Bài tập tổng hợp về Vecto

Xác định dạng của tam giác ABC biết rằng: b Tổng quát bài toán trên cho một đa giác đều n cạnh AB.BCCA + BC.CAAB +CA.ABBC = 0 41*.Cho lục giác đều A1A2…A6 nội tiếp trong đường tròn O,R v[r]

Phạm Viết Sĩ Đại cương vectơ AB + AC , AB – BC 1.Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF Dựng các vectơ EH và FG AD 7.Cho hai vectơ a và b  0.Tìm điều kiện a và b để: Chứng minh CDGH là hình bình hành a) a + b = a + b b) a + b = a – b 2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm tam giác 8.Cho điểm O,A,B không thẳng hàng.Với điều kiện nào thì vectơ OA+ OB a)Gọi D là điểm đối xứng A qua tâm O Chứng minh BD = HC nằm trên đường phân giác góc AOB b)Gọi K là trung điểm AH và I là trung điểm BC,chứng minh Chứng minh : AB = CD  trung điểm hai đoạn thẳng AD và BC OK = IH trùng 3.Cho hình bình hành ABCD Gọi E và F là trung điểm hai cạnh AB 10.Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm O.Qua O kẻ các và CD Đường chéo BD cắt AF và CE M và N chứng minh : đường thẳng song song với các cạnh hình bình hành cắt AB và DC M và DM = MN = NB N, cắt AD và BC E và F Chứng minh : 4.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Dựng AD = GC và DE = GB a) OA + OC = OB + OD Chứng minh GE = b) BD = ME + FN 5.Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB và AC với (O) 11.Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H là giao điểm AO và BC.Trên đường trung trực đoạn AH lấy a)Hãy xác định các điểm M ,N ,P cho: điểm M.Từ M kẻ tiếp tuyến MD với (O) Chứng minh : |MA| = | MF | ; ON = OB + OC ; OP = OC + OA OM = OA + OB Các phép toán vectơ b)Chứng minh OA + OB + OC = 1.Rút gọn các biểu thức sau: 12.Cho tam giác ABC Gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A ;B’ là điểm đối a)OM – ON + AD + MD + EK – EP – MD xứng với C qua B ;C’ là điểm đối xứng với A qua C Chứng minh với b)AB+ MN – CB+ PQ+ CA+ NM điểm O ta có : OA+ OB+ OC = OA'+ OB'+ OC' c) KM+ DF+ AC– KF+ CD– AP+ MP 13.Cho n điểm trên mặt phẳng Bạn An ký hiệu chúng là A1, A2, …, An Bạn Chứng minh Bình ký hiệu chúng là B1, B2, …, Bn a) AB+ CD= AD+ CB Chứng minh : A1B1+A2B2+ +AnBn=0 b) AC+ BD= AD+ BC 14.Cho tứ giác ABCD, gọi I và J là trung điểm AC và BD c) AB+ CD+ EA= ED+ CB a)Chứng minh AB + CD = 2IJ d) AD+ BE+ CF= AE+ BF+ CD = AF+ BD+ CE b)Xác định điểm M cho MA+ MB+ 2MC= e) AB+ CD+ EF+ GA= CB+ ED+ GF c)Xác định điểm N cho NA+NB+NC+ND= 3.Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý Chứng minh : 15.Cho hai hình bình hành ABCD và A’B’C’D’ Gọi M ,N ,P ,Q là MA + MC = MB + MD trung điểm AA’,BB’ ,CC’ ,DD’ Chứng minh MNPQ là hình bình hành 4.Cho tam giác ABC, Bên ngoài tam giác ta vẽ các hình bình hành ABIJ 16.Cho hai điểm phân biệt A và B.Tìm quĩ tích các điểm M thỏa mãn: ,BCPQ ,CARS Chứng minh : RJ + IQ + PS = MA + MB = MA – MB 5.Cho tam giác ABC có trung tuyến AM.Trên cạnh AC lấy hai điểm E và F 17.Cho tam giác ABC cho AE = EF = FC Gọi N là giao điểm AM và BE.Tính tổng a)Xác định điểm I cho : IA + 2IB = AE+ AF + AN +MN b)Xác định điểm K cho : KA + 2KB = CB 6.Cho tam giác ABC cạnh a.Tính độ dài các vectơ AB+ BC , 18.Cho tam giác ABC -1Lop12.net Phạm Viết Sĩ a)Tìm điểm M thoả mãn :AM – MB+ MC = 29.Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q, R là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DE, EA Chứng minh hai tam giác MPE và NQR có cùng b)Tìm điểm N thoả mãn :BN = AN+NC + BD trọng tâm c)Tìm điểm K thoả mãn :BK+ BA+ KA + CK = 30.Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A Chứng minh d)Tìm điểm M thoả mãn :MA+ MB– 2MC = : e)Tìm điểm N thoả mãn :NA+ NB+ 2NC = a) BB'+ C'C+ DD'= f)Tìm điểm P thoả mãn :PA – PB + 2PC = b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm 19.Cho hình bình hành ABCD Tìm điểm M thoả mãn: 31.Cho tam giác ABC Gọi M ,N ,P là các điểm xác định sau: 4AM= AB+ AC+ AD MB = 3MC ;NC = 3NA ;PA = 3PB 20.Cho lục giác ABCDEF Tìm điểm O thoả mãn : a)Chứng minh : 2OM = 3OC – OB O OA+OB+OC+ OD+OE+OF = b)Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 21.Cho tam giác ABC 32.Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC cho MB = 2MC a)Xác định các điểm D,E thoả mãn: 4DA – DB = ; EA+ 2EC= b)Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn: |4MA – MB| = |MA+ 2MC| Chứng minh : AM = AB + AC 3 22.Cho hai điểm phân biệt A,B 33.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là trung điểm đoạn thẳng AG và K a)Hãy xác định các điểm P,Q,R thoả: là điểm nằm trên cạnh AB cho AB = 5AK 2PA + 3PB = ; – 2QA + QB = ;RA – 3RB = a)Tính các vectơ AI,AK,CI,CKtheo hai vectơ CAvà CB b)Với điểm O bất kỳ,chứng minh : b)Chứng minh điểm C,I ,K thẳng hàng 3 OP= OA + OB ;OQ = 2OA– OB ;OR= – OA+ OB 34.Cho điểm phân biệt A, B, C 5 2 a)Chứng minh có điểm I và số t cho 23.Cho tam giác ABC,xác định các điểm G,P,Q,R,S cho IA= tIB+ (1 – t)IC thì  điểm M ta có : MA= tMB+ (1 – t)MC GA+ GB+ GC= ;2PA+ PB+ PC= 0;QA+ 3QB+ 2QC = b)Chứng minh : IA= tIB+ (1 – t)IC  A, B, C thẳng hàng RA– RB+ RC = ; 5SA– 2SB– SC= 35.Cho điểm O cố định và đường thẳng d qua hai điểm A B cố định Chứng 24.Cho hình bình hành ABCD, chứng minh MA + MC = MB + MD minh điểm M d  có số  cho: OM= OA+ (1 – )OB 25.Cho lục giác ABCDEF , M là điểm tuỳ ý Chứng minh Với điều kiện nào  thì M  đoạn thẳng AB MA+ MC+ ME= MB+ MD+ MF 36.Cho tam giác ABC Các điểm M, N, P chia các đoạn thẳng AB, BC, 26.Cho tam giác ABC, Gọi M ,N ,P là trung điểm BC, CA ,AB CA theo các tỉ số m, n, p  Chứng minh : Chứng minh : AM + BN + CP = a)M, N, P thẳng hàng  m.n.p = (định lý Mênêlauýt) 27.Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, b)AN, CM, BP đồng qui song song  m.n.p = – 1(định lý Xêva) BC, CD, DE Gọi I và J là trung điểm MP và NQ 37.Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm AB và N là điểm trên cạnh AC Chứng minh : IJ // AE và IJ = AE cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm MN 1 28.Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm là G và G’ a)Chứng minh : AK = AB + AC a)Chứng minh : AA' + BB' + CC' = 3GG' b)Từ đó suy điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm -2Lop12.net Phạm Viết Sĩ 1 N = AA’  CC’; P = BB’  CC’ b)Gọi D là trung điểm BC,chứng minh : KD = AB + AC a)So sánh các đoạn thẳng AM, MN, NA’ b)So sánh diện tích hai tam giác ABC và MNP 38.Cho tam giác ABC ,M là điểm tuỳ ý Chứng minh vectơ 47*.Cho tam giác ABC tâm O và M là điểm tuỳ ý bên tam giác v= MA– 3MB+ 2MC không phụ thuộc vào vị trí điểm M Gọi D,E,F là hình chiếu M xuống cạnh Chứng minh : 39.Cho tam giác ABC.Trên các cạnh BC ,CA ,AB lấy các điểm M,N,P cho 1 MD + ME + MF = MO BM = MC , CN = NA , AP = BP 2 2 48*.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý 1 a)Chứng minh : AM= (2AB+ AC) ; BN= (2BC+ BA) a)Chứng minh vectơ v = MA + 2MB – 3MC không phụ thuộc vị trí điểm M 3 b)Dựng điểm D cho CD = v ,CD cắt AB K Chứng minh KA + 2KB = và CD = 3CK CP= (2CA+ CB) 49*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm tam b)Chứng minh : AM + BN+ CP = giác , gọi D là điểm đối xứng A qua tâm O 40*.Cho ngũ giác ABCDE tâm O Chứng minh a) Chứng minh HBDC là hình bình hành OA + OB + OC + OD + OE = b) Chứng minh HA + HB + HC = 2HO 41*.Cho tam giác ABC Gọi M,N,P là trung điểm các cạnh BC ,CA và OA + OB + OC = OH ,AB Đặt BN = a ;CP = b Tính các vectơ AB ;BC ;CA theo các vectơ a và b c)Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh OH = 3OG 42* Cho tam giác ABC Đặt CA= a ;CB= b Lấy các điểm A’ và B’ cho CA' Kết luận gì ba điểm O, H ,G = ma ; CB'= nb Gọi I là giao điểm A’B và B’A Hãy tính vectơ CI theo hai 50*.Trong đường tròn (O) cho dây cung song song AA1 ,BB1 ,CC1 Chứng vectơ a và b minh trực tâm ba tam giác ABC1 ,BCA1 ,và CAB1 thẳng hàng 43*.Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b 51*.Cho hai điểm A và B cố định, M là điểm tuỳ ý và P là điểm xác định : a)Gọi CM là đường phân giác góc C Hãy tính vectơ CM theo các MP = MA + 3MB vectơ CA và CB Chứng minh đường thẳng MP qua điểm cố định b)Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh : 52*.Cho tam giác ABC Gọi M ,N ,P là điểm xác định bởi: aIA + bIB+ cIC= MB = kMC ;NC = kNA ;PA = kPB (k  1) 44*.Cho tam giác ABC và trung tuyến AM Một đường thẳng song song với AB a)Vẽ các điểm M,N,P k = cắt các đoạn thẳng AM, AC, BC D, E và F Một điểm G nằm trên b)Với k tuỳ ý khác 1,chứng minh : (k – 1)OM = kOC – OB với O là cạnh AB cho FG//AC Chứng minh ED= GB Suy hai tam giác ADE điểm tuỳ ý và BFG có diện tích c)Chứng minh  k  1,hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 45*.Cho hình thang ABCD có các cạnh đáy là AB và CD Chứng minh 53*.Gọi I và J là trung điểm các đoạn AB và CD ,M và N là các điểm xác định cho trước điểm M nằm trên cạnh AD thì tìm điểm N nằm trên bởiMA + kMC = ;NB + kND = (k  – 1).Gọi O là trung điểm MN cạnh BC cho AN//MC và DN//MB 1 46*.Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC, CA, AB lấy các điểm A’, a)Chứng minh : OI = (MA + NB) và OJ = (MC + ND) 2 B’, C’ cho A’B = 2A’C; B’C = 2B’A; C’A = 2C’B Gọi M = AA’  BB’; b)Từ đó chứng minh : OI + kOJ = 0.Kết luận gì ba điểm O , I , J ? -3Lop12.net Phạm Viết Sĩ c)Gọi P và Q là hai điểm xác định PA + kPD = và QB + kQC =0 65.Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi D và E là các điểm xác định bởi: Chứng minh O là trung điểm đoạn PQ AD= 2AB ; 5AE = 2AC 54.Cho tam giác ABC và đường thẳng d Tìm điểm M trên d cho vectơ a)Tính DEvàDG theo AB và AC = + + có độ dài nhỏ b)Chứng minh điểm D,E,G thẳng hàng u MA MB MC 55*.Cho tứ giác ABCD Với số k tuỳ ý,ta lấy các điểm M và N cho c)Gọi K là trung điểm DE và M là điểm xác định BM= xBC = k và = k Tìm tập hợp các trung điểm I đoạn MN Tính AK;AM theo AB;AC và x và xác định x để A,K,M thẳng hàng AM AB DN DC 56.Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ,chứng minh : 66 Cho tam giác ABC có trọng tâm G.Gọi H là điểm đối xứng với G qua C và K là các điểm đối xứng với A qua B a) GA+ GB+ GC = b) AG = (AB+ AC) a)Chứng minh rằng: 3AH= 5AC – AB b)Chứng minh rằng: 3HK = 5CB + 2AB 57.Cho ba vectơ OA;OB;OC có độ dài và c)Gọi M là điểm xác định BM= xAC xác định x để H,K,M thẳng hàng OA+ OB+ OC = Tính các góc AOB ;BOC ;COA 67.Cho tam giác ABC M là điểm cho AM = 3MB ,N là điểm cho BN = 58.Gọi G,G’ là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ 3MC, L là điểm cho AL = xAC Xác định x để M,N,L thẳng hàng a)Chứng minh : AA'+ BB'+ CC'= 3GG' 68.Cho tam giác ABC , M là điểm thỏa mãn BM = BC – 2AB và N là điểm thỏa 1 b)Gọi M,N,P là các điểm thoả: MA= MB , NB= NC , PC= PA CN = xAC – BC 3 a)Xác định x để A ,M ,N thẳng hàng Chứng minh các tam giác ABC và tam giác MNP có cùng trọng tâm IM 59.Cho tam giác ABC Gọi M,N,P là các điểm chia các đoạn thẳng b)Xác định x để MN qua trung điểm I BC.Tính tỉ số IN AB,BC,CA theo cùng tỉ số k  Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm 69.Cho tam giác ABC Điểm I trên cạnh AC cho CI = CA, J là điểm thỏa 60.Cho tam giác ABC và hai điểm M,N thoả: 2MA+ 3MB = và NA+ 3NC = Chứng minh đường thẳng MN qua trọng tâm G BJ = AC – AB tam giác ABC 61.Cho tam giác ABC và vectơ cố định u;v;w Với số t  R,lấy các điểm a)Chứng minh : BI = AC – AB A’, B’ ,C’ cho AA'= tu, BB'= tv, CC'= tw.Tìm quĩ tích trọng tâm G tam giác A’B’C’ t thay đổi b)Chứng minh B ,I ,J thẳng hàng 62.Cho tam giác ABC và điểm O Chứng minh điểm M ta c) Dựng điểm J thỏa mãn điều kiện bài toán luôn luôn tìm số , ,  cho:  +  +  = và 70.Cho hình bình hành ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E cho AE = AB ,F OM= OA+ OB+ OC.Nếu điểm M trùng với trọng tâm tam giác ABC thì n các số , ,  bao nhiêu? 63.Cho các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm G Gọi G1,G2,G3 lần là điểm trên cạnh AC cho AF = AC Chứng minh E,D,F thẳng n + lượt là trọng tâm các tam giác BCA’ ; CAB’ ; ABC’ hàng Chứng minh G là trọng tâm tam giác G1G2G3 71.Cho tam giác ABC có trực tâm H,các đường cao là AA’ ,BB’ ,CC’ Chứng 64.Cho tam giác ABC, M là điểm đối xứng trọng tâm G qua B Phân tích minh : HA theo HB và HC -4Lop12.net Phạm Viết Sĩ a)Tìm toạ độ các điểm C,D cho : CA = – 2CB và DA= 2DB b)Gọi I,J là trung điểm AB và CD ,chứng minh AB2 + CD2 = 4IJ2 ; IA2 = IC.ID ; AC.AD= AB.AJ a) tanB.A'B + tanC.A'C = b) tanA.HA + tanB.HB + tanC.HC = 72.Cho hình bình hành ABCD, hai điểm M ,N thỏa 3AM = AB , 2DN = DC a) Tính AN theo AB và AC b) Gọi I và J là hai điểm thỏa BI =  BC ,AJ =  Tính AI ,AJ theo AB, AC  ,  73.Cho tam giác ABC, M là điểm trên AC cho AM= MC ,G là trọng tâm AN tam giác ABC, MG cắt đường thẳng AB N.Tính AB 74.Cho tg ABC.Tìm tập hợp các điểm M thỏa a)MA + MB = MB + MC b) MA+ 2MB – 3MC = Tọa độ Oxy 1.Cho a = (1;3),b = (2;– 5),c = (4;1) a)Tìm tọa độ vectơ u = 2a – b + 3c b)Tìm tọa độ vectơ x cho x + a = b– c c)Tìm các số k và h cho c = ka + hb 2.Cho u = 2i– 3j và v = ki + 4j Tìm các giá trị k để hai vectơ uvà v cùng phương 3.Cho các vectơ a = (– 1;4),b= (2;– 3),c= (1;6) Phân tích c theo avà b 4.Cho vectơ a = (m;m) , b= (m – 4;1) , c= (2m + 1;3m – 4) Tìm m để a+ b cùng phương với c 5.Xét xem các cặp vectơ sau có cùng phương không?Nếu cùng phương thì có cùng hướng không? a) a = (2;3) , b = (– 10;– 15) b) a = (2;3) , b = (– 10;– 15) c) a = (0;7) , b = (0;8) d) a = (– 2;1) , b = (– 6;3) e) a = (0;5) , b = (3;0) 6.Cho các vectơ a= (3;1) , b= (2;1) c= (4;1) Tìm các số x,y cho x.a+ y.b + 7c = 7.Cho các điểm A(– 3;2) ,B(2;4) ,C(3;– 2) a)Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC b)Tìm tọa độ điểm D cho C là trọng tâm tam giác ABD c) Tìm tọa độ điểm E cho ABCE là hình bình hành 8.Cho điểm A(– 2;– 3) ,B(2;1) ,C(2;– 1) a)Tìm điểm D cho ABCD là hình bình hành b)Gọi E là điểm đối xứng với D qua A Chứng minh ACBE là hình bình hành 9.Cho tam giác ABC có A(– 1;1), B(5;– 3), đỉnh C nằm trên trục Oy và trọng tâm G nằm trên trục Ox Tìm toạ độ đỉnh C Toạ độ trên trục 1.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C có toạ độ là 2,– 3,1 a)Tính AB , AB – 2AC ,CB b)Tìm toạ độ trung điểm I AB c)M là điểm đối xứng với A qua B, N là điểm đối xứng với M qua A Tìm N 2.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C có toạ độ là 1,– 3,5 a)Tìm toạ độ điểm D cho DA = 3DB b)Tìm toạ độ điểm M cho MA + MB+ MC = c)Tìm toạ độ điểm N cho 2NA – NB+ 5MC = 3.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C và I là trung điểm BC,chứng minh : a) AB+ AC = 2AI b) AB.AC = AI2 – BI2 c) AB2 + AC2 = 2(AI2 + BI2 ) d) AB2 – AC2 = 2BC.IA 4.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B,C,D , chứng minh : a) AB.CD + AC.DB + AD.BC = b) AB2.CD + AC2.DB + AD2.BC + CD.DB.BC = 5.Trên trục x’Ox cho các điểm A,B có toạ độ là – 1, -5- Lop12.net Phạm Viết Sĩ Chứng minh rằng: AK = AB + AC 4 3.Cho tam giác ABC cá cạnh 1,điểm O trùng với gốc tọa độ, cạnh AB song song với Ox,A là điểm có tọa độ dương.Tính tọa độ hai đỉnh A và B Đề (NC) Cho hai hình bình hành ABCD và AB’C’D’ có cùng đỉnh A Chứng minh : a) BB'+ DD'= CC' b) hai tam giác BC’D và B’CD’ có cùng trọng tâm 2.Trong mo Oxy cho hai điểm A(1;4) và B(2;2) Đường thẳng qua hai điểm A và B cắt trục Ox M và cắt trục Oy N.Tính diện tích tam giác OMN Đề 4(NC) 1.Cho tam giác OAB.Đặt OA = a ,OB = b.Gọi C ,D ,E là các điểm cho AC = 1 2AB ,OD = OB ;OE = OA a)Hãy biểu thị các vectơ OC,CD,DE qua các vectơ a và b b)Chứng minh rằng: ba điểm C ,D ,E thẳng hàng 2.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm G(1;2).Tìm tọa độ điểm A  Ox và điểm B  Oy cho G là trọng tâm tam giác OAB 10Cho tam giác ABC biết trọng tâm G(1;2),trung điểm BC là D(– 1;– 1), trung điểm cạnh AC là E(3;4).Tìm toạ độ các đỉnh A,B,C 11.Cho các điểm A(2;3) ,B(9;4) ,M(x;– 2) Tìm x để điểm A,B,M thẳng hàng 12.Cho các điểm A(1;1) ,B(3;2) ,C(m + 4;2m + 1),Tìm m để A ,B ,C thẳng hàng 13.Cho điểm A(– 1;8) ,B(1;6) ,C(3;4) Chứng minh rằng: A ,B ,C thẳng hàng 14.Cho điểm A(0;1) ,B(1;3) ,C(2;7), D(0;3) Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD song song 15.Cho điểm A(– 2;– 3) ,B(3;7) ,C(0;3), D(– 4;– 5) Chứng minh rằng: hai đường thẳng AB và CD song song 16.Cho các điểm A(– 4;5) , B(1;2) ,C(2;– 3) a)Chứng minh rằng: ba điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tìm tọa độ điểm D cho AD = – 3BC + AC c)Tìm tọa độ điểm E cho O là trọng tâm tam giác ABE 17.Cho tam giác ABC ,các cạnh BC ,CA ,AB có trung điểm là M(– 2;1) ,N(1;– 3) ,P(2;2) a)Tìm tọa độ các đỉnh A ,B ,C b)Chứng minh rằng: các tam giác ABC và MNP có trọng tâm trùng Đề kiểm tra Tích vô hướng 1.Cho hai vectơ avàb Chứng minh :  2 2 2 2 2  2  2  2 a.b=  a  b  a  b  =  a  b  a  b  =  a  b  a  b  2  2  4  2.Cho hai vectơ a ,b có a = , b = 12 và a + b = 13.Tính tích vô hướng a.(a + b) và suy góc hai vectơ a và a + b 3.Cho tam giác ABC cạnh a Gọi H là trung điểm BC,tính a) AH.BC b)AB.AC c) AC.CB 4.Cho hình vuông ABCD tâm O,cạnh a.Tính: a)AB.AC b)OA.AC c) AC.CB Tam giác ABC có AC = ,BC = ,C = 90o ,tính AB.AC Tam giác ABC có AB = ,AC = ,A = 120o a)tính AB.BC b) Gọi M là trung điểm AC tính AC.MA Tam giác ABC có AB = ,BC = ,CA = Đề 1(CB) 1.Cho hình bình hành ABCD tâm O.Tính các vectơ sau: a) AO+ BO+ CO+ DO b) AB+ AD+ AC c) OC– OD 2.Cho tứ giác ABCD Gọi M,N,P,Q là trung điểm các cạnh AB ,BC ,CD ,DA Chứng minh rằng: a) MN = QP bMP = MN + MQ 3.Cho tg ABC có trọng tâm G.Gọi M ,N ,P là trung điểm các cạnh AB ,BC ,CA Chứng minh rằng: GM + GN + GP = 4.Xét ba điểm sau có thẳng hàng không: A(2;– 3) , B(5;1) , C(8;5) Đề 2(CB) 1.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O a) Chứng minh rằng: AB + AD = AB – AD b)Với điểm M tùy ý,chứng minh rằng: MA+ MC = MB + 0MD 2.Cho tam giác ABC.Gọi I là trung điểm BC ,K là trung điểm BI -6- Lop12.net Phạm Viết Sĩ a)Tính AB.AC suy giá trị góc A b)Tính CA.CB BC.AD + CA.BE + AB.CF= 18.Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R.Gọi M, N là hai điểm trên (O) và I = AM∩BN Chứng minh : a) AI.AM = AI.AB b) BI.BN = BI.BA c) AI.AM + BI.BN= 4R2 19.Cho điểm A,B,C,D tuỳ ý a) Chứng minh : AB.CD+ AC.DB+ AD.BC= b)Từ đó chứng minh tam giác,ba đường cao đồng qui 20.Cho tam giác ABC cân A.Gọi H là trung điểm BC,và D là hình chiếu H trên AC, M là trung điểm HD Chứng minh AM BD 21.Cho hình vuông ABCD Gọi M và N là trung điểm BC và CD Chứng minh : AN  DM 22.Cho hình chữ nhật ABCD Gọi K là hình chiếu vuông góc B trên AC, M và N là trung điểm AK và DC Chứng minh : BM  MN 23.Cho hình thang ABCD vuông A và B AB = h, cạnh đáy AD = a, BC = b Tìm điều kiện a ,b ,h để a) AC  BD b) IA  IB với I là trung điểm CD 24.Cho tam giác ABC có AB = ;AC = và A = 45o Gọi L là chân đường phân giác góc A a)Tính AB.AC b)Tính AL theo AB và AC  độ dài AL c)M là điểm trên cạnh AC cho AM = x Tìm x để AL  BM 25.Cho tam giác ABC có AB = 2a ,AC = a và A = 120o a) Tính BC và BA.BC b)Gọi N là điểm trên cạnh BC cho BN = x Tính AN theo AB và AC,x c)Tìm x để AN  BM 26.Cho tứ giác ABCD,chứng minh rằng: AB2 – BC2 + CD2 – DA2 = 2AC.DB 27.Cho tam giác ABC có H là trực tâm và M là trung điểm BC Chứng minh : MH.MA = BC2 28.Cho tứ giác ABCD Hai đường chéo cắt O Gọi H ,K là trực tâm các tam giác ABO và CDO; I và J là trung điểm AD và BC c)Gọi D là điểm trên cạnh CA cho CD = CA Tính CD.CB 8.Cho hai vectơ a và b thỏa mãn |a| = , |b| = và (a,b) = 120o Với giá trị nào m thì hai vectơ a + mb và a – mbvuông góc Tam giác ABC có AB = ,AC = và góc A = 60o Trên tia AC lấy điểm M và đặt AM = kAC.Tìm k để BM vuông góc với trung tuyến AD tam giác ABC 10.Cho tam giác ABC cân đỉnh A, cạnh bên = a và hai trung tuyến BM, CN vuông góc Tính cosA 11 Tam giác ABC có AB = 6,AC = 8,BC = 11 a)Tính AB.AC b)Trên cạnh AB lấy điểm M cho AM = 2.Trên cạnh AC lấy điểm N cho AN = 4.Tính AM.AN 12.Cho O là trung điểm AB,M là điểm tuỳ ý Chứng minh : MA.MB = OM2 – OA2 13.Cho hình vuông ABCD tâm O, M là điểm thuộc cạnh BC.Tính MA.AB và MO.AB 14.Cho tứ giác ABCD , I là trung điểm BC, chứng minh : a) AB.AC = IA2 – IB2 b) AB.AC = (AB2 + AC2 – BC2) c) AB.CD = (AD2 + BC2 – AC2 – BD2) 15.Cho tam giác ABC có trọng tâm G Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 16.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh là a,b,c Gọi G là trọng tâm,hãy tính: a) AB.AC b)GA.GB c) GA.GB + GB.GC + GC.GA d) Chứng minh : BC.CA + CA.AB + AB.BC = – (a2 + b2 + c2) e)Tính AG theo a ,b ,c 17.Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh : -7- Lop12.net Phạm Viết Sĩ a) MA +MC = MB +MD Chứng minh HK  IJ b) MA.MC = MB.MD 28.Cho đường tròn (O;R) và hai dây cung AA’ ,BB’ vuông góc S Gọi M là trung điểm AB chứng minh rằng: SM  A’B’ c) MA2 + MC2 = MB2 + MD2 d) MA2 + MB.MD = 2MA.MO 29.Cho tam giác ABC Tìm quĩ tích điểm M thoả mãn : a) AM.AB = AC.AB 38.Cho tam giác ABC và các hình vuông ABED, ACHI ,BCGH Chứng minh : b) MA + MA.MB + MA.MC = I a) (AD+ BF).AC= c) MA2 = MC.MA b) (AD+ BF+ CH).AC= d) (MA+ MB).(MA+ MC) = D c) AD+ BF+ CH= e) (MA – MB).(2MB – MC) = H d) + + = AE BG CI 30.Cho điểm A cố định nằm ngoài đường thẳng , H là hình chiếu A trên A 39.Cho tam giác ABC vuông A, ABE = c, AC = b Gọi M là điểm trên cạnh .Với điểm M trên , ta lấy điểm N trên tia AM cho AN.AM = AH2 BC cho CM = 2BM, N là điểm trên cạnh AB cho BN = 2AN Tìm quĩ tích các điểm N a) Tính vectơ AMvàCNtheo hai vectơ ABvàAC 31.Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với M,gọi P C b)Tìm hệ thức liên hệ b và c cho AMB  CN là trung điểm đoạn thẳng AD 40.a)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O,R) M là điểm Chứng minh MP  BC  MA.MC= MB.MD tuỳ ý trên đường tròn Chứng minh rằng: MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 32* Xác định dạng tam giác ABC biết rằng: b) Tổng quát bài toán trên cho đa giác n cạnh (AB.BC)CA + (BC.CA)AB +(CA.AB)BC = 41*.Cho lục giác A1A2…A6 nội tiếp đường tròn (O,R) và điểm M AC 33.Cho hình vuông ABCD,điểm M nằm trên đoạn thẳng AC cho AM = thay đổi trên đường tròn đó Chứng minh : G a) cos MÔA + cos MÔA + …+ cos MÔA =F0 N là trung điểm đoạn thẳng DC,chứng minh BMN là tam giác vuông cân 2 2 b) MA1 + MA2 + …+ MA6 là số ( = 12R ) 34.Cho AA’ là dây cung đường tròn (O) và M là điểm nằm trên dây 42*.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) ,M là điểm bất cung đó Chứng minh 2MA.MO= MA(MA – MA’) kỳ trên đường tròn 35.Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và điểm M cho các o a)Chứng minh : MA2 + MB2 + MC2 = 6R2 góc AMB ,BMC ,CMA 120 Các đường thẳng AM ,BM ,CM cắt b)Chứng minh : MA2 + 2MB.MC = 3R2 đường tròn (O) A’ ,B’ ,C’ Chứng minh rằng: c)Suy M trên cung nhỏ BC thì MA = MB + MC MA + MB + MC = MA’ + MB’ + MC’ 43.Cho tam giác ABC có A = 60o ,AB = ,AC = , gọi M là trung điểm BC 36*.Cho tam giác ABC có cạnh Gọi D là điểm đối xứng với C qua a)Tính độ dài đoạn AM và độ dài đường phân giác góc A đường thẳng AB , M là trung điểm cạnh CB 44* Tam giác ABC có tính chất gì,biết rằng: a)Xác định trên đường thẳng AC điểm N cho tam giác MDN vuông (AB.BC)CA+ (BC.CA)AB+ (CA.AB)BC = D.Tính diện tích tam giác đó 45.Cho tam giác ABC có AB = AC = , góc BAC = 120o nội tiếp đường b)Xác định trên đường thẳng AC điểm P cho tam giác MPD vuông tròn tâm I Gọi D là trung điểm AB và E là trọng tâm tam giác ADC M.Tính diện tích tam giác đó a)Tính AB.AC c) Tính cosin góc hợp hai đường thẳng MP và PD 37.Cho hình chữ nhật ABCD tâm O, M là điểm tuỳ ý,chứng minh : b)AH là đường cao tam giác ABC.Tính AH theo AB và AC -8Lop12.net Phạm Viết Sĩ c)Chứng minh IE  CD 46.Cho tứ giác lồi ABCD Gọi M ,N ,P ,Q là trung điểm các đoạn thẳng AC, BD, BC và AD Đặt u = AB ,v = AC ,w = AD 1 a)Chứng minh : MN = (u + w – v) ; PQ = (u + v – w) 2 b)Chứng minh :nếu MN = PQ thì AB  CD.Điều ngược lại có đúng không? 47.Cho tam giác ABC có độ dài cạnh là a ,b ,c Gọi D là trung điểm AB và I là điểm thỏa IA + 3IB – 2IC = a)Chứng minh BCDI là hình bình hành b)Tính CI.AB theo a ,b ,c c)M là điểm tùy ý, chứng minh : MA2 + 3MB2 – 2MC2 = 2MI2 + IA2 + 3IB2 – 2IC2 d)Khi M chạy trên đường thẳng (d) cố định,hãy tìm vị trí M để biểu thức MA2 + 3MB2 – 2MC2 nhỏ 48.Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý a)Chứng minh vectơ v = MA + 2MB – 3MC không phụ thuộc vị trí điểm M b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh : 2MA2 + MB2 – 3MC2 = 2MO.v c)Tìm quĩ tích điểm M cho 2MA2 + MB2 = 3MC2 49.Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(– 1;1) ,B(1;3) ,C(1;– 1) Chứng minh rằng: tam giác ABC vuông cân A 50 Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(– 3;1) ,C(3;– 1) a)Tìm tọa độ điểm D cho ABCD là hình bình hành b)Kẻ đường cao AH Tìm tọa độ chân đường cao H 51.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C,D với A(– 1;1) ,B(0;2) ,C(3;1) và D(0;– 2) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD là hình thang cân 52.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A,B,C với A(– 1;– 1) ,B(3;1) ,C(6;0) a)Chứng minh rằng: điểm A ,B ,C tạo thành tam giác b)Tính góc B tam giác ABC 53.Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A,B với A(5;4) ,B(3;– 2).Một điểm M thay đổi trên trục hoành.Tìm giá trị nhỏ MA + MB 54.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(3;4) ,B(4;1) ,C(2;– 3) ,D(– 1;6) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn 55.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(– 8;0) ,B(0;4) ,C(2;0) ,D(– 3;– 5) Chứng minh rằng: tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn -9Lop12.net