Baây giôø, ta toång quaùt hoaù caùc khaùi nieäm treân.. 1.3 Ña taïp.[r]
(1)TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐAØ LẠT
KHOA TOÁN - TIN HỌC Y Z
TẠ LÊ LỢI - ĐỖ NGUYÊN SƠN
GIAÛI TÍCH 3
(Giáo Trình)
Lưu hành nội bộ
(2)Giải Tích 3
Tạ Lê Lợi - Đỗ Nguyên Sơn Mục lục
Chương I Tích phân phụ thuộc tham số
1 Tích phân phụ thuộc tham số 4
2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 9
3 Các tích phân Euler 14
Chương II Tích phân hàm số đa tạp 1 Đa tạp khả vi trong Rn 19
2 Tích phân hàm số đa tạp 24
Chương III Dạng vi phân 1 Dạng k-tuyến tính phản đối xứng 31
2 Daïng vi phaân 33
3 Bổ đề Poincaré 37
Chương IV Tích phân dạng vi phân 1 Định hướng 41
2 Tích phân dạng vi phân 44
3 Công thức Stokes 47
(3)(4)4
I TÝch ph©n phơ thc tham sè
1 TÝch ph©n phụ thuộc tham số
1.1 Định nghĩa
nh nghĩa 1. Xét hàm f(x, t) = f(x1, , xn, t1, , tm) xác định miền
X ìT ⊂RnìRm Giả sử X đo đ-ợc (Jordan) với giá trị của t∈T cố định, hàm f(x, t) khả tích theo x trênX Khi tích phân
I(t) =
Z X
f(x, t)dx (1)
lµ hµm theo biÕn t = (t1, , tm), gäi lµ tÝch ph©n phơ thc tham sè víi m tham sè t1, , tm.
1.2 TÝnh liªn tơc
Định lý 1. Nếu f(x, t) liên tục trên X ìT RnìRm, đây X, T là tập compact, tích phân
I(t) =
Z X
f(x, t)dx
liªn tơc trªn T.
Chứng minh. Cố định t0∈T Ta chứng minh với >0, tồn tạiδ > 0sao
cho víi mäi t ∈T, d(t, t0)< δ ta cã |I(t)−I(t0)|<
Từ định nghĩa suy
|I(t)−I(t0)|=
Z X
(f(x, t)−f(x, t0))dx
≤
Z X
|f(x, t)−f(x, t0)|dx
Do f liên tục compact nên liên tục đó, tức tồn δ >0sao cho
|f(x0, t0)−f(x, t)|< v(X)
với (x, t),(x0, t0)∈X ìT, d((x0, t0),(x, t))< δ. Từ đó, với d(t, t0)< δ ta có
|I(t)−I(t0)|< v(X)
(5)
5
2
VÝ dô. 1) Ta cã lim t→0
1
R −1
√
x2+t2dx=
R
|x|dx= hàm x2+t2 liên tục trên
[1,1]ì[, ]
2) Khảo sát tính liên tục điểm(0,0)của hàmf(x, t) =
(
xt2ex2t2 t6= 0 nÕu t=
Nếu f(x, t)liên tục tại(0,0), thìf(x, t)liên tục [0,1]ì[−, ] Khi đó, tích phân I(t) =
1
R
0
f(x, t)dx liªn tơc trªn [−, ] Nh-ng ta cã
lim
t→0I(t) = limt→0
R
0
xt−2e−x2t−2 =−1
2limt→0
R
0
e−x2t−2d(−x2t−2) =−1
2limt→0(e
−t−2
−1) =
2 6= =I(0)
Vậy, hàm f(x, t) không liên tục tại(0,0)
Sau khảo sát tổng quát hóa Định lý tr-ờng hợp X = [a, b]
Định lý 2. Cho f(x, t) liên tục trên[a, b]ìT, với T là tập compact vàa(t), b(t)
là hai hàm liên tục trên T sao cho a(t), b(t)∈[a, b] với mọi t∈ T Khi đó, tích phân
I(t) = b(t)
Z a(t)
f(x, t)dx
liªn tơc trªn T.
Chøng minh. Do f liên tục tập compact nên giới nội, tức tån t¹i M >
sao cho |f(x, y)|≤M với (x, t)∈[a, b]ìT Cố địnht0 ∈T ta có:
|I(t)− I(t0)|=
a(Rt0) a(t)
f(x, t)dx+ bR(t)
b(t0)
f(x, t)dx+ b(Rt0) a(t0)
[f(x, t)−f(x, t0)]dx
≤
a(Rt0) a(t)
f(x, t)dx +
bR(t)
b(t0)
f(x, t)dx +
b(Rt0) a(t0)
(f(x, t)−f(x, t0))dx
≤M |a(t)−a(t0)|+M | b(t)−b(t0)| +
b(Rt0) a(t0)
(6)6
Khẳng định suy từ tính liên tục a(t), b(t)và Định lý
VÝ dơ. Do hµm
1 +x2+t2 liên tục [0,1]ì[, ] hàm α(t) = t,
β(t) = cost liªn tơc trªn[−, ], ta cã
lim t→0
cost Z
t
dx
1 +x2+t2dx=
Z
0
dx +x2 =
π
1.3 TÝnh kh¶ vi.
Định lý 3. Nếu f(x, t) và đạo hàm riêng ∂f
∂ti(x, t), i = 1, , m, liªn tơc
trên X ìT RnìRm, đây X, T là tập compact, tích phân I(t) =
Z X
f(x, t)dx
khả vi trên
o
T và với mỗii ta có:
I ti(t) =
Z X
∂f
∂ti(x, t)dx
Chứng minh. Với t0
o
T cố định ta có: I(t0+hiei)−I(t0)
hi =
Z X
f(x, t0+hiei)−f(x, t0)
hi dx
trong ei sở tắc Rm áp dụng định lý giá trị trung bình cho hàm biến ta có:
f(x, t0+hiei)−f(x, t0) =
∂f
∂ti(x, t0+θihiei)hi, 0< θi <1 Khi :
I(t0+hiei)−I(t0)
hi −
Z X
∂f
∂ti(x, t0)dx =
Z X
[∂f
∂ti(x, t0+θihiei)− ∂f
(7)7
Sư dơng tÝnh liªn tơc cđa ∂f
∂ti(x, t)trên compactXìT lý luận nh- chứng minh Định lý suy
∂I
∂ti(t0) = limhi→0
I(t0+hiei)−I(t0)
hi =
Z X
∂f
∂ti(x, t)dx
TÝnh liªn tơc cđa ∂I
ti(t) trênT suy từ Định lý
VÝ dô. XÐtI(t) = π/R2
0
1 cosxln
1 +tcosx
1tcosxdx, t(1,1) Ta có hàm f(x, t) =
1 cosxln
1 +tcosx
1−tcosx nÕu x6=π/2
2t nÕu x=π/2
∂f
∂t(x, t) =
2 1−t2cos2x,
liên tục [0, π/2]ì[−1 +,1−] Vậy, theo định lý I0(t) =
π/2
Z
0
dx
1−t2cos2x =
∞ Z
0
du
1−t2+u2 =
π
√
1−t2
Từ đó, I(t) =πarcsint+C Vì I(0) = 0, nên C = Vậy, I(t) =πarcsint
Định lý 4. Nếu f(x, t) và đạo hàm riêng ∂f
∂ti(x, t), i = 1, , m, liên tục
trên [a, b]ìT, đây T là tập compact trong Rm, (t), (t) khả vi trên T và (t), (t)[a, b]với mọit T, tÝch ph©n
I(t) = b(t)
Z a(t)
f(x, t)dx
khả vi trên
o
T và với mỗii ta có:
I ti(t) =
βZ(t)
α(t)
∂f
∂ti(x, t)dx+f(β(t), t) ∂β
(8)8
Chøng minh. XÐt hµm m+ biÕn
F(t, u, v) = v Z
u
f(x, t)dx, (t, u, v)∈D =T ×[a, b]×[a, b]
Ta F(t, u, v) hàm khả vi Với u, v cố định, từ Định lý 3, suy
∂F
∂ti(t, u, v) = v Z
u ∂f
∂ti(x, t)dx
Vế phải đẳng thức đ-ợc xem nh- tich phân phụ thuộc tham sốt, u, v Hàm ∂f
∂ti(x, t)xem nh- lµ hµm theo biếnx, t, u, v liên tục trên[a, b]ìD Từ Định lý 2, với a(t, u, v) = u, b(t, u, v) = v, suy ∂F
∂ti(t, u, v) hàm liên tục D Ngoài ta cßn cã
∂F
∂u(t, u, v) =−f(u, t) vµ ∂F
∂v(t, u, v) =f(v, t) hàm liên tục D Vậy, hàm F(t, u, v)khả vi
Hàm I(t) đ-ợc xem nh- hàm hợp I(t) = F(t, α(t), β(t)) Từ , hm I(t)
khả vi I
ti(t) = ∂F
∂ti(t, α(t), β(t)) + ∂F
∂u(t, α(t), β(t)) ∂α ∂ti(t) +
∂F
∂v(t, α(t), β(t)) ∂β ∂ti(t)
= βR(t)
α(t)
∂f
∂ti(x, t)dx+f(β(t), t) ∂β
∂ti(t)−f(α(t), t) ∂α ∂ti(t)
2
VÝ dơ. XÐt tÝch ph©n I(t) =
sinRt t
etxdx Theo Định lý trên, hàm I(t)khả vi vµ
I0(t) =
sint Z
t
(9)9
2 TÝch ph©n suy réng phô thuéc tham sè
2.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 2. Giả sử hàm f(x, t) xác định trên [a,∞)ìT, T ⊂R, cho với mỗi t ∈T cố định , hàm f(x, t) khả tích trên[a, b], với mọi b > a Tích phân
I(t) = ∞ Z
a
f(x, t)dx (1),
gọi là tích phân suy rộng loại phụ thuộc tham số Tích phân(1)gọi là hội tụ tại t0 nếuu tích phân
R a
f(x, t0)dx hôi tụ, tức tồn tại lim
b b R a
f(x, t0)dx=I(t0) hữu hạn.
Tích phân (1) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ điểm của T, tức là
>0,tT,a0(, t)> a, cho ∀b≥a0 =⇒
∞ Z
b
f(x, t)
<
Tích phân (1) gọi là hội tụ trên T nếuu
∀ >0,∃a0()> a, cho ∀b≥a0,∀t ∈T =⇒
∞ Z
b
f(x, t)
<
Định nghĩa 3. Giả sử hàm f(x, t)xác định trên [a, b)ìT, T ⊂R, cho với mỗi t ∈T cố định , hàmf(x, t) khả tích đoạn [a, b−η], η > Tích phân
J(t) = b Z a
f(x, t)dx= lim η→0+
b−η Z a
f(x, t)dx, (2)
gọi là tích phân suy rộng loại phụ thuộc tham số Tích phân(2)gọi là hội tụ tại t0 nếuu tích phân
b R a
f(x, t0)dx hội tụ, tức tồn tại lim
0
bR a
f(x, t0)dx=J(t0) hữu hạn.
Tích phân (2) gọi là hội tụ trên T nếuu hội tụ điểm của T, tức là
∀ >0,∀t ∈T,∃δ(, t)>0, cho 0<∀η < δ =⇒
b Z b−η
f(x, t)
(10)10
Tích phân (2) gọi là hội tụ trên T nếuu
∀ >0,∃δ0()>0, cho 0<∀η < δ,∀t∈T =⇒
b Z b−η
f(x, t)<
Chú ý. 1) T-ơng tự, ta định nghĩa
I(t) = b R −∞
f(x, t)dx = lim a→−∞
b R a
f(x, t)f(x, t), J(t) =
b R a
f(x, t)dx= lim η→0+
b R a+η
f(x, t)f(x, t),
và có khái niệm hội tụ, hội tụ t-ơng ứng
2) Việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số loại đ-ợc thực hoàn toàn t-ơng tự nh- loại 1, từ định nghĩa khái niệm đến tính chất Do đó, mục này, ta khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I(t) =
∞ R a
f(x, t)dx
VÝ dô. XÐt tÝch ph©n I(t) = ∞ R
0
te−xtdx Khi a) I(t) hội tụ trên(0,∞)vì
∀ >0,∀t∈T,∃a0 =
ln
−t,∀b > a0 =⇒ ∞ Z b te−xt
=e−bt <
b) I(t) không hội tụ (0,∞) với ∈(0,1), với mọia0 >0, chọn
b=a0 vàt từ bất đẳng thức0< t <
ln
−a0
, th× ta cã ∞ R b te−xt
=e−bt> c) I(t) hội tụ trênTr = [r,∞), với r >0 Thật vậy, ta có
∀ >0,∃a0 =
ln
−r,∀b≥a0,∀t∈Tr =⇒ ∞ Z b te−xt
(11)11
2.2 Một số tiêu chuẩn hội tụ u
Định lý 5. (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân I(t) = ∞ R a
f(x, t)dx hội tụ trên
T khi vµ chØ khi
∀ >0,∃a0()> a, cho ∀b1, b2 ≥a0,∀t∈T =⇒
b2 Z b1
f(x, t)
< (∗)
Chøng minh. Gi¶ sư I(t) = ∞ R a
f(x, t)dx hội tụ trênT Khi đó, Điều kiện (∗)
suy từ bất đẳng thức b2 Z b1
f(x, t)
≤ ∞ Z b1
f(x, t)
+ ∞ Z b2
f(x, t)
Ng-ợc lại, với t cố định, điều kiện (∗)suy raI(t)hội tụ Trong (∗), chob2 →0,
suy I(t hi t u theo nh ngha
Định lý 6. (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả sử
(1) tồn hµm ϕ(x)sao cho |f(x, t)| ≤ϕ(x), ∀x≥a, ∀t ∈T, (2) tÝch ph©n
∞ R a
ϕ(x)dx héi tơ.
Khi đó, tích phân I(t) = ∞ R a
f(x, t)dx hội tụ trên T.
Chứng minh. Theo tiêu chuẩn Cauchy tích phân suy rộng hội tụ, với >0, tồn tạia0 cho
b2 Z b1
ϕ(x)< , ∀b1, b2 ≥a0
Suy ra, b2 Z b1
f(x, t)
≤ b2 Z b1
|f(x, t)|
≤ b2 Z b1
ϕ(x)
<
Theo Định lý 5, tích phân I(t)hội tụ
(12)12
Mệnh đề 1. Giả sử tích phânI(t) = ∞ R a
f(x, t)dx hội tụ trên T và (an), với
an> a lµ d·y sè cho lim n→∞an =
∞ Khi đó, dãy hàm
In(t) = an
Z a
f(x, t)dx
hội tụ tới hàm số I(t)trên T.
Chøng minh. Do I(t) = ∞ R a
f(x, t)dxhội tụ T nên dãy hàm (In(t))hội tụ tới I(t) T Vì I(t) hội tụ nên với >0, tồn a0 cho
∞ Z
b
f(x, t)
< , ∀b > a0,tT
Vì lim nan =
nên tån t¹iN > cho víi mäi n ≥ N, ta cã an ≥ b VËy, ta cã
|In(t)−I(t)|=
an
Z a
f(x, t)−
∞ Z
a
f(x, t)
=
∞ Z an
f(x, t)
< ,
với n≥N, với t∈T Từ đó, In(t)hội tụ tới I(t) T
2.2.1 Tính liên tục
Định lý 7. Nếu hàm f(x, t) liên tục trên [a,)ì[c, d] và tích phân I(t) =
R a
f(x, t)dx hội tụ trên [c, d], thì I(t)liên tơc trªn [c, d].
Chøng minh. Gäi (an), víi an > a lµ d·y sè cho lim n→∞an =
∞ vµ xÐt d·y hµm
In(t) = an
Z a
f(x, t)dx, t∈[c, d]
Với n cố định, theo Định lý 1, hàm In(t) liên tục [c, d] Theo mệnh đề
1, dãy hàm (In(t))hội tụ tớiI(t) Theo định lý tính liên tục dãy hàm
(13)13
2.2.2 Tính khả vi Định lý 8. Gi¶ sư
(a) Hàmf(x, t)liên tục có đạo hm riờng f
t(x, t)liên tục trên[a,)ì[c, d].
(b) TÝch ph©n I(t) = ∞ R a
f(x, t)dx hội tụ trên [c, d].
(c) Tích phân
∞ R a
∂f
∂t(x, t)dx hội tụ trên[c, d].
Khi đó, hàm I(t) khả vi trên[c, d] và ta có cơng thức I0(t) = ∞ R a
∂f
∂t(x, t)dx
Chøng minh. XÐt d·y hµm
In(t) = a+n Z
a
f(x, t)dx, t[c, d] Với n, theo Định lý 3, hàm In(t) khả vi [c, d] vµ
In0(t) = a+n Z
a ∂f
∂t(x, t)dx, t∈[c, d] Ta cã limIn(t) = I(t) vµ limIn0(t) =
∞ R a
∂f
∂t(x, t)dx Theo mệnh đề 1, dãy hàm In0(t) hội tụ [c, d] Theo định lý tính khả vi dãy hàm hội tụ đều, I(t) khả vi [c, d]
I0(t) = lim n→∞In(t)
0
= lim n→∞I
0 n(t) =
∞ Z a
∂f
∂t(x, t)dx
2
2.2.3 Tính khả tích
Định lý 9. Giả sử hàm f(x, t) liên tục trên [a,)ì[c, d] và tÝch ph©n I(t) = ∞
R a
f(x, t)dx hội tụ trên [c, d] Khi đó, hàm I(t) khả tích trên [c, d] và ta có cơng thức
d Z
c
I(t)dt= d Z
c Z∞
a
f(x, t)dx
dt = ∞ Z a
Zd c
f(x, t)dt
(14)14
Chứng minh. Theo Định lý7, I(t)là hàm liên tục [c, d], khả tích Xét dãy hàm
In(t) = a+n Z
a
f(x, t)dx, t∈[c, d]
Với n cố định, theo Định lý 1, hàm In(t) liên tục [c, d] Theo mệnh đề
1, dãy hàm (In(t)) hội tụ tới I(t) [c, d] Theo định lý tính khả tích dãy hàm hội tụ đều, ta có
d R c
I(t)dt = d R c
lim n→∞In(t)
dt= lim n→∞
d R c
In(t)dt = lim
n→∞ d R c
aR+n a
f(x, t)dx
dt = lim
n→∞ aR+n
a Rd
c
f(x, t)dx
dt= ∞ R a
Rd c
f(x, t)dt
2
3 Các tích phân Euler
3.1 Tích phân Euler loại 1
3.1.1 Định nghĩa
Tích phân Euler loại hay hàm Beta tích phân phụ thuộc tham số dạng
B(p, q) =
1
Z
0
xp−1(1−x)q−1dx, p >0, q >
3.1.2 C¸c tÝnh chÊt cuả hàm Beta
1) Sự hội tụ. Ta phân tích B(p, q) thành hai tích phân
B(p, q) =
1/2
Z
0
xp−1(1−x)q−1dx+
1
Z
1/2
(15)15
Tích phân B1 hội tụ p >0 phân kỳ p0 Điều suy từ
xp−1(1−x)q−1 ≤Mqxp−1, Mq= max 0≤x≤1/2(1
−x)q−1
xp−1(1−x)q−1 ≥mqxp−1, mq =
0≤x≤1/2(1
−x)q−1
T-¬ng tù, tích phân B2 hội tụ q > phân kỳ q Nh- hàm
B(p, q) xác định với p >0, q >0
2) Sự hội tụ đều. Tích phân B(p, q) hội tụ chữ nhật [p0, p1]ì[q0, q1],
trong đó, 0< p0 < p1, 0< q0 < q1 Điều suy từ đánh giá
xp−1(1−x)q−1 ≤xp0−1(1−x)q0−1, ∀x∈(0,1), p≥p
0, q ≥q0,
và sau sử dụng tiêu chuẩn Weierstrass
3) Tính liên tục. Hàm B(p, q) liên tục miền xác định Thật vậy, với mọi(p, q), p >0, q >0, tích phân B(p, q)hội trên[p−, p+]ì[q−, q+], liên tục miền
4) Tính đối xứng. Bằng cách đồi biến x= 1−t, ta đ-ợc B(p, q) =B(q, p)
5) Công thức truy hồi. Bằng cách lấy tích phân phần từ tích phânB(p, q)ta đ-ợc
B(p+ 1, q+ 1) = q
p+q+ 1B(p+ 1, q) = q
p+q+ 1B(p, q+ 1)
Đặc biệt, m, n số tự nhiên, áp dụng liên tiếp công thức trên, ta có B(1,1) =
B(p+ 1,1) = p+
B(p+ 1, n) = n!
(p+n)(p+n−1)· · ·(p+ 1) B(m, n) = (n−1)!(m−1)!
(16)16
3.2 Tích phân Euler loại 2
3.2.1 Định nghĩa
Tích phân Euler loại hay hàm Gamma tích phân phụ thuộc tham số dạng
(p) = ∞ Z
0
xp−1e−xdx, p >
3.2.2 Các tính chất cuả hàm Gamma
1) Sự hội tụ. Ta phân tích B(p, q) thành hai tÝch ph©n
Γ(p) =
1
Z
0
xp−1e−xdx+ ∞ Z
1
xp−1e−xdx= Γ1(p) + Γ2(p)
TÝch ph©n Γ1(p) héi tơ p >0 Điều suy từ
xp1ex xp1, x(0,1] Tích phân 2(p) hội tụ p >0 Điều suy tõ
lim x→∞
xp−1e−x xp+1
= lim x→∞=
x2p
ex = 0, vµ ∞ Z
1
1
xp+1 <∞
Suy ra, tÝch ph©n Γ(p) = ∞ R
0
xp−1e−xdx héi tô khi p >0.
2) Sự hội tụ đều. Tích phânΓ1(p)hội tụ on[p0.p1], vip1 > p0 >0
Điều suy tõ
xp−1e−x ≤xp0−1 (0< x≤1)
1
R
0
xp0−1 <∞, xp−1e−x ≤xp1−1e−x, (1≤x < ∞),
∞ R
1
xp0−1e−x <∞.
(17)17
4) C«ng thøc truy håi. B»ng cách tích phân phần, ta có
(p+ 1) = ∞ Z
0
xpe−xdx= lim b→∞
xpe−x
b +p b Z
xp−1e−xdx
=pΓ(p)
NÕu n lµ sè tù nhiên, áp dụng liên tiếp công thức trên, ta cã
Γ(p+n) = (n+p−1)(n+p−2)· · ·pΓ(p) Nãi riªng, Γ(1) = 1, Γ(n+ 1) =n!, Γ(1/2) =
∞ R
0
e−x
√
xdx = ∞ R
0
e−x2dx=√π
5) Liên hệ với hàm Beta. Bằng phép đổi biếnx=ty, t >0, ta có
Γ(p) =
∞ Z
0
yp−1e−tydy
Thay p bëi p+q vµt bëi t+ ta đ-ợc
(p+q) (1 +t)p+q =
Z
0
yp+q−1e−(1+t)ydy
Nhân hai vế đẳng thức với tp−1 rồi lấy tích phân theo t t 0 n ta
đ-ợc
(p+q) ∞ Z
0
tp−1
(1 +t)p+qdy= ∞ Z
0
Z∞
0
tp−1e−tyyp+q−1e−ydy
dt
§ỉi biÕn x= t
1 +t, ta ®-ỵcB(p, q) = ∞ R
0
tp−1
(1 +t)p+q Mặt khác, đổi thứ tự tích phân vế phải (hãy kiểm chứng điều nh- tập) Từ
Γ(p+q)B(p, q) = ∞ R
0
R∞
0
tp−1e−tyyp+q−1e−tydt dy = ∞ R
yp+q−1e−yΓ(p) yp
dy = Γ(a)
∞ R
0
yq−1e−ydy= Γ(p)Γ(q).
VËy ta cã c«ng thøc
(18)(19)II Tích phân hàm số đa tạp khả vi 1 ĐA TẠP KHẢ VI TRONGRn
1.1 Đường cong. Tập conC ⊂Rn được gọi làđường cong trơn lớp Cp(p≥1)nếuu
mọi x ∈ C, tồn lân cận mở V ⊂Rn của x, khoảng mở I ⊂R, và ϕ :I → Rn
thuộc lớp Cp,ϕ(t) = (x
1(t),· · · , xn(t)), cho:
(1) ϕ:I →C∩V laø 1-1.
(2) ϕ(t) = (x
1(t),· · ·, xn(t))= 0, với mọit∈I.
Khi đó(ϕ, I) được gọi mộttham số hố củaC tạix.
s
t0 ϕ- xs0
"! #
Vectorϕ(t) gọi làvector tiếp xúc củaC tạix Ta có phương trình tham số đường
thẳng tiếp xúc vớiC tạiϕ(t0):
x=ϕ(t0) +sϕ(t0), s∈R
Ví dụ. TrongR2.
a) Đường trịn cho tham số hố: x=acost, y=asint, t∈[0,2π).
b) Tham số hoá: x=acost, y=asint, z=bt, t∈(0, H), mơ tả đường xoắn.
Bài tập: Viết cụ thể phương trình tiếp tuyến khi n= hayn= 3.
Nhận xét. Điều kiện ϕ(t) = 0 bảo đảm cho đường cong khơng có góc hay điểm
lùi Chẳng hạn, nếu ϕ(t) = (t3, t2) thì đường cong có điểm lùi tại(0,0), cịnϕ(t) = (t3,|t|3), đường cong có điểm góc tại(0,0).
1.2 Mặt cong. Tập conS ⊂Rn được gọi là mặt cong trơn lớp Cp (p≥1)nếuu mọi
x∈S, tồn lân cận mở V ⊂Rn của x, tập mởU ⊂R2, vàϕ:U →Rn thuộc lớp
Cp, ϕ(u, v) = (x
1(u, v),· · · , xn(u, v)), cho:
(1) ϕ:U →S∩V laø 1-1.
(2) rankϕ(u, v) = 2, i.e. D1ϕ(u, v), D2ϕ(u, v)độc lập tuyến tính, ∀(u, v)∈U.
Khi đó(ϕ, U)được gọi một tham số hố củaS tạix.
Khi cố định biến u hay v, ϕcho các đường cong tọa độ Các vector D1ϕ(u, v),
D2ϕ(u, v)gọi là các vector tiếp xúc củaS tạiϕ(u, v) Ta có phương trình tham số của
mặt phẳng tiếp xúc với S tạiϕ(u0, v0):
(20)II.1 Đa tạp khả vi trongRn. 20
s
-→u
6
→v
U
-ϕ xs
-SV
Trường hợp n = 3, N(u, v) = D1ϕ(u, v)×D2ϕ(u, v) = (A(u, v), B(u, v), C(u, v)),
là vector vng góc với S tại ϕ(u, v) Khi phương trình tổng quát mặt phẳng
tiếp xúc với S tạiϕ(u0, v0) = (x0, y0, z0):
A(u0, v0)(x−x0) + B(u0, v0)(y−y0) + C(u0, v0)(z−z0) =
Bài tập: Xác định tọa độ vector pháp qua đạo hàm riêng của ϕ.
Ví dụ. TrongR3.
a) Tham số hố mặt cầu:
x=acosφsinθ, y=asinφsinθ, z =acosθ, (φ, θ)∈(0,2π)×(0, π)
b) Tham số hoá mặt xuyến:
x= (a+bcosφ) sinθ, y = (a+bsinφ) sinθ, z=bsinφ, (φ, θ)∈(0,2π)×(0,2π), (0< b < a)
Bài tập: Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt trên. Bây giờ, ta tổng quát hoá khái niệm trên.
1.3 Đa tạp. Tập con M ⊂Rn được gọi làđa tạp k chiều lớp Cp (p≥1)nếuu mọi
x ∈M, tồn lân cận mở V ⊂ Rn của x, tập mở U ⊂Rk, và ϕ:U → Rn thuộc
lớpCp, cho:
(M1) ϕ:U →M∩V laø 1-1.
(M2) rankϕ(u) =k, i.e. D1ϕ(u),· · ·, Dkϕ(u)độc lập tuyến tính, với mọiu∈U.
Khi đó(ϕ, U)được gọi một tham số hoá củaM tạix.
Khi cố định k−1 biến biến, ϕ cho các đường cong tọa độ Các vector
D1ϕ(u),· · ·, Dkϕ(u) gọi là các vector tiếp xúc của M tạiϕ(u) Ta có phương trình
tham số củak- phẳng tiếp xúc vớiM tạiϕ(u0):
x=ϕ(u0) +t1D1ϕ(u0+· · ·+tkDkϕ(u0), (t1,· · ·, tk)∈Rk
1.4 Cho đa tạp hệ phương trình. Cho tập mở V ⊂ Rn và hàm lớp Cp
F1,· · ·, Fm :V →R Xét tập cho hệ phương trình