Bài giảng Công thức Stokes tổng quát

Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến được xây dựng cho không gian 1, 2, hay 3 chiều, gồm đường và mặt.. Khóa học nà[r]

Cơng thức Stokes: Tóm tắt giảng

Huỳnh Quang Vũ

Ngày 15 tháng 10 năm 2017

∫

M

dω =

∫

∂M

2

Đây khởi đầu giảng cho mơn cao học “Giải tích đa tạp” dựa giảng R Sjamaar [Sja15] Tham gia đánh máy phần đầu năm 2015, 2016 có Phan Đình Hiếu (học viên cao học Tốn Giải tích khóa 2014), Lê Chiêu Hồng Ngun (sinh viên ngành Tốn khóa 2012), Phan Văn Phương (học viên cao học Tốn Giải tích khóa 2012)

Bài giảng xây dựng để phục vụ cho sinh viên đại học năm cuối học viên cao học, nhằm trình bày đề tài dạng vi phân cách tương đối đơn giản, ngắn gọn, kèm với ứng dụng

Tài liệu có web địa chỉ:

http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/Stokes.pdf

Mục lục

1 Dạng vi phân không gian Euclid 7

1.1 Định nghĩa dạng vi phân

1.1.1 Không gian Euclid đạo hàm không gian Euclid

1.1.2 Những dạng vi phân sở

1.1.3 Dạng vi phân tổng quát

1.2 Tính chất phép tốn 10

1.2.1 Tính đan dấu 10

1.2.2 Phép nhân dạng 11

1.2.3 Đạo hàm dạng 11

1.2.4 Đổi biến dạng 14

1.2.5 Tích phân dạng 16

1.2.6 Mối quan hệ thể tích định thức 17

2 Dạng vi phân tích phân đa tạp 21 2.1 Đa tạp 21

2.1.1 Không gian tiếp xúc đạo hàm 23

2.1.2 Định hướng 24

2.1.3 Đa tạp có biên 26

2.2 Dạng vi phân đa tạp 27

2.2.1 Phiếm hàm đa tuyến tính khơng gian vectơ 27

2.2.2 Định thức không gian vectơ 30

2.2.3 Dạng vi phân đa tạp tính chất 30

2.2.4 Dạng thể tích đa tạp 32

2.3 Tích phân đa tạp 33

2.3.1 Định nghĩa địa phương 34

2.3.2 Định nghĩa toàn cục 35

2.4 Công thức Stokes cho đa tạp 37

3 Ứng dụng 45 3.1 Ứng dụng Giải tích 45

3.1.1 Miền với biên trơn 45

3.1.2 Các cơng thức Green tích phân phần 47

3.1.3 Ứng dụng phương trình đạo hàm riêng 48

3.2 Định lý điểm bất động Brouwer 48

3.3 Dạng khớp dạng đóng 49

3.3.1 Bổ đề Poincaré 50

Mở đầu

Trong phép tính vi tích phân hàm nhiều biến ta xét tích phân như∬Dx2y3dxdyhay∬Dx2ydA Ở đódxdyhaydAđược gọi “phần tử diện tích” Chúng ta thấy biểu thức như∫γxdy+ ydxhay∫γdsvớidslà “phần tử chiều dài”, hay∬SdSvớidSlà “phần tử diện tích mặt” Chúng chưa định nghĩa rõ ràng

Các dạng vi phân mà ta thấydx,dxdy,dxdydz,dA,dV,ds,dSkhơng tách rời tích phân Các dạng nằm cạnh hàm thực loại tích phân lấy Chúng liên quan tới việc lấy tích phân đo thể tích Chẳng hạn, nếuDlà tập củaR2thì hệ thức sau phải thỏa

∬

D

1dxdy=diện tích(D)

Lý thuyết dạng vi phân nhằm đưa cách hiểu cách làm việc thống tổng quát cao đối tượng

Các công thức Newton–Leibniz, Green, Stokes, Gauss–Ostrogradsky phép tính vi tích phân hàm nhiều biến xây dựng cho không gian 1, 2, hay chiều, gồm đường mặt Khóa học nhằm thảo luận việc tổng qt hóa cơng thức lên không gian nhiều chiều Chúng ta khảo sát dạng vi phân, đa tạp – tổng quát hóa đường mặt, tích phân

Chúng ta xét vài ứng dụng, ứng dụng Phương trình đạo hàm riêng, đối đồng điều de Rham Tôpô

Chương 1 Dạng vi phân không gian Euclid

1.1 Định nghĩa dạng vi phân

1.1.1 Không gian Euclid đạo hàm không gian Euclid

Người đọc xem lại nội dung mơn Vi tích phân hàm nhiều biến, [Lan97] Trong mơn nói đến khơng gianRn,n∈Z+, ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn, khoảng cách, tích Euclid, cụ thể nếux=(x1,x2, ,xn) ∈Rnthì chuẩn (tức chiều dài) củaxlà

kxk=(x21+x22+· · ·+xn2)1/2, khoảng cách giữaxvày=(y1,y2, ,yn) ∈Rnlà

kx−yk=(x1−y1)2+(x2−y2)2+· · ·+(xn−yn)2

1/2 ,

và tích giữaxvàylà

hx,yi=x1y1+x2y2+· · ·+xnyn

ChoDlà tập củaRn,xlà mộtđiểm trongcủaD Nhắc lại kí hiệue1=(1,0,0, ,0), e2=(0,1,0, ,0), ,en=(0, ,0,1)là vectơ tạo thành sở tuyến tính chuẩn tắc củaRn.Đạo

hàm riêngcủa f :D→Rtheo biến thứitạixđược định nghĩa số thực

∂f

∂xi

(x)=lim h→0

f(x+hei) −f(x)

h

Đây đạo hàm biến hàmf xemf hàm theo biếnxi, tỉ lệ, hay tốc độ thay đổi giá trị hàm so với giá trị biến thứitại điểm xét

Tổng quát xét hàm f :D→Rm Nếu tất đạo hàm riêng hàm thành phần f tồn liên tục tạixthì ta nói f khả vi liên tục(continuously differentiable) haytrơn(smooth) x Ma trận đạo hàm riêng f x gọi làma trận Jacobicủa f x, kí hiệu Jf(x)=

∂

fi

∂xj(x)

1≤i≤m,1≤j≤n

Ví dụ 1.1.1. Khim=1ma trận JacobiJf(x)chính làvectơ gradient ∇f(x)=∂f

∂x1

(x), , ∂f

∂xn (x)

Nếu có hàm tuyến tính f0(x):Rn→Rmsao cho có cầu B(x, ) ⊂Dvà hàm r:B(x, ) →Rmthỏa mãn:

f(x+h)=f(x)+f0(x)(h)+r(h),∀h∈B(x, ) vàlimh→0r

(h)

|h| =0,thì ánh xạ f 0(x)

(cịn kí hiệu làdf(x)) gọi làđạo hàm(derivative -dẫn xuất) f tạix Vậy đạo hàm cho xấp xỉ tuyến tính hàm:

8 CHƯƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

Rõ ràng hàm có đạo hàm (khả vi) liên tục

Nếu f khả vi liên tục tạixthì f có đạo hàm tạix, ánh xạ tuyến tính f0(x)có thể biểu diễn sở tuyến tính chuẩn tắc củaRn ma trận JacobiJf(x), tức f0(x)(h)=Jf(x) ·h, phép nhân bên vế phải phép nhân ma trận

Cần nhấn mạnh theo quan điểm tổng quát thìđạo hàm điểm ánh xạ tuyến tínhchứ khơng phải số thực hay ma trận

Nếuvlà vectơ đơn vị (tức vectơ có chiều dài bằng1) ta suy

f0(x)(v)=lim t→0

f(x+tv) −f(x)

t

Vậy f0(x)(v)là đạo hàm theo hướng f tạixtheo hướngv, đo tỉ lệ thay đổi f theo hướngv tạix

ChoU,V,Wlà tập mở củaRk,Rl,Rptheo thứ tự đó, cho f :U→Vandg:V→W có đạo hàm ta có cơng thức đạo hàm hàm hợp

(g◦f)0(x)=g0(f(x)) ◦f0(x) Nếu viết theo ma trận biểu diễn cơng thức cho

Jg◦f(x)=Jg(f(x)) ·Jf(x) 1.1.2 Những dạng vi phân sở

Dạng vi phân gắn bó chặt chẽ với đạo hàm tích phân Các tính chất dạng vi phân quan trọng từ điều

Với hàm thực f :Rn→Rthì đại diện cho dạng vi phân làdf phải liên quan khắng khít với đạo hàm f Nhắc lại điểmx∈Rn thì đạo hàm của f tạixđược kí hiệu làdf(x)là một ánh xạ tuyến tính từRnvàoR:

df(x):Rn→R

v7→df(x)(v)=∇f(x) ·v

dx là gì?

TrênRxét ánh xạ đồng Nếu gọixlà tên biến ánh xạx7→x Nếu đặt ln tên hàm làxthìdxchính ánh xạ đạo hàm hàm Ở đâydchính tốn tử đạo hàm

Vì đạo hàm ánh xạ đồng điểm ánh xạ đồng nhất, nên mỗix∈Rthì (dx)(x):R→R

v7→v

Vì lẽ với tên biến khác nhưy,u,t, thìdy,du,dtlà ánh xạ: mang số thực thành ánh xạ đồng tập hợp số thực

dxi là gì?

TrênRn, lấy tên biến làx=(x1,x2, ,xn), gọi luônxilà ánh xạ tương ứng điểmxvới thành phầnxi, tức

xi:Rn→R (x1,x2, ,xn)7→xi

thìdxilà đạo hàm ánh xạ này, xét đạo hàm hàm nhiều biến

Vì∇xi =ei nêndxi ánh xạ từRn vào (Rn)∗ cho với x∈Rn thìdxi(x)=e∗i e∗i ánh xạ tuyến tính từRn vào R biễu diễn bởiei, tức với v=(v1,v2, ,vn) e∗i((v1,v2, ,vn))=ei·v=vi Tóm lại với mỗix∈Rn:

dxi(x):Rn→R

1.1 ĐỊNH NGHĨA DẠNG VI PHÂN

dxi1dxi2· · ·dxik là gì?

Định nghĩa 1.1.2.TrênRnthìdxi1dxi2· · ·dxikcho tương ứngx∈R

nvới phiếm hàmdx

i1dxi2· · ·dxik(x)

xác định trên(Rn)kbởi

dxi1dxi2· · ·dxik(x)(v1,v2, ,vk)=det

© ­ ­ ­ ­

«

vi1,1 vi1,2 vi1,k vi2,1 vi2,2 vi2,k

vik,1 vik,2 vik,k

ê đ đ đ đ

ơ

(1.1.3)

Ở vectơvi viết sở nhưvi=Ínj=1vj,iej Viết cách khác: dxi1dxi2· · ·dxik(x)(v1,v2, ,vk)=det

vij,l

1≤j≤k,1≤l≤k =detdxij(x)(vl)

1≤j≤k,1≤l≤k=det

e∗ij(vl)

1≤j≤k,1≤l≤k Ghi 1.1.4. Vì giá trị dạngdxi1dxi2· · ·dxikkhơng phụ thuộc vào điểmxnên để kí hiệu giống

như truyền thống ta bỏ qua điểmxtrong kí hiệu

Ví dụ 1.1.5. TrongR2thìdxdylà ánh xạ cho tương ứng mỗi(x0,y0) ∈R2với ánh xạ dxdy(x0,y0):R2×R2→R

(v,w) 7→dxdy(x0,y0)(v,w)=det

dx(x0,y0)(v) dx(x0,y0)(w) dy(x0,y0)(v) dy(x0,y0)(w)

=det

v1 w1 v2 w2

=det(v,w) Ngắn gọn hơn:

∀(x,y) ∈R2,dxdy(x,y)=det Hay gọn nữa:dxdy=det

Ví dụ 1.1.6. Tương tự trênRnthì

dx1dx2· · ·dxn(x)(v1,v2, ,vn)=det(v1,v2, ,vn) Ngắn gọn hơn:

dx1dx2· · ·dxn=det Ví dụ 1.1.7. TrongR3thì

dxdy(x,y,z)(v,w)=det

dx(x,y,z)(v) dx(x,y,z)(w) dy(x,y,z)(v) dy(x,y,z)(w)

=det

v1 w1 v2 w2

1.1.3 Dạng vi phân tổng quát

Định nghĩa 1.1.8. ChoUlà tập mở trongRn TrongRnvớix=(x1, ,xn) Khi vớik∈Z+

dxi1dxi2· · ·dxik, 1≤i1,i2,· · ·,ik ≤n

là mộtdạngbậck Một tổ hợp tuyến tính dạng ánh xạαcho tổng hữu hạn

x7→α(x)= Õ (i1,i2, ,ik)∈ {1,2, ,n}k

f(i1,i2, ,ik)(x)dxi1dxi2· · ·dxik(x)

10 CHƯƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN EUCLID

Có thể viết tắt dạngαbất kì

Õ

f dxi1dxi2· · ·dxik

Ở để kí hiệu đơn giản ta ngầm hiểu tổng lấy bộ(i1,i2, ,ik) ∈ {1,2, ,n}k, với f phụ thuộc vào có giá trị0 Tại mỗixtổng tổng hữu hạn hàm giá trị thực, nên xác định

Ta nóiαlà mộtdạng vi phânhay mộtdạng trơnnếu hàmf hàm trơn Nhắc lại, cho U⊂Rkmột tập mở, ánh xạ f từUvào

Rđược gọi làtrơnnếu tất đạo hàm riêng cấp tồn liên tục (do thân f liên tục) Vì ta làm việc với dạng trơn nên sau ta gọi tắt dạng

Dạng bậc không (0-dạng) hàm thực f :U⊂Rn→ R

Với bậckcó dạng0là dạng mà giá trị điểm hàm số thực0 Tập hợp tất dạng vi phân bậcktrênUvớik∈Nđược kí hiệu làΩk(U)

Ví dụ 1.1.9. TrongR2 dạng bậc1được cho bởiPdx+Qdytrong đóP,Q:U⊂R2→R Cịn Pdxdy+Qdydxlà dạng bậc2

Ví dụ 1.1.10. TrongR3thìxdxdy+(xy+1)dxdzlà dạng bậc2

Ví dụ 1.1.11. TrongRnthìdx1,dx2, ,dxn,2dx1+3dx2,x12x2dx1+x3dx4là dạng bậc1 Ta cộng dạng nhân số thực với dạng phép toán quen thuộc hàm thực Cụ thể nếuω1vàω2là hai dạng bậc tập củaRnvàclà số thực ta định nghĩa phép toán:

(ω1+ω2)(x)=ω1(x)+ω2(x), (cω)(x)=c(ω(x))

Với mỗik≥0tập hợpΩk(U)tất dạng vi phân bậcktrênUlà không gian vectơ trường số thực

Ghi 1.1.12. Ta cộng trừ hai dạng khác bậc, điểm chúng hàm có miền xác định khác Chẳng hạn ta xét biểu thức nhưPdx+Qdy+Rdxdy, khơng có nghĩa

1.2 Tính chất phép tốn bản

1.2.1 Tính đan dấu

Từ định nghĩa (1.1.3) ta thấy đổi chổ hai thành phầndxir vàdxis dạng bị đổi dấu:

dxi1· · ·dxir· · ·dxis· · ·dxik=−dxi1· · ·dxis· · ·dxir· · ·dxik

Người ta gọi tính chất đan dấu hay phản đối xứng (alternating, skew-symmetric, anti-commutative), thể tóm tắt cơng thức

dxdy=−dydx

Ví dụ 1.2.1. TrongR2thìdxdy=−dydx.Một hệ làdxdx=−dxdx, nêndxdx=0 Ví dụ 1.2.2. TrongR3:

dxdydz=−dxdzdy=dydzdx, dxdzdx=−dxdxdz=0

1.2 TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN 11 1.2.2 Phép nhân dạng

Người ta định nghĩa phép nhân dạng vi phân, thường kí hiệu bởi∧(wedge -chèn, nêm) gọi phép nhân ngoài, ta bỏ qua kí hiệu cho đơn giản Định nghĩa 1.2.3. Cho α=Õf dxi1dxi2· · ·dxik mộtk-dạng, β=

Õ

gdxj1dxj2· · ·dxjl

l-dạng Ta định nghĩatíchcủaαvớiβ, kí hiệuαβlăÕfgdxi1dxi2· · ·dxikdxj1dxj2· · ·dxjl, lă

(k+l)-dạng

Õ

f dxi1dxi2· · ·dxik

Õ

gdxj1dxj2· · ·dxjl

=Õ

fgdxi1dxi2· · ·dxikdxj1dxj2· · ·dxjl

Ví dụ 1.2.4. Giờ ta hiểudxdy=(dx)(dy)

Ví dụ 1.2.5. TrongR3,ω1=dxlà một1-dạng;ω2=dydzlà một2-dạng, vàω1ω2=(dx)(dydz)= dxdydzlà một3-dạng

Rõ ràng phép nhân có tính chất sau:

• Phép nhân dạng rõ ràng có tính kết hợp:(ω1ω2)ω3=ω1(ω2ω3)=ω1ω2ω3 • Phép nhân có phần tử khơng, hàm số thực0:ω0=0ω=0 • Phép nhân dạng rõ ràng có tính phân phối:(ω1+ω2)ω3=ω1ω3+ω2ω3 Ví dụ 1.2.6. dx(dy+dz)=dxdy+dxdz

Mệnh đề 1.2.7. Nếuω1là mộtk-dạng vàω2là mộtl-dạng thì

ω1ω2=(−1)klω2ω1

Chứng minh. Với

ω1=

Õ

f dxi1dxi2· · ·dxik

và

ω2=

Õ

gdxj1dxj2· · ·dxjl

thì

ω1ω2=

Õ

(f dxi1dxi2· · ·dxik)(gdxj1dxj2· · ·dxjl)

=Õ

fg(−1)kdxj1(dxi1dxi2· · ·dxik)(dxj2· · ·dxjl)

=Õ

(−1)2kdxj1dxj2(dxi1dxi2· · ·dxik)(dxj3· · ·dxjl)

=Õ

(−1)kl(dxj1dxj2· · ·dxjl)(dxi1dxi2· · ·dxik)=(−1)

klω 2ω1

1.2.3 Đạo hàm dạng

Trước hết ta định nghĩa đạo hàm dạng bậc0

Định nghĩa 1.2.8. ChoU⊂Rn mở và f là dạng trơn bậc0trênU, tức f :U→

Rlà hàm trơn Đạo hàm dạng bậc0này định nghĩa

df = n

Õ

i=1

∂f

∂xi dxi

12 CHƯƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

Ví dụ 1.2.9. ChoU⊂Rnmở và f là hàm trênUthìdf là dạng0. Ví dụ 1.2.10. TrênR, f hàm biếnxthìdf =f0dx

Ví dụ với hàmu(x)=x2 đạo hàm dạngulàdu=2xdx.Chú ý ta viết2xđể hàm mang số thực thành hai lần số thực đó, để số thực Cách lạm dụng kí hiệu trước ta hay làm, chẳng hạn viết tắt “cho hàmu(x)=x2” thay viết “ cho hàmuxác định qui tắcu(x)=x2”

Ví dụ 1.2.11. Với

f :R2→R (x,y) 7→f(x,y)

df =∂f

∂xdx+

∂f

∂ydy

Trên đạo hàm của0-dạng, ta nói đạo hàm củak-dạng

Định nghĩa 1.2.12. Ta định nghĩađạo hàmcủa dạng bậcklà dạng bậc(k+1)cho dÕf dxi1· · ·dxik

=Õ

(df)dxi1· · ·dxik

Nhiều tài liệu gọi đạo hàm (exterior derivative) Ví dụ 1.2.13. TrênR2, với dạngPdx+Qdy, ta có

d(Pdx+Qdy)=(dP)dx+(dQ)dy=

∂

P

∂xdx+

∂P

∂ydy

dx+

∂

Q

∂xdx+

∂Q

∂ydy

dy

=∂∂P ydydx+

∂Q

∂xdxdy=

∂

Q

∂x −

∂P

∂y

dxdy Ví dụ 1.2.14. TrênR3, với dạngPdydz+Qdzdx+Rdxdythì

d(Pdydz+Qdzdx+Rdxdy)=(dP)dydz+(dQ)dzdx+(dR)dxdy =

∂

P

∂xdx+

∂P

∂ydy+

∂P

∂zdz

dydz+

∂

Q

∂xdx+

∂Q

∂ydy+

∂Q

∂zdz

dzdx+

∂

R

∂xdx+

∂R

∂ydy+

∂R

∂zdz

dxdy

=

∂

P

∂x +

∂Q

∂y +

∂R

∂z

dxdydz Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trườngF=(P,Q,R)thì hàm ∂∂P

x +

∂Q

∂y +

∂R

∂z gọi divF(divergence)

Ví dụ 1.2.15. TrênR3, với dạngPdx+Qdy+Rdzthì d(Pdx+Qdy+Rdz)=(dP)dx+(dQ)dy+(dR)dz =

∂

P

∂xdx+

∂P

∂ydy+

∂P

∂zdz

dx+

∂

Q

∂xdx+

∂Q

∂ydy+

∂Q

∂zdz

dy+

∂

R

∂xdx+

∂R

∂ydy+

∂R

∂zdz

dz =∂∂Q

x−

∂P

∂y

dxdy+

∂R ∂y−

∂Q

∂z

dydz+

∂P ∂z −

∂R

∂x

dzdx

Trong Vi tích phân hàm nhiều biến, với trườngF=(P,Q,R)thì trường

∂

Q

∂x−

∂P

∂y,

∂R

∂y−

∂Q

∂z,

∂P

∂z −

∂R

∂x

được gọi làcurlF

Ví dụ 1.2.16. Một dạng bậc1trênRlà f dx Đạo hàm dạng d(f dx)=(df)dx=(f0dx)dx=f0dxdx=0

1.2 TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN 13 Mệnh đề 1.2.17. Đạo hàm dạng có tính chất sau:

(a) tính tuyến tính:d(aα+bβ)=adα+bdβvớiavàblà số thực vàαvàβlà dạng bậc. (b) đạo hàm tích:

d(αβ)=(dα)β+(−1)kαdβ (1.2.18)

trong đóklà bậc củaα. Chứng minh. Viếtα=Íf dx

i1dxi2· · ·dxikvàβ=

Ígdx

j1dxj2· · ·dxjl

αβ=Õ

fgdxi1dxi2· · ·dxikdxj1dxj2· · ·dxjl

Ta có

d(αβ)=Õd(fg)dxi1dxi2· · ·dxikdxj1dxj2· · ·dxjl

=Õ Õ

s

∂

f

∂xs

g+f ∂g

∂xs

dxs

!

dxi1dxi2· · ·dxikdxj1dxj2· · ·dxjl

=Õ

" Õ

s

∂f

∂xs dxs

!

dxi1dxi2· · ·dxikgdxj1dxj2· · ·dxjl+

+(−1)kf dxi1dxi2· · ·dxik

Õ

s

∂g

∂xs dxs

!

dxj1dxj2· · ·dxjl

#

=(dα)β+(−1)kαdβ

Ví dụ 1.2.19. Với dạng bậc0thì cơng thức đạo hàm tích trở thànhd(fg)=(df)g+g(df), cơng thức Leibniz cho đạo hàm tích hàm thực Mặt khác chứng minh ta dùng công thức Leibniz

Mệnh đề 1.2.20. Đạo hàm đạo hàm dạng bằng0, nghĩa với dạngωbất kì thì

d(dω)=0, hay ngắn gọn hơn:

d2=0 (1.2.21)

Chứng minh. Lấyω= f dxi1· · ·dxik, ta có

d(dω)=d (df)dxi1· · ·dxik

= d Õ i ∂f

∂xi dxi

!

dxi1· · ·dxik

! = Õ i d ∂ f

∂xi

dxi

!

dxi1· · ·dxik=

Õ

i

Õ

j

∂

∂xj

∂

f

∂xi

dxj

dxi

!

dxi1· · ·dxik

= Õ

i,j

∂2f

∂xj∂xi dxjdxi

!

dxi1· · ·dxik

= Õ

i

∂2f

∂xi∂xi dxidxi

!

dxi1· · ·dxik+

Õ

i<j

∂2f

∂xj∂xi − ∂

2f

∂xi∂xj

dxjdxi

!

dxi1· · ·dxik=0

Ở bước cuối ta dùng tính chấtdxidxj=−dxjdxivà ∂

2

f

∂xj∂xi =

∂2

f

∂xi∂xj

Ví dụ 1.2.22. d(dx)=0 Ta giải thíchd(dx)=d(1·dx)=d(1)dx=0dx=0 Ví dụ 1.2.23. TrongR2choα= f, dạng bậc0 Ta códf =∂∂f

xdx+

∂f

∂ydy, d(df)=

∂2f

∂x∂y−

∂2f

∂y∂x

14 CHƯƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG KHƠNG GIAN EUCLID

Ví dụ 1.2.24. TrongR3choα=Pdx+Qdy+Rdz Như dα=

∂Q ∂x−

∂P

∂y

dxdy+

∂R

∂y−

∂Q

∂z

dydz+

∂P ∂z −

∂R

∂x

dzdx Do

d(dα)=d ∂Q

∂x −

∂P

∂y

dxdy+

∂R ∂y−

∂Q

∂z

dydz+

∂P ∂z−

∂R ∂x dzdx =d ∂ Q

∂x −

∂P

∂y

dxdy+d

∂

R

∂y−

∂Q

∂z

dydz+d

∂

P

∂z −

∂R

∂x

dzdx =

∂2Q

∂x2dx+

∂2Q

∂x∂ydy+

∂2Q

∂x∂zdz−

∂2P

∂y∂xdx−

∂2P

∂y2dy−

∂2P

∂y∂zdz

dxdy+ +

∂2R

∂y∂xdx+

∂2R

∂y2dy+

∂2R

∂y∂zdz−

∂2Q

∂z∂xdx−

∂2Q

∂z∂ydy−

∂2Q

∂z2dz

dydz+ +

∂2P

∂z∂xdx+

∂2P

∂z∂ydy+

∂2P

∂z2dz−

∂2R

∂x2dx−

∂2R

∂x∂ydy−

∂2R

∂x∂zdz

dzdx =∂∂2Q

x∂zdzdxdy−

∂2P

∂y∂zdzdxdy+

∂2R

∂y∂xdxdydz−

∂2Q

∂z∂xdxdydz+

∂2P

∂z∂ydydzdx−

∂2R

∂x∂ydydzdx =0

1.2.4 Đổi biến dạng

TrênRta thường đổi biến tích phân sau Xét tích phân

∫

f(u)du Đặtu=u(x), du=u0(x)dx, f(u)du=f(u(x))u0(x)dx,

∫ b

a

f(u(x))u0(x)dx=

∫ ϕ(b) ϕ(a)

f(u)du

Ví dụ 1.2.25. Tính

∫ π/2

0

sin2tcostdt Đổi biếnu=sintthìdu=costdt,

∫ π/2

0

sin2tcostdt=

∫

0

u2du= u 3 =1

Mục đích phần chuẩn bị để tổng quát hóa công thức Câu hỏi đặt là: Giả sửωlà dạng theo biếny, đổi biếny=ϕ(x)thìω viết theo biếnxra sao? Nói cách khác câu hỏi đặt trênUcó dạng “tương ứng” vớiωhay khơng? Dưới ta xây dựng dạng tương ứng đó, gọi dạng kéo lui dạngω

U V

x ϕ y

ω

Định nghĩa 1.2.26. Giả sửUlà tập mở trongRm,V tập mở trongRn,

ϕ=(ϕ1, , ϕn):U→V x7→y

là hàm trơn Giả sửω=Õf dyi1· · ·dyik dạng vi phân trênV.Kéo lui(pull-back)

dạngω, kí hiệuϕ∗ω, dạng trênUcho

ϕ∗ω=Õ

1.2 TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TỐN CƠ BẢN 15 Chúng ta hiểu đơn giản làϕ∗ωnhận cách thayybởiϕ(x) Để viết cụ thể ta nhớ lại

dϕi= n

Õ

j=1

∂yi

∂xj dxj

Nói theo cách vi tích phân hàm nhiều biến nếuωlà dạng theo biếnythì đổi sang biếnxchỉ cần viết lại phần tử theo biếnx

Ví dụ 1.2.27. TrênRxét dạng f du Nếu

ϕ:R→R

x7→u=ϕ(x) thìϕ∗(f du)=(f◦ϕ)dϕ=(f◦ϕ)ϕ0dx Chi tiết

(ϕ∗(f du))(x)=f(ϕ(x))ϕ0(x)(dx)(x)= f(u(x))u0(x)dx(x)

Ta viết tắt đổi biếnu=u(x)thì f(u)dutrở thành f(u(x))u0(x)dx, giống hình thức cơng thức đổi biến tích phân hàm biến

Ví dụ 1.2.28. Cho ánh xạγ:R→R2,γ(t)=(x(t),y(t)) Cho dạng bậc mộtω=Pdx+Qdyxác định tập mở củaR2chứa ảnh củaγ Ta có

γ∗ω=γ∗(

Pdx+Qdy)=P◦γdγ1+Q◦γdγ2 =(P◦γ)γ10dt+(Q◦γ)γ20dt

=(P(x,y)x0+Q(x,y)y0)dt Ví dụ 1.2.29. Xétϕ:U⊂R2→V⊂R2,(x,y) 7→ (u,v)

Với dạngduthìϕ∗(du)=dϕ1=

∂u

∂xdx+

∂u

∂ydy Với dạngdudvthì

ϕ∗(

dudv)=dϕ1dϕ2=

∂u ∂xdx+

∂u

∂ydy

∂v

∂xdx+

∂v

∂ydy

=∂∂u x

∂v

∂y−

∂u ∂y ∂v ∂x dxdy

=detâư ô u x u y v x v y ê đ đ

dxdy=(detJ)dxdy= (u,v)

(x,y)dxdy, dấu cuối dùng kí hiệu vi phân hàm nhiều biến Ví dụ 1.2.30. TrongRn, với dạngω=du1du2· · ·dun, vớiu=ϕ(x)thì

ϕ∗(du

1du2· · ·dun)=dϕ1dϕ2· · ·dϕn= n

Õ

i=1

∂ϕ1

∂xi dxi

! n Õ

i=1

∂ϕ2

∂xi dxi

!

· · · n

Õ

i=1

∂ϕn

∂xi dxi

!

= Õ

(i1,i2, ,in)∈ {1, ,n}n

∂ϕ1

∂xi1 ∂ϕ2

∂xi2

· · ·∂ϕn

∂xin

dxi1dxi2· · ·dxin

= Õ

σ∈Sn

∂ϕ1

∂xσ(1)

∂ϕ2

∂xσ(2)

· · · ∂ϕn

∂xσ(n)

dxσ(1)dxσ(2)· · ·dxσ(n)

= Õ

σ∈Sn

∂ϕ1

∂xσ(1)

∂ϕ2

∂xσ(2)

· · · ∂ϕn

∂xσ(n)

sign(σ)dx1dx2· · ·dxn

=det © ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ ­ « ∂ϕ1

∂x1

∂ϕ1

∂xn

∂ϕ2

∂x1

∂ϕ2

∂xn

∂ϕn

∂x1

n

xn

ê đ đ đ đ đ ® ® ® ® ¬

16 CHƯƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

Ở trênSnlà nhóm hốn vị trênnphần tử Từ đó:

ϕ∗

(f du1du2· · ·dun)= f◦ϕdetJϕdx1dx2· · ·dxn (1.2.31) Mệnh đề 1.2.32. Tính chất kéo lui:

(a) ϕ∗(aω1+bω2)=aϕ∗ω1+bϕ∗ω2, vớia,b∈R(tính tuyến tính).

(b) ϕ∗(ω1ω2)=(ϕ∗ω1)(ϕ∗ω2)(kéo lui tích tích kéo lui).

(c) (ψ◦ϕ)∗ω=ϕ∗(ψ∗ω), hay ngắn gọn hơn,

(ψ◦ϕ)∗=ϕ∗◦ψ∗ (1.2.33)

(tính “tự nhiên”).

(d) ϕ∗(dω)=d(ϕ∗ω), hay ngắn gọn hơn,

ϕ∗

d=dϕ∗ (1.2.34)

(đạo hàm kéo lui giao hoán).

Chứng minh. Hai tính chất đầu để phần tập

(c) Ta kiểm cách tính tốn cơng thức tường minh Viếtx7→ϕ y7→ψ z Trước tiên cho hàm thực f theo biếnxta có ngayϕ∗(ψ∗(f))=ϕ∗(f◦ψ)=(f◦ψ) ◦ϕ= f◦ (ψ◦ϕ)=(ψ◦ϕ)∗(f)

Do kéo lui tích tích kéo lui, ta cần kiểm tra công thức (1.2.33) cho kéo lui dạngdzi Theo công thức đạo hàm hàm hợp:

ϕ∗(ψ∗

dzi)=ϕ∗

Õ

j

∂ψi

∂yj dyj

!

=Õ

j

∂ψi

∂yj

◦ϕdϕj=

Õ

j

∂ψ

i

∂yj ◦ϕ

Õ

k

∂ϕj

∂xk dxk

=Õ

k

Õ

j

∂ψ

i

∂yj ◦ϕ

∂ϕ

j

∂xk

!

dxk=

Õ

k

∂(ψi◦ϕ)

∂xk

dxk =

Õ

k

∂(ψ◦ϕ)i

∂xk dxk

=d(ψ◦ϕ)i=(ψ◦ϕ) ◦ (dzi)

(d) Trước hết nếuω=f dạng bậc0thì ta kiểm đượcϕ∗(df)=d(f◦ϕ)=d(ϕ∗f)bằng lý luận dùng cơng thức đạo hàm hàm hợp giống hệt phần (c) Bây giả sửω=f dxi1· · ·dxik Ta

có

ϕ∗

(dω)=ϕ∗ (df)dxi1· · ·dxik

=ϕ∗

(df)dϕi1· · ·dϕik=d(f◦ϕ)dϕi1· · ·dϕik

Mặt khác

d(ϕ∗ω)=d f◦ϕdϕi1· · ·dϕik

=

d(f◦ϕ)dϕi1· · ·dϕik+f◦ϕd dϕi1· · ·dϕik

=d(f◦ϕ)dϕi1· · ·dϕik+0=ϕ

∗( dω)

Ở bước cuối ta dùng công thức đạo hàm tích (1.2.18), vàd2=0

1.2.5 Tích phân dạng

Định nghĩa 1.2.35. Cho f dx1· · ·dxnlà dạng bậcntrênD⊂Rn Ta định nghĩa

∫

D

f dx1· · ·dxn=

∫

D f

1.2 TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TỐN CƠ BẢN 17 Từ định nghĩa tích phân dạng có tính tuyến tính thừa hưởng từ tính tuyến tính tích phân Lebesgue

Nhắc lại cơng thức đổi biến tích phân Lebesgue: NếuU,Vlà hai tập mở trongRn,ϕ:U→V phép đổi biến (một vi đồng phơi), f khả tích trênV,

∫

V

f(x)dx1dx2· · ·dxn=

∫

U

f(ϕ(u))|detJϕ|du1du2· · ·dun (1.2.36) Có khác biệt dấu định thức đạo hàm công thức đổi biến tích phân (1.2.36) với cơng thức đổi biến dạng (1.2.31) Sự khác biệt ta xét cácphép đổi biến bảo tồn định hướng(orientation-preserving), phép đổi biến có định thức Jacobi ln dương

Mệnh đề 1.2.37(tích phân dạng khơng đổi qua phép đổi biến bảo tồn định hướng). NếuU,V

là hai tập mở trongRn,ϕlà phép đổi biến bảo toàn định hướng từUlênV, vàωlà dạng

bậcnkhả tích trênV, thì

∫

V

ω=∫

U

ϕ∗ω.

Ví dụ 1.2.38. Nhớ lại cơng thức đổi biến tích phân hàm hai biến (xem chẳng hạn [Vugt3]):

∬

V

f(u,v)dudv=

∬

U

f(u(x,y),v(x,y))

∂(u,v)

∂(x,y)

dxdy

Nếu đặt biến đổi(x,y) 7→ (u,v)làϕthì dạng f(u(x,y),v(x,y))∂∂((ux,,yv))dxdychỉ khác dạng kéo lui dạng f(u,v)dudvqua phép đổi biếnϕbởi dấu trị tuyệt đối Nếu ∂∂((ux,,vy))ln dương ta tránh dấu trị tuyệt đối, đặtω=f dudvthì cơng thức đổi biến tích phân đơn giản:

∬

V

ω=∬

U

ϕ∗ω. 1.2.6 Mối quan hệ thể tích định thức

Vai trị quan trọng dạng định thức có nguyên từ gắn bó định thức với thể tích trongRn: Mệnh đề 1.2.39. Độ đo Lebesgue hình bình hành sinh bởin vectơ v1, ,vn trongRn bằng |det(v1, ,vn)|.

a b

Hình 1.2.1: Diện tích hình bình hành sinh bởiavàbbằng|det(a,b)|

Quan hệ độ đo Lebesgue định thức phần then chốt cơng thức đổi biến tích phân Lebesgue (1.2.36) Một kết tổng quát chứng minh [Rud86, tr 54] cách dùng độ đo Lebesgue Dưới chứng minh trực tiếp dựa theo [Lan97, tr 584] Có thể đọc thêm phần thảo luận liên quan [Sja15, tr 91]

Chứng minh. Kí hiệu nv1,v2, ,vno hình bình hành sinh vectơ v1, ,vn, tức tập {Ín

i=1tivi |ti ∈ [0,1]} Đặt vol(v1,v2, ,vn)=

    

   

m(nv1,v2, ,vno), (v1, ,vn)định hướng dương, −m(nv1,v2, ,vno), (v1, ,vn)định hướng âm,

18 CHƯƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

trong đómlà độ đo Lebesgue (hoặc thể tích tích phân Riemann) Đây thể tích có dấu hình bình hành

Ta chứng tỏ rằngvollà hàm tuyến tính theo biến

Ta kiểmvol(cv1,v2, ,vn)=cvol(v1,v2, ,vn)vớic∈Rtheo bước sau Ví dụ khic=2, ta viết

n2v1,v2, ,vno=nv1,v2, ,vno∪ (v1+nv1,v2, ,vno)

t12v1+t2v2+· · ·+tnvn=

(

2t1v1+t2v2+· · ·+tnvn, 0≤t1≤12, v1+(2t1−1)v1+· · ·+tnvn, 12 ≤t1≤1

Phần giaonv1,v2, ,vno∩ (v1+nv1,v2, ,vno)là hình bình hành(n−1)-chiềuv1+nv2, ,vno, ta kiểm tập có độ đo khơng (xem Hình 1.2.2) Theo cộng tính độ đo

m(n2v1,v2, ,vno)=m(nv1,v2, ,vno)+m(v1+nv1,v2, ,vno)

Mặt khácm(v1+nv1,v2, ,vno)=m(nv1,v2, ,vno)do tính bất biến độ đo Lebesgue phép tịnh tiến Từ đóm(n2v1,v2, ,vno=2m(nv1,v2, ,vno)

v1 v2

2v1

2v1+v2 v1+v2

Hình 1.2.2:

Trường hợp tổng qtc∈Z+có thể thu nhờ lý luận qui nạp Với số hữu tỉ pq >0thì

m

p

qv1,v2, ,vn

=pm

1

qv1,v2, ,vn

,

và

qm

1

qv1,v2, ,vn

=m(nv1,v2, ,vno), nên

m

p

qv1,v2, ,vn

=p

qm(nv1,v2, ,vno)

Với số vơ tỉc>0thì với >0có hai số hữu tỉ dươngαvàβsao choc− < α <c< β <c+ Suy

αm(nβv1,v2, ,vno)=m(nαv1,v2, ,vno) ≤m(ncv1,v2, ,vno) ≤m(nβv1,v2, ,vno) =βm(nv1,v2, ,vno), từ suy ngaym(ncv1,v2, ,vno)=cm(nv1,v2, ,vno) Cuối vìvol(−v1,v2, ,vn)= −vol(v1,v2, ,vn)nên ta đượcvol(cv1,v2, ,vn)=cvol(v1,v2, ,vn)với mọic∈R

1.2 TÍNH CHẤT VÀ PHÉP TOÁN CƠ BẢN 19 vol(v1+vi,v2, ,vn)=vol(v1,v2, ,vn)với1≤i≤n Ta viết chứng minh choi=2 Ta có phân tích

nv1,v2, ,vno=A1∪A2với

A1=

( n Õ

i=1

tivi |ti∈ [0,1],t1≥t2

) ,

và

A2=

( n Õ

i=1

tivi |ti ∈ [0,1],t1≤t2

)

Tương tự ta có phân tíchnv1+v2,v2, ,vno=B1∪B2với

v1 v2

v1+v2

v1+2v2

A1 A2=B1

B2=v2+A1

B1=

(

t1(v1+v2)+t2v2+ n

Õ

i=3

tivi |ti ∈ [0,1],t1+t2≤1

) ,

và

B2=

(

t1(v1+v2)+t2v2+ n

Õ

i=3

tivi |ti∈ [0,1],t1+t2≥1

)

Chú ý rằngB1=A2cònB2=v2+A1, ta điều phải chứng minh

Vậyvollà tuyến tính theo biến Ta ý hốn vị hai biến thìvolsẽ bị đổi dấu, volbằng0nếu có hai biến có giá trị Dùng tính chất ta viết được:

vol(v1,Ã Ã Ã,vk)=volâư ô

n

ế

j1=1

vj1,1ej1, ,

n

Õ

jn=1 vjn,nejn

ê đ

ơ

= ế

1≤j1, ,jn≤n

vj1,1· · ·vjn,nvol(ej1,· · ·,ejn)

= Õ

σ∈S(n)

vσ(1),1· · ·vσ(n),nvol(eσ(1),· · ·,eσ(n))

= Õ

σ∈S(n)

vσ(1),1· · ·vσ(n),n(−1)sign(σ)vol(e1,· · ·,en)

= Õ

σ∈S(n)

(−1)sign(σ)vσ(1),1· · ·vσ(n),n =det(v1, ,vn)

Vậy

vol=det

Bài tập

20 CHƯƠNG DẠNG VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN EUCLID

1.2.41. Choα=x1x2x3dx2+x3x24dx4,β=x1x4dx2dx3+x2x3dx3dx4 Tínhαβ,βα,αα,ββ,dα,dβ

1.2.42. Kiểm tra Mệnh đề 1.2.17

1.2.43. Chứng tỏ nhân dạng bậc lẻ với dạng0 Điều có hay khơng với dạng bậc chẳn?

1.2.44. Chứng tỏ dạng bậc chẳn giao hốn với dạng Tức nếuαlà dạng bậc chẳn với dạngβta cóαβ=βα

1.2.45. TrênR2\ {(0,0)}cho dạng

ω= x x2+y2dx+

y x2+y2dy

Tínhdω

1.2.46. Choφ(x1,x2,x3)=(x1x2,x2x3,x3x1) Tính

(a) φ∗(dy1),φ∗(dy2),φ∗(dy3)

(b) φ∗(y2 1dy2dy3)

1.2.47. Gọiϕlà phép đổi biến sang tọa độ cực(r, θ) 7→ (x,y)=(rcosθ,rsinθ).Tínhϕ∗(dxdy) Nói theo cách vi tích phân hàm nhiều biến viếtdxdytheorvàθ

1.2.48. TrênR2\ {(0,0)}cho dạng

ω= −y x2+y2dx+

x x2+y2dy

(a) Tínhdω

(b) Tìm biến đổi củaωkhi đổi biến sang tọa độ cực, để thấy dạng thường gọi làdạng góc 1.2.49. Gọiϕlà phép đổi biến sang tọa độ trụ(r, θ,z) 7→ (x,y,z)=(rcosθ,rsinθ,z).Tínhϕ∗(dxdydz) 1.2.50. Gọi ϕlà phép đổi biến sang tọa độ cầu(ρ, φ, θ) 7→ (x,y,z)=(ρsinφcosθ, ρsinφsinθ, ρcosφ) Tính ϕ∗(dxdydz).

1.2.51. TrênR2xét phép đổi biến

u=x−x0 a v=y−y0

b

Tìm kéo lui dạngdxdy

1.2.52. Đặtu=5x−2yvàv=3x−4y Tìmdudv, xác tìm kéo lui dạng 1.2.53. Trong mặt phẳngR2một phép quay quanh gốc tọa độ gócαcó thể cho ánh xạ

x y

7→

u v

=

cosα −sinα sinα cosα

·

x y

Hãy tìmdudv

1.2.54. Một ma trậnn×nlà trực giao vectơ cột tạo thành sở trực chuẩn củaRn Nói cách

khác ma trậnAlà trực giao nếuATA=Itrong đóATlà ma trận chuyển vị củaA Có thể chứng minh phép dời hình có dạngy=ϕ(x)=A·x+btrong đóAlà ma trậnn×ntrực giao vàb∈Rn

Ví dụ, mặt phẳng phép dời hình hợp phép tịnh tiến, phép quay, phép lấy đối xứng qua đường thẳng Tính biến đổi dạngdx1dx2· · ·dxnqua phép dời hìnhϕ

1.2.55. Kiểm tính chất kéo lui Mệnh đề 1.2.32

1.2.56. Tiếp tục 1.2.48, tổng quát hơn, trênRn\ {0}, vớim∈Z, cho dạng

ω= n Õ

i=1

(−1)i−1 xi

kxkmdx1· · ·dxi−1dxcidxi+1· · ·dxn

(a) Tínhdω

(b) Vớimnào thìdω=0?

1.2.57. Choα=Íni=1fidxilà dạng trơn bậc1sao chodα=0 Xét hàmg:Rn→Rcho

g(x)=

∫ x1

0

f1(t,x2,x3, ,xn)dt+ ∫ x2

0

f2(0,t,x3, ,xn)dt+· · ·+ ∫ xn

0

fn(0,0, ,0,t)dt

Chứng tỏdg=α Chú ý tích phân bên vế phải tích phân đường đường gấp khúc từ điểm

http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/Stokes.pdf