Bài tập: Bài 1: Chứng minh khi số phức z 0 thay đổi tùy ý thì tập hợp các điểm của mặt phẳng phức biễu diễn số phức.. z là đường tròn đơn vị tâm O, bán kính bằng 1..[r]
(1)Ôn thi TNTHPT CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC A Các kiến thức cần nhớ: Số phức Dạng đại số số phức Biểu diễn hình học số phức, môđun số phức, số phức liên hợp y Số phức z có dạng đại số là z a bi; a, b , i 1 Thì: Số phức liên hợp số phức z a bi là z a bi a bi M ( z ) b M ( z) 2 z Môđun số phức z a bi là z z.z a b x Căn bậc hai số phức Công thức tính nghiệm phương trình a O bậc hai với hệ số phức M1 ( z ) Nếu z a * thì z có hai bậc hai là a , a M ( z ) Nếu z thì z có bậc hai là Nếu z a * thì z có hai bậc hai là a i; a i Nếu z a bi (a, b ; b 0) thì z có hai bậc hai dạng x yi với x, y là nghiệm x2 y a (hệ này luôn có nghiệm dạng xy b hệ b x0 ; x0 b , x0 ; ) x0 Cho phương trình Az Bz C (*); A, B, C ; A và B AC B + Nếu thì (*) có hai ngiệm phân biệt z1,2 , là bậc 2A + Nếu thì (*) có ngiệm kép z1 z2 B 2A Dạng lượng giác số phức Công thức Moa-vrơ và ứng dụng: Cho z a bi (a, b ) và M ( a; b) là điểm biểu diễn z trên mặt phẳng phức: Acgumen z là số đo (radian) góc lượng giác Ox; OM Nếu z có acgumen là thì acgumen z có dạng k 2 Dạng lượng giác z là z r cos i.sin với r a b ; là góc thỏa a b ,sin ( là acgumen z) r r Dạng lượng giác z là z cos i.sin , với là số thực tùy ý cos Công thức Moa-vrơ: r cos i.sin r n cos n i.sin n (n , r , r>0) n Đối chiếu công thức Moa-vrơ và công thức khai triển lũy thừa bậc n nhị thức r cos i.sin có thể biểu diễn cos n ; sin n theo lũy thừa cos ; sin Các bậc hai số phức z r cos i.sin (r , r>0) là: r cos i.sin và r cos i.sin r cos i.sin 2 2 2 2 B Bài tập: Bài 1: Chứng minh số phức z thay đổi tùy ý thì tập hợp các điểm mặt phẳng phức biễu diễn số phức z là đường tròn đơn vị (tâm O, bán kính 1) z z nên điểm xét thuộc đường tròn đơn vị Ngược lại, xét điểm tùy z ý thuộc đường tròn đơn vị, nó biểu diễn số phức w cos i.sin , , z r cos t i.sin t , HD: t , r thì Năm học 2008-2009 z z cos 2t i.sin 2t , chọn t , r tùy ý thì w z z Lop12.net Trang 1/3 (2) Ôn thi TNTHPT Bài 2: Cho số phức z r cos i.sin , r , , r ; i Hãy viết dạng lượng giác bậc hai z 23 HD: cos i.sin nên cos i.sin Từ đó, các z r 2 6 3 2 2 3 3 bậc hai là cos i.sin v cos i.sin z r r 2 4 2 Bài 3: Cho k : 2 k , xét các nghiệm phương trình (ẩn z) z kz Chứng minh tập hợp các nghiệm đó k thay đổi là đường tròn đơn vị (tâm O, bán kính 1) k a k i k2 k nên có phần thực x , phần ảo y , từ 2 đó x y Vậy 2 k , tập hợp các điểm cần tìm l đường tròn đơn vị HD: Nghiệm có dạng Bài 4: a Giải phương trình x x trên tập số phức HD: 7 7i ; x1,2 i b Giải phương trình x x trên tập số phức HD: 3 3i , x1,2 3.i Bài 5: Xác định tập hợp các điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z x iy, ( x, y ) thỏa điều kiện z 1 z 1 HD: z 1 2 x 1 y x 1 y x nên tập hợp cần tìm z 1 trục ảo Bài 6: Tìm phần thực và phần ảo số phức HD: i cos i.sin nn 6 i i 8 8 28 cos i.sin 6 i 2 2 Bài 7*: Xét phương trình (ẩn z): z 2bz c 0, b, c , c Gọi A, B là điểm biểu diễn hai nghiệm phương trình đó Tìm điều kiện b, c để tam giác OAB vuông Bài 8: Bài biểu diễn cos 4 ,sin 4 qua cos ,sin HD: cos 4 i.sin 4 cos i.sin cos cos sin sin cos3 sin cos sin i Bài 9: Giải các phương trình sau trên tập số phức 1) x2 - 3x + = 2) x2 + 2(1 + i)x + + 2i = 3) z 3i z z 4) z z z 1 5) z 3z z 3i 6) 3x x x 3x 10) x (3 i) x 3i 8) x 3x 11) 3ix x i 14) ( x 2)5 17) z2 = z + 9) ix 2ix 12) 3x3 24 15) z z 18) (z + z )(z - z ) = 13) x 16 16) z2 + z + = 7) 19) 2z + z = + 3i 22) 20) (z + 2i 1 3i z 1 i 2i 2i 4z i 4z i + 2(z + 2i) - = 21) 60 5 z i z i 23) z z 1 8i 25) ((2 i) z i)(iz ) 28) z z 2i)2 24) z 3z 12i 26) e/ z z z i 1 z i 30) 29) z z 4i Bài 10: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức sau a) z + 2i là số thực b) z - + i là số ảo Năm học 2008-2009 27) z z Lop12.net c) z.z Trang 2/3 (3) Ôn thi TNTHPT d) z 3i là số thực z i f) 2i z z e) z f) z i g) z h) z i k) 2iz z Bài 11 Tìm các số thực x và y, biết: a) x 1 5i 4 y i b) x 4i y 1 i d) 1 3i x y i 9i c) 1 3x y 1 i x y x 1 i Bài 12: Thực các phép tính a) cos120o i sin120o (cos 45o i sin 45o ) 2 2 2(cos i sin ) 3 e) 2(cos i sin ) 2 b) cos18o i sin18o (cos 72o i sin 72o ) c) 5(cos i sin )3(cos i sin ) d) f) g) (cos i sin )i (1 3i)7 ai a m) a i a 2(cos 45 i sin 45 ) 3(cos15 i sin15 ) h) z 2008 m l) i m cos85 i sin 85 cos 40 i sin 40 z 2008 z biết z ai b n) a) (cos15o i sin15o )5 i a 12 1 3 p) i 2 Bài 13: Viết các số phức sau dạng lượng giác a) z = b) c) z = d) z = e) z = i g) z = 1+ i h) z = i HD : a ) z = 2(cos i sin ) b) z = 2(cos i sin ) c) z = 3(cos i sin ) d) z = 5(cos i sin 0) 4 4 e) z = cos i sin g) z = 2(cos i sin ) h) z = 2(cos i sin ) 2 3 3 Bài 14: Viết các số phức sau dạng lượng giác: z = 1+ ( 1)i HD : Tính cos ,sin 1 2 2 : cos a (1 cos 2a ),sin a (1 cos 2a ) cos ,sin 2 8 2 2 i ) 2 Bài 15*: Cho biết z a Tìm số phức có module lớn , module nhỏ z i i Đáp số : Các số phức cần tìm là : z (a a 4) và z (a a 4) 2 z 2 ( - - Năm học 2008-2009 Lop12.net Trang 3/3 (4)