Thi, Algorithms for generating Armstrong relation and inferring functional dependencies in the relational datamodel, Computers and Mathematics with Applications 26 (4) (1993) 43-55 (Grea[r]
(1)TÔp chẵ Tin hồc v iÃu khin håc, T.27, S.3(2011), 199205
THUT TON TM TT C CC RÓT GÅN TRONG BNG QUYT ÀNH∗ NGUYN LONG GIANG, VƠ ÙC THI
Vi»n Cỉng ngh» thỉng tin, Vi»n Khoa håc v Cỉng ngh» Vi»t Nam
Tóm tắt. Rót gån thc t½nh l b i to¡n quan trång lỵ thuyát têp thổ Cho án nay, nhiÃu
bi b¡o khoa håc v· c¡c thuªt to¡n rót gån thc tẵnh  ữủc à xuĐt Tuy nhiản, cĂc thuêt toĂn ny Ãu tẳm mởt têp rút gồn tốt nhĐt theo mởt tiảu chẵ Ănh giĂ no õ Bi bĂo à xuĐt mởt thuêt toĂn mợi tẳm tĐt cÊ cĂc têp rút gồn bÊng quyát nh v Ănh giĂ thuêt toĂn ny cõ phực tÔp thới gian l hm mụ Tuy vêy, nhiÃu trữớng hủp cử th, thuêt toĂn ny cõ phực tÔp l a thực
Abstract.Attribute reduction is one of the most important issues in rough set theory There have
been many scientific papers that suppose algorithms on attribute reduction However, these algorithms are all heuristic which find the best attribute reduction based on a kind of heuristic information In this paper, we present a new algorithm for finding all attribute reductions of a decision and we show that the time complexity of the algorithm is exponential in the number of attributes We also show that this complexity is polynomial in many special cases
1 MÐ U
Rót gån thc t½nh bÊng quyát nh l quĂ trẳnh loÔi bọ cĂc thuởc tẵnh thứa têp thuởc tẵnh iÃu kiằn m khổng Ênh hững án viằc phƠn lợp cĂc ối tữủng Dỹa vo têp rút gồn thu ữủc, viằc sinh luêt v phƠn lợp Ôt hiằu quÊ cao nhĐt Cho án nay, cõ rĐt nhiÃu cổng trẳnh nghiản cựu và cĂc thuêt toĂn rút gồn thuởc tẵnh lỵ thuyát têp thổ Tuy nhiản, cĂc thuêt toĂn ny Ãu tẳm ữủc mởt têp rút gồn tốt nhĐt theo mởt tiảu chẵ Ănh giĂ no õ vợi phực tÔp a thực (cĂc thuêt toĂn theo hữợng tiáp cên heuristic) m chữa giÊi quyát bi toĂn tẳm tĐt cÊ cĂc têp rút gồn
Vợi bÊng quyát nh nhĐt quĂn DT = (U, Cd, V, f) lỵ thuyát têp thổ, theo nh nghắa cừa Pawlak náuB Cl mởt rút gồn cừaCnáuB l têp tối thiu thọa mÂn phử thuởc hm Bd Vợi quan hằr trản têp thuởc tẵnh Rtrong lỵ thuyát cì sð dú li»u,B l mët tªp tèi thiºu cõa thuởc tẵnh aRtrản r náuB l têp thuởc tẵnh nhọ nhĐt thọa mÂn phử thuởc hm B a Do â, n¸u xem b£ng quy¸t ành DT = (U, C∪d, V, f) l quan hằ r trản têp thuởc tẵnh R=Cdthẳ khĂi niằm têp rút gồn tữỡng ữỡng vợi khĂi niằm têp tối thiu cừa thuởc tẵnh {d} Vẳ vêy, bi toĂn tẳm tĐt cÊ cĂc rút gồn lỵ thuyát têp thổ tr thnh bi
toĂn tẳm hồ tĐt cÊ cĂc têp tối thiu cừa mởt thuởc tẵnh trản quan hằ v bi toĂn ny ữủc giÊi quyát dỹa trản cĂc kát quÊ Â chựng minh lỵ thuy¸t cì sð dú li»u quan h»
∗
(2)200 NGUYN LONG GIANG, VÔ ÙC THI
Bi bĂo ny xƠy dỹng mởt thuêt toĂn tẳm tĐt cÊ cĂc têp rút gồn bÊng quyát nh dỹa trản cĂc kát quÊ Â cổng bố cừa giĂo s÷ J Demetrovics v Vơ ùc Thi cì sð dỳ liằu quan hằ v chựng minh phực tÔp cừa thuêt toĂn trữớng hủp xĐu nhĐt l hm mụ theo số thuởc tẵnh iÃu kiằn, nhiản bi b¡o cơng ch¿ mët sè tr÷íng hđp °c biằt, phực tÔp cừa thuêt toĂn l a thực theo kẵch thữợc cừa bÊng quyát nh PhƯn cỏn lÔi cừa bi bĂo gỗm: Mửc trẳnh by mởt số kh¡i ni»m cì b£n cì sð dú li»u quan hằ v lỵ thuyát têp thổ; Mửc trẳnh b y mët sè thuªt to¡n cì b£n cì sð dú li»u quan h» [5, 10]; Möc · xuĐt thuêt toĂn tẳm tĐt cÊ cĂc rút gồn bÊng quyát nh v vẵ dử minh hồa thuêt toĂn; Cuối l kát luên
2 CC KHI NIM CÌ BN 2.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n cì s dỳ liằu quan hằ
PhƯn ny s trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn lỵ thuyát cì sð dú li»u quan h» C¡c kh¡i ni»m n y câ thº xem [1, 3, 4, 6, 7, 10]
ChoR={a1, , an}l têp hỳu hÔn khĂc rộng cĂc thuëc t½nh, méi thuëc t½nhaicâ mi·n gi¡
trà l D(ai) Quan hằr trảnR l têp cĂc bở{h1, , hm}vợihj :R → ∪ ai∈R
D(ai),1≤j≤m
l mët h m cho hj(ai)∈D(ai)
Cho r = {h1, , hm} l mët quan h» tr¶n R ={a1, , an} Phư thc hm (PTH) trản
R l mởt dÂy kỵ tỹ cõ dÔng A B vợi A, B R PTH A B thọa mÂn quan hằ r trản R n¸u (∀hi, hj ∈r) ((∀a∈A) (hi(a) =hj(a))⇒(∀b∈B) (hi(b) =hj(b))) °t Fr =
{(A, B) :A, B ⊆R, A→B}l hồ Ưy cĂc PTH thọa mÂn quan hằr GồiP(R)l têp cĂc têp cừa R, náuF =P(R)ìP(R) thọa mÂn:
(1) (A, A)∈F
(2) (A, B)∈F,(B, C)∈F ⇒(A, C)∈F (3) (A, B)∈F, A⊆C, D⊆B ⇒(C, D)∈F (4) (A, B)F,(C, D)F (AC, BD)F
thẳ F ữủc gồi l mët hå f tr¶n R Rã r ngFr l mët hå f trản R Theo [1] náu F l mởt
hồf trảnR thẳ cõ mởt quan hằr trảnR choFr=F Kỵ hiằu F+ l têp tĐt cÊ cĂc PTH
ữủc dăn xuĐt tứ F bơng viằc Ăp dửng cĂc quy tưc (1)-(4)
Mởt sỡ ỗ quan hằ (SQH) s l mët c°p < R, F > vỵiR l têp thuởc tẵnh vF l têp cĂc phử thuởc hm trảnR Kỵ hiằuA+={a:A {a} F+}, A+ ữủc gồi l bao õng cừa A trản s Dạ thĐy A B ∈ F+ v ch¿ B ⊆ A+ Theo [1], n¸u s =< R, F > l ỗ quan hằ thẳ cõ quan hằ r trảnR cho Fr =F+, quan hằ r nhữ vêy gồi l quan h»
Armstrong cõas
(3)THUT TON TM TT C CC RÓT GÅN TRONG BNG QUYT NH 201
R náu vợi mồi A, BK ko theoA6B, thĐyKr(Ks) l cĂc hằ Sperner trản R ChoK
l mët h» Sperner tr¶nR âng vai trá l têp tĐt cÊ cĂc khõa tối thiu Ta nh nghắa têp cĂc phÊn khõa cừa K, kỵ hiằu lK1, nhữ sau:
K−1 ={A⊂R: (B∈K)⇒(B 6⊂A)}v n¸u (A⊂C)⇒(∃B ∈K) (B C) Dạ thĐyK1 cụng l mởt hằ Sperner trảnR.Theo nh nghắa, náu K l têp cĂc khõa tối thiu cừa mởt SQH no õ thẳ K1 l têp tĐt cÊ cĂc têp khổng phÊi khõa lợn nhĐt
Chorl mởt quan hằ trảnR.tEr ={Eij : 1i < j |r|}vợiEij={aR:hi(a) =hj(a)}
, õEr ữủc gồi l hằ bơng cừar Theo [4], náuAr R thẳA+r =Eij náu tỗn tÔi
Eij Er :A Eij vA+r =R trữớng hủp ngữủc lÔi Tiáp theo, ta ữa nh nghắa
hồ cĂc têp tối thiu cừa mởt thuởc tẵnh trản quan hằ v SQH nh nghắa 2.1 [6] Chos= (R, F)l SQH tr¶n R v a∈R
°t Ks
a={A⊆R:A→ {a},∃B⊆R: (B → {a}) (B 6⊂A)}
Kas ÷đc gồi l hồ cĂc têp tối thiu cừa thuởc tẵnhatrản SQH
Tữỡng tỹ, ta nh nghắa hồ cĂc têp tối thiu cừa mởt thuởc tẵnh trản quan hằ nh nghắa 2.2 Cho r l mởt quan hằ trản R v a∈R
°t Kar={A⊆R:A→ {a},∃B ⊆R: (B→ {a}) (B6⊂A)}
Kar ữủc gồi l hồ cĂc têp tối thiu cừa thuởc tẵnhatrản quan hằ r
Ró rngR /Kas, R /∈Kar,{a} ∈Kas,{a} ∈Kar v Kas, Kar l c¡c h» Sperner tr¶n R 2.2 CĂc khĂi niằm cỡ bÊn lỵ thuyát têp thổ
Trong phƯn ny s trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn lỵ thuyát têp thổ [9]
B£ng quy¸t ành l mët bë tù DT = (U, C∪D, V, f) âU ={u1, u2, , un} l têp
khĂc rộng, hỳu hÔn cĂc ối tữủng; C ={c1, c2, , cm} l têp cĂc thuởc tẵnh iÃu kiằn; D l
têp cĂc thuởc tẵnh quyát nh vợi CD= V = Q
aCD
Va vợiVa l têp giĂ tr cừa thuởc
tẵnhaA;f :Uì(CD)V l hm thổng tin, vợiaCD, uU hmf cho giĂ tr f(u, a)Va Khổng mĐt tẵnh chĐt tờng quĂt giÊ thiátDch gỗm mởt thuởc tẵnh quyát nh
dduy nhĐt (trữớng hủpDcõ nhiÃu thuởc tẵnh thẳ bơng mởt php m hâa câ thº quy v· mët thuëc t½nh [8]) Do â, tø v· sau ta x²t b£ng quy¸t ành DT = (U, C∪d, V, f), â
{d}∈/ C
Méi tªp P ⊆ C∪ {d} x¡c nh mởt quan hằ khổng phƠn biằt ữủc, gồi l quan h»
t֓ng ֓ng:
IN D(P) ={(x, y)∈U ×U|∀a∈P, f(x, a) =f(y, a)}
IN D(P) x¡c ành mởt phƠn hoÔch cừaU, kỵ hiằu l U/P ={P1, P2, , Pm} Mët ph¦n
tû trongU/P gåi l mët lợp tữỡng ữỡng
VợiB C vXU,BxĐp x trản cừaXl têpBX ={uU|[u]BX6= },BxĐp
x dữợi cừa X l têp BX = {uU|[u]BX}, BmiÃn biản cừa X l têp BNB(X) =
BX\BX vBmiÃn dữỡng cừa{d}l têpP OSB({d}) = S X∈U/D
(4)202 NGUYN LONG GIANG, VÔ C THI
lÔi DT l khổng nhĐt quĂn Trong trữớng hủp DT khổng nhĐt quĂn thẳP OSC({d}) chẵnh l
têp cỹc Ôi cừaU cho phử thuởc hmC dúng
Trong lỵ thuyát têp thổ [9], Pawlak ữa khĂi niằm têp rút gồn cừa bÊng quyát nh, cỏn gồi l têp rút gồn dỹa trản miÃn dữỡng
nh nghắa 2.3 Cho bÊng quyát nhDT = (U, Cd, V, f) NáuB C thọa mÂn: (1)P OSB({d}) =P OSC({d})
(2)∀B0 ⊂B P OSB0 ({d})6=P OSC({d})
thẳ B ữủc gồi l mởt têp rút gồn cừaC
Trữớng hủp DT nhĐt quĂn, nh nghắa trản cho thĐy B l mởt têp rút gồn náu B thọa mÂn B dvB0 B, B0 {d}, kỵ hiằuRdl têp t§t c£ c¡c rót gån cõa DT
3 MËT SÈ THUT TON CÌ BN TRONG CÌ SÐ DÚ LIU QUAN H 3.1 Thuêt toĂn tẳm têp phÊn khõa
Thuêt toĂn 3.1.[10] Tẳm têp phÊn khõaK1 Ưu vo: K={B1, , Bn} l hằ Sperner trản R
Ưu ra: K1
Bữợc 1: tK1 ={R {a}:aB1} Hin nhiảnK1 ={B1}1
Bữợc q+1: (q<m) GiÊ thiát rơngKq=Fq {X1, , Xtq}, ð ¥yX1, , Xtq chùaBq+
v Fq = {A∈Kq:Bq+1 6⊂A} èi vỵi méi i(i= 1, , tq) ta tẳm cĂc phÊn khõa cừa Bq+
trảnXi tữỡng tỹ nhữK1 Kỵ phĂp cừa chúng l Ai1, , Airi °t:
Kq+1 =Fq∪
Aip:A∈Fq ⇒Aip6⊂A,1≤i≤tq,1≤p≤ri
Cuối ta t K1=Km
ở phực tÔp thuêt to¡n
°t Iq(1≤q ≤m−1) l sè ph¦n tû cõa Kq thuêt toĂn trản Theo [10], phực
tÔp thới gian cừa thuêt toĂn lO |R|2
m1
P
q=1 tquq
!
vỵiuq =Iq−tq n¸uIq > tq v uq= n¸u
Iq =tq
Nhên xt 3.1
1) Trong mội bữợc cừa thuêt toĂn, Kq l hằ Sperner trản R Theo [5], kẵch thữợc cừa hằ
Sperner bĐt ký trản R khổng vữủt quĂ Cn[n/2] 2n+1/2/ Q.n1/2
vợin=|R| Do õ,
ở phực tÔp tỗi nhĐt cừa thuêt toĂn l h m sè mơ theon
2) Tr÷íng hđp Iq Im(q = 1, , m1), phực tÔp cừa thuêt toĂn khổng lợn hỡn
O
|R|2|K|
K−1
2
, õ phực tÔp thuêt toĂn l a thực theo|R|,|K|v|K|1
(5)THUT TON TM TT C CC RĨT GÅN TRONG BNG QUYT ÀNH 203
3.2 Thuªt toĂn tẳm têp khõa tối thiu tứ têp cĂc phÊn khõa Thuêt toĂn 3.2.[5] Tẳm mởt khõa tối thiu tứ têp cĂc phÊn khõa
Ưu vo: ChoK l hằ Sperner âng vai trá l tªp ph£n khâa, C ={b1, , bm} ⊆ R v
H l h» Sperner âng vai trá l tªp khâa K=H−1
sao cho B K:B C Ưu ra: DH
Bữợc 1: tT(0) =C;
Bữợc i+1: tT(i+ 1) =T(i)bi+1 náu B K khổng cõ T B; trữớng hủp ngữủc lÔi tT(i+ 1) =T(i);
Ci cịng ta °t D=T(m);
Thuªt toĂn 3.3.[5] Tẳm têp cĂc khõa tối thiu tứ têp c¡c ph£n khâa ¦u v o: ChoK={B1, , Bk}l h» Sperner trản R
Ưu ra: H m H1 =K
Bữợc 1: Bi Thuêt toĂn 3.2 ta tẵnh A1, tK1 =A1
Bữợc i+1: Náu cõB Ki1 cho B Bj(j: 1jk) thẳ bi Thuêt toĂn 3.2 ta
tẵnhAi+ 1, ƠyAi+1H, Ai+1 B tKi+1 =KiAi+1 Trong trữớng hủp ngữủc lÔi
ta tH =Ki
ở phực tÔp thuêt toĂn 3.3
Theo [5], phực tÔp cừa Thuêt toĂn 3.3 lO |R|
m1
P
q=1
(|K|Iq+|R|tquq) +|K|2+|R|
!!
vỵi Iq, tq, uq nhữ Thuêt toĂn 3.1 Do õ, phực tÔp tỗi nhĐt cừa Thuêt toĂn 3.3 l
hm số mụ theonvợinl số phƯn tỷ cừaR Trữớng hủpIq |K|(q= 1, , m1), phực
tÔp cừa Thuªt to¡n 3.3 l O
|R|2|K|2|H|, ë phùc tÔp ny l a thực theo|R|,|K|v|H|
Náu|H|l a thực theo|R|,|K|thẳ thuêt toĂn hiằu quÊ Náu số lữủng cĂc phƯn tỷ cừaH l nhọ thẳ thuêt toĂn rĐt hiằu quÊ
4 THUT TON TM TT C RÓT GÅN TRONG BNG QUYT NH Cho bÊng quyát nh nhĐt quĂn DT = (U, C ∪d, V, f), R ⊆ C l têp rút gồn cừa DT náu thọa mÂn P OSR({d}) = P OSC({d}) = U hay R → d, v R0 6⊂ R : P OSR0({d}) =
P OSC({d}) = U hay R0 6⊂ R : R0 → {d} Tø ành ngh¾a 2.2 v ành ngh¾a 2.3, b i to¡n
tẳm tĐt cÊ cĂc têp rút gồn cừa bÊng quyát nh nhĐt quĂn DT = (U, C d, V, f) vợi tr thnh bi toĂn tẳm hồ cĂc têp tối thiu cừa thuởc tẵnh{d}m khổng chựa dối vợi quan hằ r={u1, u2, , um}trản têp thuởc tẵnhR =Cd Kỵ hiằu Rd l têp tĐt cÊ cĂc rút gồn cừa
DT, õRd=Kdr {d}vợiKdr l hồ cĂc têp tối thiu cừa thuởc tẵnh{d}trản quan hằr
Thuêt toĂn 4.1.Thuêt toĂn tẳm tĐt cÊ cĂc têp rút gồn trản bÊng quyát nh
Ưu vo:BÊng quyát nhDT = (U, Cd, V, f)vỵiP OSC({d}) =U,C={c1, c2, , ck},
U ={u1, u2, , um}
¦u ra: Rd
(6)204 NGUYN LONG GIANG, VÔ ÙC THI
B£ng B£ng quy¸t ành U a b c d u1 6 u2 2 u3 0 0 u4 0 u5 4 0 u6 5 u7 0
Bữợc 1: Tứr ta xƠy düng h» b¬ng nhauEr ={Eij : 1≤i < j ≤m} vợiEij ={aR:ui(a) =uj(a)}
Bữợc 2: TứEr ta xƠy dỹng têp Md={AEr :d /A,6 BEr:d /B, AB}
Bữợc 3: Bi Thuêt toĂn 3.3, tẵnh têp K tứ têp Md K1=Md
Bữợc 4: tRd=K {d}
Chựng minh têp K thu ữủc tứ Bữợc l hay hồ cĂc têp tối thiu cừa thuởc tẵnh d trản quan hằr
Thêt vêy, theo cĂch xƠy dỹng Md tÔi Bữợc v theo cổng thực tẵnh bao õng cừa têp
thuởc tẵnh trản quan hằ,ANdta cõA+ =Av Akhỉng chùadn¶nA+khỉng chùad, suy
raA→ {d}∈/ F+ M°t kh¡c, náu tỗn tÔiB choAB thẳ xÊy hai trữớng hủp: (1) Náu B khổng chựa dthẳB+=R; (2) Náu B chựadthẳ hin nhiảnB+ chựad CÊ hai trữớng hủp ta Ãu câ B+ chùa d hay B → {d} ∈ F+ Do â Md =M AX(F+, d) vỵi M AX(F+, d) =
{A⊆R:A→ {d}∈/ F+, A⊂B ⇒B→ {d} ∈F+} Theo [3, 6], M AX(F+, d) = (Kdr)−1 n¶n Md = (Kdr)1 õ tÔi Bữợc 3, K =Kdr l hồ cĂc têp tối thiu cừa thuởc tẵnh dtrản
quan hằr.TÔi Bữợc 4,Rd=K {d}thu ữủc l têp tĐt cÊ cĂc rút gồn cừa bÊng quyát nh
PhƠn tẵch phực tÔp thuêt toĂn
Dạ thĐy, phực tÔp cừa Bữợc v Bữợc l a thực theo kẵch thữợc cừa r Do õ, phực tÔp cừa thuêt toĂn l phực tÔp cừa Thuêt toĂn 3.3 tẵnh têp khõa tối thiu tứ têp phÊn khõa tÔi Bữợc Do õ, phực tÔp cừa thuêt toĂn l :
O |R| m −1
P
q=1
(|Md|Iq+|R|tquq) +|Md|2+|R|
!!
vỵi Iq, tq, uq nhữ Thuêt toĂn 3.1 v phực tÔp ny trữớng hủp xĐu nhĐt l
hm số mụ theo n vợi n l số phƯn tỷ cừa R Tr÷íng hđp Iq ≤ |Md|(q= 1, , m−1), ë
phực tÔp cừa thuêt toĂn lO|R|2|Md|2|Kdr|
, phực tÔp ny l a thực theo|R|,|Md|v
|Kdr| Dạ thĐy tÔi bữợc 2, |Md| l a thực theo kẵch thữợc cừa r, õ náu |Kdr|l a thực
theo |R| thẳ phực tÔp cừa thuêt toĂn l a thực theo kẵch thữợc cừa r Náu số lữủng cĂc phƯn tỷ cừaKdr l nhọ thẳ thuêt toĂn rĐt hiằu quÊ
Vẵ dử 4.1: Cho bÊng quyát ànhDT = (U, C∪d, V, f) vỵiU ={u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7},
(7)THUT TON TM TT C CC RÓT GÅN TRONG BNG QUYT ÀNH 205
Xem bÊng quyát nh nhữ quan hằ r = {u1, u2, u3, u4, u5, u6, u7} trản têp thuởc tẵnh R={a, b, c, d} Ăp dửng Thuêt toĂn 4.1 ta tẵnh ữủc:
Er ={{a, b, d},{b, c, d},{a, d},{b, d},{c, d},{b},{c},{d}}
Md={{b},{c}}
Bði Thuªt to¡n 3.3, ta tẵnh ữủc K =Kdr={{a},{b, c},{d}}
Nhữ vêy, têp tĐt cÊ cĂc rút gồn cừa bÊng quyát nh DT l Rd=Kdr−{d}={{a},{b, c}}
5 KT LUN
B i b¡o ÷a kh¡i ni»m tªp tèi thiºu cõa mët thuëc tẵnh trản quan hằ dỹa trản khĂi niằm têp tối thiu cừa mởt thuởc tẵnh trản sỡ ỗ quan hằ [6] v xƠy dỹng thuêt toĂn tẳm tĐt cÊ cĂc têp rút gồn cừa têp thuởc tẵnh iÃu kiằn b£ng quy¸t ành düa v o kh¡i ni»m khâa, ph£n khõa v thuêt toĂn tẳm têp tĐt cÊ cĂc khõa, ph£n khâa cì sð dú li»u quan h» [5, 10] Trong trữớng hủp xĐu nhĐt, phực tÔp thới gian cừa thuêt toĂn ữủc xƠy dỹng l hm mụ theo số thuởc tẵnh iÃu kiằn Trữớng hủp lỹc lữủng têp cĂc khõa tối thiu thu ữủc tứ têp cĂc phÊn khõa cho trữợc l a thực theo n, vợi nl số thuởc tẵnh iÃu kiằn thẳ phực tÔp thíi gian cõa thuªt to¡n l a thùc theo sè h ng v sè cët cõa b£ng quy¸t ành
TI LIU THAM KHO
[1] W W Armstrong, Dependency structures of database relationships, Information Processing 74, North-Holland Publ Co 1974 (580-583)
[2] J Demetrovics, On the equivalence of candidate keys with Sperner systems, Acta Cybernetica (1979) 247-252
[3] J Demetrovics, V.D Thi, Algorithms for generating Armstrong relation and inferring functional dependencies in the relational datamodel, Computers and Mathematics with Applications 26(4) (1993) 43-55 (Great Britain)
[4] J Demetrovics, V.D Thi, Keys, antikeys and prime attributes, Ann Univ Scien Budapest Sect Comput (1987) 37-54
[5] J Demetrovics, V.D Thi, Relations and minimal keys, Acta Cybernetica 8(3) (1998) 279-285 [6] J Demetrovics, V.D Thi, Some remarks on generating Armstrong and inferring functional
de-pendencies relation, Acta Cybernetica 12(1995) 167-180
[7] J Demetrovics, V.D Thi, Some results about functional dependencies, Acta Cybernetica
(3) (1988) 273-278
[8] M Kryszkiewicz, Rough set approach to incomplete information systems, Information Science
(1998) 39-49
[9] Z Pawlak, Rough Sets - Theoritical Aspects of Reasoning about Data, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1991
[10] V.D Thi, Minimal keys and Antikeys, Acta Cybernetica 7(4) (1986) 361-371