Một số đề toán thi học sinh giỏi

Hẵy tìm tất cả 5 3 cac giá trị của tham số m ñể tồn tại 4 ñường thẳng khác nhau, cùng song song với trục tung và mỗi ñường trong chúng ñều cắt C và C’ tại hai ñiểm sao cho tiếp tuyến tươ[r]

www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI
ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài (6 ñiểm) 1/ So sánh hai số 20092010 và 20102009   1 lim  −  2/ Tìm giới hạn x →0 x ( + x + 1)  x( (1 + x) + + x + 1)  Bài (4 ñiểm) 1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x2009 + y2009 + z2009 = Tìm giá trị lớn F = x2 + y2 + z2 2/ Cho số nguyên dương n Chứng minh 1 2009 C + C 2010 + + C n+1 2009+n < 2007 Bài (4 ñiểm) Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ñỉnh) tam diện ñỉnh S 180o và các cạnh bên SA = SB = SC = Chứng minh diện tích toàn phần hình chóp này không lớn Bài (4 ñiểm) 1/ Gọi m, n, p là nghiệm thực phương trình ax3 + bx2 + cx – a = (a≠0) Chứng minh rừng + m n 2+ ≤ m2 + n + p2 p  x3 + y + x ( y + z ) = xyz + 14  3 2/ Giải hệ phương trình  y + z + y ( z + x) = xyz − 21  z + x3 + z ( x + y ) = xyz +  Bài (2 ñiểm) 1/ Chứng minh bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác ñó 2/ Cho y = a0x + a1x3 + a2x5 + … + anx2n+1 + … thoả mãn (1 – x2)y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1) Tìm các hệ số a0, a1, a2, …, an
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007 BÀI 1: (3 ñiểm) Tìm tất các giá trị a cho bất phương trình sau có số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này: ( ) ( ) tan cos 4π − x − 4a.tan cos 4π − x + + a ≤ BÀI 2: (3 ñiểm) Với giá trị nào a thì hàm số f ( x ) = x (1 − a ) + (1 − 2a ) sin hai ñiểm cực trị trên khoảng ( π ; 5π ) ? BÀI 3: (4ñiểm) ðề thi HSG môn Toán x 2x + sin + π a có không quá 3 Trang Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá Với giá trị nào a tập hợp nghiệm bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x nguyên x(x − 4) + a (a + 4) ≤ ax(a + 1) BÀI (3 ñiểm) ðÁP ÁN ) ( ðặt t = tan cos 4π − x2 , với t ≤ ta n Dễ thấy với t0 ∈ [ −tan1, tan1] phương trình ) ( t − 4at + + 2a ≤ có số tan cos 4π − x2 = t0 có số nghiệm hữu hạn Do ñó ta tìm tất a cho hệ   −tan1 ≤ t ≤ tan1 nghiệm hữu hạn ðiều này có thể hệ có ñúng nghiệm Nếu biểu thức ∆ tam thức bậc hai tương ứng âm thì rõ ràng hệ vô nghiệm Nếu ∆ = 0, tức là a = hay a = − , thì nghiệm bất phương trình thứ hệ là 1 ñiểm t = 2a Từ hai giá trị tìm ñược a có a = − là thích hợp, với a = − ta ñược 2 ) ( 2 t = ∈ [ −tan1; tan1] từ ñây suy tan cos 4π − x2 = hay cos 4π − x = − Phương trình này có nghiệm n = Lúc ñó π + n π , vớ i n ∈ Z cos 4π − x = − π hay π  4π − x = ± π − arccos  + k 2π , với k ∈ Ζ Dễ thấy phương trình này có nghiệm: 4  π  x = ± 4π −  π ± arccos  4  2 Nếu ∆ > thì nghiệm bất phương trình là ñoạn [t1 ,t ] , ñoạn này phải có ñiểm chung với ñoạn [ −tan1, tan1] Suy t1 = tìm cách giải tập hợp hai hệ sau :  f ( tan1) = hay   tan1 < t0  tan 21 +  a = 4tan1 − Suy   a > tan1  hay tan1 hay t2 = -tan1 Lúc ñó giá trị cần tìm tham số ñược  f ( −tan1) =   −tan1 > t0 với f(t) = t2 – 4at +2 + 2a  − ( tan 21 + ) a =  4tan1 +   a < − tan1  Dễ thấy hệ thứ có nghiệm , còn hệ thứ hai vô nghiệm Giá trị vừa tìm tham số tương ( ) 2 ứng t = tan1 Suy tan cos 4π − x = tan1, cos 4π − x = + nπ , n ∈ Ζ Phương trình này có ba nghiệm x1 = , x2 = -2 π , x3 = π Kết luận : Nếu a = thì π  x = ± 4π −  π ± arccos  4  ðề thi HSG môn Toán Trang Lop12.net www.VNMATH.com Nếu a = Nguyễn Văn Xá tan + , thì x1 = , x2 = -2 π , x3 = π 4tan1 − 2 Với các giá trị còn lại a phương trình vô nghiệm có vô số nghiệm BÀI (3 ñiểm) x 2x ' Ta có f ' ( x ) = − a + (1 − 2a ) cos + cos Nghiệm phương trình f ( x ) = là các ñiểm 3 x 2x =0 tới hạn hàm f Ta viết : − a + (1 − 2a )cos + cos 3 x  cos = −  Dễ thấy phương trình này tương ñương với tập hợp:  x  cos = a  Phương trình thứ tập hợp có hai nghiệm x1= 2π và x2 = 4π trên khoảng ( π , 5π ) Các x  x   +  cos − a     1 dễ thấy các ñiểm tới hạn trở thành ñiểm cực trị a ≠ − (nếu a = − thì ñạo hàm không ñổi 2 dấu , và ñó hàm f không có ñiểm cực trị ) Như a ≠ − thì hàm f có ít hai ñiểm cực trị trên khoảng ñược xét Do ñó , cần tìm các giá trị a cho phương trình thứ hai không có thêm ñiểm cực trị 1  x Trên khoảng ( π , 5π ) hàm y = cos nhận tất các giá trị thuộc ñoạn  −1;  2  ' ñiểm này là ñiểm tới hạn hàm f Khi viết ñạo hàm dạng f ( x ) = 2 cos E -4 -2 F D 10 12 14 16 -1 -2 -3 -4 1 Nếu a ∈  − 1,  và a ≠ − thì hàm f có cực trị Có nghĩa là với giá trị a khác hàm 2  f có không quá hai cực trị 1 Kết luận : a ≥ , a = − , a ≤ −1 2 ðề thi HSG môn Toán Trang Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá BÀI (4 ñiểm)  x≥a  x ≤ a2 Bất phương trình ñã cho tương ñương với tập hợp hai hệ:  hay  Nhờ tập x ≤ a + x ≥ a + hợp này ta biểu diễn nghiệm bất phương trình ban ñầu Kẻ các ñường thẳng x = k , với k ∈Ζ 14 12 10 x=a+4 x=a2 -5 - 12 A 10 15 Lúc ñó giá trị a0 mà với nó ñường thẳng a = a0 cắt các ñường thẳng x = k không quá ñiểm tập hợp ñã ñược ñánh dấu, là giá trị cần tìm Căn vào hình vẽ ta có các giá trị a cần tìm là : − < , < a <1, < a < 12
KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 Câu 1: (4 ñiểm)  x + = cos y + cos z  Giải hệ phương trình:  y + = cos z + cos x  z + = cos x + cos y  Câu 2: (4 ñiểm)  Cho dãy số { xn } thoả mãn:  x0 = 3  xn +1 − xn +1 = xn + Tìm lim xn n →+∞ Câu 3: (4 ñiểm) * Tìm tất các hàm số f(x) liên tục trên R + và thoả mãn: ðề thi HSG môn Toán Trang Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá f (1) =    2  f ( x ) − x f ( x ) = x − x , ∀ x > Câu 4: (4 ñiểm) Trên mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a và ñiểm M thay ñổi Tìm giá trị nhỏ tổng sau: 1) T2 = 2.MA2 + MB2 + MC2 + MD2 2) T1 = 2.MA + MB + MC + MD Câu 5: (4 ñiểm) Cho tập hợp A = {0,1,2,…,2006} Một tập T A ñược gọi là tập “ngoan ngoãn” với bất kì x, y ∈ T (có thể x = y) thì | x – y | ∈ T 1) Tìm tập “ngoan ngoãn” lớn A và khác A 2) Tìm tập “ngoan ngoãn” bé A chứa 2002 và 2005
ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) x x−1 = Bài 1: (4ñ) Giải phương trình : ( 3) − Bài 2: (4ñ) Tìm giá trị lớn biểu thức x + y :  x + y   x − y  x1 =  Bài 3: (4ñ) Cho dãy x , x , , x n , với  2 x n +1 = x n + x n , (n = 1,2, ) 1 + + + biết A = x1 +1 x +1 x100 +1 ≤ ≤ Hãy tìm phần nguyên A  a1 =   Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a n ) với :  Chứng minh tổng tất các số hạng dãy nhỏ − − a n a n +1 =  1,03 Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M các ñường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) và (ABC) A , B , C Tìm vị trí M ñể thể tích hình tứ diện MA B C lớn
THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN 1− x2 x Câu 2: Cho tam giác ABC ñều Tìm tập hợp các ñiểm M nằm tam giác thoả mãn hệ thức: MA = MB + MC Câu 1: Giải BPT: ln( x + x + x − x + 1) − ln( x + x ) ≤ ln ðề thi HSG môn Toán Trang Lop12.net www.VNMATH.com Câu 3: Cho số thực dương x, y thoả mãn: x + y =1 Nguyễn Văn Xá 1 Tìm biểu thức: A= + xy x +y  x1 = Câu 4: Cho dãy ( x n ) xác ñịnh:  (n >0) Tìm lim x n  xn +1 = + xn Câu 5: Cho tam giác ñều ABC cạnh Trên dt (d) vuông góc với mf (ABC) A lấy ñiểm M tuỳ ý Gọi H là trực tâm tam giác MBC Khi M chạy trên dt (d), tìm max V(HABC) Câu 6: Tìm các ña thức P(x) thoả mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 Câu 7: Với số tự nhiên n, gọi P(n) là tập hợp các số tự nhiên k cho: 50 n < k < 50 n +1 Kí hiệu S là số phần tử P(n) CMR với số tự nhiên n, ta có: S=2 S=3; và CMR tồn vô số số tự nhiên k cho S =
KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008 Baøi 1: (5 ñieåm) a) Tìm taát caû caùc soá nguyeân m cho PT x2 + (m2 - m)x - m3+1 = coù moät nghieäm nguyeân b) Giaûi baát phöông trình log2 ( −1) x + + − log2 ( +1) x ≤ Baøi 2: (5 ñieåm) a) Giaûi phöông trình 4sin25x - 4sin2x + 2(sin6x + sin4x) + = b) Cho các số thực x1,x2,… ,xn thỏa mãn sin2x1+2sin2x2 +…+ nsin2xn = a, với n là số nguyên dương, a là n(n + 1) số thực cho trước, ≤ a ≤ Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa x1, x2, … , xn cho toång S = sin2x1+2sin2x2 + … + nsin2xn đạt giá trị lớn và tìm giá trị lớn này theo a và n Baøi 3: (4 ñieåm) 1 a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc =1 Chứng minh : + + ≥ 2 2 a (b + c ) b (c + a ) c (a + b ) cot A(cot A + cot B) A+ B b) Cho tam giaùc ABC nhoïn thoûa ñieàu kieän = cot( ) − cot B A+ B 2 cot( ) + cot B Chứng minh ABC là tam giác cân Baøi 4: (2 ñieåm) Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm A’, B’, C’ cho AA’, BB’ và CC’ đồng qui điểm M Gọi S1, S2 và S3 là diện tích các tam giác MBC, MCA, MA ' MB ' MC ' MAB vaø ñaët = x, = y, = z MA MB MC Chứng minh rằng: (y + -1) S1+(x + z-1)S2 +(x + y -1)S3 = u = 1  Baøi 5: (2 ñieåm) + u.n2 −  Cho daõy {un} , n laø soá nguyeân döông , xaùc ñònh nhö sau : u =  n +1 un  Tính un và chứng minh u1 + u2 +…+ un ≥ + π [1 − ( ) n−1 ] un > Baøi 6: (2 ñieåm) Cho đa thức f(x)=x3+ ax2 + bx + b có ba nghiệm x1, x2, x3 và đa thức g(x) = x3+ bx2 + bx + a Tính toång S = g(x1) + g(x2) + g(x3) theo a, b ðề thi HSG môn Toán Trang Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá HƯỚNG DẪN CHẤM VAØ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Baøi 1: (5 ñieåm) Caâu a)(3 ñieåm) Đáp án + Biến đổi: x(x+m2) -m(x+m2) = -1 + (x+m2)(x-m) = -1 x + m2 = + (a)   x − m =2 −1  x + m = −1  (b) x − m = Ñieåm 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 +Giải (a) m =1 m =-2 +Giaûi (b) voâ nghieäm +Vậy m =1 m =-2 Caâu b)(2 ñieåm) Đáp án + Biến đổi: Ñieåm log ( − 1) x + + log ( + 1) x − ≤ (log ( − 1) x + 3)(log ( + 1) x − 1) ≥ ⇔ +Vì log ( − 1) x + + log ( + 1) x − = 2, A + B ≥ A + B (1) 0.5 0.5 neân + ( − log ( + 1) x + 3)(log ( + 1) x − 1) ≥ ⇔ 0.5 ≤ (log ( + 1) ≤ +Vaäy log +1 ≤ x ≤ 3log 0.5 x +1 Baøi 2: (5 ñieåm) Caâu Đáp án Ñieåm ðề thi HSG môn Toán Trang Lop12.net www.VNMATH.com a)(2 ñieåm) 2 Nguyễn Văn Xá Biến đổi 4sin 5x+1-sin x+4sin5xcosx=3sin x 4sin25x+4sin5xcosx+cos2x=3sin2x (2sin5x+cosx)2=3sin2x 0.5 sin x + cos x = ± sin x ⇔ sin x = ± sin x − cos x ⇔ 2 0.5 π sin x = sin( x − ) 5π sin x = sin( x − ) Vaäy nghieäm 7π π π π x=− +k x= +k 24 36 x=− Caâu b)(3 ñieåm) 5π π +k 24 x= 0.5 11π π +k 36 0.5 Đáp án + Biến đổi S = 2(sin x1 cos x1 + sin x2 cos x2 + + n sin xn n cos xn ) +Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có: Ñieåm 0.5 S ≤ (sin2 x1 + sin2 x2 + + n sin2 xn )(cos2 x1 + cos2 x2 + + n cos2 xn ) S ≤ a(1 − sin x1 + − sin x2 + + n − n sin xn ) S ≤ a[(1 + + + n) − (sin x1 + sin x2 + + n sin xn )] S ≤ a[ 2 n(n + 1) − a] 0.5 0.5 0.5 +Daáu = xảõy sin x1 = sin x2 = = n sin xn cos x1 cos x2 n cos xn  tan x1 = tan x2 = = tan xn hay  2 sin x1 + sin x2 + + n sin xn sin x > i  hay  x1 = x2 = = xn = α  n(n + 1)  sin α = a   0 ≤ xi ≤ π ðề thi HSG môn Toán 0.5 Trang Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá   x1 = x2 = = xn = α  n(n + 1) 2a  Vaäy Max S= a[ − a ] sin α = n(n + 1)   π 0 ≤ α ≤  0.5 Baøi 3: (4 ñieåm) Caâu a)(2 ñieåm) Đáp án Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có 1 )(a (b2 + c ) + b2 (c + a ) + c (a + b )) ≥ ( 2 + + a (b + c ) b (c + a ) c (a 2x+=b ) ≥( .a b + c + a b +c b 1 = ( + + )2 a b c b c + c a + a 2b 2 =( ) a 2b c = (b c + c a + a 2b ) ⇒ ( 2 c +a 2 .b c + a + c a + b2 0.5 .c a + b ) = 0.5 (b c + c a + a 2b ) 1 + + )≥ 2 = 2 a (b + c ) b (c + a ) c (a + b ) a (b + c ) + b (c + a ) + c ( a + b ) = Caâu b)(2 ñieåm) Ñieåm 0.5 b c + c a + a b 3 a 4b c ≥ = 2 Đáp án +Biến đổi ,ta có (cot A + cot B)2 = 4cot ( 0.5 Ñieåm A+ B A+ B ) ⇔ cot A + cot B = 2cot( ) 2 +Biến đổi vế trái sin( A + B) 2sin( A + B) 2sin( A + B) cot A + cot B = = ≥ sin A sin B cos( A − B) − cos( A + B) − cos( A + B) ( A + B) ( A + B) + 4sin cos ( A + B) 2 cot A + cot B ≥ = cot ( A + B) 2 sin 2 + Daáu = xaõy cos(A-B)=1 hay A=B Vaäy tam giaùc ABC caân taïi C ðề thi HSG môn Toán 0.5 0.5 0.5 0.5 Trang Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá Baøi 4: (2 ñieåm) Caâu ñieåm Đáp án + Goïi S laø dieän tích tam giaùc ABC,ta coù S = S + S + S s1 MA' s AA' = ⇒ = Ta coù s AA' s1 MA' s − s1 AA'− MA' MA = = = +Suy s1 MA' MA' x s s1 +Suy = x ⇒ = x ⇒ s1 = x( s2 + s3 ) s − s1 s2 + s3 +Tương tự s2 = y(s3 + s1), s3 = z(s1 + s2 ); S = s1 + s2 + s3 = x(s2 + s3 ) + y(s3 + s1) + z(s1 + s2 ) Vaäy (y+z-1) s1+(x+z-1)s2 +(x+y-1)s3 =0 Ñieåm 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi 5: (2 ñieåm) Caâu ñieåm Ñieåm Đáp án +Ñaët π un = tan α > 0, < α < ta coù −1 + tan α − cos α α un +1 = = = tan sin α tan α cos α +Vì π < α < ⇒ α < tan α sn = u1 + u + + u n maø π π π π u1 = = tan = tan ⇒ u2 = tan , , un = tan 2.2 2.2 2.2n + π π π sn = tan + tan + + tan ≥ 2.2 2.2 2.2n π π π 1 π ≥ 1+ + + = + ( + + n ) = + (1 − ( ) n −1 ) n 2.2ñpcm 2.2 2 + Suy 0.5 0.5 0.5 0.5 Baøi 6: (2 ñieåm) Caâu Ñieåm Đáp án ðề thi HSG môn Toán Trang 10 Lop12.net www.VNMATH.com ñieåm Nguyễn Văn Xá +Theo ñònh lyù Vi eùt,ta coù p1=x1+x2+x3=-a ; p2=x1x2+x2x3+x3x1=b, p3=x1x2x3=-b +Ta coù x1 + x22 + x32 = p12 − p2 = a − 2b 0.5 x13 + x23 + x33 = p13 − p1 p2 + p3 = −a + 3ab − 3b 0.5 +S = ( x + x + x ) + b( x + x + x ) + b( x + x + x ) + 3a 3 + 0.5 S = (− a + 3ab − 3b) + b(a − 2b) + b(−a ) + 3a 0.5 S = (a − b)(−a + 2b + 3) Chú ý : học sinh có thể đưa phương án giải vấn đề khác kết đúng, hợp lô gic khoa học cho điểm tối đa phần đó
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1995 Bài I Xét ñường cong: y = mx3 − nx − mx + n (C) Tìm các cặp số (m; n) cho các giao ñiểm (C) với trục hoành có hai giao ñiểm cách 1995 ñơn vị và khoảng cách từ tâm ñối xứng (C) ñến trục hoành là 2000 ñơn vị Bài II  π Với giá trị nào m thì ∀ x ∈  0;  ta luôn có: m sin α + 2mcos 2α ≤ 3m sin α cos 2α  2 Bài III Cho hai dãy số ( an ) và ( bn ) ñó với i = 1, 2, 3… ta luôn có: +1 = − và bi = Chứng minh rằng: có ít giá trị a i cho dãy ( bn ) có giới hạn khác Bài IV x2 y + = với tâm O và các tiêu ñiểm F1 , F2 Qua O, F1 vẽ các ñường song song a b2 OM OM ' MOM', MF1N' Tính tỉ số: F1 N F1 N ' Cho hình Elíp
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1996 Bài I Cho dãy ( xn ) xác ñịnh ñiều kiện: x1 = a ; xn +1 − xn + xn = ; ( n = 1; 2; 3…) Tìm giá trị a cho: x1996 = x1997 ðề thi HSG môn Toán Trang 11 Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá Bài II Hàm số f(x) ñược xác ñịnh hệ thức: f (1 − x) + f ( x) = sin x Chứng minh rằng: s inf(x) < Bài III Cho phương trình: cos x + ( m + 3) cos 2α = 8sin α − cos x + 2m sin α + m + Hãy xác ñịnh giá trị m cho với giá trị α thì phương trình có nghiệm Bài IV Trên mặt phẳng toạ ñộ vuông góc Oxy, cho các ñiểm A(-1; 0); B(2; 0); H(-2; 0); và M(-1; -0,6) Kẻ ñường thẳng ( ∆ ) vuông góc với AB H và ñường tròn (C) nhận AB làm ñường kính Tìm quỹ tích tâm I ñường tròn tiếp xúc với ( ∆ ) và tiếp xúc với (C) cho ñiểm M nằm bên ngoài ñường tròn (I)
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1997 e2 x Câu (5 ñiểm): Cho hàm số f ( x ) = e +e Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn hàm số trên ñoạn ln 2;ln  Tính tổng S = f ( )+ 1998   f +  1998    f  + +  1998   1996  f +  1998   1997  f   1998  Câu (5 ñiểm): Tìm a ñể phương trình sau có ñúng nghiệm: 2− x −sin a +1 ( ) ( ) logπ x + x + + − x2 − x logπ =0 ( x − sin a + + 1) Câu (5 ñiểm): Cho π ≤ x1 , x2 , x3 , x4 ≤ π Chứng minh rằng:  1 1  + + + ( cotx1 +cotx +cotx +cotx )  ≤  cotx1 cotx cotx cotx  ( ) 3+1 Câu (5 ñiểm): Trong hệ toạ ñộ trực chuẩn xOy cho ñường thẳng (d) có phương trình: y = 17 x+ 12 Tìm ñiểm M(a; b) với a, b ∈ Z cho khoảng cách từ M tới (d) nhỏ và ñộ dài ñoạn OM ngắn Cho ñường tròn (C) tâm M(-2; 0) tiếp xúc với Oy Tìm tập hợp tâm các ñường tròn tiếp xúc với Ox và tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C) ðề thi HSG môn Toán Trang 12 Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá
10 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1998 Câu (5 ñiểm): Cho họ ñường cong (Cm): y = x − x + mx + − m ( m là tham số) ðường thẳng (d): y=3-x cắt ñường cong (C) họ (Cm) ñiểm phân biệt A, I, B (theo thứ tự), tiếp tuyến A và tiếp tyuến B (C) cắt ñường cong ñiểm thứ hai là M và N Tìm m ñể tứ giác AMBN là hình thoi Câu (5 ñiểm):  x − y s inx = e siny   Giải hệ phương trình: 10 x + = y +  5π π < x; y<  Câu (5 ñiểm): ( Chứng minh bất ñẳng thức: ) 1 + + > , với ∀a làm vế trái có nghĩa + cos4a + cos8a − cos12a Có thể thay số vế phải số vô tỷ ñể có bất ñẳng thức ñúng và mạnh không? Câu (5 ñiểm): Cho ñường tròn thay ñổi (C) và (C') luôn tiếp xúc với ñường thẳng ñiểm A và A' cố ñịnh Tìm quỹ tích giao ñiểm M (C) và (C') biết chúng luôn cắt góc α cho trước ( α là góc tạo hai tiếp tuyến hai ñường tròn M )
11 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 1999 Câu (5 ñiểm): x Cho hai hàm số f ( x) = và g ( x) = arctanx 1+ x Cmr: ñồ thị chúng tiếp xúc Giải bất phương trình: f ( x) ≥ g ( x) + x Câu (5 ñiểm): Cho tam giác ABC thoả mãn: ( ma + mb + mc ) ( cot A + cot B + cot C ) = ( abc ) cot A B C cot cot 2 Cmr: tam giác ABC ñều Câu (5 ñiểm): Tìm tham số a cho phương trình sau có ít nghiệm nguyên   a + 4π + − log   x − x − ( a − 2π ) x − + 4π a    π ( x − 5a + 10π − 34 ) ( π − x − a + + π ) = ðề thi HSG môn Toán Trang 13 Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá Câu (5 ñiểm): Trong hệ toạ ñộ trực chuẩn Oxy cho ñường tròn (C) có phương trình: x + y = Tìm tham số m ñể trên ñường thẳng y = m có ñúng ñiểm cho qua ñiểm có ñường thẳng tạo với góc 450 và chúng ñều tiếp xúc với ñường tròn (C) Cho ñiểm A(a;b), B(c;d) thuộc ñường tròn (C) chứng minh: − a − b + − c − d + − ac − bd ≤
12 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2001 Câu (4 ñiểm): Cho hàm số y = x − 2m x + n Tìm các giá trị tham số m và n ñể ñồ thị có ñiểm cực trị là các ñỉnh tam giác ñều ngoại tiếp ñường tròn có tâm là gốc toạ ñộ Câu (4 ñiểm): Tìm tất các giá trị a và b thoả mãn ñiều kiện a ≥ a −1 2a + ñạt và > cho biểu thức P = b b (a − b) giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ ñó Câu (4 ñiểm): Giải bất phương trình: + log x < 2x −1 x −1 Câu (4 ñiểm): Tìm các giá trị x, ñể với giá trị y luôn tồn giá trị z thoả mãn: π  sin ( x + y + z ) = y + cos  2x+  +  2cosx  y− Câu (4 ñiểm): Cho Elíp (E) có tiêu ñiểm là F1 và F2 Hai ñiểm M và N trên (E) Chứng minh rằng: ñường thẳng MF1, MF2, NF1, NF2 cùng tiếp xúc với ñường tròn
13 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2003 Câu (4 ñiểm): Giải và biện luận theo tham số a số nghiệm phương trình: (n + 2) x n +3 − 2003(n + 3) x n + + a n +3 = (với n là số tự nhiên lẻ cho trước) Câu (4 ñiểm): ðề thi HSG môn Toán Trang 14 Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá Cho ñường cong (C) có phương trình y = − x + x − Tìm m và n ñể ñường thẳng y = mx + n cắt ñường cong (C) ñiểm phân biệt A, B , C, D ( theo thứ tự ) cho AB = CD = BC Câu (4 ñiểm): Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi R và R' là bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và bán kính ñường tròn ngoại tiếp tam giác có ñộ dài cạnh là GA, GB, GC Chứng minh có 9R'= 2R(sinA+sinB+sinC) thì tam giác ABC ñều Câu (4 ñiểm): Giải các phương trình sau: 1./ 2cosx+sin19x-5 = sin 21x − sin10 x 2./ 32 x − 40 x + 10 x − = Câu (4 ñiểm): Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho Parabol (P): y = px (p > 0), tiêu ñiểm là F Từ ñiểm I kẻ ñường thẳng tiếp xúc với (P) M và N Cmr: ∆FIM ñồng dạng với ∆FIN Một ñường thẳng (d) tuỳ ý tiếp xúc với (P) T và cắt IM, IN Q và Q' Cmr: FQ.FQ' không phụ thuộc vị trí (d) FT
14 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2004 Bài (4 ñiểm): m2 x + và g ( x) = x − 2004 x − 12 có ñồ thị là (C) và (C’) Hẵy tìm tất cac giá trị tham số m ñể tồn ñường thẳng khác nhau, cùng song song với trục tung và ñường chúng ñều cắt (C) và (C’) hai ñiểm cho tiếp tuyến tương ứng (C)và (C’) hai ñiểm ñó song song với Bài (4ñiểm): Cho hàm số: f(x) = mx − Cho bất phương trình: x x − x < x − ax x + a x x − x 1.Giải bpt a = -1 2.Tìm a ñể bpt có nghiệm x >1 Bài (4ñiểm): Giải phương trình: 3cos Bài (4ñiểm): 2x + 2sin 2x ( x )2 −3 =2π +2 9− 4( x ) π Một tứ giác có ñộ dài ba cạnh và diện tích 3 Hãy tính ñộ dài cạnh còn lại và ñộ lớn các góc tứ giác ñó Bài (4ñiểm): ðề thi HSG môn Toán Trang 15 Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá Cho tứ diện ABCD DA = a, DB = b, DC = c ñôi vuông góc với Một ñiểm M tuỳ ý thuộc khối tứ diện 1.Gọi các góc tạo tia DM với DA, DB, DC là α , β , γ Cmr: sin α + sin β + sin γ = 2.Gọi S A , S B , S C , S D là diện tích các mặt ñối diện với ñỉnh A, B, C, D khối tư diện Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = MA.S A + MB.S B + MC.S C + MD.S D
15 KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2006 Câu (5 ñiểm): Gọi ( Cm ) là ñồ thị hàm số y = x − 6m x + 4mx + 6m ( m là tham số) Tìm các giá trị m ñể ( Cm ) có ñiểm cực trị A, B, C Chứng minh tam giác ABC có trọng tâm cố ñịnh tham số m thay ñổi Câu (3 ñiểm): Giải các phương trình sau: ( x − 1) + x = x + x + 1 15 x5 + 11x + 28 = − x Câu (3 ñiểm): Tam giác ABC có ñộ dài các cạnh là a, b, c và bán kính R ñường tròn ngoại tiếp thoả mãn hệ thức: bc = R  ( b + c ) − a  Chứng minh tam giác ñó là tam giác ñều Câu (4 ñiểm): Tìm các giá trị tham số a ñể hệ phương trình sau có nghiệm:  π ( x − y − 1) πy πy πy  12 cos − − 12 cos − + 24 cos + 13 = 11 − sin 2    2 2 2  x + ( y − a )  − = x + ( y − a ) −  Câu (5 ñiểm): Cho tứ diện ñều ABCD có cạnh Các ñiển M, N chuyển ñộng trên các ñoạn AB, AC cho mặt phẳng (DMN) luôn vuông góc với mặt phẳng (ABC) ðặt AM = x, AN = y Cmr: mặt phẳng (DMN) luôn chứa ñường phẳng cố ñịnh và x + y = 3xy Xác ñịnh vị trí M, N ñể diện tích toàn phần tứ diện ADMN ñạt giá trị nhỏ và lớn nhất.Tính các giá trị ñó
16 ðỀ THI THỬ HSG VÒNG TỈNH LẦN - THPT CAO LÃNH NĂM 2008 Bài 1: (2.0 ñiểm) Với a,b,c > thỏa mãn ñiều kiện abc =1 Chứng minh rằng: ðề thi HSG môn Toán Trang 16 Lop12.net www.VNMATH.com 3 Nguyễn Văn Xá a b c + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a)(1 + b) Bài 2: (3.0 ñiểm) Giải phương trình: log 2x + ( x-5 ) log x-2x + = Bài 3: (3.0 ñiểm) Tìm ña thức P (x) thỏa mãn ñiều kiện:  P(3) =    xP( x −1) = ( x − 3) P( x), ∀x ∈ R Bài 4: (2.0 ñiểm) Cho dãy số dương ( x ) xác ñịnh xác ñịnh sau: n x =   x1 = 45   xn+ = 45 xn+1 − xn (n ≥ 0) 1) Xác ñịnh số hạng tổng quát x theo n n 2) Tính số ước dương biểu thức x − x x n n+ n +1 Bài 5: (3.0 ñiểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp ñường tròn tâm O Các ñường thẳng AB,CD, cắt E, AD, BC cắt F, AC, BD cắt M Các ñường tròn ngoại tiếp các tam giác CBE, CDF cắt N Chứng minh O,M, N thẳng hàng Bài : (2.0 ñiểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình x3 + (x + 1)3 + + (x + 7)3 = y3 (1) Bài 7: (2.0 ñiểm) Chứng minh rằng, Trong tam giác ta luôn có: sin A sin B sin C + + <2 sin B + sin C sin C + sin A sin A + sin B Bài 8: (3.0 ñiểm) Giải hệ phương trình:  x + x( y − z ) =   y + y ( z − x) = 30   z + z ( x − y ) = 16  x + xy = −49 ;   x − xy + y = x − 17 y
17 TOÁN LỚP 12 THPT - BẢNG A – NGHỆ AN Bài (6.0 ñiểm ) a) Tìm các giá trị tham số m ñể phương trình sau có nghiệm: (m − 3) x + (2 − m) x + − m = sinx π b) Chứng minh rằng: ( ) > cosx, ∀x ∈ (0; ) x Bài ( 6.0 ñiểm ) Cho hai số thực x , y thoả mãn: x ≥ 0; y ≥ 1; x + y = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức: P = x3 + y + x + xy − x s inx  e x− y =  siny   Giải hệ phương trình 3 8x + + = y − y + + y  π  x, y ∈ (0; )  ðề thi HSG môn Toán Trang 17 Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá Bài ( 2,5 ñiểm ) Chứng minh rằng: với số nguyên dương n luôn tồn số thực xn cho Xét dãy số ( xn )tìm giới hạn : lim( xn +1 − xn ) Bài ( 5,5 ñiểm ) 2008 xn − xn + n = Biết A(2;-3) , B(3,-2) và trọng tâm G thuộc ñường thẳng d có phương trình : 3x – y – = Tính bán kính ñường tròn nội tiếp △ABC b) Trong mặt phẳng có ñường tròn tâm O , bán kính R và ñường thẳng d tiếp xúc với ñường tròn (O,R) ñiểm A cố ñịnh Từ ñiểm M nằm trên mặt phẳng và ngoài ñường tròn (O,R) kẻ tiếp tuyến MT tới ñường tròn (O, R) (T là tiếp ñiểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc M lên d Chứng minh ñường tròn tâm M có bán kính MT luôn tiếp xúc với ñường tròn cố ñịnh M di ñộng trên mặt phẳng cho: MT = MH a) Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho tam giác ABC có diện tích
18 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT 2007 QUẢNG NAM x−4 +2 ≥0 Câu (3 ñiểm): Giải bất phương trình sau : ( x − ) x −1 Câu (3 ñiểm): Giải hệ phương trình sau :  x2 y − 2x + y2 =  2x + 3x + y −12x + 13 = Câu (3 ñiểm): Tìm tất các hàm số f thỏa mãn :  x−3  x+3 f + f   = x, ∀x ∈ R , x ≠  x +1   1− x  Câu (3 ñiểm): Tìm tất các nghiệm nguyên phương trình: x2 – 4xy + 6y2 – 2x – 20y = 29 Câu (3 ñiểm): Tìm số hạng tổng quát un dãy số (un) thỏa mãn ñiều kiện sau: u1 = a, u2 = b, a ∈ R + , b ∈ R +   un + = ( un un +1 ) , ∀n ∈ N * Câu (3 ñiểm): Cho ∆ABC Trên hai cạnh AB và AC lấy ñiểm D và E cho DE song song với cạnh BC và tiếp xúc với ñường tròn nội tiếp ∆ABC Chứng minh rằng: DE ≤ ( AB + BC + CA) Câu (2 ñiểm): ðặt x = a + b – c , y = a + c – b , z = b + c – a, với a, b, c là các số nguyên tố Cho biết x2 = y và hiệu z − y là bình phương số nguyên tố Xác ñịnh tất giá trị a, b, c ðề thi HSG môn Toán Trang 18 Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá
19 ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000 Bài 1: ( 2.5 ñiểm) Cho phương trình: x − 34x + a − (x − 1)(x − 33) = a/ Giải phương trình a = 64 b/ Tìm a ñể phương trình có nghiệm Bài 2:(2.5 ñiểm) Cho hai số a1, b1 với < b1 = a1 < Lập hai dãy số (an), (bn) với n = 1, 2, (a n + b n ) , b n +1 = a n +1.b n và lim b n theo quy tắc sau: a n +1 = Tính: lim a n n →+∞ n →+∞ Bài 3:(2.5 ñiểm) Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không ñồng phẳng và ba ñiểm A, B, C ( khác ñiểm 0) trên Ox, Oy, Oz Dãy số (an) là cấp số cộng có a1 > và công sai d > Với số n nguyên dương, trên các tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy các ñiểm An, Bn, Cn cho OA = an.OAn ; OB = an+1.OBn ; OB = an+2.OCn Chứng minh các mặt phẳng (An, Bn, Cn ) luôn luôn ñi qua ñường thẳng cố ñịnh Bài 4:(2.5 ñiểm) Tập hợp M gồm hữu hạn ñiểm trên mặt phẳng cho với ñiểm X thuộc M tồn ñúng ñiểm thuộc M có khoảng cách ñến X Hỏi tập hợp Mcó thể chứa ít là bao nhiêu phần tử? Bài 1: (2.5 ñiểm) Câu a: ( ñiểm) +(0.25 ñ) ðặt u = x − 34x + a HƯỚNG DẪN CHẤM v= (x − 1)(x − 33) u − (u − 1) = a − 33 +(0.25 ñ) Ta có hệ  (I) v = u − ≥  +(1.00 ñ) Hàm số f(u) = u5 – (u – 1)4 có f’(u) = 5u4 – 4(u – 1)3 > ∀u∈ [1; + ∞), nên f(u) tăng trên [1; + ∞) +(0.50 ñ) a = 64, f(u) = 31 = f(2) và f(u) tăng nên hệ (I) có nghiệm: (u = 2,v = 1) từ ñó ta có nghiệm phương trình là: x = 17 ± 257 Câu b: ( 0.5 ñiểm) + f(u) tăng trên [1; + ∞) mà f(1) = nên phương trình có nghiệm a – 33 ≥ hay a ≥ 34 Bài 2: (2.5 ñiểm) +(0.50 ñ) Tính a2, b2 với < b1 = a1 < ta có thể chọn < a < suy a1 = cos2a 1 a a = (cos a + cos a) = cos a(cosa + 1) = cosa.cos 2 2 a a b = cos acos cosa = cos acos 2 +(0.75 ñ) Bằng quy nạp, chứng minh ñược: ðề thi HSG môn Toán π cho: b1 = cosa, Trang 19 Lop12.net www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá a a a a n = cos aco s cos n −1 cos n −1 (1) 2 a a b n = cos aco s cos n −1 (2) 2 a +(0.75 ñ) Nhân hai vế (1) và (2) cho sin n −1 và áp dụng công thức sin2a ñược: a sin 2a.cos n −1 sin 2a an = , bn = a a n n sin n −1 sin n −1 2 +(0.50 ñ) Tính giới hạn: sin 2a sin 2a lim a n = , lim b n = n →∞ n →∞ 2a 2a Bài 3: (2.5 ñiểm) +(0.50 ñ) Phát biểu và chứng minh mệnh ñề: Nếu hai ñiểm X,Y phân biệt ðiều kiện cần và ñủ ñể ñiểm S thuộc ñường thẳng XY là tồn cặp số thực x, y thỏa: OS = xOX + yOY , với ñiểm O tùy ý   x + y = +(0.25 ñ) Từ giả thiết: (an) là cấp số cộng công sai d > nên: an+1 = an + d +(0.75 ñ) áp dụng nhận xét trên, ta có: a a OI = n +1 OBn − n OA n thì I ∈ AnBn d d và OA = a n OA n ; OB = a n +1 OBn ( a n , a n +1 > 0) Thế vào trên ta ñược: OI = a n +1 a n − = d d OB OA − = AB , ∀n=1,2 suy I cố ñịnh, nên ñường thẳng AnBn luôn d d d ñi qua ñiểm cố ñịnh I +(0.50 ñ) Tương tự, chứng minh ñược: BC d • AnCn luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh K xác ñịnh bởi: OK = AC 2d Vậy các ñường thẳng AnBn, BnCn, AnCn ñi qua ba ñiểm I, J, K cố ñịnh +(0.50 ñ) Chứng minh ba ñiểm thẳng hàng: 1 Ta có: OI = AB , OJ = BC , OK = AC d d 2d 1 1 Do ñó: OK = AC = (AB + BC) = (d.OI + d.OJ) = (OI + OJ) 2d 2d 2d Vậy I, J, K thẳng hàng ðiều này chứng tỏ mặt phẳng AnBnCn luôn ñi qua ñường thẳng cố ñịnh • BnBn luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh J xác ñịnh bởi: OJ = Bài 4: (2.5 ñiểm) +(0.50 ñ) Rõ ràng có ít hai ñiểm P,Q thuộc M cho PQ ≠ Ký hiệu : MP = {X ∈ M / PX = 1} Từ giả thiết |MP| = ta có: |Mp ∩ Mq| ≤ Nếu tồn P, Q cho |Mp ∩ Mq| ≤ thì M chứa ít ñiểm +(1.50 ñ) Trường hợp với P,Q cho PQ ≠ và |Mp ∩ Mq| = ðề thi HSG môn Toán Trang 20 Lop12.net