Sử dụng Geometer’s Sketchpad chúng ta có thể vẽ những đối tượng hình học từ đơn giản nhất điểm, đường thẳng, đường tròn… đến những đối tượng khá phức tạp cho việc dùng thước và compa để [r]
(1)Lop7.net (2) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D MỤ C L Ụ C PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO… 1.2 KẾT QUẢ MONG MUỐN GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG 2.1 PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG GEOMETER’S SKETCHPAD (2D) 2.2 PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG CABRI 3D QUỸ TÍCH TOÁN HỌC .7 3.1 QUỸ TÍCH VÀ CÁCH CHỨNG MINH QUỸ TÍCH 3.1.1 Định nghĩa quỹ tích 3.1.2 Chứng minh – Giải bài toán quỹ tích 3.1.3 Giới hạn quỹ tích 3.1.4 Giải bài toán quỹ tích với Geometer's Sketchpad và Cabri3D 3.2 QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 10 3.2.1 Quỹ tích 10 3.2.2 Bài tập áp dụng 11 Bài 1: 11 Bài 2: 12 Bài 15 Bài 4: 18 Bài 20 Câu 22 Bài 23 Bài 25 3.3 TÌM HIỂU MỘT SỐ BÀI TOÁN QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP DẪN ĐẾN QUỸ TÍCH TÌM ĐƯỢC KHÔNG DỰNG ĐƯỢC BẰNG THƯỚC VÀ COMPA .27 Bài 1: 27 Bài 2: 28 Bài 3: 28 Bài 4: 29 Bài 5: 29 3.4 QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 31 3.4.1 Quỹ tích 31 3.4.2 Bài tập áp dụng 32 Bài 1: 32 Bài 2: 34 Bài 36 Bài 4: 39 Bài 5: 42 Bài 6: 44 Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com Lop7.net (3) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D Bài 7: 45 Bài 8: 48 Bài 9: 49 Bài 10: 51 Bài 11 53 Bài 12: 56 Bài 13: 57 Bài 14: 59 BÀI 15: .62 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO .66 Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com Lop7.net (4) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO… Từ lâu, Toán học đã tiếng là môn khoa học chính xác, trừu tượng và đôi có khô khan…Bên cạnh đó, nhiều người còn cho Toán học là môn khoa học ít tốn kém để nghiên cứu so với các môn khoa học khác vật lý, hóa học… Hằng nghìn năm qua, và thâm chí đến tận ngày nhiều người cho bạn cần cây bút và tờ giấy là bạn có thể làm và học toán nơi đâu!!! Ngày nay, thời đại “kỹ thuật số” liệu quan niệm đó học toán, dạy toán còn có hoàn toàn đúng không? Có thật là cần cây bút và tờ giấy là có thể học Toán đâu chăng? Vâng! Có lẽ không phủ nhận hoàn toàn quan điểm đó, nhiên đây nhờ trợ giúp máy tính người có thêm số công cụ khác để học toán sinh động hơn, hấp dẫn ngày trước Nếu từ phần mềm tiếng Maple, Mathematican… xuất đã làm thay đổi quan điểm dạy toán và học toán nhiều trường đại học trên giới (đặc biệt là mảng giải tích) Thì lĩnh vực hình học, đặc biệt là hình học sơ cấp xuất nhiều phần mềm hình học động (Dynamic Geometry) trợ giúp cho học và dạy toán ngày càng nhiều Cabri 2D, Cabri 3D, Geometer’s Sketchpad, Circle And Rules, Geogebra… Có lẽ rằng, đã khổ sở, “vắt óc” tưởng tượng giải bài toán quỹ tích hình học thì cảm thấy vất vả cái hay, cái đẹp toán học Giờ đây, nhờ trợ giúp các phần mềm hình học động, bài toán quỹ tích trở nên dễ dàng hơn, trực quan Chỉ cần vài cú click chuột và vài cái ấn phím, là có thể hoàn toàn xem trước quỹ tích đối tượng cần tìm Thông qua đó chúng ta dễ dàng tiến đến giải các bài toán hình học Với mong muốn đem lại hướng nhỏ, mới, là ứng dụng các phần mềm hình học động vào giải các bài toán quỹ tích để thông qua đó giúp chúng ta yêu thích toán đó là lý chọn đề tài em 1.2 KẾT QUẢ MONG MUỐN Hầu hết chúng ta nghĩ các phần mềm hình học đơn là dùng để vẽ hình ảnh minh họa cho các bài toán hình học Nó là công cụ đơn để vẽ hình và xa thì có phần tính toán đó Nhưng ngày nay, nhờ phần mềm hình học động “thông minh” chúng ta không dừng lại việc vẽ hình mô sau chúng ta đã giải xong bài toán Mà nó còn có thể đưa dự đoán trước giải cho chúng ta, giúp chúng ta tới giải các bài toán nhanh hơn, thuận lợi hơn…và nhiều trường hợp giúp chúng ta tránh số sai lầm định Làm rõ mối quan hệ việc “ứng dụng phần mềm hình học động vào giải bài toán quỹ tích” hay “dùng phần mềm để minh họa cho bài toán quỹ tích mà chúng ta đã giải xong” đó là mục tiêu tìm hiểu cần đạt Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com Lop7.net (5) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG 2.1 PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG GEOMETER’S SKETCHPAD (2D) Geometer’s Sketchpad là phần mềm hình học động có quyền công ty Keypress , công ty viết phần mềm giáo dục tiếng Mỹ Geometer’s Sketchpad là phần mềm hình học động mạnh mẽ việc tạo và mô các đối tượng toán học động Sử dụng Geometer’s Sketchpad chúng ta có thể vẽ đối tượng hình học từ đơn giản (điểm, đường thẳng, đường tròn…) đến đối tượng khá phức tạp cho việc dùng thước và compa để dựng các đường conic, đường xycloid… Hệ thống công cụ Geometer's Sketchpad khá “khiêm tốn” (hầu có thước thẳng và compa) Tuy nhiên, từ công cụ này, kết hợp với các công cụ dựng hình (construct tool) các phép biến hình (transform), chúng ta hoàn toàn có thể dựng nên nhiều đối tượng hình học phức tạp Hình sau đây cho thấy giao diện phần mềm: Mọi thông tin phần mềm có thể truy cập vào website nhà sản xuất địa http://keypress.com/sketchpad có thể tìm thấy tài liệu hướng dẫn dụng địa http://dangtrunghieuspt.googlepages.com/ Huong_Dan_Su_Dung_GSP.pdf Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com Lop7.net (6) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 2.2 PHẦN MỀM HÌNH HỌC ĐỘNG CABRI 3D Cabri 3D là phần mềm hình học động dành cho hình học không gian chiều công ty CABRILOG-Cộng hòa pháp Cabri3D cung cấp cho chúng ta môi trường thuận lợi cho việc học hình học dựng hình, hiển thị và thao tác trên loại đối tượng hình học không gian chiều đường thẳng, mặt phẳng, hình nón, hình cầu… Đến với Cabri3D ta có thể tạo các phép dựng hình động từ đơn giản đến phức tạp Bên cạnh đó chúng ta có thể dễ dàng đo lường các đối tượng hình học cách nhanh chóng và dễ dàng chiều dài, diện tích, thể tích Cabri3D không cung cấp cho chúng ta các công cụ dựng hình khá toàn diện mà phần mền còn có thể minh họa lại (làm sống lại) quá trình dựng hình Đến với Cabri3D chúng ta thực có công cụ tuyệt vời cho việc nghiên cứu và giải các bài toán hình học Hình sau đây cho chúng ta thấy cửa sổ giao diện chạy ứng dụng Cabri3D: Cabri3D đã công ty CABRILOG việt hóa giao diện và sách hướng dẫn gần hoàn toàn Vì vậy, người dùng Việt Nam cảm thấy “thoải mái” dùng phần mềm này Mọi thông tin thêm phần mềm xin hãy truy cập vào www.cabri.com Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com Lop7.net (7) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D QUỸ TÍCH TOÁN HỌC 3.1 QUỸ TÍCH VÀ CÁCH CHỨNG MINH QUỸ TÍCH 3.1.1 Định nghĩa quỹ tích Một hình (H) gọi là quỹ tích điểm M có tính chất a (hay tập hợp điểm M có tính chất a ) nó chứa và chứa điểm có tính chất a Ví dụ 1: “Đường tròn (O,R) là quỹ tích (tập hợp) các điểm cách điểm O cho trước khoảng cách không đổi R” Như ta có: · · OM = R Þ M Î (O, R) M Î (O, R) Þ OM = R Nếu ta xét hình (H) không gian, thì ngoài quỹ tích điểm còn có quỹ tích đường, có thể tạo hình (H) Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P) và điểm S Ï ( P) Khi đó, quỹ tích đường thẳng a qua S và song song với (P) là mặt phẳng Lúc này hình (H) chính là mặt phẳng qua S và song song với (P) 3.1.2 Chứng minh – Giải bài toán quỹ tích Từ định nghĩa quỹ tích, ta suy để chứng minh hình (H) là quỹ tích (tập hợp) điểm M có tính chất a (kí hiệu M (a ) ) Ta phải chứng minh phần: Phần thuận: Chứng mình điểm M có tính chất a thì M Î ( H ) Phần đảo: Chứng minh "M Î ( H ) thì M có tính chất a Ví dụ 3: Cho mặt phẳng (P) và điểm S không thuộc (P) Một điểm A thay đổi trên (P) Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng SA Bài giải: Ta có : M (a ) :{ M là trung điểm đoạn thẳng SA ; A Î ( P), S Ï ( P)} Phần thuận: Gọi M là trung điểm SA, gọi M’ là trung điểm SA’ với A’ là hình chiếu vuông góc S lên (P) Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com Lop7.net (8) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D Ta có MA = MS và M’A’ = M’S Do đó MM’//AA’ Hay MM’//(P) Suy : MM ' ^ SA ' trung điểm M’ SA’ Vậy M thuộc mp(P’) với (P’) là mặt phẳng trung trực đoạn SA’ Phần đảo: Ngược lại lấy M thuộc (P’), ta A = SM x (P) Gọi các điểm A’, M’ trên ta có kéo dài SM và đặt ì A Î ( P) ï íMM '/ / AA ' Þ MA = MS ïM ' A ' = M ' S î Vậy quỹ tích điểm M là mặt phẳng (P’) Chú ý: Trong nhiều trường hợp, thuận lợi giải bài toán quỹ tích chúng ta có thể thay mệnh đề phần thuận và phần đảo trên việc tìm cách chứng minh phần “phản” và “phản đảo” Phần thuận (phản): Điểm M không thuộc hình (H) thì không có tính chất a Phần đảo (phản đảo): Điểm M không có tính chất a thì không thuộc hình (H) 3.1.3 Giới hạn quỹ tích Khi tiến hành tìm quỹ tích, bước cuối phần thuận, ta đã tìm hình (H’) chứa điểm M có tính chất a Nhưng phần lớn trường hợp thì hình (H’) này chưa phải là quỹ tích điểm M có tính chất a , mà quỹ tích điểm M là hình (H) thường nó là phận hình (H’) Trong trường hợp này, ta phải thực thêm bước là “giới hạn quỹ tích” Việc giới hạn quỹ tích chúng ta phải dựa vào đặc điểm bài toán Thông thường chúng ta phải chú ý đến đối tượng nào thay đổi, thay đổi trên đối tượng nào Có giới hạn không? Đối tượng nào thì cố định…? 3.1.4 Giải bài toán quỹ tích với Geometer's Sketchpad và Cabri3D Xét mặt Logic - Toán học thì hai phần mềm Geometer’s Sketchpad và Cabri3D không có khả chứng minh hay tìm lời giải cho bài toán quỹ tích Tuy nhiên, chúng ta có thể sử dụng phần mềm để thúc đẩy việc giải bài toán quỹ tích nhanh và trực quan, sinh động dễ hiểu Sử dụng Geometer's Sketchpad và Cabri3D giúp chúng ta có hình “cực kỳ chính xác”, giúp thuận lợi cho chúng ta quan sát, ít đến kết luận sai lầm Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com Lop7.net (9) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D Trong nhiều trường hợp, giải bài toán quỹ tích, mà quỹ tích đó hoàn toàn chưa cho biết trước nó là hình nào, thì Geometer's Sketchpad và Cabri3D tỏ khá hữu hiệu đưa dự đoán Ví dụ 4: Cho đường tròn (O,R) và đường thẳng a Một điểm M thay đổi trên đường tròn M’ là điểm cho a là đường trung trực đoạn MM’ Tìm quỹ tích điểm M’ Đối với người học toán, chúng ta hoàn toàn dễ dàng nhận quỹ tích đó là đường tròn Nhưng xin giả sử rằng, chúng ta chưa biết quỹ tích đó là đường tròn Bây chúng ta dùng phần mềm Geometer's Sketchpad để tìm quỹ tích đó Trước hết ta dựng đường tròn (O,R) và đường thẳng a Sau đó xác định điểm M trên đường tròn, và dùng công cụ dựng hình, dựng điểm M’ là điểm đối xứng với M qua đường thẳng a Đánh dấu, tạo vết cho điểm M’(Trace Point) (tức là chọn thuộc tính cho điểm M’ di chuyển, nó để lại dấu vết chính nó) Bây chúng ta kích hoạt cho M chuyển động và quan sát quỹ tích mà điểm M’ vẽ nên Qua đó, chúng ta có thể đoán quỹ tích đó là đường tròn Công việc còn lại là dùng kiến thức toán học đã biết để giải bài toán Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com Lop7.net (10) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 10 3.2 QUỸ TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 3.2.1 Quỹ tích Có số bài toán quỹ tích đơn giản, vì để tiện cho việc giải toán, sau chứng minh xong người ta thường sử dụng kết nó để giải các bài toán khác Chúng là quỹ tích bản: · M (a ) :{OM = R} là đường tròn (O,R) · M (a ) :{OM £ R} là hình tròn (O,R) · M (a ) :{MA = MB} vớiA, B cố định là đường trung trực đoạn AB · M (a ) :{ÐAMB = 900 } với A, B cố định là đường tròn đường kính AB · M (a ) :{ÐAMB = a ¹ 900 } với A, B cố định là hai cung tròn đối xứng với qua AB · MA = k ¹ 1} với A, B cố định là đường tròn đường kính IJ, đó I, J MB IA JA thuộc đường thẳng AB cho = =k IB JB · M (a ) :{MA2 + MB = k } với A, B cố định là (O,R) với O là trung điểm đoạn AB và R = 2k - AB · M (a ) :{MA2 - MB = k } với A, B cố định là đường thẳng d ^ AB H cho k OH = (O là trung điểm đoạn thẳng AB) AB · M (a ) :{d (M , a ) = h} là hai đường thẳng song song với đường thẳng a · M (a ) :{d (M , a ) = d (M , b)} đường thẳng trung bình a, b a//b Là đường M (a ) :{ phân giác a, b a cắt b Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 10 Lop7.net (11) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 11 3.2.2 Bài tập áp dụng Khi trình bày lời giải các bài tập, xin chia có hai phần chính: Phần thứ nhất: trình bày cách dùng phần mềm Geometer's Sketchpad để dựng đối tượng hình học mà bài toán đề cập đến Do đặc điểm phần mềm, vì cách dựng này có thể khác “một chút” so với cách dựng hình toán học Tuy nhiên tính chất các đối tượng thì đảm bảo không thay đổi so với đề bài cho Sau đó cho phần mềm thực thi (“chạy”) Và kích hoạt cho đối tượng thay đổi chuyển động Chúng ta xem hình và dự đoán quỹ tích Phần thứ hai: sau đã dự đoán quỹ tích, chúng ta tiến hành dùng kiến thức toán học để chứng minh và giải bài toán Tất các minh họa soạn trên phiên 4.07 Geometer's Sketchpad BÀI 1: Cho góc vuông xOy, đỉnh O Trên cạnh Ox có điểm A cố định và trên cạnh Oy có điểm B cố định Một điểm C thay đổi di chuyển trên đoạn thẳng OB Gọi H là hình chiếu điểm B trên đường thẳng AC Tìm quỹ tích điểm H Bài giải: Dùng Geometer's Sketchpad dựng hình qua các bước sau đây: · Dựng góc vuông xOy (dựng tia Ox, quay nó 900) · Dựng điểm A thuộc Ox, điểm B thuộc Oy · Dựng đoạn thẳng OB và xác định trên đoạn đó điểm C · Dựng tia AC · Dựng H là hình chiếu vuông góc B lên tia AC Dùng công cụ đánh dấu tạo vết cho điểm H (Display/Trace Point) kích hoạt cho điểm C chuyển động (Display/Aminate Point) Quan sát quỹ tích mà điểm H vẽ nên Lưu ý nhỏ: Khi tiến hành dừng hình, bước vừa dựng điểm B thuộc Oy, theo cách nhìn thông thường thì ta đã có đoạn OB Nhưng GSP thì đó là chưa phải, mà đó là điểm B thuộc tia Oy, để dựng đoạn thẳng OB thì bạn phải dùng công cụ dựng hình GSP dựng thêm đoạn OB và tất nhiên đoạn này nằm trùng lên tia Oy Hình Dựa vào quỹ tích điểm H vẽ nên, ta có thể dự đoán quỹ tích đó là cung tròn Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 11 Lop7.net (12) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 12 Chứng minh quỹ tích: Phần thuận: Vì H là hình chiếu B trên AC nên · = 900 BH ^ AC Þ BHA Do A, B cố định và H nhìn AB góc vuông nên H thuộc đường tròn đường kính AB Giới hạn: Vì điểm C chạy trên đoạn OB nên điểm H không thể di chuyển trên đường ìC º B Þ H º B ¼ Þ H Î OHB C º O Þ H º O î tròn Khi í ¼ đường tròn đường kính Vậy C di chuyển trên OB thì H di chuyển trên cung OHB AB Phần đảo: ¼ , nối AH và gọi Lấy điểm H trên cung OHB C = AH x OB Ta chứng minh H là hình chiếu B lên AC Thật vậy, ta có: · = 900 (do H nằm trên đường tròn đường tròn đường BHA kính AB) Þ BH ^ AC Suy H là hình chiếu điểm B lên tia AC Kết luận: ¼ đường tròn đường kính AB Vậy quỹ tích điểm H là OHB BÀI 2: Góc vuông xOy cố định Tam giác vuông ABC có đỉnh là A, cạnh huyền BC số a cho trước, góc B có độ lớn b Hai đỉnh B, C tam giác ABC trượt trên Ox, Oy a) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh huyền BC b) Tìm quỹ tích đỉnh góc vuông A Bài giải: Dùng Geometer's Sketchpad dựng hình qua các bước sau đây: - Dựng góc vuông xOy - Dựng đường tròn tâm (O,a) Gọi B’ và C’ là giao điểm (O,a) với Ox, Oy - Dựng đoạn OC’ và OB’ - Dựng B thuộc đoạn OB’ - Dựng đường tròn (B,a) Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 12 Lop7.net (13) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D - Dựng C là giao điểm (B,a) với đoạn OC’ - Dựng M là trung điểm BC - Dựng điểm A: 13 + Quay đoạn BC góc b với tâm quay là B + Quay đoạn BC góc –(90- b ) với tâm quay là C + Gọi A là giao điểm đoạn ta vừa quay Với cách dựng trên, ta có tam giác ABC thỏa yêu cầu bài toán Bây chúng ta đánh dấu điểm M và đỉnh A tam giác ABC Kích hoạt cho điểm B chuyển động, quan sát quỹ tích mà điểm M và điểm A vẽ nên Lưu ý nhỏ: Khi bài toán cho là đoạn BC có độ dài là a, còn góc B có số đo là beta thì GSP không hiểu Chúng ta phải chuyển nó qua đại lượng xác định nào đó cho phù hợp Tuy đề cho điểm B, C chuyển động, dựng ta cho điểm chuyển động thôi, còn điểm tự chuyển theo vì BC có độ dài cố định mà Và tất nhiên 0<góc beta<90) Hình Dựa vào hình, chúng ta hoàn toàn có thể dự đoán rằng: quỹ tích điểm M là cung tròn và đỉnh A là đoạn thẳng Chứng minh quỹ tích: Câu a: Phần thuận: Ta thấy, tam giác OBC là tam giác vuông M là trung điểm cạnh huyền Do đó: OM = BC a a = Vì thế, điểm M thuộc đường tròn (O, ) 2 Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 13 Lop7.net (14) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D Giới hạn: Khi ¼ OM 1M B ® O Þ M ® M1 C ® O Þ M ® M2 14 Do đó M trượt trên Ox, Oy thì M chạy trên cung Phần đảo: a ¼ Ngược lại lấy điểm M nằm trên cung OM 1M Dựng đường tròn ( M , ) Gọi a B, C là giao điểm ( M , ) với Ox, Oy Ta cần chứng minh M, B, C thẳng hàng Thật vậy: Trong: · = 180 - 2COM · ìïDMOC : OMC · + OMB · = 360 - 2(COM · + BOM · ) = 360 - 2.90 = 180 Þ OMC í · · ïîDMOB :OMB = 180 - BOM Vậy B, M, C thẳng hàng và M là trung điểm BC=a Từ đó ta dễ dàng dựng điểm µ=b A cho tam giác ABC vuông với B a ¼ Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M là cung OM 1M đường tròn (O , ) Hình Câu b: Phần thuận: Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 14 Lop7.net (15) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 15 AOB = · ACB = 90 - b (Góc nội tiếp cùng chắn Ta có tứ giác ABOC nội tiếp, vì · cung) Mà tia OB (Ox) thì cố định Do đó điểm A chạy trên tia Ot, hợp với tia Ox góc 90 - b Giới hạn: Khi B ® O Þ A ® A1 Î Ot choOA1 = AB Khi C đến vị trí mà ABOC là hình chữ nhật thì đỉnh A đến vị trí A2 mà OA2 = CB (đây là vị trí xa so với O mà A có thể di chuyển.) Vậy, đỉnh A trượt trên đoạn A1 A2 B, C trượt trên Ox, Oy Phần đảo: a Ngược lại lấy điểm A trên đoạn A1 A2 Qua A ta dựng ( A, ) Gọi M là giao a a ¼ điểm ( A, ) với cung OM 1M Qua M dựng ( M , ) Gọi B, C là giao điểm 2 a ( M , ) với Ox, Oy Với cách dựng trên ta thấy tam giác ABC vuông A và có BC = a Kết luận: Vậy quỹ tích đỉnh A là đoạn A1 A2 BÀI Cho hai đường tròn (O1 , R1 ) và (O2 , R2 ) tiếp xúc ngoài với điểm A Một điểm B thay đổi chạy trên đường tròn (O1 ) và ứng với điểm B, ta lấy điểm C thuộc đường tròn (O2 ) cho AB ^ AC Tìm tập hợp trung điểm M đoạn thẳng BC Bài giải Dùng Geometer's Sketchpad dựng hình qua các bước sau: - Dựng hai đường tròn tiếp xúc với nhau: + Dựng đoạn thẳng PQ và A là điểm trên đoạn đó + Dựng đoạn PA, AQ + Dựng trung điểm O1, O2 PA, AQ +Dựng đường tròn (O1 , O1 A) , (O2 , O2 A) - Dựng điểm B trên đường tròn (O1 , R1 ) và dựng đoạn AB - Dựng đường thẳng a qua A và vuông góc với AB - Dựng C là giao điểm a với (O2 , R2 ) (tất nhiên C khác A) - Dựng M là trung điểm đoạn BC (trước đó phải dựng đoạn BC) Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 15 Lop7.net (16) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 16 Đánh dấu tạo vết cho điểm M, kích hoạt cho điểm B chuyển động trên (O1 , R1 ) Ta hình sau: Hình Dựa vào dấu vết điểm M để lại chuyển động Chúng ta có thể dự đoán quỹ tích điểm M là đường tròn đường kính O1O2 Chứng minh quỹ tích Phần thuận: Ta có: µ = 180 - 2O · ìïO 1 AB µ +O ¶ = 360 - 2(O · · ÞO í¶ AB + O2 AC ) = 360 - 2.90 = 180 · ïîO2 = 180 - 2O2 AC Þ O1B / /O2C Þ O1 BCO2 là hình thang Gọi O là trung điểm O1O2 thì O cố định và OM là đường trung bình hình thang nên: OM = O1 B + O2C R1 + R2 = 2 Do đó M nằm trên (O, R1 + R2 ) B di chuyển trên (O1 , R1 ) Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 16 Lop7.net (17) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 17 Hình Phần đảo: R1 + R2 ) Từ đó vẽ nên đường tròn ( M , MA) Gọi B và C là giao điểm ( M , MA) với (O1 , R1 ) , (O2 , R2 ) (chọn điểm cùng phía so với Lấy điểm M thuộc (O, bờ PQ) · = 90 và B, M, C thẳng hàng Thật vậy: Bây ta phải chứng minh BAC Ta có: · O MO2 = 90 (góc nội tiếp chắn đường tròn) ìO1 A = O1 B Þ O1 M là đường trung trực đoạn thẳng AB í îMA = MB Þ O1M ^ AB Þ · AKM = 90 ìO2 A = O2C Þ O2 M là đường trung trực AC í îMA = MC Þ O2 M ^ AC Þ · ALM = 90 · = 90 Vậy, tứ giác AKML có góc vuông nên nó là hình chữ nhật Tức là BAC Trong DBAC vuông A ta có MA = MB = MC Do đó M là trung điểm cạnh huyền BC Vậy quỹ tích điểm M là (O, R1 + R2 ) Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 17 Lop7.net (18) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 18 BÀI 4: Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) và tiếp xúc ngoài với điểm A Một góc vuông xAy, quay xung quanh đỉnh A, có cạnh Ax cắt đường tròn (O1 ) điểm B và cạnh Ay cắt đường tròn (O2 ) điểm C Gọi H là hình chiếu điểm A lên đường thẳng BC Tìm quỹ tích điểm H Bài giải: Dùng Geometer's Sketchpad dựng hình qua các bước sau đây: - Dựng đường tròn (O1 ) và (O2 ) tiếp xúc ngoài với điểm A - Dựng góc vuông xAy quay xung quanh A + Dựng đường tròn tâm A + Xác định điểm M trên đường tròn tâm A +Dựng tia Ax (đi qua điểm A và điểm M) + Quay tia Ax góc 90 độ để tia Ay Với cách dựng trên, cho M chuyển động trên đường tròn tâm A, ta góc vuông xAy quay xung quanh điểm A - Dựng điểm B = (O1 ) x Ax; C = (O2 ) x Ay - Dựng đường thẳng BC và hình chiếu H A lên BC Đánh dấu tạo vết cho điểm H Kích hoạt cho điểm M chuyển động (có nghĩa là góc vuông xAy quay xung quanh A) Quan sát quỹ tích điểm H vẽ nên Ta hình sau đây: Hình Dựa vào vết tích điểm H để lại chuyển động chúng ta có thể đoán quỹ tích đó là cung tròn Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 18 Lop7.net (19) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 19 Chứng minh quỹ tích: Gọi P là tâm vị tự đường tròn Gọi PB1, PB2 là các tiếp tuyến chung chúng Phần thuận: Chúng ta thấy rằng: · · ìï BO A = 2v - 2O1 AB ·A + CO ·A = 4v - 2(O · · Þ BO í 1 AB + O2 AC ) = 4v - 2v = 2v = 180 · · ïîCO1 A = 2v - 2O2 AC Þ O1 B / / O2C Nên theo tính chất tâm vị tự đường tròn thì BC phải qua P Mà AH ^ BC Þ AH ^ PH Þ · AHP = 1v AHP luôn nhìn AP góc vuông Vì điểm H thuộc đường tròn Vì AP cố định, nên · (a ) có đường kính AP · ¼ Giới hạn: Tia PCB luôn nằm B 1PB nên điểm H chạy trên cung H AH thuộc đường tròn (a ) Hình Phần đảo: ¼ Lấy điểm H thuộc H AH đường tròn (a ) Đường thẳng HP cắt (O1 ) B và cắt (O2 ) C Do đó PO1 R1 O1B ·A + CO · = = Þ O1B / /O2C Þ BO A = 180 PO2 R2 O2C Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 19 Lop7.net (20) T TÌÌM MH HIIỂ ỂU UQ QU UỸ ỸT TÍÍC CH HT TO OÁ ÁN NH HỌ ỌC CV VỚ ỚII C CA AB BR RII33D D& & SSK KE ET TC CH HPPA AD D 20 · · DBO1 A cân Þ O (1800 - BO AB = A) · DCO2 A cân Þ O AC = · (1800 - CO A) · · é3600 - ( BO ·A + CO · ÞO A) ù = éë3600 - 1800 ùû = 900 AB + O1 AB = û 2ë ¼ Vây tập hợp các điểm H là cung H AH đường tròn (a ) BÀI Cho hình vuông OABC và điểm M bất kì trên cạnh AB Đường thẳng vuông góc với OM kẻ từ O, cắt đường thẳng BC điểm N Từ ba điểm O, M, N ta xác định hình chữ nhật OMPN a) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn thẳng MN b) Tìm quỹ tích điểm P hình chữ nhật OMPN Bài giải: Dùng Geometer's Sketchpad dựng hình qua các bước sau đây: - Dựng hình vuông OABC - Dựng diểm M trên cạnh AB - Dựng đoạn OM và qua O dựng đường thẳng a vuông góc với OM - Dựng N là giao điểm a và BC - Dựng hình chữ nhật OMPN.(dễ dàng) - Dựng đoạn MN và xác định I là trung điểm Đánh dấu tạo vết cho điểm I và điểm P Kích hoạt cho điểm M chuyển động trên cạnh AB Ta có hình sau đây: Hình Đặng Trung Hiếu-Mobile:0939.239.628-Email:dangtrunghieuspt@gmail.com-www.dangtrunghieu.wordpress.com 20 Lop7.net (21)