Bài tập Tích phân ôn thi đại học

Dạng 1: Tính tích phân bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản.. Tìm nguyên hàm Fx của fx, rồi sử dụng trực t[r]

TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM *  dx  x  C *  cos xdx  sin x  C =>  cos udu  sin u  C x 1  C ,(  1)  1 1 *  dx  ln x  C =>  du  ln u  C x u *  sin xdx   cos x  C *  x dx  *  e x dx  e x  C * * cos2 x dx  tan x  C dx  tan(ax+b)+C a cos (ax+b) * dx   cot x  C sin2 x =>  e u du  e u  C ax  C (0  a  1) ln a (ax+b)  *  (ax+b) dx   C, a  a   u  *  u du  C   *  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a 1 * dx  ln ax  b  C ax  b a *  a x dx  *  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a *  e ax  b dx  e ax  b  C a *  tan xdx   ln cos x  C *  cot xdx  ln sin x  C * 1 xa dx  ln C 2a x  a x a Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng bảng nguyên hàm và định nghĩa Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng các nguyên hàm Tìm nguyên hàm F(x) f(x), sử dụng trực tiếp định nghĩa tích phân: b  f ( x )dx  F(b)  F (a) a b Chuù yù: -Nếu  b f ( x )dx = F ( x ) ba thì a b  f (u)du  F (u) a với u = u(x) a -Nắm vững bảng các nguyên hàm;Nắm vững phép tính vi phân.chú ý: dx  - Chú ý đến phép chia đa thức, phân tích Tích phân hàm số hữu tỷ 1 x  dx ( x  1)3 dx 3)  x  x3 5)  1 dx x (x  1) ln ln  du ( x ) u , ( x) 1 1  (  ) ,phép nhân liên hợp ( x  a )( x  b) a  b x  a x  b 2)  4)  x2  2x  dx 2 x   3ln 2 dx x x3  1 16 ln   x x 1 6)  2  dx x 4  ln  ln Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 2 x 1 x  x 1   dx 7)  dx ln  8)  4ln2-3ln3  x  1 x x6 x dx 1 x 9) I   11) dx  x x 2  1 4x  dx x  3x  ln 2 10) I    1  12 Tính các tích phân vô tỷ: 52 1)  x  x dx 231 x2 3)  dx 10 x1  5)  x 1 4) 3x  1 7)  2 x  x 1   5)  sin x sin 2xdx   1 1   ln  7)   2sin x dx  s in2 x  /2 (cos3 x  sin x) dx  /4 11)  dx cos x  /4 13)  tan x dx  14 dx x   x 1 3- 3- 5cos x  4sin x 15  dx ( c osx+sinx)  2) 4sin3 x 0  cos x dx  4)   cos x  sin x dx 4  2 32  15 8)  x x  dx 0  x  1dx 6)  15 sin3x  sin 3x 0 1 cos3x dx 9) 3 Tính các tích phân lượng giác sau:  ln cos 2x 1) I   dx  sin 2x 3) x x 3dx   2  ln(  ) 2 1 2) I   x x  1dx 46 15 dx x sin x  ( x  1) cos x dx x sin x  cos x 12)  18ln  ln 3   6)  sin 2x  sin x dx 15  /2 ln 2 8) 10)    cos x(sin  x  cos x)dx /6  /4  sin x dx sin x  cos x  /3 12) 14  16) ln sin x  cos x dx sin x  cos x  (ln4  )  2  32  ln 2   x dx  tan  ½ dx s inx-cosx Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013  /4 17)  dx cos x  28 15 18)  Tích phân hàm số mũ – logarits x  e x  2x 2e x 1   2e  1)  dx  ln   x  2e   e 3)  ln 2)  ex dx (e x  1)    esin x  cos x  cos xdx e   tgx  e cos x  e 1    sin x  sin x   2 2 1  ln x dx x  sin xdx  ) cos x dx ln  e 9) 1  ln x dx 2x  1 (3  2) Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến số b Giả sử ta cần tính I=  g( x )dx Nếu viết g(x) dạng: g( x )  f  u( x ) u '( x ) thì đặt a b t  u( x )  dt  u '( x )dx Khi đó u(b ) I =  g( x )dx  a  f (u)du u(a ) Một số dạng thường gặp: *Nếu tích phân chứa n u ( x) thì có thể đặt t = n u ( x) t = u(x) *Nếu tích phân chứa mẫu số có thể đặt t = mẫu số * Dạng f (s inx).cosx dxcó thể đặt t = biểu thức chứa sinx *Dạng f (cosx).sinx dx có thể đặt t = biểu thức chứa cosx * Dạng f(tanx) dx, có thể đặt t = biểu thức chứa tanx cos2 x *Dạng f(sinx+cosx).(cosx-sinx)dx, đặt t = sinx+cosx *Dạng f (ln x ) dx , đặt t = biểu thức chứa lnx x x x *Dạng f (e ).e dx , đặt t =biểu thức chứa e x 2.1 Tính các tích phân hữu tỷ: 1)  3)  19  17 x 1 dx x 1 2 x 1 dx x 1 t  x x ln 2) (x2 1)dx   x2  5x 1x2 3x 1 4)  (x  x)dx x  4x  4x  1 ln 15 tx x 2.2 Tích các tích phân vô tỷ: 1)  x  x dx (  1) 15 2)  x  2x 3 3) dx 0 x  x   ln  4)  1 x2 1 x x 1 .dx dx 26 11  ln 3 Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 62 2(1 – ln2) dx x x 1  30 ln 5)  6) dx x 1 x  10  8) I   3 10) x x  x2 1 dx  x  2 x  9)  dx 11)  x x2  64 dx 13)  x3 x 2 15)  x  x  2011x x4 17) ln dx 7)  ln( x   1)  x 1  x 1 dx 10 dx x  x 1 4x  dx 2x    1 ln 12)  11  ln 14) 213 14077  + 128 16 16) 2 ln x  3x  dx x2 e ln x 18) ln  ln 34  10 ln ln  e x dx x 1  ex  2ln3 – dx 100  ln 27  x2 x2 1 3x  1 dx 2ln21 dx  1 x  1 2.3 Tích các tích phân lượng giác: b a) b  f  sin x  cos xdx  f  cos x  sin xdx a  sin x cos x dx  cos x  /2 3)   5)   /2 7)  cos x.dx 13  10 sin x  cos x a   2ln2  34 27 2)  sin x  sin x dx  3cos x  /2 ln 4), dx cos x ln(1 2) 6) cos x  sin x cos x dx  sin x  ln  sin x dx  sin x  cos x  /2  9)  (cos3 x  1) cos2 xdx   15 dx sin x /3 ln    8) ln2 - 3sin x  4cos x 0 3sin x  4cos2 x dx  10)   cos x sin x cos5 xdx   ln 3 12 91  /2  sin 11) x.cos3 x.dx  13  sin x cos3 x dx  cos x 15  ln 2  12  sin x cos x  4sin x dx  14  cos x dx  sin x Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013   b  f  tgx  dx cos2 x  1)   dx   /4 cos x.cos  x   4    dx 3)     sin x.sin  x   3   5)  dx   sin x  cos x  sin x 7)   sin xdx cos x (tan x  tan x  5)     12) sin x.cos5 x  1   1 6)   cos x tan x 3 dx 2 3  ln   cos x ln  tan x dx cos x  10 ln(2  3)  27 dx 1/6   s inx+cosx  /4  8) dx   9)   sin  x  .dx sin x  2cos x     cos x 4   10 ln ln dx 4)  dx sin x dx sin x.cos x   /6   2)  ln  f  cotgx   cotx 11)  dx    s inx.sin  x   4   13) tan x    tan x  cos x dx   2  ln    4 ln  b c)  b f  sinx  cosx   cosx  sinx  dx a  /2 1)   f  sinx  cosx   cosx  sinx  dx a cos x dx (sin x  cos x  3)3  sin x  cos x  dx  sin x 32   sin  x   dx 4  2)  sin x   sin x  cos x     sin x  cos x 4)  dx  sin x  4 3 4 ln   s inx-cosx+1 5)  dx s inx+2cosx+3   ln sin xdx (sin x  cos x ) 6)   cos x   sin x  sin( x   dx ln(4  2) ) d) Các dạng khác /4  (sin2x  2x)dx cos x(1  x.tan x)2  /2 Đặt t   x.tan x 2) sin2x   sin x dx  Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013  /2   /2 s in2x  2x dx sin x  x.cos x 5) s in2x  2x  3) dx (t   x.sin x) 4)  2 dx  /4 sin x(1  x.cot x)  x.sin x   0 x.cos x  sin x  2.4 Tích phân mũ – logaris ln ex  dx 2  ln(e2  e 1) x  e  1 dx e 1  x ln 3) 11- 24ln2 e x dx  x 4)  ex  ex 1  ln ln 5)  x dx x 3 ln e  e e  ln x ln x dx x  e log 32 x  x  3ln x e ln x dx x (2  ln x )2 11  e2 12) dx  e  ln x dx x ln x e 1  14    dx ln x ln x  e   1 22 2 x ln e2 x ln 116 135  27 ln 10   e dx dx ex   9  1 x  2ln x x  ln x ln ln 14 3 10 11 2 3 dx e ln x  ln x dx x 3 ( 16  1) e 3 ln    2 ln x sin(ln x)  ln x  dx x 12   /4  t  x.ln x  13)  log (1  tan x)dx e   e 15) ln(5  x)  x  x dx 1 x2 cos1+sin1 + 2  3      x   t  164 ln  15 Dạng 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần b 3.1.Dạng  P( x ).l n xdx a 3 I   x ln x dx 3  ln x  (x  1) dx    3ln3 – ln x 1 x dx e e  ln 16 2  ln( x  x)dx ln(s inx)dx cos x x  ln x 5e  32  (1  ln 3)  ln  s inx.ln(1+cosx)dx e   x  1 dx 1 e 2ln2-1 3  ln   x ln 1 x  dx ln  Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 e 9)   x   ln xdx x 1   x2  dx   x   11  x ln   13 x  x2 ln  e 1 ln tgx 10    dx sin x ln 16 3 ln    5 12  ln x dx 4 e x  x2 dx   e 3 ln  ln   e 14   ln x  ln x  ln x   b 3.2 Dạng  ( x  sin x) cos xdx  x  dx  2 e  3 b  P( x ).cos xdx ,  P( x ).sin xdx a  x a    /4 G   x tan xdx  2   ln 32 2 x sin x dx       2 2   cos x dx –2   x sin x 0 cos x dx   x sin x  dx cos x   2  3  ln 2  x dx  cos x   x.sin x.cos x dx   ln  b 3.3 Dạng  P( x ).e x dx a 1  ( x  x).e x dx e   x2 e2 x  x  1 dx  cos 3x.e dx  3e 7)  e x cos xdx  x  2   dx x3   dx  x2    e   2  2e   5  3e e2 61 3 3 12 3 3x sin xdx 0  /2   xe2 x   sin x x2e x 3.e  34   sin x x e dx  cos x  e  Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 Dạng 4: Tính tích phân phương pháp đổi biến số lượng giác   f ( x )dx Đặt x = x(t) (t  K) và a, b  K thoả mãn  = x(a),  = Giả sử ta cần tính  x(b)thì  b b a a  f ( x )dx   f  x(t) x '(t)dt   g(t)dt   g(t )  f  x(t ) x '(t) 4.1 Dạng f(x) có chứa a  x thì đặt x  a sin t, /2 x2   x2 x2  4 x 2/ dx đ dx dx   x2 dx x2  e x   dx  ln x 3      ln x  dx  x  ln x   x  x dx x2  2x  x 1/   e 10  x  ln x 1   x dx 0 dx 1 x  x   10  x 1 dx x4  1 x2   dx x 1    ln(  1) 2 3 18   4  3ln  x4 1 dx x6   dx x  x2  e s inx  cos x ln(1  ln x ) dx 1 x 10 dx 1   ln(  1) cos3 x  cos x  sin x x ( )dx  cos2 x  12  +   t 2 1 x dx dx  2π  3  4 2 ln x  ln x  e2   2 dx  2x  x 4.2 Dạng f(x) có chứa a  x thì đặt x  a tan t, x dx    t 2 e   12 x x2      2 2    36 ln2 – +  Các dạng khác x 0 ( x  2)  x dx C   1 x dx 3 x  4 /2    32 1 x dx 1 x  1 x   x ln 1  x   dx x   1    1   2 Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 Dạng 5: Tích phân số hàm đặc biệt Daïng Tích phaân cuûa haøm soá chaün, haøm soá leû a  Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá leû treân [-a; a] thì f ( x )dx   a a  Neáu haøm soá f(x) lieân tuïc vaø laø haøm soá chaün treân [-a; a] thì  a a Bước 1: Phân tích I   a f ( x )dx  a  a a f ( x )dx   f ( x )dx 0 a    J   f ( x )dx; K   f ( x )dx     a  f ( x )dx   f ( x )dx 0 Bước 2: Tính tích phân J   f ( x )dx phương pháp đổi biến Đặt t = – x a Daïng Neáu f(x) lieân tuïc vaø laø haøm chaün treân R thì:   f ( x)  x dx   a   I   (với   R+ và a > 0)  f ( x )dx 0   f (x) f ( x)  J   dx; K   dx  x x   a  a      f (x) f (x) dx   dx   dx x x x a 1 a  a   f ( x) Để tính J ta đặt: t = –x   Daïng Neáu f(x) lieân tuïc treân  0;  thì  2    f (sin x )dx   Đặt t  f (cos x )dx  x Dạng Nếu f(x) liên tục và f (a  b  x )  f ( x ) f (a  b  x )   f ( x ) thì đặt: t = a + b – x Ñaëc bieät, neáu a + b =  thì ñaët t =  – x neáu a + b = 2 thì ñaët t = 2 – x Dạng Tính tích phân cách sử dụng nguyên hàm phụ Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 1):  a)  cos4 x    x  x  x  x 1   d) dx b)   cos x ln( x   x )dx c)   ln x   x dx e)  x dx  x dx 1   d) x4   sin2 x dx 3x  1 b)  1  x2 1 2x f)  1 x  sin x x2 1 dx c) e) 1 x  cos x.ln  dx 1 x    1 1 x  x  Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 2): a) x2 1   x dx 3 f)  1 (e  1 (4 dx dx x  1)( x  1) dx x  1)( x  1) Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 3):  a)  n cos x cosn x  sin n x  d) dx (n  N*) b) sin2009 x   sin x  7 sin x  cos x  dx e)  2009 4 x  cos2009 x sin cos x  sin x Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 4):  a) d)  x sin x  cos  x dx b) x  cos x  sin2 x 2 e)  x   sin x dx h)  sin x ln(1  tan x )dx l) a) dx   sin x  sin x  cos x dx b) cos x  sin x  cos x dx e)  dx   sin x   ln   cos x dx  f) i)  x.sin xdx x sin x   cos x dx  dx xdx  cos x sin x  x sin x cos m)  sin x  cos x dx  dx x sin x sin x  cos x 4 cos x  sin x  x sin x sin x sin4 x  c) 0  d) f)  0  cos x Baøi Tính caùc tích phaân sau (daïng 5):  dx   cos x dx   x cos3 xdx   k)   ln(1  tan x )dx  g)  c)  cos4 x  dx c)  dx f) sin x  sin x  cos x dx  cos4 x 4 4 sin x  cos x sin x  cos x Dạng 6: Ứng dụng tích phân dx Dieän tích hình phaúng  Diện tích S hình phẳng giới hạn các đường: {Đồ thị (C) hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b];Trục hoành;Hai đường thẳng x = a, x = b.} b laø: S   f ( x ) dx (1) a  Diện tích S hình phẳng giới hạn các đường: {Đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b];Hai đường thẳng x = a, x = b.} b laø: S   f ( x )  g( x ) dx (2) a Chuù yù: 10 Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 b  Nếu trên đoạn [a; b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:  b f ( x ) dx  a  f ( x )dx a  Trong các công thức tính diện tích trên, cần khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phaân Ta coù theå laøm nhö sau: Bước 1: Giải phương trình: f(x) = f(x) – g(x) = trên đoạn [a; b] Giả sử tìm nghiệm c, d (c < d) Bước 2: Sử dụng công thức phân đoạn: b  a c d b c f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx a c =  d d f ( x )dx  a  b f ( x )dx  c  f ( x )dx d * Trường hợp giới hạn nhiều hai đường đường có thể vẽ đồ thị để thiết lập công thức tính`  Diện tích S hình phẳng giới hạn các đường: – Đồ thị x = g(y), x = h(y) (g và h là hai hàm số liên tục trên đoạn [c; d]) d – Hai đường thẳng x = c, x = d S   g( y )  h( y ) dy c Theå tích vaät theå  Theå tích cuûa khoái troøn xoay: Thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn các đường: b (C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b) sinh quay quanh trục Ox: V    f ( x )dx a * Nếu hình phẳng giới hạn đoà thò cuûa caùc haøm soá y = f(x), y = g(x) ;x = a, x = b quay quanh Ox thì b V   a b f ( x)dx   g ( x )dx a Chú ý: Thể tích khối tròn xoay sinh hình phẳng giới hạn các đường sau quay xung quanh d V    g2 ( y )dy truïc Oy:(C): x = g(y), truïc tung, y = c, y = d laø: c Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) y  x  x  6, y  0, x  2, x  c) y   ln x , y  0, x  1, x  e x b) y  d) y  x ln( x  2)  x2 ln x x và trục hoành , y  0, x  e, x  1 e) y  ln x, y  0, x  , x  e f) y  x , y  0, x  2, x  e Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: 3 x  a) y  , y  0, x  b) y  x , y   x, y  x 1 x2 x2 c) y  e x , y  2, x  d) y   , y 4 11 Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 e) y  x , y  x  x  1, y  f) y   e  1 x , y  1  e x  x A07 Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) y   x , y  x  x b) y  x  x  , y  x  c) y  x và y   x d) y  1 x2 ,y  x2 e) y  x , y   x f) y   x  x và y = Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) y  x , x   y b) y  x   0, x  y   c) y  y  x  0, x  y  d) y  x  1, y  x  e) y    , y  và hai đt x  , x  s inx.cos x f) x  y3   0, x  y   Bài Tính diện tích hình phẳng giới hạn các đường sau: a) y  và y  b) (C ) : y  x 1  x  x2 1 x2  x  , y  , tieäm caän xieân cuûa (C), x = –1 vaø x = x2 c) (C ) : y  x  x  x  3, y  và tiếp tuyến với (C) điểm có hoành độ x = d) (C ) : y  x  3x  2, x  1 và tiếp tuyến cới (C) điểm có hoành độ x = –2 e) (C ) : y  x  x và các tiếp tuyến với (C) O(0 ; 0) và A(3; 3) trên (C) VẤN ĐỀ 2: Tính thể tích vật thể Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn các đường quay quanh trục Ox: x.e x b) y  x , trục hoành và đường thẳng x  e 1 a) y   x  x (C ); y  1( D) c) y  sin6 x  cos6 x , y  0, x  0, x   d) y  x , x  e) y  x  1, y  0, x  1, x  f) y  x , y  x g) / y  x ln x , y  , y  e h) y   x  x, y  x    2x ,x k) y  và hai trục tọa độ x 1 l) y  x  x  6, y   x  x  m) y  ln x, y  0, x  Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn các đường quay quanh trục Oy: a) x  , y  1, y  b) y  x , y  y i) y  sin x, y  cos x , x  c) y  e x , x  0, y  e d) y  x , y  1, y  Bài Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh hình (H) giới hạn các đường sau quay quanh: i) truïc Ox ii) truïc Oy a) y  ( x  2)2 , y  b) y  x.ln x , y  0, x  1, x  e 12 Lop12.net TRƯỜNG THPT ĐỨC THỌ GV: Đặng Ngọc Giáp BÀI TẬP TÍCH PHÂN ÔN THI ĐẠI HỌC - Năm học 2012-2013 c) y  x , y  x d) y  x  x , y  13 Lop12.net