Tính theo a diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD đã cho... Phần dành cho học sinh học theo sách Toán 12 chuẩn Câu Vb: 3 điểm 1.[r]
(1)ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I Môn: TOÁN - LỚP 12 Thời gian: 90 phút (không kể thời gian giao đề) I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH: ( ĐIỂM ) Câu I: (2 điểm) Cho hàm số y = x3 - 3x2 + (1) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Dựa vào đồ thị (C) hàm số (1), tìm tham số m để phương trình: 23t - 3.4t + = m (t là ẩn) có nghiệm Câu II: (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ và giá trị lớn hàm số y = x4 - 8x2 + 15 trên đoạn [-1; 3] Tính đạo hàm các hàm số sau: a) y = x2.e4x b) y = ex.ln(2 + sinx) Câu III: (1 điểm) Giải các phương trình sau: 1) x x 1 64 2) log x log (x 2) Câu IV: (2 điểm) Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh đáy là 2a, cạnh bên là a Chứng minh hai khối tứ diện ABDA’ và CBDC’ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ Gọi M là trung điểm cạnh A’D’, S là tâm hình vuông ABCD Tính theo a thể tích khối chóp S.MB’C’D’ II PHẦN RIÊNG: ( ĐIỂM ) A Phần dành cho học sinh học theo sách Toán 12 nâng cao Câu Va: (3 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x2 x biết tiếp tuyến song song x2 với đường thẳng 3x + y - = ln Giải phương trình: log e x 5.log x Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Tính theo a diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD đã cho B Phần dành cho học sinh học theo sách Toán 12 chuẩn Câu Vb: (3 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x4 biết tiếp tuyến song song với x 1 đường thẳng 3x - 4y = 2x x log 2 Giải phương trình: 5.10 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất các cạnh a Tính theo a diện tích xung quanh và thể tích hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD đã cho ……… Hết ……… Lop12.net (2) ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu I Nội dung Điểm 2,00 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số: y = x3 - 3x2 + Tập xác định: Sự biến thiên: a)Giới hạn vô cực: lim y lim x (1 x x 0,25 5 ) ; lim y lim (1 ) x x x x x x b) Bảng biến thiên: y’ = 3x2 - 6x = 3x(x - 2); y’ = x = x = BBT: x - + y’ + 0 + + y - Hàm số đồng biến trên (-; 0) và (2; +); nghịch biến trên (0; 2) xCT = 2, yCT = 1; xCĐ = 0, yCĐ = Đồ thị: y’’ = 6x - 6; y’’ = x = - Đồ thị nhận điểm uốn I(1; 3) làm tâm đối xứng - Đồ thị qua (-1; 1), (3; 5) 0,25 0,50 y 0,50 O -1 x Dựa vào đồ thị (C) … Đặt x = 2t > 0, phương trình đã cho thành: x3 - 3x2 + = m Vậy phương trình đã cho có nghiệm và đường thẳng y = m có điểm chung với đồ thị (C) hàm số (1) trên khoảng (0; +) Dựa vào đồ thị (C) hàm số (1) trên khoảng (0; +) ta có các giá trị m cần tìm là: m II 0,50 2,00 Tìm giá trị nhỏ và … Hàm số y = x4 - 8x2 + 15 liên tục trên đoạn [-1; 3] Ta có y’ = 4x3 - 16x = 4x(x2 - 4) 4x(x 4) y ' x 0, x 2 x 1 x 1 x 1 x x 0,50 y(-1) = 8; y(0) = 15; y(2) = -1; y(3) = 24 Vậy Min y y(2) 1; Max y y(3) 24 0,25 [-1; 3] [-1; 3] Tính đạo hàm các hàm số: a) y = x2.e4x Tập xác định: y’ = (x2)’.e4x + x2.(e4x)’ = 2x.e4x + x2.(4x)’.e4x = 2x.e4x(1 + 2x) b) y = ex.ln(2 + sinx) Tập xác định: Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,25 (3) y’ = (ex)’.ln(2 + sinx) + ex.(ln(2 + sinx))’ = ex.ln(2 + sinx) + ex (2 s inx)' cosx = ex.ln(2 + sinx) + ex s inx s inx 0,25 III 1,00 Giải phương trình: x Tập xác định: x 1 x 1 64 0,25 64 x x 1 43 x2 - x + = x = -1 x = Giải phương trình: log x log (x 2) Tập xác định: (2; +) log x log (x 2) log [x(x 2)] x(x - 2) = x2 - 2x - = x = -1 x = Vậy phương trình có nghiệm là x = 4x 2 0,25 0,25 0,25 IV 2,00 Hình vẽ C B S D A a 0,25 C' B' 2a A' M Chứng minh Chứng minh hai khối tứ diện ABDA’ và CBDC’ Ta có mp(BDD’B’) là mặt trung trực hai đoạn thẳng AC và A’C’ nên phép đối xứng qua mp(BDD’B’) biến bốn điểm A, B, D, A’ thành bốn C, B, D, C’ Vậy hai khối tứ diện ABDA’ và CBDC’ Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ Ta có đáy khối lăng trụ là hình vuông ABCD có diện tích 2a.2a = 4a2 Chiều cao khối lăng trụ AA’ = a Vậy thể tích khối lăng trụ là V = SABCD AA' = 4a2.a = 4a3 Tính theo a thể tích khối chóp S.MB’C’D’ Ta có đáy khối chóp S.MB’C’D’ có diện tích bằng: SMB’C’D’ = SA’B’C’D’ - SA’B’M = 4a2 - a2 = 3a2 Chiều cao khối chóp S.MB’C’D’ khoảng cách từ S đến mp(A’B’C’D’) và AA’ = a Vậy thể tích khối chóp S.MB’C’D’ là V = Va D' 1 SMB'C'D' AA' = 3a a a 3 Phần dành cho học sinh học theo sách Toán 12 nâng cao Viết phương trình tiếp tuyến … Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x + y - = nên có hệ số góc k = -3 Gọi (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm, ta có k = -3 = y’(x0) Lop12.net 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 0,25 3,00 0,25 (4) y = x 3 4 y' 1 , x 2 x2 (x 2) 0,25 y’(x0) = -3 (x0 + = x0 = -1 x0 = -3 Với x0 = -1, y0 = 0, ta có tiếp tuyến (-1; 0) là y = -3(x + 1) Với x0 = -3, y0 = -10, ta có tiếp tuyến (-3; -10) là y = -3(x + 3) - 10 2)2 ln x 5.log x Giải phương trình: log e Điều kiện xác định phương trình: x > log e6 ln x 5.log x log e6 ln x log x e6 ln x x5 ln x ln x ln x 5ln x lnx = lnx = 3 Với lnx = x = e2 (thỏa đk) Với lnx = x = e3 (thỏa đk) Vậy phương trình có hai nghiệm: x = e2, x = e3 Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu … Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có OA = OB = OC = OD = a; OS2 = SA2 - OA2 = 2a2 - a2 = a2 OS = a Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là O, bán kính R = a Diện tích mặt cầu S = 4R2 = 4a2 Thể tích khối cầu V = Vb 0,25 0,25 4 R a 3 Phần dành cho học sinh học theo sách Toán 12 chuẩn Viết phương trình tiếp tuyến … Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x - 4y = nên có hệ số góc k = 3/4 Gọi (x0; y0) là tọa độ tiếp điểm, ta có k = 3/4 = y’(x0) y' 3 , x y '(x ) (x 1) (x 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,50 0,25 0,25 3,00 0,25 0,25 y’(x0) = 3/4 (x0 - 1)2 = x0 = -1 x0 = 3 (x 1) Với x0 = 3, y0 = -1/2, ta có tiếp tuyến (3; -1/2) là y = (x 3) Với x0 = -1, y0 = 5/2, ta có tiếp tuyến (-1; 5/2) là y = 2x x log Giải phương trình: 5.10 Tập xác định: x 22x 5.10 x log 22x 5.10log 22x 5.2x 22x 5.2 x 2x = 2x = Với 2x = x = Lop12.net 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 (5) Với 2x = x = log23 0,25 Gọi O là tâm hình vuông ABCD, ta có hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có bán kính đường tròn đáy R = OA = a; chiều cao = SO = a; đường sinh SA = a Diện tích xung quanh hình nón Sxq = R.SA = a2 Thể tích hình nón V = 1 R SO a a a 3 0,50 0,25 0,25 … Hết … Ghi chú: Trong câu, học sinh có thể làm theo cách khác, giáo viên tùy theo mức độ điểm hợp lí Lop12.net (6)