Chuyên đề Công thức khai triển nhị thức Niu-Tơn

Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy trong tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp ở hàng trên bằng phần tử cùng cột với phần tử thứ hai ở hàng dưới Ckn  Ckn  1  Ckn 11.. Hơn n[r]

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn PHẦN CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn n  a  b n   Ckn an  k bk , n   k 0 Tam giác Pa-xcan n Từ công thức ta thấy Ckn là hệ số an  k bk khai triển  a  b  Như vậy, với n   cố định thì hệ số các lũy thừa khai triển là Cn0 , C1n , …, Cnn Ta xếp các hệ số các lũy thừa vào bảng cho n +) dòng n là các hệ số các lũy thừa khai triển  a  b  , +) cột k là hệ số lũy thừa an  k bk , ta tam giác Tam giác này gọi là tam giác Pascal C00 C10 C11 C02 C12 C22 C03 C13 C23 C33     C0n  Ckn C0n      Ckn   C0n Cnk  Cnk 11  Cnn  Cnn  11       Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp hàng trên phần tử cùng cột với phần tử thứ hai hàng ( Ckn  Ckn   Ckn 11 ) Hơn nữa, ta thấy tam giác này, các phần tử nằm trên cột thứ và trên cạch huyền Từ các nhận xét trên, ta có cách xác định nhanh các phần tử tam giác Pa-xcan Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Ví dụ Xét khai triển  a  b  Viết dòng đầu tiên tam giác Pa-xcan, ta có 1 1 1 3 10 10 5 Vậy  a  b   a5  5a4b  10a3b  10a 2b  5ab  a5 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 PHẦN CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH Loại Các đẳng thức suy trực tiếp từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn A Một số ví dụ Ví dụ Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau 1) S1  Cn0  C1n  Cn2   Cnn , n 2) S  Cn0  C1n  Cn2    1 Cnn Giải n 1) Ta có S1   k0 S2   Cnk 1n  k1k  1  1 n  2n k  1   1   0n  k 0 n 2) Ta có n Cnk    1  k k 0 Cnk  n  Cnk 1n  k  1 n k0 Nhận xét: Kết câu 1) nhận từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn cho a  b  Kết câu 2) nhận cho a  , b  1 Ví dụ Rút gọn S  1 1    0!2012! 1!2011! k !n  k  ! 2012!0! Giải 2012 Ta có S  k !  2012  k  ! k0  2012  2012!S 2012 2012!     Ckn k !  2012  k  ! k  k 0 2012  2012  Ckn 12012 k1k  1  1  22012 k0 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84  S 22012 2012! Ví dụ Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: 2n  S  C12n  C32n  C2n   C2n 2n S1  C02n  C2n  C42n   C2n , Giải 2n Ta có  S1  S  2n  Ck2n 12n k1k  1  1 Ck2n  k 0 2n  22n k 0 2n 2n k 0 k 0 k k   1 Ck2n   Ck2n 12n k  1  1   1  S1  S  1 2n  02n   2  S1  S 2n Từ   ,   suy S1  S   22n  Ví dụ Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn biểu thức S  C02n  C12n  C22n   Cn2n Giải Áp dụng công thức Ckn  Cnn  k ta có 2n  2n  2n S  C2n   Cn2n  Cn2n  Cn2n1  Cn2n   C2n 2n  C 2n  C 2n 2n  2S   Ck2n  k0 2n  Ck2n 12n  k1k  1  1 2n  22n k 0 2n  S   22n 1 Ví dụ Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: n 1) S1  Cn0  2C1n  22 Cn2    1 2n Cnn n 2) S  1n Cn0  n21 C1n  n2 Cn2    1 2n Cnn 3 Giải n 1) S1    2  k0 k Cnk  n  Cnk 1n  k  2  k n n  1   2     1 k 0 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 n 2) S   Cnk  13  k 0 nk  2 k   13   2   n  3  5 n   1  n n  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 B Bài tập Bài Giải phương trình Cxx   Cxx   Cxx     Cxx   Cxx   Cxx 10  1023 Bài Tính k S  42010.C02010  42009.C12010  42008.C22010     1 42010  k Ck2010    C2010 2010 2004 2004 Bài Chứng minh C02004  22 C22004  24 C42004    22002 C2002 C2004  2004  32004  2n 1 Bài Tìm số nguyên dương n cho C12n  C2n  C2n    C2n  2048 Bài Rút gọn 1) S  2n Cn0  2n  Cn2  2n  Cn4    Cnn ( n là số nguyên dương chẵn) 2) S  2n 1 C1n  2n  Cn3  2n  C5n    Cnn ( n là số nguyên dương lẻ) Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Loại Các đẳng thức thu nhờ biến đổi số hạng tổng quát A Nội dung phương pháp Ta đặc biệt quan tâm đến số biến đổi sau đây * kCkn  k n! k ! n  k  !  n  n 1 !  nCkn 11  k  1 ! n 1   k 1  ! Tương tự ta có k  k  1 Ckn  n  n  1 Ckn  22 , … * k 1 Cn Ck  n  1 ! n  n!   1 k  k  k ! n  k  ! n   k  1 ! n  1   k  1  ! n 1   Tương tự ta có Ck n  k  1 k   k2 Cn 2 ,  n  1 n    … B Một số ví dụ Ví dụ Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau: n n 1) S1  Cn0  C1n  Cn2  Cn3    1 Cnn n 1 2) S  n1.2 Cn2  n2.3 Cn3  n3.4 Cn4    1    3 n  n  1 nCnn Giải n 1) S1   k 0  2  k k 1 Cnk Với k  , , , …, n , ta có Ck k 1 n   n! k  k ! n  k  ! S1  n 1  n 1  n 1 n   2   n 1 !  Ckn 11   k  ! n   k  !        n  k Ckn 11 k 0 n 1   2  h 1 Chn  ( h  k  ) h 1   n 1 n 1   2 h Chn  h 1   n 1  h      Chn  11n  1 h  2    1 n 1      h    Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84    Vậy S1    1 n  n 1 n 2) S   k2 n 1 1   2   1 n 1  1n  n 1   1 k k  k   3n  k Cnk Với k  , , , …, n ta có: k  k  1 Ckn  k  k  1 n! k ! n  k  !  n  n  1 n 2!  k  2 ! n     n  k   !  n  n  1 Ckn  22 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 C Bài tập Bài Tính 2009 2008 2009  k 2009 1) S  C02010C2010  C12010C2009    Ck2010C2010  k    C2010C1 2 2) [ĐHB2003] Cn0  1 C1n  1 Cn2    1 Cnn n 1 Bài Với n là số nguyên dương, rút gọn 1) S  C1n  2Cn2     n  1 Cnn 1  nCnn 2) S  Cn0  2C1n    nCnn 1   n  1 Cnn n 3) S  2.1Cn2  3.2Cn3    n  n  1  1 Cnn 4) S  3.2C0n  4.3C1n    n   n   Cnn C1 C2 Cn 5) S  Cn0  n  n   n n1 C1 C2 Cn 6) S  2n Cn0  2n 1 n  2n  n    n n1 Bài Chứng minh 2001 2000 2001 k 2001 2002 1) C02002C2002  C12002C2001    Ck2002C2002  k    C2002 C1  1001.2 2) C1n 3n   2Cn2 3n   3Cn3 3n     nCnn  n4n  ( n nguyên dương) 3) C02n  2C12n  3C2n  4C32n    2n  1 C2n 2n  ( n nguyên dương) 2n 1 C12n C2n C52n C2n 22n  4) [ĐHA07]      ( n nguyên dương) 2n 2n  C02n C12n C2n Cn2n 22n   5)      ( n nguyên dương) 3n  3n  Bài [ĐHA05] Tìm số nguyên dương n cho 2n  C12n   2.2C22n 1  3.22 C32n   4.23 C42n     2n  1 22n C2n   2005 ĐS: 1002 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Loại Các bài toán hệ số lũy thừa khai triển A Một số ví dụ   Ví dụ [ĐHD04] Tìm số hạng không chứa x khai triển  x   , với x  4x   Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có k 28  7k   k  3    k k 1 12    x   C x  C x   7  4  4x      x   k   k          28  7k hệ số x 12 khai triển là Ck7 Ta có 28  7k   k   số hạng không chứa x khai triển là C47  35 12 Ví dụ [ĐHA12] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn 1  Cn3 Tìm số hạng chứa x5 n  1   , x  khai triển nhị thức Niu-tơn  nx  14 x  Giải * Ta có 5Cnn 1  Cn3  5  5n  n  n 1 n    n 1 n   (do n nguyên dương)  n  3n  28   n   thoûa maõn     n  4  loại  k    17  k Ck  7 k     2 x3k      * n    x2  x1    Ck7  x2  x1     2k   k   k      hệ số x 3k  khai triển là  17  k Ck7 2k  13 C47 35 Ta 3k    k   hệ số x5 khai triển là   16 10 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Tìm số hạng chứa x5 khai triển là  35 x5 16 Ví dụ [ĐHD07] Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức 10 P  x   2x   x   3x  Giải Hệ số x5 khai triển thành đa thức P là tổng các hệ số x5 các khai triển 10 P1  x   2x  và P2  x 1  3x  Hệ số x5 khai triển P1 là hệ số x4 khai triển   2x  10 Hệ số x5 khai triển P2 là hệ số x khai triển   3x  Áp dung công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có : k k k 0 k 0   2x 5   Ck5 15 k  2x k      2 k Ck5 xk   hệ số x4 khai triển này là  2  C45  80   10   3x  10   k0 Ck 15  k  3x k     10 k k x    3k C10 k 0  hệ số x khai triển này là 33 C10  3240   Từ   ,   suy hệ số x5 khai triển P là 80  3240  3320 Ví dụ [ĐHA04] Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức 1  x   x     11 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 1  x   x      8 k  k 8k  k   C8  x 1  x      Ck8 x 2k 1  x   1 k 0 k 0 k Trong khai triển Pk  x 2k   x  lũy thừa bậc thấp và bậc cao là x 2k và x 3k Do đó muốn khai triển Pk có chứa x8 thì 2k   3k   k   k   3;4 3   +) P3  x6   x   x6  3x  3x2  x  x6  3x7  3x  x9  hệ số x8 khai triển P3 là   +) P4  x8   x   x8  4x  6x2  4x3  x4  x8  4x9  6x10  4x11  x12  hệ số x8 khai triển P4 là Vậy hệ số x8 khai triển ban đầu là 3C38  C48  238 Ví dụ Tìm lũy thừa có hệ số lớn đa thức  3x   Giải Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có 9 k0 k 0  3x  9   Ck9  3x k 29  k     3k 29  k Ck9 xk   hệ số xk khai triển là ak  3k 29  k Ck9 ( k  0,1, , ) a Với k  0,1, , , xét tỷ số T  k 1 a k Ta có T  T1  1 3k  1.28  k Ck 3k 29  k Ck 3  k  2 k   k !  k  ! 9!  k 1 !  k  ! 9!   3  k  2 k  1   k   k  0;1;2;3;4;5 , dấu xảy  k  Từ đó suy ra: a0  a1  a  a  a4  a5  a6  a7  a8  a9 Vậy các lũy thừa số hệ số lớn khai triển là x5 và x6 n Ví dụ Tìm n để đa thức  x   có lũy thừa hệ có hệ số lớn là x10 Giải 12 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có  x  2 n n    Ckn xk 2n  k  k 0 n   2n k Ckn xk  k 0  hệ số xk khai triển là ak  2n  k Ckn ( k  0,1, ,n ) a Với k  0,1, , n  , xét tỷ số Tk  k  ak Ta có Tk  1 k ! n  k  ! 2n  k  Ck n n!   n k n  k k n! k  ! n  k  !  k  1     Cn Lũy thừa có hệ số cao là x10 nên  a10   n9   a9 T9   n  29  n  30  20 a9  a10  a11           10 n  32  n  31 T10  1  a11   n 22  a10 Thử lại ta thấy hai giá trị tìm n thỏa mãn yêu cầu bài toán 13 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 B Bài tập 18   Bài [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa x khai triển  2x  , với x   x   n Bài [ĐHB07] Tìm hệ số số hạng chứa x10 đa thức   x  , biết n 3n Cn0  3n 1 C1n  3n  Cn2       Cnn  2048 n   Bài [ĐHA03] Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển   x5  biết x  Cnn  14  Cnn    n   n Bài [ĐHA06] Tìm hệ số số hạng chứa x 26   khai triển   x7  , biết  x4  n 20 C12n   C2n     C2n    20 Bài Tìm hệ số x15 đa thức   x     x     x    20   x  Bài [ĐHA08] Giả sử   2x n  a0  a1x  a 2x   an xn Biết a a a a0     n  212 Tìm số lớn các số a0 , a1 , a , , an 22 2n Bài [ĐHD03] Gọi a 3n  là hệ số x3n  khai triển thành đa thức  x2   n  x  2n Tìm n để a3n   26n n Bài Tìm số nguyên dương bé n cho đa thức   x  có hai lũy thừa liên tiếp có tỷ số các hệ số n Bài Khai triển biểu thức   2x  ta đa thức có dạng a0  a1x  a x2    an xn Tìm hệ số x5 biết a0  a1  a  71 14 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84 C Đáp số Bài 6528 Bài 22 Bài 495 Bài 210 Bài 400995 Bài a8 Bài Bài 21 Bài 672 15 Lop12.net