Ôn thi Phương trình đạo hàm riêng

thì mọi nghiệm cổ điển ux, t  C2,1R T đều là nghiệm suy rộng, nhưng điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa chắc đã là nghiệm cổ điểm, vì nghiệm suy rộng là hàm ux,t chỉ đòi hỏ[r]

PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG I MỞ ĐẦU Cho hàm u(x)  u(x1, , x n ) với x  (x1, , x n )     n , ta kí hiệu riêng u(x) theo biến xi , còn  u hay u x i là đạo hàm x i Du(x)  u x1 , , u x n  T T  u u   , ,   x n   x1 n  2u  grad u(x)  u(x) là gradien u(x), toán tử Laplace u   u  , ma trận Hessian i 1 x i  u x1x1 u x1x   u x x u x2x2 D u(x)  u xi x j  i, j1,n   ux x ux x n  n u x1x n   u x x n   Nếu u(x) là hàm biến thì Du(x) chính là  u x n x n     u '(x), và D u(x) là u ''(x) Xét phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính cấp n  i, j1 n a ij (x)u x i x j (x)   a j (x)u x j (x)  a(x).u(x)  f (x) (1.1) j1 đó a ij (x), a j (x), a(x), f (x) là các hàm cho trước, u(x) là hàm cần tìm Xét ma trận  a11(x) a12 (x) a1n (x)   a (x) a (x) a (x)  22 2n  , u A(x)  a ij (x)   21 x i x j  u x jx i nên ta có thể giả sử A(x) là      a n1(x) a n2 (x) a nn (x)  ma trận vuông thực, đối xứng Với x  x cố định, ma trận A(x ) có n giá trị riêng thực (tính bội), gọi  p ,  n , z là số giá trị riêng dương, âm, (positive: dương,   negative: âm, zezo: không), ta có  p   n   z  n Phương trình (1.1) gọi là thuộc loại - Elliptic x  p  n  n  n  p  n    n  Parabolic x   n  z   z   p   n  - Hyperbolic x     n    n   n  p Khi tất các hệ số a ij không phụ thuộc vào x thì có phép đổi biến y=y(x) đưa các phương - trình trên dạng chính tắc (không làm thay đổi phân loại ban đầu) - (E): u  G(y, u(y), Du(y))  - (P):  (u y1y1   u yn 1yn 1 )  G(y, u(y), Du(y))  , chẳng hạn phương trình truyền nhiệt u t   y 'u  (t  y n , y '  (y1, , y n 1), y  (y ', t)) - (H):  (u y1y1   u yn 1yn 1  u yn yn )  G(y, u(y), Du(y))  , chẳng hạn phương trình truyền sóng u tt   y 'u  (t  y n , y '  (y1, , y n 1), y  (y ', t)) Nghiệm cổ điểm (classical solution) phương trình (1.1) thường định nghĩa là hàm u  C2 () thoả mãn (1.1) với x   Lop12.net Với đa số (muliti index)   (1,  n )   n bậc   1    n thì  !  (1 !) ( n !),  x  (x1, , x n )   n  (x1 ) (x  n ),   u  D u  n x1 x  n   , D k u  D u,   k , k  1, 2,3,   Riêng D1u viết tắt là Du và xếp theo trật tự đã biết Du  u x1 , , u x n , còn D u viết dạng ma trận Hessian Ta đưa số không gian hàm hay sử dụng sau đây C0 ()  C()  u : liên tục trên    Ck ()   k 0 Ck ()  u  Ck () : D u liên tục trên  với   k  Ck ()  Ck (), k  0,1, 2, ,   k C ()  C0k ()  u  Ck () : u  bên ngoài tập compact  Ck ()  u : D u  C(),    k ,C ()  Giá hàm liên tục sup p u  x   : u(x)  0 Hàm u gọi là có giá compact  supp u là tập compact chứa  (Trong  n tập compact là ttập đóng và bị chặn) Một tập A gọi là “chứa compact” B A  A  B và A là tập compact, kí hiệu A  B Kí hiệu C () là tập các hàm khả vi vô hạn lần và có giá compact   p  p p Lp ()  f (x) :  f (x) dx    ,1  p  , chuẩn f    f (x) dx  , là không gian       Banach Nói riêng L2 () là không gian Hilbert với tích vô hướng f ,g   f (x).g(x)dx   Không gian L ()  f (x) đo trên , esss upf (x)    có chuẩn f  esss upf (x),      đó esss upf (x)  inf  : B  , B  0, lim f (x)    cận trên cốt yếu    \B  Lploc ()  f (x) : f (x)  Lp (K), K   Ví dụ Xét xem hàm f (x)  Lời giải Ta có  f (x) dx  a;b   0;1 Vì b có thuộc L1(0;1), L1loc (0;1) (  (0;1)  ) hay không x 1 dx  x lim 0  b  f (x) dx  ln a   lim ( ln )    f (x)  L1(0;1) Ta xét đoạn bất kì 0 nên f (x)  L1loc (0;1) (Hoặc với tập compact a K  (0;1) tồn M  m ax f (x)  max ,  f (x) dx  M  dx  M K    f (x)  L1loc (0;1)) xK xK x K K Lop12.net 1 x  E Hàm đặc trưng  E (x)   E 0 x  Tích chập: Cho f  L1( n ),g  Lp ( n ),1  p  , tích chập f và g, kí hiệu là f*g, là hàm (f * g)(x) :  n f (x  y).g(y)dy Ta có f * g  Lp ( n ), f * g p  f g p 1 x   0;1 Ví dụ Cho f (x)   Chứng minh f  L1(),g  L2 (), , g(x)  0 x   \  0;1 1 x f * g  L2 () Lời giải Có 1  f (x) dx   dx     f  L ();  g(x)       g  L2 () Và (f * g)(x)  b  a  f (x  y)g(y)dy,  x dx  lim (arctan b  arctan a)   a   x a  dx  lim  b b  với x  y   \  0;1  f (x  y)  0, x  x2  x     ln(  y  y)   ln  x  y   0;1  f (x  y)  nên (f *g)(x)    x 1   y  2x  x  x  x 1 dy x 1 dy  h(x) Ta thấy x   y  x         h(x)     y2 y y  y x 1  x  x 1 dy 1  ln(1  )  y x 1 x 1   h(x) dx    2 (x  1) x dx    Nếu x  1  y  x  1 1 x 1 dy dy 1 0      h(x)      ln(1  )    h(x) dx  y y x x  y2 y x 1  y x 1   1  dx  x    Hàm h(x) liên tục trên đoạn 2  1   h(x) dx  M  dx  3M   Do đó   1  dx (x  1)   1;2 , h(x) dx  đặt M  1  lim x 1;2 h(x) dx   h(x) , ta có  h(x) dx  1    h  L2 () hay f * g  L2 () 1 x   0;1 Ví dụ Cho f (x)   , g(x)  Chứng minh f  L1(), f   L () 0 x   \  0;1  x2 Kiểm tra xem f*g có thuộc L2 () hay không 1 dx dx     f  L1();  f (x) dx      f  L2 ()   x 0  x   Theo chứng minh trên g  L2 () Do f (x  y)  với x  y  (0;1), hay x   y  x, và xy Lời giải Ta có f (x) dx  lim f(x – y) = x  y   (0;1), lúc đó (f * g)(x)   Lop12.net KHÁI NIỆM NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOẠI PARABOLIC VÀ MỐI LIÊN HỆ VỚI NGHIỆM CỔ ĐIỂN Vài kí hiệu - Ta kí hiệu L là toán tử xác định sau Lu  đó n n u  u u   (a ij )   bi  cu, t i, j1 x i x j i 1 x1 u  u(x, t)  u(x1, , x n , t), x  (x1, , x n )   n , t  ,a ij  a ij (x, t), a ij  a ji , bi  bi (x, t),c  c(x, t) - Với  T   và  là miền bị chặn  n ta kí hiệu R T   n  (0;T), QT    (0;T), ST    (0;T),  t    t  (0  t  T), o 1,1 W2,0 (QT )  (x, t)  W21,1(QT ) : (x,T)  0,   gần ST   Bài toán Cauchy Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai tuyến tính dạng Lu  f (x, t) với (x, t)  R T (1) với điều kiện ban đầu u(x,0)  (x), x   n (2), các hàm f , cho trước Nghiệm cổ điển bài toán Cauchy (1), (2) là hàm u mà u  u(x, t)  C2,1(R T )  C( n   0;T ) và thỏa mãn đồng thời (1), (2) Nghiệm suy rộng bài toán (1), (2) không gian W21,0 (R T ) là hàm u  u(x, t)  W21,0 (R T ) và thỏa mãn đồng thức tích phân n    u  n u    u t   a ij x j xi   bi x1   cu dxdt   (x)(x,0)dx  i, j1 i 1 RT   n   fdxdt (3), (x, t)  W21,1(R T ), (x,T)  RT Ví dụ Xét phương trình u  u   0, (x, t)  R1    (0;1) (4) t x u(x,0)  e x , x   (5) Lop12.net với điều kiện ban đầu Ta thấy hàm u(x, t)  e x  t (x  ,0  t  1) là (một) nghiệm cổ điển bài toán (4), (5) Nghiệm suy rộng bài toán (4), (5) không gian W21,0 (R1) là hàm u  u(x, t)  W21,0 (R1) và thỏa mãn đồng thức tích phân   u   x 1,1   u t  x x dxdt   e (x,0)dx  (6),(x, t)  W2 (R1), (x,1)  R  Nhận xét Đối với bài toán (1), (2) có thêm điều kiện  (x)  L ( n ) , a ij , a ij x i , bi ,c,f (x, t)  L (R T ), thì nghiệm cổ điển u(x, t)  C2,1(R T ) là nghiệm suy rộng, điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa đã là nghiệm cổ điểm, vì nghiệm suy rộng là hàm u(x,t) đòi hỏi có đạo hàm suy rộng theo x đến cấp thuộc L (R T ) , còn nghiệm cổ điển thì phải có đạo hàm theo x đến cấp và theo t đến cấp liên tục Bài toán biên ban đầu a Bài toán biên ban đầu thứ Ta xét phương trình u(x,0)  (x), x   (8), u  0, (x, t)  ST (9) Lu  f (x, t), (x, t)  QT (7) với điều kiện ban đầu đó f , là các hàm cho trước, và điều kiện biên Nghiệm cổ điển bài toán biên ban đầu thứ (7), (8), (9) là hàm u(x, t)  C2,1(QT )  C(QT  ST  0 ) và thỏa mãn đồng thời (7), (8), (9) Nghiệm suy rộng bài toán (7), (8), (9) không gian W21,0 (QT ) là hàm o u(x, t)  W21,0 (QT ) và thỏa mãn đồng thức tích phân n    u  n u    u t   a ij x j xi   bi x1   cu dxdt   (x)(x,0)dx  i, j1 i 1 QT      fdxdt o (10), (x, t)  W21,1(QT ), (x,T)  QT Ví dụ Chẳng hạn phương trình u  u   2,(x, t)  Q1  (0;2)  (0;1) (11), với điều kiện ban đầu t x u(x,0)  x  2x, x    (0;2) (12), và diều kiện biên u(0, t)  u(2, t)  0, t  (0;1) (13) , hàm u(x, t)  x  2x,(x, t)  Q1 là (một) nghiệm cổ điển Còn nghiệm suy rộng bài toán (11), o 1,0 (12), (13) W2 (Q1) là hàm u(x, t)  W21,0 (Q1) và thỏa mãn đồng thức tích phân Lop12.net   u     u t  x x dxdt   Q1 (0;2) (x  2x)(x,0)dx  2  dxdt (14) Q1 o với (x, t)  W21,1(Q1), (x,1)  Nhận xét với bài toán (7), (8), (9) thêm điều kiện  trơn khúc, a ij a ij , , bi ,c,f (x, t)  L (QT ), (x)  L () thì nghiệm cổ điển u(x, t)  C2,1(QT ) là x i nghiệm suy rộng, điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng chưa đã là nghiệm cổ điểm Đối Ta chứng minh nhận xét này trường hợp  T   Thật vậy, giả sử u(x, t)  C2,1(QT ) là nghiệm cổ điển bài toán (7), (8), (9) với điều f (x, t)  L (QT ), (x)  L () kiện bổ sung Vì lúc này u(x, t)  C2,1(QT )  C(QT  ST  0 )  C2,1(QT )  C2,1(QT ) nên u có đạo hàm cổ điển theo biến x i đến cấp 2, theo biến t đến cấp và các đạo hàm đó liên tục, trên QT và QT ,(15) Vì  là miền bị chặn  n nên QT là miền bị chặn  n 1 , và QT compact  n 1 Do đó tồn số cho u  M, (x, t)  QT Ta thấy  M    u dxdt  QT  M dxdt  M QT   nên u  L (QT ) (16) Ta thấy đạo hàm cổ điển QT u theo biến x i đến cấp 2, theo biến t đến cấp 1, liên tục trên QT và QT , lập luận tương tự trên suy các đạo hàm đó thuộc L (QT ) Mà các đạo hàm cổ điển này lại chính là đạo hàm suy rộng u Chứng tỏ các đạo hàm suy rộng đến cấp u là thuộc L (QT ) (17) Từ (15), (16), (17) suy u  W21,0 (QT ) Mặt khác u  trên ST Nên o u  W21,0 (QT ) (18) Tiếp theo ta u thỏa mãn (10) với o (x, t)  W21,1(QT ), (x,T)  o Nếu k (x)  W21 () là hệ trực chuẩn L () , cho bao đóng tuyến tính nó o o W2 () trùng với và kí hiệu W21 () ,  N   M trù M N   d k (t)k (x) : d k  W21 (0;T),d k (T)    W21,1(QT ) , thì ta có tính chất M  N 1 N k 1  o o o 1,1 1,1 1,1 mật W2,0 (QT ) Do đó với (x, t)  W2 (QT ), (x,T)  0, tức là  W2,0 (QT ) luôn   tồn dãy m   M hội tụ tới  W21,1(QT ), với m  Lop12.net   d km (t)km (x)  M k 1 (nếu tổng o o này là tổng hữu hạn thì ta coi d km  với k đủ lớn) Vì km  W2 () , mà W21 () là bao đóng o o o   C () W2 () nên C () trù mật W21 () , nghĩa là tồn dãy o o  km  W21 () h   W21 () Do  kmh   C () hội tụ tới C ((0;T))  C ( 0;T ) trù mật W21 ((0;T)) , và d km  W21 (0;T), d km (T)  0, nên tồn W21 (0;T) Khi đó dãy  d kmh   C ( 0;T ) hội tụ đến d km h   h : kmh d kmh  L (  0;T ) Do u là nghiệm cổ điển bài toán xét nên nó thỏa mãn (7) Nhân hai vế (7) với h lấy tích phân hai vế trên QT ta       n  u n    u h h h u h     (a )  b   cu  dxdt   fh dxdt   t  xi ij x j  i x1  i, j1 i 1 QT  QT  Ta có h u  QT t dxdt   h u cos(, t)dS  QT  QT h u dxdt Ta phân tích QT thành hợp ba tập t đôi có giao là tập có thể tích sau QT  ST  0  T , mà u = trên ST , xét trên 0 thì u   và  là vectơ pháp tuyến ngoài biên QT xét trên đáy trụ 0 cho ta cos(, t)  1, cos(, t)  , còn trên thì ta thu T  uh cos(, t)dS  QT h  u(x,T)   QT h  (x,T)dx   (x)h (x,0)dx Tương tự u  (a ij )dxdt  x i x j   QT u  a ij cos(, x i )dS  x j h u h a ij dxdt x j x i  QT Vì h = trên ST , cos(, x i )  với  là vectơ pháp tuyến ngoài QT xét trên các đáy u cos(, x i )dS  Do đó ta thu đẳng thức tích phân trụ 0 , T , nên  h a ij x j QT n  h  u h n u h h   u  a  b   cu  dxdt    t  ij x j xi  i x1  i, j1 i 1 QT   +  u(x,T)h (x,T)dx   (x)h (x,0)dx     fh dxdt QT h  km  d kmkm nên n    u km n u km    u t   a ij x j xi   bi x1 km  cukm dxdt  i, j1 i 1 QT   +  u(x,T)km (x,T)dx   (x)km (x,0)dx     Lần lượt cho k = fkmdxdt QT 1, 2, 3, …, k0 cộng k0 đẳng thức này lại, cho k   , mà m  Lop12.net Cho h   thì   km , nên ta có k 1 n    u m n u m    u t   a ij x j xi   bi x1 m  cum dxdt  i, j1 i 1 QT   +  u(x,T)m (x,T)dx   (x)m (x,0)dx    m  , ta thu Cho  fmdxdt QT n    u  n u    u t   a ij x j xi   bi x1   cu dxdt  i, j1 i 1 QT   Nhưng (x,T)  +  u(x,T)(x,T)dx   (x)(x,0)dx   m   thì   fdxdt QT nên n    u  n u  dxdt   u  a  b   cu    t  ij x j xi  i x1  i, j1 i 1 QT     (x)(x,0)dx    fdxdt QT o 1,1 Như với  W2,0 (QT ) thì đẳng thức (10) thỏa mãn với u là nghiệm cổ điển xét (19) Từ (18) và (19) chứng tỏ u là nghiệm suy rộng bài toán (7), (8), (9) Ta thấy nghiệm suy rộng bài toán (7), (8), (9) không gian W21,0 (QT ) là hàm o u(x, t)  W21,0 (QT ) , đó u có đạo hàm suy rộng theo x đến cấp 1, nghiệm cổ điển bài toán này đòi hỏi phải có đạo hàm theo x đến cấp và theo t đến cấp 1, đó u chưa đã là nghiệm cổ điểm bài toán đó b Bài toán biên ban đầu thứ hai và thứ ba Ta xét phương trình (7) với điều kiện ban đầu (8) và điều kiện biên sau đây u n u u =  a ij cos(, x i ) (21), với  là vectơ đơn vị ngoài  (s, t)u ST  (20) đó N i, j1 x j N tới mặt ST , còn (s, t) là hàm cho trước xác định trên ST Khi     thì bài toán (7), (8), (20) tương ứng gọi là bài toán biên ban đầu thứ hai thứ ba Nghiệm cổ điển bài toán (7), (8), (20) là hàm u(x, t) mà u(x, t)  C2,1(QT )  C(QT  ST  0 )  C1,0 (QT  ST ) và đồng thời thoả mãn (7), (8), (20) Nghiệm suy rộng bài toán W21,0 (QT ) là hàm u(x, t)  W21,0 (QT ) thoả mãn đồng thức tích phân Lop12.net n    u  n u  dxdt   udsdt   u  a  b   cu    t  ij x j xi  j xi  i, j1 i 1 QT  ST    (x)(x,0)dx    fdxdt (22), (x, t)  W21,1(QT ), (x,T)  QT Tương tự trên, với điều kiện  trơn khúc, (x)  L (), a ij a ij , , bi ,c,f  L (QT ),   L (ST ), ta thấy nghiệm cổ điển u(x, t)  C2,1(QT ) bài x i toán (7), (8), (20) là nghiệm suy rộng nó, điều ngược lại không đúng, nghiệm suy rộng bài toán đó chưa đã là nghiệm cổ điểm Lúc này lưu ý u   t dxdt   u cos(, t)dS  QT QT n  u QT  dxdt    (x)(x,0)dx  t    (u t )dxdt, QT n n  u u u  (a )dxdt   a cos(  , x )dS    aij x x dxdt  i   xi ij x j   ij x j j i i, j1 QT QT i, j1 QT i, j1     udsdt  ST    udsdt  ST n  0 T n n u   a ij cos(, x i )dS    x j i, j1 i, j1 u   aij x j xi dxdt  QT u    aij x j xi dxdt QT i, j1 Ví dụ u  u Cho phương trình   0, (x, t)  Q  (1;1)  (0; 2) (23), với điều kiện ban đầu t x u(x,0)  x , x    (1;1) (24) Ta xét bài toán biên ban đầu thứ hai phương trình này với điều kiện biên lúc này là u  0, (x, t)  S2  (x, t) | x  1, 1  ,0  t  2 (25) Ta lưu ý N u u = cos(, x) mà lúc này cos(, x)  1 nên điều kiện biên (25) viết lại thành N x u  0, (x, t)  S2 x Nghiệm cổ điển bài toán xét là hàm u(x, t) thoả mãn Lop12.net  2,1 1,0 u(x, t)  C (Q )  C( 1;1   0; )  C ( 1;1  (0; 2))   u  u    0, (x, t)  Q  t  x   u  0, (x, t)  S2 u  x ,(x, t)  0 ; x  Nghiệm suy rộng W21,0 (Q2 ) bài toán là hàm u  W21,0 (Q2 ) cho  Q2  u  (u  )dxdt  t x x   x (x,0)dx  0,  W2 1,1 1 10 Lop12.net (Q ), (x, 2) 