Câu 4 3 điểm Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a 3 và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.[r]
(1)www.VNMATH.com www.vnmath.com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN THI : TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Câu (2 điểm) x2 có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C) Tiếp tuyến x 1 (C) điểm M cắt hai tiệm cận A và B Gọi I là giao điểm hai tiệm cận Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M Cho hàm số y Tìm m để hàm số y x m x có cực đại Câu (2 điểm) Giải phương trình sin 2012 x cos 2012 x 1005 x x y y Giải hệ phương trình 2 x y xy Câu (2 điểm) Chứng minh tan x sin x x ( ), x 0; Từ đó suy 2 2 tam giác nhọn ABC ta có tan A tan B tan C sin A sin B sin C 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y x x 16 x Câu (3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng (P) qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a M và N là hai điểm thay đổi thuộc các cạnh BC và DC cho MAN 450 Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ thể tích khối chóp S.AMN Câu (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c Chứng minh a ab b bc c ca 5(a b c) 2 2 2 a 3ab c b 3bc a c 3ca b …………………Hết………………… Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………… Chữ ký giám thị 1:………………….Chữ ký giám thị 2:……………………… Lop12.net (2) www.VNMATH.com www.vnmath.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012 Câu Ý Nội dung CM tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M I 3 a2 M (C ) M a; y '(a ) , a 1 y ' ( x 1) (a 1) a 1 a2 Tiếp tuyến (C) M có pt y () ( x a) (a 1) a 1 Tiệm cận đứng 1 có phương trình x 1 Tiệm cận ngang có phương trình y I (1;1) a 5 1 A A 1; , B B 2a 1;1 a 1 1 a5 2a S IAB IA.IB a (không 2 a 1 a 1 phụ thuộc vào a, đpcm) Tìm m để hàm số y x m x có cực đại mx 9m TXĐ: , y ' , y '' x2 ( x 9) x y ' x mx x mx mx mx (I) 2 2 81( x 9) m x ( m 81) x 81.9 Điểm 1,00 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 0,25 TH m 81 9 m m x x x 9(x) nên y' x mx x2 0, x suy hàm số đồng biến trên 0,25 có cực trị TH m ( I ) x1 y ''( x1 ) 9m ( x12 9) x12 9m 27 m 81 x1 là điểm cực tiểu m loại TH m 9 ( I ) x2 y ''( x2 ) II 2 0,25 27 m 81 x2 là điểm cực đại ( x 9) x Vậy hàm số có cực đại m 9 2 , không Giải phương trình sin 2012 x cos 2012 x Lop12.net 0,25 1005 (1) 1,00 (3) www.VNMATH.com www.vnmath.com Đặt t sin x, t 0;1 (1) có dạng: t1006 (1 t )1006 Xét hàm số f (t ) t1006 (1 t )1006 , t 0;1 f '(t ) 1006[t1005 (1 t )1005 ] ; f '(t ) t 21005 (2) 0,25 0,25 1 1 f (0) f (1) 1, f 1005 f (t ) 1005 Vậy (2) t 0;1 2 2 hay (1) sin x cos x x k ( k Z ) x x y y (1) Giải hệ phương trình 2 (2) x y xy 0,25 0,25 1,00 ĐK: y (1) x y y x x xy y y x ( y 1)( x 1) xy ( y 1)( x 1) x y x y y x x y 1 III x y 1 x x xy Kết hợp với (2) ta y 2x x y xy x & (2) y y 1 1 y x & (2) x x x y 3 ,y Thử lại ta có x 0, y và x thỏa mãn hệ pt 3 Vậy hệ có nghiệm trên Chứng minh tan x sin x x ( ), x 0; 2 2 Xét hàm số f ( x) tan x sin x x trên 0; 2 f '( x) 0,25 0,25 0,25 0,25 1,00 2cos3 x 9cos x (2cos x 1)(cos x 4cos x 2) cos x cos x 2cos x 2cos x Vì x 0; cosx<1 (cos x 2) 4cos x f '( x) cùng 2 dấu với 2cos x Bảng biến thiên f ( x) x f '( x) - + 0,25 f ( x) 0,25 Lop12.net (4) www.VNMATH.com www.vnmath.com ( ) Vậy f ( x) tan x sin x x ( ), x 0; 2 2 Đẳng thức xảy và x 0,25 Áp dụng: Tam giác ABC nhọn nên A, B, C 0; 2 tan A sin A A ( ) Tương tự, cộng lại ta 2 9 tan A tan B tan C sin A sin B sin C ( A B C ) ( 2 Kết hợp với A B C ta có đpcm 0,25 2 1,00 Tìm giá trị nhỏ hàm số y x x 16 x TXĐ: D 4;4 Đặt t x x , t Bình phương ta t ( x 4)(4 x) Dấu có x= 4 Mặt khác theo BĐT Cô-si ta có t ( x 4)(4 x) ( x 4) (4 x) 16 D có x=0 Do t 2 t t2 Khi đó y f (t ) t t t 4, t 2;4 2 f '(t ) t 1, f '(t ) t (loại) f (2 2) 2, f (4) Vậy y f (t ) x=0, max y max f (t ) 2 4;4 4;4 2 ;4 2 ;4 0,25 0,25 0,25 0,25 x= 4 IV Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a Lop12.net 1,50 (5) www.VNMATH.com www.vnmath.com S C' D' B' D C A B BC AB, BC SA BC ( SAB) BC AB ' SC ( P ) SC AB ' AB ' ( SBC ) AB ' SB Tương tự AD ' SD VS AB ' C ' D ' VS AB ' C ' VS AD ' C ' 0,25 0,25 VS AB ' C ' SB ' SC ' SB '.SB SC '.SC SA2 SA2 3 2 VS ABC SB SC SB SC SB SC 20 (1) 0,25 VS AD ' C ' SD ' SC ' SD '.SD SC '.SC SA2 SA2 3 VS ADC SD SC SD SC SD SC 20 (2) 0,25 1 a3 Do VS ABC VS ADC a a Cộng (1) và (2) theo vế ta VS AB ' C ' VS AD ' C ' 9 a 3 3a VS AB ' C ' D ' 10 20 a3 a 20 20 6 Tìm max và thể tích khối chóp S.AMN ( Hình vẽ trang cuối) VS AMN S AMN a Đặt BM x, DN y ; x, y 0; a Trên tia đối tia DC lấy điểm P cho DP BM x ABM ADP AM AP, BAM DAP MAN 450 BAM DAN 450 NAP DAP DAN 450 1 MAN PAN S MAN S PAN AD.PN a ( x y ) (*) 2 Áp dụng định lí Pitago tam giác vuông CMN ta MN MC CN ( x y ) (a x) (a y ) x y xy a x 2ax a y 2ay xy a ( x y ) a Lop12.net 0,25 0,25 1,50 0,25 0,25 0,25 0,25 (6) www.VNMATH.com www.vnmath.com y a ax xa a ax Thế vào (*) ta S MAN a ( x ) xa a x2 a2 a x 2ax a f '( x ) Đặt f ( x) 2 xa ( x a)2 0,25 f '( x) x ( 1)a a2 f (0) f (a ) , f (( 1)a ) a ( 1) a2 max f ( x) , f ( x) a ( 1) 0;a 0;a M B, N C a3 Vậy max VS AMN M C, N D 3( 1)a VS AMN MB ND a ( 1) a ab V a 3ab c b bc b 3bc a c ca c 3ca b x, y ta có x y xy x xy y 0,25 5(a b c) 1,00 x2 2x y y 0,25 a ab (a ab 1) 2(a ab 1) (a 3ab c 2 2 a 3ab c a 3ab c a b2 a c ab 2(a b c ) a c 2 2 2 2 0,25 5a 3b 2c (10)(a a a a a b b b c c ) 20 (a a a a a b b b c c) 5a 3b 2c 5 Tương tự, cộng lại ta a ab b bc c ca 5(a b c) 2 2 2 a 3ab c b 3bc a c 3ca b Đẳng thức xảy a b c Lop12.net 0,25 0,25 (7) www.VNMATH.com www.vnmath.com A B x 450 M x P D y N Lop12.net C (8)