x 14 Định m để hàm số có cực trị : Lop12.net 3(2m+1)x2+6m(m+1)x+1 luoân (18) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng a) y x 3x mx b) y x2 x m2 m x 1 TT luyÖn thi §H Keát quaû: m<3 Keát quaû: m<2 V m>1 15 Định m để hàm số sau đạt cực đại x=1: y = f(x) = x3 - mx2+(m+3)x- 5m+1 Keát quaû: m = 16 Cho hàm số : f(x)= x3 - mx2+(m2) x - Định m để hàm số đạt cực đại x2, cực tieåu taïi x1 maø x1 < - < x2 < Keát quaû: m>1 17 Chứng minh : ex x+1 với x|R 18 Chứng minh : ex x+1 với x|R Biện luận số nghiệm chung đồ thị hàm bậc ba với trục hoµnh Phương pháp Gäi (C): y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) Lập phương trình hoành độ giao điểm (C) và Ox: ax3 + bx2 + cx + d = (a ≠ 0) (1) Trường hợp 1: (1) (x – x0)( Ax2 + Bx + C) = x x0 g(x) Ax Bx C = , A (2) (C) vµ Ox cã mét ®iÓm chung: (1) cã mét nghiÖm (2) v« nghiÖm hoÆc cã nghiÖm kÐp b»ng x0 g g g(x ) (C) vµ Ox cã ®iÓm chung: (1) cã nghiÖm (2) cã nghiÖm kÐp kh¸c x0 hoÆc (2) cã nghiÖm x1 = x0, x2 ≠ x0 g g(x ) g g(x ) (C) vµ Ox cã ®iÓm chung (1) cã nghiÖm (2) cã nghiÖm ph©n biÖt kh¸c x0 Lop12.net (19) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H g g(x ) (C) vµ Ox tiÕp xóc: (1) cã nghiÖm béi (2) cã nghiÖm kÐp hoÆc cã nghiÖm x0 g g(x ) Trường hợp 2: (1) không có nghiệm đặc biệt (m) + C¸ch 1: §a (1) vÒ d¹ng F(x) = kx m m(x x ) y Trong đó (CF): y = F(x) là đường cố định (Dm): y = (m), y = kx m , y = m(x x ) y là các đường chuyển động m thay đổi Dựa vào đồ thị, số điểm chung (CF) và (Dm) chính là số nghiệm phương trình (1) C¸ch 2: Dựa vào dạng đồ thị (C) và phương pháp rời trục Ox, Oy y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) y’ = 3ax2 + 2bx + c (C) vµ Ox cã mét ®iÓm chung y kh«ng cã cùc trÞ hoÆc y cã cùc trÞ cïng dÊu y ' y’ ≤ hoÆc y max y (C) vµ Ox cã ®iÓm chung y ' y cã cùc trÞ b»ng y max y (C) vµ Ox cã ®iÓm chung y ' y cã cùc trÞ tr¸i dÊu y max y y (C) vµ Ox tiÕp xóc HÖ cã nghiÖm y' (C) cắt Ox điểm có hoành độ dương (a > 0) y ' y y y(x1 )y(x ) max a.y(0) 0 x x (C) cắt Ox điểm có hoành độ âm (a > 0) Lop12.net (20) GV: Th.S: §Æng ViÖt §«ng TT luyÖn thi §H y ' y y y(x1 )y(x ) max a.y(0) x x (C) cắt Ox điểm có hoành độ lớn α (a > 0) y ' y y y(x1 )y(x ) max a.y() x x (C) cắt Ox điểm có hoành độ nhỏ α (a > 0) y ' y y y(x1 )y(x ) max a.y() x x (C) cắt Ox điểm đó có đúng điểm có hoành độ âm (a > 0) y ' y y y(x1 )y(x ) max a.y(0) x 10 (C) cắt Ox điểm đó có đúng điểm có hoành độ dương (a > 0) y ' y y y(x1 )y(x ) max a.y(0) x α α Chú ý: vấn đề khó khăn dạng toán trên là tính ymax.ymin; ta thực sau: + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị y = αx + + Nếu x1, x2 đơn giản thì tính thẳng x1, x2 đó ymax.ymin = y(x1 )y(x ) = (αx1 + )( αx2 + ) + Nếu x1, x2 phức tạp thì áp dụng định lý Viet: ymax.ymin =(αx1 + )( αx2 + ) = α2P + α.S + 2 Hàm số có dấu giá trị tuyệt đối Phöông phaùp: Bài toán : Lop12.net (21)