TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ fx THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp :.. Dùng điều kiện đã cho để tìm hằng số C.[r]
(1)NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Bài : NGUYÊN HÀM A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Nguyên hàm và tính chất a) Định nghĩa : Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng nửa khoảng) Hàm số F ( x) gọi là nguyên hàm hàm số f ( x) trên K : F '( x) f ( x) với x K b) Định lí : 1) Nếu F ( x) là nguyên hàm hàm số f ( x) trên K thì với số C , hàm số F ( x) C là nguyên hàm hàm số f ( x) trên K 2) Ngược lại, F ( x) là nguyên hàm hàm số f ( x) trên K thì nguyên hàm hàm số f ( x) trên K có dạng F ( x) C Kí hiệu họ nguyên hàm hàm số f ( x) là Vậy : f ( x)dx f ( x)dx = F ( x) C , C R Tính chất nguyên hàm 1) 2) 3) Sự tồn nguyên hàm f '( x)dx f ( x) C k f ( x)dx k. f ( x)dx f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx Định lí : Mọi hs f ( x) liên tục trên K có nguyên hàm trên K BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM THƯỜNG GẶP Nguyên hàm hàm sơ cấp 1) 2) Nguyên hàm hàm số hợp (với u u ( x) ) 0dx C dx x C 1) 2) x 1 C ( -1) 1 3) x dx 4) x dx ln x C 5) x 1 dx C x dx x C x 7) xdx x x C x 8) e dx e x C 6) 0du C du u C u 1 C ( -1) 1 3) u du 4) u du ln u C 5) u 1 du C u du u C u 7) udu u u C u u 8) e du e C 6) ax C (a>0;a 1) 9) a dx ln a 10) sin xdx cos x C au C (a>0;a 1) 9) a du ln a 10) sin udu cos u C 11) 11) x u cos xdx sin x C Gv : Nguyễn Văn Bình Lop12.net cos udu sin u C Trường THPT Mạc Đĩnh Chi (2) 12) cos 13) sin x x dx tan x C 12) cos dx cot x C 13) sin u u du tan u C du cot u C B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ Phương pháp : Biến đổi hàm số f ( x) hàm số có bảng nguyên hàm f ( x) k1 f1 ( x) k2 f ( x) kn f n ( x) Áp dụng tính chất nguyên hàm f ( x)dx k1. f1 ( x)dx k2 f ( x)dx kn f n ( x)dx Bài : Tìm nguyên hàm các hàm số sau : f ( x) x x3 x x f ( x) (2 x 1)3 x2 f ( x) x 2 f ( x) 2sin x 3cos x x2 x f ( x) x x x f ( x) sin cos 2 x2 x x f ( x) x3 10 f ( x) cos x.cos5 x x x 1 x f ( x) (2 x 1)( x x 2) Bài : Tìm nguyên hàm các hàm số sau : f ( x) ex sin x cos3 x f ( x) sin x f ( x) e x (1 e x ) f ( x) f ( x) tan x f ( x) (2 ) f ( x) (2 tan x cot x) f ( x) sin x.cos x 2 f ( x) x x 2x x 1dx 10 cos x2 x 1dx 11 (sin Gv : Nguyễn Văn Bình 11 f ( x) cos3 x sin x 12 f ( x) e3 x1 e3 x 13 f ( x) x e 1 cos x sin x cos x 14 f ( x) sin x cos5 x sin x cos x x cos x 10 f ( x) f ( x) cos 2 sin x sin x 15 f ( x) x sin x 2cos x.cos 2 Bài : Tính các nguyên hàm sau : 1 dx dx (3 x 2) 2x cos3 xdx dx 3x xdx x cos x)dx Lop12.net 15 cos x dx dx x 1 x cos3 x 17 dx sin x 18 dx (sin x cos x) 16 Trường THPT Mạc Đĩnh Chi (3) x3 x dx dx (1 x)(1 x) 3x dx x 3x Dạng : e x )dx 1 x 19 x cos x.cos x.cos3xdx dx x2 20 dx x 3x sin x.sin 3x.sin xdx 21 tan xdx 12 x x e (e 13 14 CHỨNG MINH HÀM SỐ F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ f(x) TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ F(x) LÀ MỘT NGUYÊN HÀM CỦA f(x) Phương pháp : Chứng minh : F '( x) f ( x) x D Dùng đồng thức và tính chất nguyên hàm Bài : CMR hàm số F ( x) 4sin x (4 x 1)e x là nguyên hàm hàm số f ( x) 4cos x (4 x 5)e x CMR hàm số F ( x) ln( x x 1) là nguyên hàm hàm số f ( x) CMR hàm số F ( x) ln tan x2 x là nguyên hàm hàm số f ( x) sin x Bài : Cho hàm số f ( x) ( x 3).e x và F ( x) (ax bx c).e x Với giá trị nào a, b, c thì F(x) là nguyên hàm f(x) ĐS : a 0; b 1; c 4 Cho hàm số f ( x) ( x 2) x x và F ( x) (ax bx c) x x Với giá trị nào a, b, c thì F(x) là nguyên hàm f(x) ĐS : a ; b ; c 3 Dạng : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ f(x) THỎA ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp : Tìm F(x) là nguyên hàm hàm số f(x) F ( x) f ( x)dx g ( x) C (*) Dùng điều kiện đã cho để tìm số C Thay C vào (*) ta nguyên hàm cần tìm Bài tập : Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x) 3x x3 biết F (1) x2 ĐS : F ( x) x3 x x Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x) x2 ĐS : F ( x) x 6ln x 12 Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f ( x) x2 4x biết F (2) x 1 sin x biết F (0) cos x ĐS : x x F ( x) tan 2ln cos 2 Gv : Nguyễn Văn Bình Lop12.net Trường THPT Mạc Đĩnh Chi (4) Bài : CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM A Phương pháp đổi biến số : f (u )du F (u ) C và u u ( x) là hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì f u ( x).u '( x)dx F u ( x) C Nếu Hệ : Nếu f ( x)dx F ( x) C thì f (ax b)dx a F (ax b) C (a 0) B Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu hai hàm số u u ( x) và v v( x) có đạo hàm liên tục trên K thì u ( x).v '( x)dx u ( x).v( x) u '( x).v( x)dx Hay viết gọn là : udv uv vdu Bài tập áp dụng : TÌM NGUYÊN HÀM CỦA MỘT HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dạng : Vậy f ( x)dx , ta tiến hành sau : Để tìm Ta biến đổi f ( x)dx g u ( x) .u '( x)dx Đặt t u ( x) , đó dt u '( x)dx f ( x)dx g u ( x).u '( x)dx g (t )dt G(t ) C G u ( x) C với G (t ) là nguyên hàm g (t ) Một số dạng bài tập thường gặp : f (sin x).cos xdx f (cos x).sin xdx f (tan x) cos dx x f (cot x) dx sin x x x f (e ).e dx f (ln x) x dx Đặt t sin x dt cos xdx Đặt t cos x dt sin xdx dx cos x 1 dx Đặt t cot x dt sin x Đặt t e x dt e x dx Đặt t tan x dt Đặt t ln x dt dx x Bài tập : Bài : Tìm các nguyên hàm sau sin x.cos xdx sin x cos5 x dx ln x dx x tan x dx cos x e Bài : sin x .cos xdx ex e x dx 11 x 6 x 1 e ( x 3)dx 12 x (x 13 x cos x (2sin x 1)2 dx 10 x.cos( x )dx 1)10 x dx 14 sin(3 x 2)dx x x 1dx x 1dx ex dx ex 15 x dx e 1 Tìm các nguyên hàm sau Gv : Nguyễn Văn Bình Lop12.net Trường THPT Mạc Đĩnh Chi (5) 1 4sin x cos xdx (tan (2sin x 3cos x) dx sin 10 11 12 x 1)dx 13 14 Để tìm Dạng : xdx sin x sin x dx 2cos x sin x.cos x dx cos x cos3 x dx sin x ln(tan x) 10 dx sin x sin x cos2 x dx x dx x 1 cos x dx 3sin x e2 x dx ex Bài : Tìm các nguyên hàm sau sin x dx sin x 3cos x cos x dx (sin x cos x 2)3 2ln x dx x 4ln x dx cos x dx x x2 cos cos x dx x 5sin x dx e x 3e x dx x x 1 x3dx x8 x2 1 x 1dx sin xdx cos3 xdx f ( x)dx , ta tiến hành sau : Đặt x (t ) dx '(t )dt f ( x)dx f (t ). '(t )dt g (t )dt G(t ) C Một số dạng bài tập thường gặp : dx (a 0) a2 x a x dx (a 0) x a dx (a 0) x a2 a x2 2 dx (a 0) dx (a 0) Đặt x a tan t dx a.(1 tan t )dt Đặt x a sin t dx a cos tdt Đặt x a sin t dx a cos tdt a a cos t dx dt sin t sin t a a cos t dx dt Đặt x sin t sin t Đặt x Bài tập : Bài : Tìm các nguyên hàm sau x 2 x 2x 1 dx 9 dx 4 x dx 3 x Gv : Nguyễn Văn Bình 13 x 1 dx x 1 Lop12.net x3 dx x2 x2 4x 14 dx x2 Trường THPT Mạc Đĩnh Chi (6) x x 2dx dx x x 34 dx x x 1 dx 4x x2 x x x 5dx 10 dx x2 11 dx x2 12 dx x2 4x 15 x 3x 16 x dx 17 2x x dx 18 x 4dx x x 9x2 dx Bài : Tìm các nguyên hàm sau cos xdx sin x sin xdx cos x dx x (4 x ) e x dx e2 x dx x(ln x 3) dx x ( x 9) dx x2 dx ln x cos xdx 2cos x TÌM NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Dạng : Để tính nguyên hàm dạng p( x).ln xdx , đó p( x) là hàm đa thức, ta tiến hành sau : u ln x du x dx Đặt dv p ( x)dx v p ( x)dx Sau đó dùng công thức udv uv vdu Dạng : Để tính nguyên hàm dạng p( x). eaxb ;sin(ax b);cos(ax b) dx , đó p( x) là hàm đa thức, ta tiến hành sau : du p '( x)dx u p ( x) Đặt ax b ax b dv e ;sin(ax b);cos(ax b) dx v e ;sin(ax b);cos(ax b) dx Sau đó dùng công thức udv uv vdu Bài tập : Tìm các nguyên hàm sau ln xdx (3x x 1) ln xdx x ln( x 1)dx ln( x x)dx 2 x (3x 1)e dx Gv : Nguyễn Văn Bình 10 Lop12.net ( x 1)e dx ( x x 1) cos xdx (1 3x) cos xdx ln xdx x 2 x.e x ( x 1)2 dx Trường THPT Mạc Đĩnh Chi (7)