Các đề thi thử đại học Số phức

Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun.[r]

CÁC ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC SỐ PHỨC NĂM 2010-2011 Câu 1: Tìm phần thực số phức : z  (1  i) Trong đó nN và thỏa mãn: n log  n  3  log  n    Đáp án: a: Phương trình: log (n  3)  log5 (n  6)  có nghiệm n = 19 (Vì VT là hàm số đồng biến nên đồ thị cắt đường thẳng y = điểm nhất) Câu : Cho số phức: z   3.i Hãy viết số zn dạng lượng giác biết log3 ( n  n  6) n  2n    (n  2n  6) nN và thỏa mãn: log Đáp án: Đặt log3 (n  2n  6)  t  n  2n   3t ; (n  2n  6)log   3t   5t Ta phương trình: 3t + 4t = 5t Phương trình có nghiệm t =  n2 – 2n + =  n2 – 2n – =  n =3 log3 Câu 3: Giải phương trình nghiệm phức : z  25   6i z Đáp án: Giả sử z = a +bi với ; a,b  R và a,b không đồng thời 1 a  bi   z a  bi a  b2 25 25( a  bi ) Khi đó phương trình z    6i  a  bi  2   6i z a b 2 2  a ( a  b  25)  8( a  b ) (1)   2 Lấy (1) chia (2) theo vế ta có b  a 2 b( a  b  25)  6( a  b ) (2) Khi đó z  a  bi ; vào (1) Ta có a = v a = Với a =  b = ( Loại) Với a =  b = Ta có số phức z = + 3i 2004 2008  C2009  C2009   C2009  C2009 Câu 4: Tính tổng: S  C2009 2009 2009 2009 Đáp án: Ta có: (1  i)  C2009  iC2009   i C2009 2006 2008 C2009  C2009  C2009  C2009   C2009  C2009  2007 2009 (C2009  C2009  C2009  C2009   C2009  C2009 )i 2 2006 2008 Thấy: S  ( A  B) , với A  C2009  C2009  C2009  C2009   C2009  C2009 2006 2008 B  C2009  C2009  C2009  C2009  C2009  C2009 + Ta có: (1  i)2009  (1  i)[(1  i)2 ]1004  (1  i).21004  21004  21004 i Đồng thức ta có A chính là phần thực (1  i)2009 nên A  21004 2009  xC2009  x 2C2009   x 2009C2009 + Ta có: (1  x)2009  C2009 Lop12.net 2008 2009  C2009   C2009  C2009  C2009   C2009 Cho x=-1 ta có: C2009 2008 2009  C2009   C2009 )  (C2009  C2009   C2009 )  22009 Cho x=1 ta có: (C2009 Suy ra: B  22008 + Từ đó ta có: S  21003  22007 Câu 5: Tính tổng : 1C81n  3C83n   (8n  1)C88nn 1 Đáp án: Xét khai triển: f ( x)  (1  x)8n  C80n  xC81n  x 2C82n  x8nC88nn Suy ra: f ( x)  8n(1  x)8 n 1  C81n  xC82n  x 2C83n   (8n  1) x8 n  2C88nn 1  8nx8 n 1C88nn Cho x  i ta A  1C81n  3C83n   (8n  1)C88nn 1 chính là phần thực khai triển số phức 8n(1  i)8n 1 Ta có: 8n(1  i)8n 1  4n(1  i)8n (1  i)  4n.24 n  4n.24 n i Vậy A  1C81n  3C83n   (8n  1)C88nn 1  4n.24 n Câu : ) Tìm các số thực a, b, c để có: z3  2(1  i)z2  4(1  i)z  8i  ( z  ai)( z2  bz  c) Từ đó giải phương trình: z3  2(1  i)z2  4(1  i)z  8i  trên tập số phức Tìm môđun các nghiệm đó Đáp án: Cân hệ số ta a = 2, b = –2, c = Phương trình  ( z  2i)( z  z  4)   z  2i; z   3i; z   3i  z  Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện: z  i  z   3i Trong các số phức thỏa mãn điều kiện trên, tìm số phức có mô đun nhỏ Đáp án: * Đặt z = x + yi (x; y  R) |z - i| = | Z - - 3i|  |x + (y - 1)i| = |(x - 2) - (y + 3)i| *  x - 2y - =  Tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn só phức z là đường thẳng x - 2y - = 0 * |z| nhỏ  | OM | nhỏ  M là hình chiếu O trên  *  M( 6 ;- )  z = - i 5 5 Chú ý: HS có thể dùng phương pháp hình học để tìm quỹ tích điểm M Câu 8: Giải phương trình sau trên tập số phức (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = Lop12.net Đáp án: Ta thấy z = không là nghiệm phương trình Chia hai vế cho z2 và đặt z + 3z + t= , Dẫn tới phương trình : t2+2t-3 = t=1 t=-3 z Với t=1 , ta có : z2+3z+6 = z  z2+2z+6 =  z = -1 i Với t=-3 , ta có : z2+3z+6 = -3z  z2+6z+6 = 0 z = -3  z2 Câu : Giải phương trình sau trên tập số phức z4-z3+ +z+1 = 2 z z Đáp án: z4-z3+ +z+1 =  (z4+1)-(z3-z)+ =0 2 1 Chia hai vế cho z2, ta : (z2+ ) –(z- ) + =0  w - w + = 0, (với z z w=z- ) z 3  w = + i, w = - i 2 2 1 + Phương trình : z- = + i cho nghiệm z1=1+i ; z2 =- (1-i) z 2 1 + Phương trình : z- = - i cho nghiêm z3=- (1+i) ; z4= 1-i z 2 Lop12.net