Một số đề toán thi học sinh giỏi doc

Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI  1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 ñiểm) 1/ So sánh hai số 2009 2010 và 2010 2009 . 2/ Tìm giới hạn 2 0 3 3 1 1 lim 3 ( 1 4 1) 2 ( (1 6 ) 1 6 1) x x x x x x →   −   + +   + + + +   . Bài 2 (4 ñiểm) 1/ Cho ba số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2009 + y 2009 + z 2009 = 3. Tìm giá trị lớn nhất của F = x 2 + y 2 + z 2 . 2/ Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng 1 2 1 2009 2010 2009+n 1 1 1 1 C C C 2007 n+ + + + < . Bài 3 (4 ñiểm) Hình chóp S.ABC có tổng các mặt (góc ở ñỉnh) của tam diện ñỉnh S bằng 180 o và các cạnh bên SA = SB = SC = 1. Chứng minh rằng diện tích toàn phần của hình chóp này không lớn hơn 3 . Bài 4 (4 ñiểm) 1/ Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax 3 + bx 2 + cx – a = 0 (a≠0). Chứng minh rừng 2 2 2 1 2 2+ 3 + - m + n + p m n p ≤ . 2/ Giải hệ phương trình 3 3 2 3 3 2 3 3 2 ( ) 14 ( ) 21 ( ) 7 x y x y z xyz y z y z x xyz z x z x y xyz  + + + = +  + + + = −   + + + = +  . Bài 5 (2 ñiểm) 1/ Chứng minh rằng bốn ñường tròn có các ñường kính là bốn cạnh của một tứ giác lồi thì phủ kín miền tứ giác ñó. 2/ Cho y = a 0 x + a 1 x 3 + a 2 x 5 + … + a n x 2n+1 + … thoả mãn (1 – x 2 )y’ – xy = 1, ∀x ∈(-1;1). Tìm các hệ số a 0 , a 1 , a 2 , …, a n .  2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007 BÀI 1: (3 ñiểm) Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 cos 4 4 . cos 4 2 2 0 tan x a tan x a π π − − − + + ≤ . BÀI 2: (3 ñiểm) Với những giá trị nào của a thì hàm số ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 1 2 sin sin 3 2 3 x x f x x a a a π = − + − + + có không quá hai ñiểm cực trị trên khoảng ( ; 5 π π ) ? BÀI 3: (4ñiểm) www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 2 Với những giá trị nào của a tập hợp nghiệm của bất phương trình sau chứa không quá bốn giá trị x nguyên. ( ) ( ) ( ) 144 2 +≤++− aaxaaxx . ðÁP ÁN BÀI 1 (3 ñiểm) ðặt t = ( ) 2 2 cos 4 tan x π − , với 1 t tan ≤ . Dễ thấy rằng với [ ] 0 1, 1 t tan tan ∈ − phương trình ( ) 2 2 0 cos 4 tan x t π − = có số nghiệm hữu hạn. Do ñó ta tìm tất cả a sao cho hệ 2 4 2 2 0 1 1 t at a tan t tan  − + + ≤  − ≤ ≤  có số nghiệm hữu hạn. ðiều này chỉ có thể khi hệ có ñúng một nghiệm. Nếu biểu thức ∆ của tam thức bậc hai tương ứng âm thì rõ ràng hệ vô nghiệm. Nếu ∆ = 0, tức là a = 1 hay a = 2 1 − , thì nghiệm của bất phương trình thứ nhất của hệ sẽ chỉ là một ñiểm t = 2a. Từ hai giá trị tìm ñược của a chỉ có a = 2 1 − là thích h ợp, với a = 2 1 − ta ñược t = 1 [ ] 1; 1 tan tan ∈ − từ ñây suy ra ( ) 2 2 cos 4 tan x π − = 1 hay π π π nx +−=− 4 4cos 22 , với n Z ∈ . Phương trình này có nghiệm chỉ khi n = 0. Lúc ñó 4 4cos 22 π π −=− x hay π π ππ 2 4 arccos4 22 kx +       −±=− , với k Ζ ∈ . Dễ thấy rằng phương trình này có nghiệm: 2 2 4 arccos4       ±−±= π ππ x . Nếu ∆ > 0 thì nghiệm của bất phương trình sẽ là ñoạn [ ] 21 ,tt , ñoạn này phải có chỉ một ñiểm chung với ñoạn [ ] 1, 1 tan tan − . Suy ra t 1 = tan1 hay t 2 = -tan1 . Lúc ñó giá trị cần tìm của tham số ñược tìm bằng cách giải tập hợp hai hệ sau : ( ) 0 1 0 1 f tan tan t  =  <  hay ( ) 0 1 0 1 f tan tan t  − =  − >  với f(t) = t 2 – 4at +2 + 2a . Suy ra 2 1 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan  + =   −   >   hay ( ) 2 1 2 4 1 2 1 1 2 tan a tan a tan  − +  =  +   < −   . Dễ thấy rằng hệ thứ nhất có nghiệm , còn hệ thứ hai vô nghiệm. Giá trị vừa tìm của tham số tương ứng t = tan1. Suy ra ( ) 2 2 cos 4 tan x π − = tan1, ππ nx +=− 14cos 22 , n Ζ ∈ . Phương trình này chỉ có ba nghiệm x 1 = 0 , x 2 = -2 π , x 3 = 2 π . Kết luận : N ếu a = 2 1 thì 2 2 4 arccos4       ±−±= π ππ x . www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 3 N ếu 2 1 2 4 1 2 tan a tan + = − , thì x 1 = 0 , x 2 = -2 π , x 3 = 2 π . Với các giá trị còn lại của a phương trình vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm . BÀI 2 (3 ñiểm) Ta có ( ) ( ) 3 2 cos 3 cos211 ' xx aaxf +−+−= . Nghiệm của phương trình ( ) 0 ' =xf sẽ là các ñiểm tới hạn của hàm f . Ta viết : ( ) 0 3 2 cos 3 cos211 =+−+− xx aa Dễ thấy rằng phương trình này tương ñương với tập hợp:      = −= a x x 3 cos 2 1 3 cos . Ph ương trình thứ nhất của tập hợp có hai nghiệm x 1 = π 2 và x 2 = π 4 trên khoảng ( π , π 5 ). Các ñiểm này là ñiểm tới hạn của hàm f . Khi viết ñạo hàm dưới dạng ( )       −       += a xx xf 3 cos 2 1 3 cos2 ' dễ thấy rằng các ñiểm tới hạn trở thành ñiểm cực trị chỉ khi a 2 1 −≠ (nếu a = 2 1 − thì ñạo hàm không ñổi dấu , và do ñó hàm f không có ñiểm cực trị ). Như vậy nếu 2 1 −≠a thì hàm f có ít nhất hai ñiểm cực trị trên khoảng ñược xét . Do ñó , cần tìm các giá trị a sao cho phương trình thứ hai không có thêm ñiểm cực trị . Trên khoảng ( π , π 5 ) hàm y = cos 3 x nhận tất cả các giá trị thuộc ñoạn 1 1; 2   −     9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 F E D Nếu       −∈ 2 1 ,1a và 2 1 −≠a thì hàm f sẽ có 4 cực trị . Có nghĩa là với những giá trị a khác hàm f s ẽ có không quá hai cực trị . K ết luận : 2 1 ≥a , 2 1 −=a , 1 − ≤ a . www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 4 BÀI 3 (4 ñiểm) Bất phương trình ñã cho tương ñương với tập hợp hai hệ:    +≥ ≤ 4 2 ax ax hay    +≤ ≥ 4 2 ax ax . Nhờ tập hợp này ta biểu diễn nghiệm của bất phương trình ban ñầu. Kẻ các ñường thẳng x = k , với Ζ ∈ k . 14 12 10 8 6 4 2 -5 5 10 15 - 6 12 x=a+4 x=a 2 A Lúc ñó giá trị a 0 mà với nó ñường thẳng a = a 0 cắt các ñường thẳng x = k không quá 4 ñiểm trong tập hợp ñã ñược ñánh dấu, sẽ là giá trị cần tìm. Căn cứ vào hình vẽ ta có các giá trị a cần tìm là : 06 <− , 1 0 < < a , 121 << a .  3. KÌ THI CHỌN ðỘI TUYỂN TOÁN BẮC NINH DỰ THI HSG QUỐC GIA LỚP 12 NĂM 2007 Câu 1: (4 ñiểm) Giải hệ phương trình: 3 2 cos cos 3 2 cos cos 3 2 cos cos x y z y z x z x y + = +   + = +   + = +  . Câu 2: (4 ñiểm) Cho dãy số { } n x thoả mãn: 0 3 1 1 3 3 2 n n n x x x x + + =    − = +   . Tìm lim n n x →+∞ . Câu 3: (4 ñiểm) Tìm t ất cả các hàm số f(x) liên tục trên * + R và thoả mãn: www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 5 2 2 2 (1) 5 4 ( ) ( ) 4 , 0 . f f x x f x x x x =    − = − ∀ >   Câu 4: (4 ñiểm) Trên mặt phẳng cho hình vuông ABCD cạnh a và ñiểm M thay ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi tổng sau: 1) T 2 = 2.MA 2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 . 2) T 1 = 2.MA + MB + MC + MD. Câu 5: (4 ñiểm) Cho tập hợp A = {0,1,2,…,2006}. Một tập con T của A ñược gọi là tập con “ngoan ngoãn” nếu với bất kì x, y ∈ T (có thể x = y) thì | x – y | ∈ T. 1) Tìm tập con “ngoan ngoãn” lớn nhất của A và khác A. 2) Tìm tập con “ngoan ngoãn” bé nhất của A chứa 2002 và 2005.  4. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (2006-2007) Bài 1: (4ñ) Giải phương trình : 1 ( 3) 2 1 x x − − = . Bài 2: (4ñ) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 yx + nếu : 3 2 6 7 3 4 x y x y + ≤ − ≤      . Bài 3: (4ñ) Cho dãy n21 x, ,x,x , với      =+= = + , )2,1n(,xxx 2 1 x n 2 n1n 1 . Hãy tìm phần nguyên của A biết 1x 1 1x 1 1x 1 A 10021 + ++ + + + = . Bài 4: (4ñ) Cho dãy (a n ) với :        −− = = + 2 a11 a 2 1 a 2 n 1n 1 . Chứng minh tổng tất cả các số hạng của dãy nhỏ hơn 1,03. Bài 5: (4ñ) Cho tứ diện ABCD trong tam giác BCD chọn ñiểm M và kẻ qua M các ñường thẳng song song với các cạnh AB,AC,AD cắt các mặt (ACD), (ABD) và (ABC) tại 111 C,B,A . Tìm vị trí của M ñể thể tích hình tứ diện 111 CBMA lớn nhất.  5. THI HỌC SINH GIỎI LẠNG SƠN Câu 1 : Giải BPT: x x xxxxxx 2 23234 1 ln)ln()1222ln( − ≤+−+−++ . Câu 2: Cho tam giác ABC ñều. Tìm tập hợp các ñiểm M nằm trong tam giác thoả mãn hệ thức: 222 MCMBMA += . www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 6 Câu 3 : Cho 2 số thực dương x, y thoả mãn: x + y =1. Tìm min của biểu thức: A= xy yx 8 11 22 + + . Câu 4: Cho dãy )( n x xác định: 1 1 2 2 n n x x x +  =   = +   (n >0). Tìm lim n x . Câu 5: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 1. Trên dt (d) vng góc với mf (ABC) tại A lấy điểm M tuỳ ý. Gọi H là trực tâm tam giác MBC. Khi M chạy trên dt (d), tìm max V(HABC) Câu 6: Tìm các đa thức P(x) thoả mãn: P(x+1)=P(x) +2x+1 Câu 7: Với mỗi số tự nhiên n, gọi P(n) là tập hợp các số tự nhiên k sao cho: 1 50750 + << nkn . Kí hiệu S là số phần tử của P(n). CMR với mỗi số tự nhiên n, ta có: S=2 hoặc S=3; và CMR tồn tại vơ số số tự nhiên k sao cho S = 3.  6. KỲ THI CHỌN HSG 12 TỈNH ðỒNG THÁP NĂM HỌC 2007-2008 Bài 1: (5 điểm). a) Tìm tất cả các số nguyên m sao cho PT x 2 + (m 2 - m)x - m 3 +1 = 0 có một nghiệm nguyên. b) Giải bất phương trình. Bài 2: (5 điểm). a) Giải phương trình 4sin 2 5x - 4sin 2 x + 2(sin6x + sin4x) + 1 = 0. b) Cho các số thực x 1 ,x 2, … ,x n thỏa mãn sin 2 x 1 +2sin 2 x 2 +…+ nsin 2 x n = a, với n là số nguyên dương, a là số thực cho trước, ( 1) 0 2 n n a + ≤ ≤ . Xác đònh các giá trò của x 1 , x 2, … , x n sao cho tổng S = sin2x 1 +2sin2x 2 + … + nsin2x n đạt giá trò lớn nhất và tìm giá trò lớn nhất này theo a và n. Bài 3: (4 điểm). a) Cho ba số thực a,b,c thỏa abc =1 .Chứng minh : 6 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1 3 . ( ) ( ) ( ) 2 a b c b c a c a b + + ≥ + + + b) Cho tam giác ABC nhọn thỏa điều kiện cot (cot 2cot ) 2cot( ) cot . 2 2cot( ) cot 2 A A B A B B A B B + + = − + + Chứng minh rằng ABC là tam giác cân. Bài 4: (2 điểm). Cho tam giác ABC, trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ sao cho AA’, BB’ và CC’ đồng qui tại điểm M. Gọi S 1 , S 2 và S 3 lần lượt là diện tích của các tam giác MBC, MCA, MAB và đặt ' ' ' , , . MA MB MC x y z MA MB MC = = = Chứng minh rằng: (y + -1) S 1 +(x + z-1)S 2 +(x + y -1)S 3 = 0. Bài 5: (2 điểm). Cho dãy {u n } , n là số nguyên dương , xác đònh như sau : . Tính u n và chứng minh rằng u 1 + u 2 +…+ u n . Bài 6: (2 điểm). Cho đa thức f(x)=x 3 + ax 2 + bx + b có ba nghiệm x 1 , x 2 , x 3 và đa thức g(x) = x 3 + bx 2 + bx + a. Tính tổng S = g(x 1 ) + g(x 2 ) + g(x 3 ) theo a, b. 2)12(log13)12(log 22 ≤+−++− xx 1 2 1 1 1 1 . 0 n n n n u u u u u + =   + −  =    >  ]) 2 1 (1[ 4 1 1− −+≥ n π www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 7 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN Bài 1: (5 điểm). Câu Đáp án Điểm a)(3 điểm) + Biến đổi: x(x+m 2 ) -m(x+m 2 ) = -1. + (x+m 2 )(x-m) = -1. + (a) hoặc 2 1 (b) 1 x m x m  + = −  − =  +Giải (a) m =1 hoặc m =-2. +Giải (b) vô nghiệm. +Vậy m =1 hoặc m =-2. 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(2 điểm) + Biến đổi: (1) +Vì nên + +Vậy 2 1 2 1 log 2 3log 2 x + + ≤ ≤ 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 2: (5 điểm). Câu Đáp án Điểm 21)12(log3)12(log 22 ≤−+++− xx BABA xx +≥+=−+++− ,21)12(log3)12(log 22 ⇔≥−++− 0)1)12()(log3)12((log 22 xx ⇔≥−+++− 0)1)12()(log3)12(log( 22 xx 3)12((log1 2 ≤+≤ x    −=− =+ 1 1 2 mx mx www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 8 a)(2 điểm) Biến đổi 4sin 2 5x+1-sin 2 x+4sin5xcosx=3sin 2 x 4sin 2 5x+4sin5xcosx+cos 2 x=3sin 2 x (2sin5x+cosx) 2 =3sin 2 x Vậy nghiệm hoặc hoặc hoặc 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(3 điểm) + Biến đổi +Bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có: +Dấu = xảõy ra khi hay hay 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1 2 2 2 2 1 2 tan tan tan sin 2sin sin sin 2 0 n n i x x x x x n x x = = =   + + +   >  )cos.sin cos2.sin2cos(sin2 2211 nn xnxnxxxxS +++= )cos cos2)(cossin sin2(sin2 2 2 2 1 22 2 2 1 2 nn xnxxxnxxS ++++++≤ )sin sin22sin1(2 2 2 2 1 2 n xnnxxaS −++−+−≤ )]sin sin2(sin) 21[(2 2 2 2 1 2 n xnxxnaS +++−+++≤ ] 2 )1( [2 a nn aS − + ≤ n n xn xn x x x x cos sin cos2 sin2 cos sin 2 2 1 1 ===        ≤≤ = + ==== π α α i n x a nn xxx 20 sin 2 )1( 2 21 ⇔±=+ xxx sin3cos5sin2 ⇔−±= xxx cos 2 1 sin 2 3 5sin ) 6 5 sin(5sin ) 6 sin(5sin π π −= −= xx xx 2 24 π π kx +−= 3 36 7 π π kx += 2 24 5 π π kx +−= 3 36 11 π π kx += www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 9 Vậy Max S= ( 1) 2 [ ] 2 n n a a + − khi 1 2 2 sin ( 1) 0 2 n x x x a n n α α π α   = = = =   =  +   ≤ ≤   0.5 Bài 3: (4 điểm). Câu Đáp án Điểm a)(2 điểm) p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ,ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 6 2 2 1 1 1 ( )( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( . . . ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ( ( ) ( ) a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c a c a b a b c b c c a a b a b c b c c a a b a b c b c a + + + + + + + ≥ + + + ≥ + + + + + = + + + = + + + + = = + + ⇒ + + + + 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 4 4 4 ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 . 2 2 2 b c c a a b c a b a b c b c a c a b b c c a a b a b c + + ≥ = + + + + + + + + = ≥ = 0.5 0.5 0.5 0.5 Câu Đáp án Điểm b)(2 điểm) +Biến đổi ,ta có +Biến đổi vế trái + + Dấu = xãy ra khi cos(A-B)=1 hay A=B Vậy tam giác ABC cân tại C. 0.5 0.5 0.5 0.5 . 3 4 =x 2 2 (cot cot ) 4cot ( ) cot cot 2cot( ) 2 2 A B A B A B A B + + + = ⇔ + = sin( ) 2sin( ) 2sin( ) cot cot sin sin cos( ) cos( ) 1 cos( ) A B A B A B A B A B A B A B A B + + + + = = ≥ − − + − + 2 ( ) ( ) 4sin cos ( ) 2 2 cot cot 2cot ( ) 2 2sin 2 A B A B A B A B A B + + + + ≥ = + www.VNMATH.com Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG mơn Tốn Trang 10 Bài 4: (2 điểm). Câu Đáp án Điểm 2 điểm + Gọi S là diện tích tam giác ABC,ta có Ta có +Suy ra +Suy ra 1 1 1 2 3 1 2 3 ( ) s s x x s x s s s s s s = ⇒ = ⇒ = + − + . +Tương tự Vậy (y+z-1) s 1 +(x+z-1)s 2 +(x+y-1)s 3 =0 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 5: (2 điểm). Câu Đáp án Điểm 2 điểm +Đặt ta có +Vì mà + + Suy ra đpcm 0.5 0.5 0.5 0.5 Bài 6: (2 điểm). Câu Đáp án Điểm 321 SSSS ++= ' ' ' ' 1 1 MA AA s s AA MA s s =⇒= xMA MA MA MAAA s ss 1 '' '' 1 1 == − = − 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 3 1 1 2 ( ), ( ); ( ) ( ) ( ) s y s s s z s s S s s s x s s y s s z s s = + = + = + + = + + + + + tan 0,0 2 n u π α α = > < < 2 1 1 1 1 tan 1 cos tan sin tan 2 cos n u α α α α α α + − + − = = = 0 tan 2 π α α α < < ⇒ < nn uuus +++= 21 1 2 2 1 tan tan tan , , tan 4 2.2 2.2 2.2 n n u u u π π π π = = = ⇒ = = 2 1 2 2 tan tan tan 2.2 2.2 2.2 1 1 1 1 1 ( ) 1 (1 ( ) ) 2.2 2.2 2 2 2 4 2 n n n n n s π π π π π π π − = + + + ≥ ≥ + + + = + + + = + − www.VNMATH.com [...]... + x + x ) + 3a S 1 2 3 1 2 3 1 2 3 + 0.5 S = (− a 3 + 3ab − 3b) + b(a 2 − 2b) + b(−a ) + 3a 0.5 S = (a − b)(−a 2 + 2b + 3) Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả đúng, hợp lô gic khoa học vẫn cho điểm tối đa của phần đó 7 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH HÀ N I 1995 Bài I Xét đư ng cong: y = mx3 − nx 2 − mx + n (C) Tìm các c p s (m; n) sao cho trong các giao đi m c... + c – b , z = b + c – a, v i a, b, c là các s ngun t Cho bi t x2 = y và hi u z − y là bình phương c a m t s ngun t Xác đ nh t t c giá tr c a a, b, c ð thi HSG mơn Tốn Trang 18 www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá 19 ð THI CH N H C SINH GI I B C PTTH TH A THI N HU NĂM H C 1999-2000 Bài 1: ( 2.5 đi m) Cho phương trình: x − 34x + a − (x − 1)(x − 33) = 1 a/ Gi i phương trình khi a = 64 b/ Tìm a đ phương trình... (d) nh nh t và đ dài đo n OM ng n nh t 2 Cho đư ng tròn (C) tâm M(-2; 0) ti p xúc v i Oy Tìm t p h p tâm các đư ng tròn ti p xúc v i Ox và ti p xúc ngồi v i đư ng tròn (C) ð thi HSG mơn Tốn Trang 12 www.VNMATH.com 10 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH Câu 1 (5 đi m): Nguy n Văn Xá HÀ N I 1998 Cho h đư ng cong (Cm): y = x 3 − 3 x 2 + mx + 4 − m ( m là tham s ) ðư ng th ng (d): y=3-x c t m t đư ng cong b t... (E) Ch ng minh r ng: 4 đư ng th ng MF1, MF2, NF1, NF2 cùng ti p xúc v i m t đư ng tròn 13 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH Câu 1 (4 đi m): HÀ N I 2003 Gi i và bi n lu n theo tham s a s nghi m c a phương trình: (n + 2) x n +3 − 2003(n + 3) x n + 2 + a n +3 = 0 (v i n là s t nhiên l cho trư c) Câu 2 (4 đi m): ð thi HSG mơn Tốn Trang 14 www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá Cho đư ng cong (C) có phương trình y =... m F1 , F2 Qua O, F1 v các đư ng song song a 2 b2 OM OM ' MOM', MF1N' Tính t s : F1 N F1 N ' Cho hình Elíp 8 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH Bài I HÀ N I 1996 Cho dãy ( xn ) xác đ nh b i đi u ki n: x1 = a ; xn +1 − xn 2 + xn = 3 ; ( n = 1; 2; 3…) 4 Tìm giá tr c a a sao cho: x1996 = x1997 ð thi HSG mơn Tốn Trang 11 www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá Bài II Hàm s f(x) đư c xác đ nh b ng h th c: f (1 − x) + 2... ta có hình 1 ði u này mâu thu n vì VR>2 +(0.50 đ) V y M ch a ít nh t là 9 đi m D u b ng x y ra v i hình2 V y M có th ch a ít nh t là 9 đi m T V A5 R A9 A6 U A 1 A2 A3 P A7 A8 A4 20 ð THI CH N H C SINH GI I B C PTTH TH A THI N HU Bài 1 (5 đi m) Cho phương trình: cos3x + asinx.cosx + sin3x = 0 a/ Gi i phương trình khi a = 2 b/ V i giá tr nào c a a thì phương trình có nghi m Bài 2 (5 đi m) Gi s phương... BA â) 2 2 1 (1.75 MN = KB + BC + â) 2 + Do đó: ð thi HSG mơn Tốn Trang 24 www.VNMATH.com Nguy n Văn Xá 4BM.MN = (BA + BK).(KB + 2BC) = BA.KB + 2BA.BC + BK.KB + 2BK.BC = BA.KB + BK.KB + 2BK.BC = KB.(BA + BK − 2.BC) = KB.(BA − BC + BK − BC) = KB.(CA + CK) = KB.CA + KB.CK = 0 V y: BM ⊥ MN ( Có th tính và áp d ng đ nh lý Pythagor).bv 21 ð THI CH N H C SINH GI I TỐN 12 Câu 1 : (2,5 đi m) Cho hàm s f :... ng th ng ti p xúc v i (P) t i M và N 1 Cmr: ∆FIM đ ng d ng v i ∆FIN 2 M t đư ng th ng (d) tuỳ ý ti p xúc v i (P) t i T và c t IM, IN t i Q và Q' Cmr: FQ.FQ' khơng ph thu c v trí c a (d) FT 14 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH Bài 1 (4 đi m): HÀ N I 2004 4 5 m2 3 x + 1 và g ( x) = x − 2004 x − 12 có đ th là (C) và (C’) H y tìm t t c 5 3 cac giá tr c a tham s m đ t n t i 4 đư ng th ng khác nhau, cùng song... sin 2 γ = 2 2.G i S A , S B , S C , S D l n lư t là di n tích các m t đ i di n v i đ nh A, B, C, D c a kh i tư di n Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c: Q = MA.S A + MB.S B + MC.S C + MD.S D 15 KỲ THI H C SINH GI I THÀNH PH Câu 1 (5 đi m): G i ( Cm ) là đ th c a hàm s 1 Tìm các giá tr c a m đ HÀ N I 2006 y = x 4 − 6m 2 x 2 + 4mx + 6m 4 ( m là tham s ) ( Cm ) có 3 đi m c c tr A, B, C 2 Ch ng minh r ng... c đ nh và x + y = 3xy 2 Xác đ nh v trí c a M, N đ di n tích tồn ph n t di n ADMN đ t giá tr nh nh t và l n nh t.Tính các giá tr đó 16 ð THI TH HSG VỊNG T NH L N 3 - THPT CAO LÃNH 2 NĂM 2008 Bài 1: (2.0 đi m) V i a,b,c > 0 th a mãn đi u ki n abc =1 Ch ng minh r ng: ð thi HSG mơn Tốn Trang 16 www.VNMATH.com 3 3 Nguy n Văn Xá 3 a b c 3 + + ≥ (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a)(1 + b) 4 Bài 2: (3.0 . Nguyễn Văn Xá ðề thi HSG môn Toán Trang 1 MỘT SỐ ðỀ TOÁN THI HỌC SINH GIỎI  1. ðỀ THI CHỌN HSG 12 TỈNH BẮC NINH 2009 Bài 1 (6 ñiểm) 1/ So sánh hai số 2009 2010 và 2010 2009 0.5 0.5 Chú ý : học sinh có thể đưa ra phương án giải quyết vấn đề khác nếu kết quả đúng, hợp lô gic khoa học vẫn cho điểm tối đa của phần đó.  7. KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HÀ NỘI. a 0 , a 1 , a 2 , …, a n .  2. ðỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2006 -2007 BÀI 1: (3 ñiểm) Tìm tất cả các giá trị a sao cho bất phương trình sau có một số hữu hạn nghiệm và tính các nghiệm này: