II.Kỹ thuật tách nghịch đảo khi sử dụng BĐT Cauchy: * Phương pháp : Tách phần nguyên theo mẫu số để khi áp dung BĐT Cauchy th× phÇn chøa biÕn bÞ triÖt tiªu... VI.Sử dụng các BĐT đã biết.[r]
(1)Phân bậc hoạt động chứng minh BĐT I.Chứng minh BĐT phương pháp “ cân bậc” : * Phương pháp : Nếu VT và VP BĐT cần CM là đa thức đẳng cấp khác bậc thì ta cần tìm cách biến đổi cho vế BĐT cần chứng minh có cïng bËc Bµi 1: cho a+b = CMR : a4 + b4 a3 + b3 (1) LG : 1 2a b 2a b 2a b (a b)(a b ) a b ab a b a (a b ) ba b (a b)(a b ) (luôn đúng vì a - b và a3 - b3 cùng dấu ) đpcm Bµi 2: Cho a + b + c = CMR: a b c a b c 2 2 3a b c 3a b c 3a b c a b c a LG: a b a b b c b c (c a )c a (luôn đúng vì x y x y 0, x, y R ) 4 3 3 3 4 b3 c3 3 Bµi 3: Cho x, y vµ x3 + y3 = x - y CMR: x2 + y2 < (3) LG : V× x> , y> x3 + y3 > mµ x3 + y3 = x - y nªn x - y > 3 x y x y x y x xy x y y x y y 7y3 y2 y xy x y ( x) (luôn đúng vì y > 0) Bài 4: Giả sử phương trình : x3 - x2 + ax + b = (*) có nghiệm phân biệt thực CMR : a2 + 3b > (4) LG : Giả sử x1 , x2 , x3 là nghiệm phân biệt phương trình (*) Lop10.com (2) x x x x x x x x x a x x x b ( 4) 4 ( x x x x x x ) 3x x x x x x x x x 3x x x x x x 2 ( x x x x ) x x x x x x x x 0 2 Lu«n cã : x x x x 2 x x x x 2 x x x x 0* x x x x DÊu “=” x¶y x x x x x x x (tr¸i gi¶ thiÕt nghiÖm x x x x phân biệt) dấu không xảy (4) đúng II.Kỹ thuật tách nghịch đảo sử dụng BĐT Cauchy: * Phương pháp : Tách phần nguyên theo mẫu số để áp dung BĐT Cauchy th× phÇn chøa biÕn bÞ triÖt tiªu Bµi : CMR: a b 2, a , b b a a b 0, : b a LG: ¸p dông B§T Cauchy cho a b a b 2 2 b a b a a b a b a b (v× ab > 0) b a a b Bµi 2: CMR: 2, ab b a a b a b LG: vì , cùng dấu ,do đó ta có : b a b a a b a b Cosi a b 2 2 b a b a b a DÊu “=” x¶y Bµi 3: T×m y log x 1 3 x log 3 x x 1 LG: Gsử hàm số xác định Khi đó vì log 3 x x 1 và log x 1 (3 x ) cùng dÊu nªn : y log x 1 3 x log 3 x x 1 2 2 Lop10.com (3) = log x 1 3 x log x 3 x 2 1 Cosi log x 3 x log x 2 1 3 x 1 DÊu “=”x¶y x = VËy Min y = a2 Bµi 4: CMR: 2, a R a 1 a (a 1) 1 Cosi a 2 LG: a 1 a 1 a 1 Bµi 5: CMR: a 3, a b b (a b ) 1 LG: a b (a b ) b (a b ) b (a b ) a 1 a 1 2, a R Do a > b > a - b > nªn : Cosi 1 33 b(a b) (®pcm) b (a b ) b (a b ) b (a b ) b (a b ) a b a b2 Bµi : CMR: 2 , a, b tho¶ m·n: ab ab a LG: cã a > b a - b > a b a b 2ab Cosi ab a b 2 (®pcm) ab ab ab ab III Phương pháp toạ độ : *Phương pháp : Sử dụng tính chất: +) a b a b +) Cho A, B, C lµ ®iÓm bÊt kú ,ta cã: AB AC AB AC AB AC BC Chó ý : AB AC 2AI ,I lµ trung ®iÓm cña BC Bµi 1: Cho ®iÓm A(2;3).T×m ®iÓm BC trªn Ox cho BC = vµ AB + AC nhá nhÊt? LG : Trong hệ toạ độ Đềcác vuông góc Oxy ,gọi B (b ; 0) và C (c ; 0) Lop10.com (4) AB AB (b 2) AC AC (c 2) BC BC (b c) b c Ta cã : AB AC AB AC AI , I lµ trung ®iÓm cña BC ; I( bc ;0) AI nhá nhÊt AI BC I(2; 0) AI = B(5; 0) vµ C(-1; 0) hoÆc B(-1; 0), C(5; 0) VËy B(5; 0) vµ C(-1; 0) hoÆc B(-1; 0)vµ C(5; 0) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn bµi to¸n Bµi : T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : f ( x ) x 2x x 2x LG : ta cã f ( x ) x 2x x 2x x 1 1 x 1 1 §Æt A(1;-1), B(-1; 1) , M(x; 0) AB 2 ; AM ( x 1) ; BM x 1 1 ¸p dung B§T tam gi¸c ta cã: AM + BM AB x 12 x 12 2 DÊu “=” x¶y x = VËy Min f(x) = 2 Bµi 3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña : A x 2ax 2a x 2bx 2b ,a b LG: Ta cã : A x 2ax 2a x 2bx 2b = x a 2 a x b 2 b §Æt A(x-a; a) vµ B(x-b;-b) AB a b;a b Ta cã OA OB x a 2 a x b 2 b AB a b 2 a b 2 = 2a b VËy Min A = 2a b Bµi 4: CMR: a b c d a c 2 b d LG: Trong hệ toạ độ Oxy chọn u a; b ; v c; d u v uv a b c d a c b d (®pcm) Bµi 5: CMR: a ab b a ac c b bc c Lop10.com (5) (5) 2 b 3b c 3c c 3c LG: Ta cã (5) a a b 2 2 2 b 3b c 3c bc , v a ; uv §Æt u a ; ; b c 2 2 2 b 3b c 3c bc u v u v a a b c 2 2 a ab b a ac c b bc c (®pcm) Bµi 6: CMR: cos x cos y sin x y sin x sin y sin ( x y) LG: đặt u (2 cos cos y, sin( x y)) ; v (2 sin x sin y, sin( x y)) u v (2 cos( x y);2 sin( x y)) Ta cã u v u v cos x cos y sin x y sin x sin y sin ( x y) (®pcm) IV.Sử dụng phương pháp quy nạp Bµi : CMR nÕu a, b, c lµ c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ c¹nh huyÒn thì với số nguyên dương n ta có : a2n+ b2n c2n (1) LG : với n = ,(1) có dạng a2 + b2 c2 (BĐT đúng vì theo định ly Pitago thì: a2n+ b2n = c2n ) Giả sử : a2n+ b2n c2n đúng với n nguyên dương và n k ,ta cần CMR: a2(k+1)+ b2(k+1) c2(k+1) ThËt vËy a2(k+1)+ b2(k+1) = a2k.a2 + b2k.b2 < a2kc2 + b2kc2 = c2(a2k + b2k) c2 c2k = c2(k+1)VËy BĐT(1) cm cho số nguyên dương n Bài 2: CMR : với số nguyên dương n > ta có : 1 13 n 1 n 2n 24 LG: Ký hiÖu vÕ tr¸i cña B§T lµ Sn Víi n = ,ta cã : Sn 1 13 (đúng) 2.2 12 24 Giả sử BĐT đúng với 2 n k ta chứng minh nó đúng với n = k+1 ThËt vËy ta cã : Lop10.com (6) 1 (k 1) (k 1) 2(k 1) 1 1 , từ đó ta có : k 2 k 3 2k 2k 1 1 S k 1 S k = 0, khik 2k 2k k 2(k 1)(2k 1) 13 Do đó Sk+1 > Sk > Vậy BĐT chứng minh cho n >1 24 Sn Bài : CMR với n nguyên dương ta có : 2n+2 > 2n +5 LG: Với n=1 có : 21+2 = 23 = > 2.1+5 ,hay bất đẳng thức đúng Giả sử BĐT đúng với n = k tức là : 2k+2 > 2k +5 ,ta chứng minh nó đúng víi n = k+1 tøc lµ : 2k+1+2 > 2(k+1) +5 ThËt vËy ,theo gi¶ thiÕt ,ta cã : 2k+1+2 = 2k+2 > 2(k +5) = 4k + 10 > 2k +7 = 2(k+1) +5 Vậy BĐT đúng với số nguyên dương Bài (BĐT Bec_nu_li): CMR với n nguyên dương và với số thực -1, có : (1+)n1 + n DÊu “=” x¶y =0 hoÆc n=1 LG: n=1, R : (1)trở thành đẳng thức =0 , nZ: (1) trở thành đẳng thức Ta CM: (1+)n > 1+n (2) n2, nZ, >-1, 0 +) víi n=2: (1+)2 = + 2 + 21+ 2 ; 0 , tức là BĐT (2)đúng với n=2 +)giả sử (2) đúng với n, ta cm đúng với n+1 ,tức là : (1+)n+1> 1+ (n+1) , -1, 0 ThËt vËy ,(1+)n+1 = (1+ )n (1+) > (1+n)(1+) = 1+ (n+1) + n2 > 1+(n+1) (®pcm) V Dùng phương pháp biến đổi tương đương: Bµi : CMR : víi mäi a, b, c : a2+ b2 +1 ab + a + b LG : a2+ b2 +1 ab + a + b 2a2 + 2b2 +2 2ab + 2a +2b a2 - 2ab + b2 + a2 -2a + + b2 - 2b + Lop10.com (7) (a+ b)2 + (a -1)2 + (b-1)2 (đúng với a, b, c) Bµi :cmr : víi mäi a, b, c : a2 + b2 + ab + 2(a+b) LG: a2 + b2 + ab + 2(a+b) 2a2 + 2b2 + 2ab + 4a + 4b (a-b)2 + (a-b)2 + (b-2)2 (luôn đúng với a,b ,c) a + b2 + c2 ab - ac + 2bc 1 LG : a2 + b2 + c2 ab - ac + 2bc a2 + b2 + c2 - ab + ac - 2bc 4 ( a - b + c)2 (hiÓn nhiªn) Bµi 3: CMRvíi mäi a, b, c : Bµi : Cho a ,b ,CMR: ab a+b LG: Viết lại BĐT đã cho dạng : ab - a - b +1 1 a(b-1)- (b-1) 1 (a-1)(b-1) (1) Do a,b nên a-1 1, b - 1 1.Vậy (1) đúng bđt đã cho đúng DÊu “=” x¶y vµ chØ a = b= VI.Sử dụng các BĐT đã biết Bµi : CMR: (a+b)(ab+1) 4ab ( a, b 0) LG : ¸p dông B§T Cauchy cho c¸c sè kh«ng ©m ,ta cã a+b ab , ab + ab (a+b)(ab +1) 4ab (®pcm) Bµi 2: CM (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (a, b, c 0) LG: a+b ab b+c bc c+a ac nh©n vÕ víi vÕ c¸c B§T trªn ta ®îc: (a+b)(b+c)(c+a) 8abc (®pcm) 1 Bµi : Cmr: a b c (a, b, c > 0) a b c LG: V× a,b,c > nªn a b c 33 abc 1 1 33 0 a b c abc Lop10.com (8) a b c (®pcm) a b c Bµi :CM : a2(1+b2) + b2 (1+ c2) + c2(1+ a2 ) 6abc LG: Ta cã : a2(1+b2) + b2 (1+ c2) + c2(1+ a2 ) = a2 + a2b2 + b2 + b2c2 + c2 + c2a2 = (a2 + b2c2) + (b2 + a2c2) + (c2 + a2b2) áp dụng BĐT Cauchy cho các số dương ta có : (a2 + b2c2) a b c = 2abc b2 + a2c2 a b c = 2abc (c2 + a2b2) a b c = 2abc (®pcm) VII.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè Bµi :T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè : f(x) = x2 + 2x -3 trªn 2;3 LG: XÐt hµm sè trªn 2;3,ta cã : x - -2 -1 + f(x) -3 -4 12 Tõ b¶ng biÕn thiªn ta cã : max f(x) = 12 ; minf(x) = -4 -2x3 -2x3 Bµi 2: T×m max, cña hµm sè : f(x) = cos x + 3sinx + LG: thay cos2x = 1- sin2x ta ®îc : y =f(x) = - sin2 x + 3sinx + §Æt t= sinx ,-1 t ,ta cã y= - t2 + 3t + Bµi to¸n quy vÒ t×m max, cña hµm sè y = - t2 + 3t + , trªn 1;1 Có a = -1 <0 ,x0 = -(b/2a) = 3/2 hàm số y = f(t) đồng biến trên(- ; 3/2),suy hàm số đồng biến trên đoạn 1;1 x + - -1 f(x) max f(t) = f(1) = 7; f(t) = f(-1) = -1 t 1 -1 t 1 Lop10.com (9) Do đó max f(x) = x k 2 ,kZ Minf(x) = x k 2, k Z Bài 3: Gọi x1, x2, x3 là các nghiệm phương trình : x3 - (2m + 3)x2 + (2m2 - m+ 9)x - 2m2 + 3m - 7= (1) T×m cña biÓu thøc : x12+ x22 + x32 + x1 x2 x3 LG : ta thấy x= là nghiệm phương trình ,ta có : (1) (x-1)(x2 - 2(m+1)x + 2m2 - 3m + 7) = x 2 x 2m 1x 2m 3m Phương trình x2 - 2(m+1)x + 2m2 - 3m + = có nghiệm và : ’= (m + 1)2 - (2m2 - 3m + 7) = - m2 + 5m - 2 m Khi đó (1) có nghiệm x1, x2, x3 : x1 = 1; x2 , x3 là các nghiệm phương tr×nh: x2 - 2(m+1)x + 2m2 - 3m + = Ta cã : A = x12+ x22 + x32 + x1 x2 x3 = x22 + x32 + x2 x3 +1 = (x2 + x3)2 - x2 x3+ = 4(m + 1)2 - (2m2 - 3m + 7) + = 2m2 + 11m - Bµi to¸n quy vÒ t×m max, cña hµm sè f(m) = 2m2 + 11m - trªn ®o¹n 2;3 đó ta dễ dàng tìm max A = 49 m = ; minA = 28 m=2 Bµi : Tuú theo gi¸ trÞ cña tham sè a ,h·y t×m max cña hµm sè : f(x) = cos2x - 2(a+1)sinx + a - HD: thay cos2x = 1- 2sin2x ,ta ®îc : f(x) = - 2sin2x - 2(a+1)sinx + a - đặt t = sinx ,-1 t , ta F(t) = - 2t2 - 2(a+1)t + a - a 1 a 1 ; Ta có hàm số đồng biến trên ; vµ nghÞch biÕn trªn §/s: +) nÕu a th× minf(x) = 3(a-1) ; maxf(x) = - a - +)nÕu -3 < a < -1 : maxf(x) = a2/2 + 2a - 5/2 ; minf(x) = 3(a - 1) +) nÕu -1a < th× minf(x) = -a - ; maxf(x) = a2/2 + 2a - 5/2 +)nÕu a th× maxf(x) = 3(a-1) ; minf(x) = -a - Lop10.com (10) VIII Phương pháp tam thức bậc hai : Bµi 1: T×m miÒn gi¸ trÞ cña y 2x x2 x LG: y0 MGT cña biÓu thøc y0x2 + (y0 - 2)x +4y0 + = (*) NÕu y0 = th× x = 1/2 Nếu y0 thì để phương trình (*) có nghiệm ta có : 19 19 y0 15 15 19 19 Từ đó suy MGT hàm số là: ; 15 15 x cos x cos Bµi 2: Cho y víi (0,) x x cos = 15y02 -8y0 + LG: y0 MGT cña hµm sè (y0 - cos)x2- 2(y0cos - 1)x + y0 - cos = NÕu y0 = cos th× x = NÕu y0 cos th× ’ = - sin2(y02 - 1) y 1.(®pcm) 12 x ( x a ) Bµi : T×m max y x 36 12 x ( x a ) LG : §Æt t (12 - t)x2 - 12ax - 36t = cã nghiÖm x 36 ’=36a2 + 36t(12 - t) 36 a t 36 a Từ đó suy max y 36 a Bài 4: Tìm a, b để y 3/ ax b đạt max và -1 x2 1 LG: y0 MGT cña hµm sè y0x2 - ax+ y0 - b = (1) a b NÕu y0 = th× b a 0, x a Nếu y0 thì phương trình(1) phải có nghiệm Khi đó = -4y02 + 4by0+ a2 để max y = và y = - ta phải có phương trình -4y02 + 4by0+ a2 = phải có nghiệm -1 và Khi đó a = và b = IX.Phương pháp xét dấu biểu thức trên khoảng giá trị biến Lop10.com (11) Bµi : Cho A = x4 + x3 + x2 + x+ Cmr : A > víi mäi gi¸ trÞ cña x LG : x = ,A = > (1) x = kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña pt A = A(x - 1)= (x4 + x3 + x2 + x+ 1)(x - 1) = x5 -1 Víi x = x5 -1 = Ta cã : x - + x-1 + x -1 + x 1 + + A x 1 Tõ b¶ng xÐt dÊu ta cã A > x1 (2) Tõ (1),(2) suy A > x Bµi : CMR: B = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x+ > x R LG: Cã B(x -1) = x7 - x 1 0B0 x 1 x 1 NÕu x < th× x - < vµ x7 - < B 0B0 x 1 NÕu x >1 th× x- > vµ x7 - > B Nếu x = thì B = > (đúng) VËy B > x R X.Dùng Bđt để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: Bµi 1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè : f (x) x x ; x LG: ¸p dông B®t bunhiacopski cho cÆp sè : (3 , 4) vµ x 1, x ta ®îc : f (x) x x f x 10 3 2 x x 100 x 1 5x 61 x 25 2 x 1 x x 1 x VËy maxf(x) = 10 f x x 1 x 9x x 36 VËy f(x) = x = Lop10.com (12) Bµi 2: T×m ,max cña hµm sè : f x 3x x , x LG : ¸p dông B®t Bunhiacopski cho cÆp sè : , vµ x , x ta ®îc : f x 3 x x 3x 3x x 2 2 x 75 max f ( x ) x 3 Cã f x 2 3x x 9x x 27 f ( x ) 3 x Bµi : T×m max ,min cña hµm sè : f(x) = sinx + cosx + , 0< x< 2 HD: cã f(x) = sinx + cosx + , (0< x< 2) (f(x) - 2) = sinx + cosx ¸p dông B®t Bunhiacopski cho : 3, vµ sinx , cosx ta suy ®pcm 2 XI Dïng B®t Becnuli: Bµi 1: Cmr: (n+1)n 2.nn LG : ¸p dông B®t Becnuli víi = ,ta cã : n n ) nn(1 + n ) = 2.nn , sè nguyªn n 1.(®pcm) n n Bµi : Cmr : lg(n+1) > + lgn 10n (n+1)n = n(1+ LG: tõ B®t trªn suy : (n+1)10n 210 n10n > 1000n10n Logarit ho¸ vÕ cña B®t trªn ta ®îc : + lgn.(®pcm) 10n 3n 1 Bµi : Cmr : lgn! ( 1) , đó n là số nguyên 10 n 1 lg(n+1) > LG : tõ B®t trªn suy : + lg 10 lg > + lg 10.2 lg > lg n > + lg(n-1) 10(n 1) cộng n -1bất đẳng thức trên ta được: Lop10.com (13) lg n 1 (1 ) (1) 10 n 1 V× lg = nªn : lg(n!) = lg + lg3 + + lg n nhng theo (1) th× : 10 lg (1 ) 10 1 lg (1 ) 10 lg lg n 1 (1 ) 10 n 1 Céng vÕ víi vÕ cña n - B®t trªn ta ®îc lg(n!) 3 1 n 1.1 n n (n 1) 10 n 1 3 1 n 1 n 1 10 n 1 3n 1 lgn! ( 1) (®pcm) 10 n 1 = Lop10.com (14)