Đang tải... (xem toàn văn)
Đối với các đường cong, các hàm này sẽ vẽ một loạt các điểm dọc theo hình chiếu của.. đường mô tả bởi hàm toán họcs[r]
(1)Compu
ter G
rap
hic
s
1
ĐỒ HỌA MÁY TÍNH
GIỚI THIỆU ĐỒ HỌA BA CHIỀU
(2)Compu
ter G
rap
hic
s
2
NỘI DUNG
I TỔNG QUAN VỀ ĐỒ HỌA BA CHIỀU
(3)Trang đầu
Compu
ter G
rap
hic
s
3
Tham khảo
Francis S Hill Computer Graphics Macmillan Publishing Company, NewYork, 1990, 754 tr
James D.Foley, Andries Van Dam, Feiner, John Hughes Introduction to Computer Graphics Addision Wesley, NewYork, 1995, 559 tr
James D.Foley, Andries Van Dam, Feiner, John Hughes Computer Graphics - Principle and Practice Addision Wesley, NewYork, 1996, 1175 tr
Dương Anh Đức, Lê Đình Duy Giáo trình Đồ họa máy tính Khoa Công nghệ thông tin, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên (lưu hành nội bộ), 1996, 237 tr
Hồng Kiếm, Dương Anh Đức, Lê Đình Duy, Vũ Hải Qn Giáo trình Cơ sở Đồ họa Máy Tính, NXB Giáo dục, 2000
(4)Compu
ter G
rap
hic
s
4
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Biểu diễn mặt đa giác
Lưới đa giác (polygon meshes)
Một số hệ đồ họa cung cấp số hàm cho phép mơ hình hóa
các đối tượng Một mặt phẳng diễn tả thông qua hàm fillArea Nhưng ta cần lợp nhiều planar patch liên tiếp, dùng hàm lưới (mesh function) thuận tiện
Một dạng thông dụng lưới đa giác dãy tam giác
(5)Trang đầu
Compu
ter G
rap
hic
s
5
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Biểu diễn mặt đa giác
Lưới đa giác (polygon meshes)
Khi đa giác mô tả nhiều ba đỉnh,
đỉnh khơng đồng phẳng Điều có thể dẫn đến lỗi tính toán Một phương pháp đơn giản phân đa giác thành tam giác
(6)Compu
ter G
rap
hic
s
6
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các đường cong mặt cong
Hình ảnh đường cong mặt cong tạo
từ tập hợp hàm toán học định nghĩa đối tượng từ tập hợp điểm đối tượng
Khi đối tượng mô tả hàm toán học, thường
thư viện đồ họa cung cấp sẵn hàm cho phép chiếu đối tượng lên mặt phẳng hiển thị Đối với đường cong, hàm vẽ loạt điểm dọc theo hình chiếu
đường mơ tả hàm toán học
Đối với mặt cong, lưới đa giác xấp xỉ với mặt cong
được tạo Thường hệ đồ họa tạo lưới tam giác để đảm bảo tính đồng phẳng cạnh thuộc
(7)Trang đầu
Compu
ter G
rap
hic
s
7
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các đường cong mặt cong
Một đường cong mặt cong diễn tả
phương trình tốn học dạng tham số khơng tham số Tuy nhiên, đồ họa máy tính, thường dạng tham số
thuận tiện cho xử lí
Khi đối tượng mô tả tập hợp điểm rời rạc,
đối tượng hiển thị thông qua mặt cong xấp xỉ dựa điểm cho Các loại đường cong mặt cong dạng spline Bezier đường cong mặt cong xấp xỉ thường dùng
Các mặt cong có hình dạng phức tạp, đặc biệt
(8)Compu
ter G
rap
hic
s
8
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Định nghĩa
Ta có hai định nghĩa tương đương:
Một mặt có quy luật mặt tạo cách quét (sweep) đường thẳng không gian theo một cách
Một mặt gọi có quy luật qua điểm nào thuộc có đường thẳng nằm hồn tồn
(9)Trang đầu
Compu
ter G
rap
hic
s
9
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Phương trình tham số
Vì mặt có quy luật hồn tồn dựa sở đường
thẳng với phương trình dạng tham số p(v)=(1-v).p0+v.p1
nên ta suy dạng cách tương tự: P(u,v)=(1-v).p0(u)+v.p1(u) (5.5)
Nếu u biến đổi từ ustart đến uend , ta thấy mặt cong tập
hợp đường thẳng nối cặp điểm tương ứng p0(u’) (thuộc đường cong p0(u)) p1(u’) (thuộc đường cong p1(u)) với u’ nằm (ustart, uend)
Nếu khơng giới hạn u, v ta có mặt cong trải dài vô
tận,
Các mặt cong "ruled patch" tạo cách giới
(10)Compu
ter G
rap
hic
s
10
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Khảo sát mơ hình minh họa Hình trụ (Cylinder)
Hình trụ hình tạo đường thẳng L, gọi
đường sinh (generator) quét dọc theo đường cong
p0(u), gọi đường chuẩn (directrix), đường cong p0(u) nằm
trên mặt phẳng
Minh họa hình trụ
Từ phương trình tổng qt mặt cong có quy luật:
P(u,v)=p0(u)+v.d(u), d(u)=p1(u)-p0(u) (5.6)
quét đường thẳng song song với nên ta
có d số, phương trình tham số hình trụ là:
(11)Trang đầu
Compu
ter G
rap
hic
s
11
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Khảo sát mô hình minh họa Hình trụ (Cylinder)
Một dạng quen thuộc hình trụ
hình trụ trịn (circular cylinder) ứng với trường hợp đường chuẩn hình trịn
Nếu đường tròn nằm mặt phẳng xy
(12)Compu
ter G
rap
hic
s
12
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Khảo sát mô hình minh họa Hình nón (Cone)
Hình nón hình tạo đường thẳng di chuyển
dọc theo đường cong phẳng cho trước (plane curve), đường thẳng cịn có thêm tính chất ln qua điểm cố định gọi đỉnh hình nón
Phương trình tham số hình nón có dạng tương tự dạng
tổng quát p0(u) số:
P(u,v)=(1-v).p0
Trong trường hợp tất đường thẳng qua p0 ứng
(13)Trang đầu
Compu
ter G
rap
hic
s
13
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces) Các mặt tròn xoay (surfaces of revolution)
Mặt tròn xoay tạo quay tròn
đường cong phẳng C quanh trục Hình vẽ minh họa đường cong C nằm mặt phẳng xz và quay quanh trục z C thường gọi mặt cắt nghiêng cho phương trình tham số
(14)Compu
ter G
rap
hic
s
14
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces) Các mặt tròn xoay (surfaces of revolution)
Đối với mặt tròn xoay (x(v),z(v)), điểm thuộc C
quét xung quanh trục tọa độ kiểm sốt tham số u, u góc mà điểm quay quanh trục
Các vị trí khác đường cong C quanh trục gọi
các đường kinh tuyến (meridians)
Khi điểm (x(v),0,z(v)), quay u radian, trở thành
(x(v).cos(u),x(v).sin(u),z(v))
Nếu quay điểm đủ vòng quanh trục nhận
được hình trịn Như vậy, ứng với v số, đường
biên đường tròn đường gọi đường vĩ tuyến mặt
Kinh tuyến v có bán kính x(v) nằm độ cao z(v) so
với mặt phẳng xy, điểm mặt dạng có vector vị trí:
(15)Trang đầu
Compu
ter G
rap
hic
s
15
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces) Các mặt tròn xoay (surfaces of revolution)
Nhận xét: Nếu đường cong c(v) đường thẳng song song với
trục z cách z đơn vị, tức c(v) = (1, v) đường quét quanh trục z tạo hình trụ
Mặt cầu trường hợp đơn giản dạng mặt tròn xoay
Đường cong C trường hợp nửa đường trịn cho điểm (R(cos(v)cos(u),Rcos(v)sin(u), Rsin(v)), v chạy khoảng từ - /2 đến /2 Lúc phương trình hình cầu có dạng:
(16)Compu
ter G
rap
hic
s
16
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Các mặt cong bậc hai
Một lớp mặt cong thông dụng mặt cong bậc
hai Chúng biểu diễn phương trình bậc hai
Mặt cầu thuộc lớp mặt cong Ngồi cịn
có mặt ellipsoid, paraboloid hyperboloid
Các mặt bậc hai thường đối tượng sở
các hệ đồ họa Những đối tượng khác phức tạp có thể tạo từ đối tượng
Phương trình tổng quát biểu diễn mặt cong loại
này là:
(17)Trang đầu
Compu
ter G
rap
hic
s
17
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Các mặt cong bậc hai Mặt cầu
Trong hệ tọa độ Decartes, mặt cầu bán kính R với
tâm đặt gốc tọa độ xác định tập điểm có tọa độ (x,y,z) thỏa phương trình:
x2 + y2 + z2 = R2 (5.10)
Phương trình (5.10) thường gọi phương trình
tắc mặt cầu
Như phần trước đề cập, ta biểu diễn mặt cầu
bằng phương trình tham số:
x = Rcos cos , /2 j /2
(18)Compu
ter G
rap
hic
s
18
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Các mặt cong bậc hai Ellipsoid
Ellipsoid coi mở rộng mặt cầu với
ba bán kính khác Rx, Ry, Rz
Phương trình tắc ellipsoid có dạng:
(5.12)
Và phương trình tham số ellipsoid theo hai góc
và có dạng:
x = Rx cos cos , /2 /2
y = Ry cos sin , - (5.13) z = Rz sin
(19)Trang đầu
Compu
ter G
rap
hic
s
19
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Vẽ đường cong mặt cong Bezier B-Spline
Chúng ta khảo sát đường cong mặt cong tương đối
đơn giản tìm cơng thức tốn học tương ứng để biểu diễn chúng
Tuy nhiên thực tế việc tìm cơng thức để biểu diễn
các đường mặt phức tạp không đơn giản chút Trong phần khảo sát phương pháp cho phép tạo đường cong mặt cong khác dựa liệu mô tả chúng
Bài toán đặt là: Với đường cong cho trước mà ta
chưa xác định công thức hay công thức phức tạp,
tập nhỏ điểm phân biệt p1, p2, mơ tả hình dáng
(20)Compu
ter G
rap
hic
s
20
BIỂU DIỄN ĐỐI TƯỢNG BA CHIỀU Các mặt có quy luật (ruled surfaces)
Vẽ đường cong mặt cong Bezier B-Spline
Có hai cách giải là:
1 Định tọa độ số điểm thuộc đường cong, sau
tìm phương trình tốn học hiệu chỉnh chúng để chúng qua hết điểm trùng khớp với đường cong ban đầu
2 Cách khác xác định số điểm gọi điểm kiểm soát