Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần l−ợt là các dây cung của hai đ−ờng tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đ−ờng sinh của h×nh trô.. TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh trô[r]
(1)Së GD & §T NghÖ An Tr−êng THPT Phan §¨ng L−u Đề thi thử đại học lần I Năm học 2009 – 2010 M«n thi: To¸n; Khèi B, D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (8 ®iÓm): C©u I (2 ®iÓm) Cho hµm sè y = (1 - x)3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho Viết ph−ơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = (1 - x )3, biết tiếp tuyến đó qua điểm A(0; 5) C©u II (2 ®iÓm) x − y − x + y + 15 = , víi Èn x, y ∈ ℝ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 2 x y xy + − = Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos x + 6sin x = , víi Èn x ∈ ℝ C©u III (2 ®iÓm) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi hai ®−êng cong: y = x – x2 vµ y = x3 – x Cho a, b, c lµ ba sè d−¬ng tháa m·n abc = Chøng minh r»ng 1 1 1 + 2+ ≥ + + a b c a b c C©u IV (2 ®iÓm) Cho hình trụ có bán kính đáy và chiều cao Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần l−ợt là các dây cung hai đ−ờng tròn đáy, còn cạnh BC và AD không phải là đ−ờng sinh h×nh trô BiÕt diÖn tÝch cña h×nh vu«ng ABCD lµ 100 m2 TÝnh diÖn tÝch xung quanh cña h×nh trô vµ cosin góc mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; 2), B(0; 4; 0), C(-6; 0; 0) Viết ph−ơng tr×nh mÆt ph¼ng (P) ®i qua ®iÓm A, song song víi ®−êng th¼ng BC vµ kho¶ng c¸ch gi÷a ®−êng th¼ng 22 BC vµ mÆt ph¼ng (P) b»ng 11 PhÇn riªng (2 ®iÓm): ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét hai phÇn ( A hoÆc B) A Theo ch−¬ng tr×nh ChuÈn C©u Va (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình bình hành ABCD, có giao điểm AC và BD là I(2; 1) Các ®iÓm M(-1; 1), N(1; 0), P(3; -1), Q(-1; 2) lÇn l−ît thuéc c¸c ®−êng th¼ng AB, BC, CD, DA ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: z − z − 3i = 1; =1 z −i z+i B Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao C©u Vb (2 ®iÓm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình là x − y − = và hai điểm ph©n biÖt A(1; ), B kh«ng thuéc ®−êng th¼ng d LËp ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB; BiÕt r»ng khoảng cách từ điểm B đến giao điểm đ−ờng thẳng AB và đ−ờng thẳng d hai lần khoảng cách từ điểm B đến đ−ờng thẳng d Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh log x log ( x − ) ≤ , víi Èn x lµ sè thùc ( ) HÕt -ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu C¸n bé coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm Hä vµ tªn thÝ sinh ………………………………….; Sè b¸o danh …………… Lop12.net (2) Së GD & §T NghÖ An Tr−êng THPT Phan §¨ng L−u đáp án và biểu điểm Đề thi thử đại học lần I N¨m häc 2009 – 2010 M«n: To¸n; Khèi B,D Néi dung §iÓm C©u I Hàm số có tập xác định là ℝ ; y’ = -3(1 – x)2; y ' ≤ 0, ∀x ∈ ℝ; y ' = ⇔ x = Do đó hàm số nghịch biến trên ℝ 1.0 25 Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ; Lim y = − ∞ ; Lim y = + ∞ 0.25 x →+∞ x y’ x →−∞ −∞ - 2.0 +∞ - +∞ 0.25 y −∞ 0.25 1.0 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến với đồ thị số y = (1 - x ) , tiếp tuyến đó qua điểm A(0; 5) Nếu x0 > thì ph−ơng trình tiếp tuyến đó là y = -3(1 – x0)2(x – x0) + (1 – x0)3 Vì tiếp tuyến đó qua điểm A(0; 5) nên ta có = -3(1 – x0)2( – x0) + (1 – x0)3 (1) (1) ⇔ 2x03 – 3x02 – = ⇔ (x0 – 2)(2x02 + x0 + 2) = ⇔ x0 = (tháa m·n x0 > 0) VËy ph−¬ng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = (1 - x )3 điểm có hoàng độ d−ơng là y = -3x + Vì đồ thị hàm số y = (1 - x )3 đối xứng qua trục tung và điểm A nằm trên trục tung nên tiếp tuyến có x0 < đối xứng với tiếp tuyến có x0 > qua trục tung Tại x0 = hàm số y = (1 - x )3 không có đạo hàm nên không có tiếp tuyến đó VËy ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn tháa m·n bµi to¸n lµ y = -3x + vµ y = 3x + (NÕu thÝ sinh kh«ng nªu ®−îc tr−êng hîp x0 = 0, th× vÉn cho ®iÓm) Lop12.net 0.25 0.25 0.25 0.25 (3) C©u II 2.0 x − y − x + y + 15 = (1) 2 x + y − xy = (2) 2 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh 1.0 x − y − = (I ) 2 x + y − xy = x − y − x + y + 15 = ( x − y − 3)( x + y − ) = ⇔ ⇔ 2 x + y − = x + y − xy = x + y − xy = ( II ) x + y − xy = 0.5 (HD: §Ó ®−a ph−¬ng tr×nh (1) vÒ PT tÝch nh− vËy TS cã thÓ biến ñổi thành hiệu hai bình phương thêm bớt đặt nhân tử chung xem (1) là ph−ơng trình bậc hai theo x, giải x theo y ph©n tÝch thµnh nh©n tö nhân (2) với cộng với (1) ñưa nhân tử) x = y + x = y + x = 1, y = −1 (I ) ⇔ ⇔ ⇔ x = −1, y = −2 x + y − xy = 2 y + y + = x = − y x = − y x = 3, y = ( II ) ⇔ ⇔ ⇔ 2 x = 1, y = x + y − xy = 10 y − 30 y + 20 = x = x = −1 x = x = VËy nghiÖm cña hÖ lµ , , , y = −1 y = −2 y =1 y = 2 G¶i ph−¬ng tr×nh cos x + 6sin x = (1) (1) ⇔ cos x − 3cos x + 3(2 sin x − 1) = ⇔ cos x(4 cos x − 3) + 3(2s inx − 1) = 0.25 0.25 1.0 0.25 ⇔ cos x(1 − sin x) + 3(2 s inx − 1) = ⇔ (1 − 2sin x )( cos x + 2sin x cos x − 3) = (a) 1 − 2sin x = ⇔ cos x + 2sin x cos x − = (b) x = ( a ) ⇔ sin x = ⇔ x = (b) ⇔ cos x + sin x − = 0.25 π + k 2π (k ∈ ℤ) 5π + k 2π V× cosx ≤ vµ sinx ≤ nªn PT (b) v« nghiÖm π x = + k 2π Vậy nghiệm PT đã cho là x = 5π + k 2π C©u III 0.25 0.25 (k ∈ ℤ) 2.0 1.0 x = Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm PT x - x = x - x ⇔ x + x – 2x = ⇔ x = x = −2 3 0.25 S= ∫x + x − x dx 0.25 −2 = ∫ −2 x3 + x − x dx + ∫ x3 + x − x dx = 0 ∫ ( x + x − x ) dx + −2 ∫(x + x − x ) dx 0.25 x x3 x x3 37 37 = + − x2 ∫ + + − x2 ∫ = + = VËy S = (®vdt) 12 −2 12 12 Cho a, b, c lµ ba sè d−¬ng tháa m·n abc = Chøng minh r»ng Lop12.net 0.25 1.0 (4) 1 1 1 + 2+ ≥ + + (1) a b c a b c 1 1 1 1 + ≥ = 2c; + ≥ = a; + ≥ = 2b Suy + + ≥ a + b + c (2) ab bc ac a b b c c a a b c 1 T−¬ng tù cho a, b, c ta cã a + b + c ≥ ab + bc + ca = + + (3) Tõ (2) vµ (3) Ta cã (1) a b c 0.5 C©u IV 2.0 1.0 Ta cã A B D F E 0.5 Gọi E là hình chiếu B trên mặt đáy d−ới suy DE là đ−ờng kính (V× DC ⊥ CB nªn DC ⊥ CE) Gọi bán kính đáy hình trụ là r suy BE = r và DE = 2r Vì ABCD lµ h×nh vu«ng cã diÖn tÝch b»ng 100m2 nªn DC = CB = 10 m Tõ tam gi¸c DCE vu«ng t¹i C vµ tam gi¸c BCE vu«ng t¹i E suy DE2 – DC2 = BC2 – BE2, suy 4r2 – 100 = 100 – r2 VËy r = 10 0.25 Sxq = π rh = π r2 = 80 π (m2) 0.25 V× EC ⊥ DC, BC ⊥ DC nªn gãc((EDC); (ABCD)) = gãc(EC; BD) = CE 60 15 gãc BCE Ta cã cos BCE = = = BC 10 0.25 0.25 C 1.0 x = 3t Gäi d lµ ®−êng th¼ng ®i qua A vµ song song víi BC, suy PT ®−êng th¼ng d lµ y = 2t vµ mp(P) chøa z = đ−ờng thẳng d Do đó mp(P) qua điểm A và A’(3; 2; 2) Gäi ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ Ax + By + Cz + D = (§K A2 + B2+C2 > 0) V× (P) ®i qua A, A’ nªn 2C + D = 3 A + B + 2C + D = d ( BC , ( P ) ) = d ( B; ( P )) = 4B + D A2 + B + C = 22 11 0.25 0.25 0.25 2C + D = Từ đó ta có hệ 3 A + B = Nếu B=0 thì A=0 và C=0 nên không thỏa mãn điều kiện Do đó 2 75 B + 13C + 44 BD = B kh¸c v× vËy chän B = suya A = -2, C = 3, D = -6 hoÆc A = -2, C = 225/13, D = -450/13 VËy ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (P) lµ 2x – 3y – 3z + = hoÆc 2x – 3y – (225/13)z + 450/13 = 22 (TS có thể giải cách gọi PT mp (P) ñi qua A là …, giải hệ nP BC = và d(B, (P)) = ) 0.25 11 C©u Va (Theo ch−¬ng tr×nh ChuÈn) Gọi M’ là điểm đối xứng M qua I, suy M’(5; 1) và M’ thuộc đ−ờng thẳng CD Do đó ph−ơng trình đ−ờng thẳng CD là x – y – = Gọi Q’ là điểm đối xứng với Q qua I, suy Q’(5; 0) và Q’ thuộc đ−ờng thẳng BC Do đó ph−ơng trình đ−ờng thẳng BC là y = Suy điểm C(4; 0) Điểm A đối xứng với C qua I nên A(0; 2) Do đó ph−ơng trình đ−ờng thẳng AB là x – y + = Do đó tọa độ điểm B(-2; 0) §−êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC cã ph−¬ng tr×nh lµ x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = (§K A2 + B2 - C > 0) 2.0 1.0 0.5 0.25 0.25 Lop12.net (5) 4 B + C + = A = −1 V× ®−êng trßn ®i qua A, B, C nªn ta cã hÖ 8 A + C + 16 = ⇔ B = VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn −4 A + C + = C = −8 cÇn t×m lµ x2 + y2 – 2x + 2y – = Gọi z = a + bi (a, b là số thực) Khi đó a − + bi z −1 a − + bi =1⇔ =1⇔ =1⇔ z −i a + (b − 1)i a + (b − 1)i a + (b − 3)i z − 3i a + (b − 3)i =1⇔ =1⇔ =1⇔ z +i a + (b + 1)i a + (b + 1)i ( a − 1) + b 2 a + ( b − 1) 0.5 =1⇔ a = b a + (b − 3)2 = ⇔ b = a + (b + 1) VËy sè phøc cµn t×m lµ z = + i C©u Vb (Theo ch−¬ng tr×nh N©ng cao) Gäi M lµ giao ®iÓm cña ®−êng th¼ng AB vµ ®−êng th¼ng d, H lµ h×nh chiÕu vu«ng gãc cña B trªn d V× BM = BH nªn gãc gi÷a ®−êng th¼ng AB vµ ®−êng th¼ng d b»ng 300 §−êng th¼ng AB ®i qua ®iÓm A(1; ) nªn PT ®−êng th¼ng AB: m (x - 1) + n (y - ) = (m2 + n2 > 0) V× gãc gi÷a ®t AB vµ ®t d b»ng 300 nªn Gi¶i m−n = m−n m2 + n2 ®−îc m = 0, n = hoÆc m = 2 m2 + n2 VËy ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB lµ y = hoÆc ( 0.5 2.0 1.0 0.25 0.5 = cos 300 , n = -1 0.25 x - y = 1.0 x > 0, x ≠ Điều kiện xác định BPT là x ⇔ x > log > 4 − > ) Khi đó log x log ( x − ) ≤ ⇔ log ( x − ) ≤ x ⇔ x − ≤ x 0.25 (*) 0.25 §Æt t = , Bpt (*) trë thµnh t – t – ≤ Gi¶i ®−îc -2 ≤ t ≤ 3, hay -2 ≤ ≤ suy x ≤ log23 Kết hợp điều kiện xác định ta có nghiệm Bpt là log47 < x ≤ log23 x 1.0 x HÕt Lop12.net 0.25 0.25 (6)