PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG.. Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP Khoá ngày 10 tháng năm 2008 ( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,5 điểm ) : a) Tính tổng S = 6 6 và chứng tỏ tổng S < ? 2.5 5.8 8.11 29.32 b) So sánh hai phân số a 1 b 1 và ( với a ; b là số nguyên cùng dấu và a ; b ) a b Bài ( 2,5 điểm ) : a) Cho x là tổng tất các số nguyên có chữ số, y là số nguyên âm lớn Hãy tính giá trị biểu thức A = 2009 x2006 - 2008 y2007 b) Tìm x biết 33 3333 333333 33333333 x.( ) 22 12 2020 303030 42424242 Bài ( 2,0 điểm ) : Tìm phân số tối giản, biết cộng mẫu số vào tử số và cộng mẫu số vào mẫu số phân số thì phân số mới, lớn gấp lần phân số ban đầu ? Bài ( 3,0 điểm ) : Trên đường thẳng xy lấy điểm O Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy ta kẻ các tia Om và On cho mOx = a0 ; mOn = b0 ( a > b ) Vẽ tia Ot là phân giác xOn : a) Tính số đo mOt theo a và b hai trường hợp ( tia On nằm hai tia Ox và Om ; tia Om nằm hai tia Ox và On ) ? b) Trên nửa mặt phẳng bờ là xy có chứa tia Ot vẽ tia Ot’ vuông góc với tia Ot Chứng tỏ hai trường hợp trên ta có tia Ot’ là tia phân giác nOy ? Hết -Lop7.net (2) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP Khoá ngày 10 tháng năm 2008 PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG ( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,5 điểm ) Tìm số nguyên x biết : a) x 303030 616161 929292 1 1 1 186 313131 626262 939393 2 b) x 2 x 1m x m3 : x ( với m N ; x ) 5 Bài ( 2,0 điểm ) : a) Chứng minh : 32005 + 32006 + 32007 + 32008 + 32009 chia hết cho 11 x x x x x b) Cho : 2008 Chứng tỏ : x x3 x x5 x 2009 x1 x x3 x 2008 x x3 x x 2009 2008 x1 x 2009 Bài ( 2,0 điểm ) : Tìm số có chữ số biết số đó chia hết cho 18 và các chữ số số đó tỉ lệ thuận với các số ; và ? Bài ( 3,5 điểm ) : Cho ABC có A < 900, đường cao AH Lấy điểm M cho AB là đường trung trực HM và lấy điểm N cho AC là đường trung trực HN Nối MN cắt AB và AC I và K Chứng minh : a) CI // HM và BK // HN b) Trong trường hợp A 900, chứng tỏ ta có CI // HM và BK // HN - Hết - Lop7.net (3) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP Khoá ngày 10 tháng năm 2008 PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG ( Thời gian làm bài : 90 phút, không kể thời gian giao đề ) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,0 điểm ) : x3 1 x x(1 x ) Cho biểu thức P = x x : x x x2 a) Tìm tập xác định P rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên x để P có giá trị là số nguyên Bài ( 2,5 điểm ) : a) Cho biểu thức M= x 2x Với giá trị nào x thì M có giá trị lớn ? Tìm giá trị lớn đó ? b) Giải bài toán sau cách lập phương trình : Một hình chữ nhật có chiều dài chiều rộng 7m, đường chéo có độ dài 13m Tính diện tích hình chữ nhật đó ? Bài ( 2,5 điểm ) : a) Cho a và b Chứng minh : 1 Dấu “ = ” xảy nào ? 2 ab 1 a 1 b m 3m 4m b) Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : 2 xm xm m x Bài ( 3,0 điểm ) : Cho ABC vuông A, có B = 200 Vẽ phân giác BI ABC ( I AC ) và lấy điểm H AB cho ACH = 300 : a) Chứng minh BI2 < AB BC ? b) Vẽ CK là phân giác HCB, chứng minh CK // IH ? c) Tính số đo CHI ? - Hết Lop7.net (4) PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP Khoá ngày 10 tháng năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm 3 S = 0,25đ 29.32 2.5 5.8 8.11 1 1 1 1 0,25đ S = 29 32 5 8 11 1 30 S = = 0,25đ 32 32 Vì 30 < 32 nên S < 0,25đ b) 1,5 điểm a 1 b 1 Có =1và =1+ 0,5đ a a b b 1 * Nếu a > và b > thì > và > 0,25đ a b 1 a 1 b 1 1< 1+ hay < 0,25đ a b a b 1 * Nếu a < và b < thì < và < 0,25đ a b 1 a 1 b 1 1> 1+ hay > 0,25đ a b a b Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm Theo bài ta có x = - 99 + ( - 98 ) + + ( -11 ) + ( - 10 ) + 10 + 11 + + 98 + 99 0,25đ x = ( - 99 + 99 ) + ( - 98 + 98 ) + + ( -11 + 11 ) + ( - 10 + 10 ) .0,25đ 2006 x=0 x =0 và y = - y2007 = ( - )2007 = - 0,25đ Do đó ta có A = 2009 x2006 - 2008 y2007 = - 2008.( -1 ) = 2008 .0,25đ b) 1,5 điểm 33 3333 333333 33333333 ) 22 Ta có x.( 12 2020 303030 42424242 33 33 33 33 ) 22 0,25đ x.( 12 20 30 42 1 1 ) 22 0,25đ x.33.( 12 20 30 42 1 1 1 1 x.33.( ) 22 0,25đ 4 5 6 7 1 x.33.( ) 22 x.33 22 .0,5đ 21 -11.x = 22 x = - 0,25đ Lop7.net (5) Bài ( 2,0 điểm ) a a a Gọi phân số tối giản lúc đầu là Nếu cộng mẫu số vào mẫu số ta phân số ; phân b b b 2b a số này nhỏ phân số lần .0,5đ b ab Để gấp lần phân số lúc đầu thì a + b phải lần a 0,5đ 2b Mẫu số b phải gấp lần tử số a .0,5đ Phân số tối giản thoả mãn điều kiện trên là 0,5đ Bài ( 3,0 điểm ) m t’ a) 2,0 điểm Xét đủ hai trường hợp : n * Khi tia On nằm hai tia Ox và Om t + Vì tia On nằm hai tia Om và Ox xOn = a0 - b0 0,25đ x y O a0 b0 + Vì Ot là phân giác xOn nên nOt = xOn = 0,25đ 2 a0 b0 a0 b0 + Số đo mOt là : mOt = mOn + nOt = b = 0,5đ 2 * tia Om nằm hai tia Ox và On + Vì tia Om nằm hai tia Ox và On xOn = xOm + mOn = a0 + b0 0,25đ + Vì Ot là phân giác xOn nên a0 b0 xOt = xOn = 0,25đ 2 + Số đo mOt là : mOt = xOm - xOt = a m n t’ t x O y a0 b0 a0 b0 = 0,5đ 2 b) 1,0 điểm Trong hai trường hợp trên, ta có : tOn + nOt’ = xOt + t’Oy = 900 0,5đ Mà tOn = xOt ( Ot là phân giác xOn ) 0,25đ nOt’ = t’Oy hay Ot’ là phân giác nOy 0,25đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán ) đúng cho điểm tối đa Hết Lop7.net (6) PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP Khoá ngày 10 tháng năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,25 điểm 30 61 92 + Rút gọn vế phải có 1 1 1 0,25đ 31 62 93 1 1 = = .0,5đ 31 62 93 186 x + Vậy ta có = x = 0,25đ 186 186 + Tính x = 0,25đ b) 1,25 điểm + Viết tách xm + = x3.xm và đặt nhân tử chung ngoặc vuông đúng .0,25đ + Rút gọn và đưa tới ( 2x - )m - xm = 0,25đ m m + Chuyển vế có ( 2x - ) = x và xét : * Nếu m là số tự nhiên lẻ thì 2x - = x x = .0,25đ * Nếu m là số tự nhiên chẵn thì 2x - = x và 2x - = - x x = và x = ( loại ) 0,25đ + Vậy x = 0,25đ Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Đặt 32005 làm nhân tử chung đúng .0,25đ + Tính đúng tổng ngoặc 121 .0,25đ + Vì 121 chia hết cho 11 nên tích 32005.121 chia hết cho 11 0,5đ + Kết luận tổng các luỹ thừa đã cho chia hết cho 11 0,25đ b) 1,0 điểm x x x x x x x x x2008 + Theo t/c dãy tỉ số thì 2008 = 0,5đ x x3 x x5 x 2009 x2 x3 x4 x2009 2008 x x x3 x 2008 x + Lập tích các tỉ số để có 0,5đ x 2009 x x3 x x 2009 Bài ( 2,0 điểm ) + Gọi các chữ số số đó là x ; y ; z với x ; y ; z 0,25đ + Vì số đó chia hết cho 18 nên chia hết cho ( x + y + z ) chia hết cho (1) .0,25đ + Theo điều kiện trên thì x + y + z 27 (2) 0,25đ Từ (1) & (2) x + y + z nhận các giá trị ; 18 ; 27 (3) 0,25đ x y z x yz Theo bài thì N (4) ; từ (4) & (3) thì x + y + z = 18 0,25đ + Thay x + y + z = 18 vào (4) có x = ; y = và z = 0,25đ + Do số cần tìm chia hết cho 18 nên chữ số tận cùng là 0,25đ Kết luận : Các số cần tìm là 396 936 0,25đ Lop7.net (7) Bài ( 3,5 điểm ) a) 1,5 điểm A N K I M B H C + Vì I đường trung trực MH nên IB là phân giác MIH (1) + Vì K đường trung trực NH nên KC là phân giác HKN (2) + Do IB và KC cắt A nên AH là phân giác đỉnh H IHK 1,0 điểm + Do AH BC nên BC phải là phân giác góc ngoài đỉnh H IHK (3) Từ (2) & (3) IC là phân giác đỉnh I IHK, kết hợp với (1) IC AB + Có HM AB & IC AB nên CI // HM * Chứng minh tương tự, ta có BK AC & HN AC nên BK // HN 0,5đ b) 2,0 điểm * Trong trường hợp A = 900, chứng minh câu a ta có I và K trùng với A 1,0đ * Trong trường hợp A > 900, Lập luận tương tự câu a ta có kết tương tự .0,75đ Vậy trường hợp A 900 ta có CI // HM và BK // HN 0,25đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán ) đúng cho điểm tối đa Hết Lop7.net (8) PHÒNG GIÁO DỤC QUẬN THANH KHÊ TRƯỜNG THCS PHAN ĐÌNH PHÙNG HƯỚNG DẪN CHẤM CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN - LỚP Khoá ngày 10 tháng năm 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài ( 2,0 điểm ) a) 1,0 điểm + Tập xác định x 1; x - và x 0,25đ x2 + Rút gọn P = .0,75đ x b) 1,0 điểm 0,25đ x + Để P có giá trị nguyên thì x là ước x = ( loại ) 0,25đ x = ( nhận ) .0,25đ + Từ đó các giá trị nguyên P là và - 0,25đ + Viết P= x - Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm 0,25đ ( x 1) + Vì ( x + )2 với x ( x + )2 + với x .0,25đ nên M có giá trị lớn là M = .0,25đ + Có M + Dấu “ = ” xảy x = -1 0,25đ + Viết M = b) 1,5 điểm Gọi chiều rộng là x (m) thì chiều dài là x + (m), điều kiện x > .0,25đ Theo định lý Pi-ta-go thì x2 + ( x + )2 = 132 0,25đ x2 + x2 + 14x + 49 = 169 2x2 + 14x - 120 = ( x + 12 )( 2x - 10 ) = Vậy x = -12 ( loại ) x = ( nhận ) .0,5đ Tính diện tích hình chữ nhật S = 60m2 .0,5đ Bài ( 2,5 điểm ) a) 1,0 điểm 1 = 0,25đ ab ab ab + Nhóm, quy đồng mẫu nhóm và thực đúng phép cộng 0,25đ + Chuyển vế và tách - Lop7.net (9) (b a ) (ab 1) 0,25đ (1 a )(1 b )(1 ab) + Vì a và b nên phân thức trên ; từ đó suy điều cần c/m 0,25đ + Đặt nhân tử chung trên tử thức để có : b) 1,5 điểm + ĐKXĐ : x m .0,25đ + Quy đồng và khử mẫu vế, đưa PT ( m - ).x = ( m - )( 2m - ) 0,25đ + Với m ta có x = 2m -3 0,25đ + Để thoả mãn ĐKXĐ thì 2m - m m và 2m - - m m 0,25đ Vậy m và m thì PT đã cho có nghiệm x = 2m - 0,25đ + Với m = 1, PT có dạng 0.x = số thực x là nghiệm PT 0,25đ Bài ( 3,0 điểm ) a) 1,0 điểm ( Hình vẽ ) B + Có BIC > A Vẽ BIN = A ( N BC ) 0,25đ ABI ∽ IBN ( g-g ) .0,25đ AB/ BI = BI/ BN BI2 = AB.BN 0,25đ + Có BN < BC nên BI2 < AB.BC 0.25đ M K H A b) 1,5 điểm + Tính HCB = 400 HCK = BCK = 200 0,25đ + Tam giác vuông AHC có ACH = 300 AH = CH/2 0,25đ (1) + Vì CK là phân giác HCB nên kết hợp với (1) N I C AH CH BC 0,25đ (2) HK HK BK BC AB BC AB + Vẽ KM BC M thì BMK ∽ BAC ( g-g ) 0,25đ BK BM BK BM BC AB AH IA AB Kết hợp với (2) (3) ; vì BI là phân giác ABC nên (4) 0,25đ BK BC HK IC BC IA AH + Từ (3) & (4) HI // CK 0,25đ IC HK c) 0,5 điểm Do HI // CK nên CHI = HCK = 200 ( góc so le ) 0,5đ Chú ý : HS có thể giải theo cách khác ( không vượt quá chương trình toán ) đúng cho điểm tối đa - Hết - Lop7.net (10)