Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 thpt năm học: 2015 – 2016 môn: Toán thời gian làm bài: 120 phút

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C , mặt bên SAC là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a.[r]

Sự vuông góc Mục lục Loại Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .1 A Nguyên tắc chung .1 B Một số ví dụ .3 C Bài tập Loại Hai mặt phẳng vuông góc 13 A Nguyên tắc chung 13 B Một số ví dụ 14 C Bài tập 18 Lop12.net Bản quyền thuộc ThS Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng Tài liệu có thể download miễn phí violet.vn/phphong84 Từ khóa : pham hong phong, su vuong goc Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng A Nguyên tắc chung * Để giải chứng minh hai đường thẳng vuông góc , ta có thể làm sau: +) Phương pháp 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường thẳng a   P   ab  b  P    +) Phương pháp (Sử dụng định lý ba đường vuông góc): Giả sử b' là hình chiếu vuông góc b lên  P  , a   P  Khi đó a  b  a  b' +) Phương pháp 3(Sử dụng mối liên hệ quan hệ song song và quan hệ vuông góc): b '/ /b  ab  a  b ' * Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có thể làm sau +) Phương pháp 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng a  b  a  c   a   P b   P   c   P  b vaø c caét  +) Phương pháp 2: (Sử dụng mối liên hệ quan hệ song song và quan hệ vuông góc): a / /  Q   a   P ,   Q  / /  P  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 a / /a '  a   P  a'   P  Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy Biết đáy ABC là tam giác vuông B Gọi M , N là trung điểm AB và SC Chứng minh MN  AB Giải * SA   ABC  , BC   ABC   BC  SA  1 Mặt khác S theo giả thiết: BC  AB N  2 Từ  1 ,  2 suy ra: BC   SAB   BC  SB , nói cách khác  SBC vuông B  NB  SC   (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng C A với cạnh huyền nửa cạnh huyền) M B * SA   ABC  , AC   ABC   NA  12 SC  4  AC  SA , nói cách khác  SAC vuông A (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền nửa cạnh huyền) * Từ (3), (4) suy NA  NB   NAB cân N nên trung tuyến MN đồng thời là đường cao  MN  AB (ĐPCM) Ví dụ Cho tứ diện ABCD có mặt ABC là tam giác cân C , ABD là tam giác cân D Chứng minh AB  CD Giải Gọi M là trung điểm AB DAB cân D nên D trung tuyến DM đồng thời là đường cao  AB  MD  1 Tương tự thế, ta chứng minh AB  MC M  2 Từ  1 ,  2 suy B A AB   DMC  , lại có DC   DMC  Từ đó suy C AB  CD (ĐPCM) Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ [ĐHD07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông ( AD / /BC ), BA  BC  a , AD  2a , SA vuông góc với đáy Chứng minh SCD là tam giác vuông Giải Ta thấy AC là hình chiếu SC lên  ABCD  Lại có S CD   ABCD  nên: CD  SC  CD  AC (Định lý ba đường vuông góc) 2a M A D a B Lấy M là trung điểm AD Dễ thấy tứ giác ABCM là hình vuông  CM  AB  a  AD   ACM vuông C , a C nói cách khác: CD  AC (ĐPCM) Ví dụ [CĐABD09] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh SA , SD , BC Chứng minh MN  SP Giải Ta có MN / / AD / /BC  MN / /BC  1 Mặt khác: S  ABC cân S nên trung tuyến SP đồng thời là đường cao  SP  BC N M  2 Từ  1 ,   suy SP  MN (ĐPCM) D A I B P C Ví dụ [ĐHA07] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông Mặt bên SAD là tam giác cân S , nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M , P là trung điểm SB , CD Chứng minh AM  BP Giải Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Lấy N , Q là trung điểm BC , AD S * Ta có: MN là đường trung bình  BSC M  MN / /SC (1) Hơn nữa: tứ giác ANCQ là hình bình hành  AN / /CQ (2) Từ (1), (2) suy  AMN  / /  CQS  A B (3) Q I N D P C * SQ là trung tuyến tam giác cân SAD  SQ  AD Mặt khác: AD là giao tuyến hai mặt phẳng vuông góc  SAD  và  ABCD  nên SQ   ABCD  Lại có BP   ABCD  Từ đó suy BP  SQ (4) BCP  CDQ   DCQ  CBP  (c.g.c) Đặt I  BP  CQ Ta có   180  DCQ   BPC   180  CBP   BPC   BCP   90  BP  CQ (5) CIP     Từ (4), (5) suy ra: BP   CQS  (6) * Từ (3), (6) suy ra: BP   AMN  , MA   AMN   PB  MA (ĐPCM) Ví dụ [ĐHD02] Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M , N , P là trung điểm BB1 , CD , A1D1 Chứng minh MP  C1N Giải * Ta thấy PD1   CDD1C1   D1 là hình chiếu vuông C B N D A Q M B1 A1 P góc P lên  CDD1C1  (1) Gọi Q là trung điểm I CC1  MQ   CDD1C1  Do đó: Q là hình chiếu vuông C1 góc M lên CC1 (2) Từ (1), (2) suy QD1 là hình D1 chiếu vuông góc MP lên  CDD1C1  (3) Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44   * Lại có NCC1  QC1D1 (c.g.c) CC 1N  C1D1Q Đặt I  NC1  QD1 Ta có     180  CC      QIC 1N  D1QC1  180  C1D1Q  D1QC1  QC1D1  90  C1N  QD1     (4) * Từ (3), (4) suy C1N  MP (ĐPCM) Ví dụ Cho tứ diện OABC có các cạnh OA , OB , OC đôi vuông góc Chứng minh H là trực tâm  ABC và OH   ABC  Giải Đặt M  AH  BC , N  BH  CA O * Phần thuận: giả sử H là trực tâm  ABC Từ giả thiết phần thuận suy BC  AM (1) Từ giả thiết bài toán: B A H N C M OA  OB , OA  OC  OA  mp(OBC) , lại có BC  mp(OBC) , từ đây suy BC  OA (2) Từ (1), (2) suy BC  mp(OAM) , lại có OH  mp(OAM) , từ đây suy OH  BC (3) Một cách tương tự, ta có OH  CA (4) Từ (3), (4) suy OH  mp(ABC) * Phần đảo: giả sử OH  mp(ABC) (5) Gọi H' là trực tâm  ABC Từ chứng minh phần thuận ta có OH'  mp(ABC) (6) Từ (5), (6) suy H  H' hay H là trực tâm  ABC Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA  OB , gọi H là hình chiếu O lên mặt phẳng (ABC) Chứng minh H là trực tâm  ABC và OC  (OAB) Giải Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Đặt M  AH  BC O * Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm  ABC Từ giả thiết này, ta có BC  AM (1) Từ OH  mp(ABC) , B A H BC  mp(ABC) suy BC  OH (2) Từ (1), (2) suy BC  mp(OAM) , mà OA  mp(OAM) Từ đó suy M C OA  BC (3) Theo giả thiết thì OA  OB (4) Từ (3), (4) suy OA  mp(OBC) , lại có OC  mp(OBC) Từ đây suy OA  OC (5) Một cách tương tự, ta OA  OB (6) Từ (5), (6) suy OA  mp(OBC) * Phần đảo: giải thiết OA   OBC  Theo bài thì H là trực tâm  ABC Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân A , O là trực tâm  ABC , SA  mp(ABC) , H  mp(SBC) Chứng minh H là trực tâm  SBC và OH  mp(SBC) Giải * Phần thuận: giả thiết thì H là trực tâm  SBC Đặt S M  CO  AB , N  CH  SB Từ giả thiết suy ra: CN  SB , CM  AB Gọi P là trung điêm BC Vì  ABC đều,  SBC cân S nên SH và AO qua P H N C A M O B P Vì AP và SP là SP là các đường cao các tam giác ABC và SBC nên AP và SP vuông góc với BC Từ đó suy BC  mp(SAP) Lại có: OH  mp(SAP) Từ đó suy OH  BC (1) AB là hình chiếu SB lên mp(ABC) Lại có: MC  mp(ABC) , MC  AB Từ đó suy ra: MC  SB hay SB  MC (2) Lại có: SB  NC (3) Từ (2), (3) suy ra: SB  mp(CMN)  OH  SB (4) Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Từ (3), (4) suy OH  mp(SBC) * Phần đảo: giải thiết OH  mp(SBC) Gọi H' là trực tâm  SBC Từ phần thuận suy OH'  mp(SBC) Từ đó suy H'  H Vậy H là trực tâm  ABC Ví dụ 10 Cho tứ diện ABCD M , N là trung điểm BC và AD Biết AB  16a , CD  12a , MN  10a ( a  ) Chứng minh AB  CD Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập   SAB  M là trung điểm BC Chứng minh: Bài Cho hình chóp S.ABC có AB  AC , SAC SA  BC   90 Biết Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có đáy lớn là AD và A AD  2BC  2AB 1) Chứng minh: AC  CD 2) Gọi E là trung điểm AD tìm giao tuyến hai mặt phẳng  SBC và  SCD    90 Xác định góc SA và BE 3) Biết góc SCD Bài Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC Gọi I là trung điểm BC 1) Chứng minh BC  AD 2) Gọi AH là đường cao tam giác ADI Chứng minh AH  mp  BCD  Bài Cho hình chóp S.ABC có SA  mp  ABC  và đáy là tam giác vuông B 1) Chứng minh BC  SB 2) Từ A kẻ hai đường cao AH , AK các tam giác SAB và SAC Chứng minh AH  mp  SBC  và SC  mp  AHK  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA  SC , SB  SD Chứng minh 1) SO  mp  ABCD  2) AC  SD Bài Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AC  BD Gọi H là trực tâm  BCD Chứng minh 1) AH   BCD  2) AD  BC Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Bài Hình chóp S.ABC có SA vuông với đáy,  ABC cân A Gọi M là trung điểm BC Chứng minh: 1) BC   SAM  2) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống SM Chứng minh AH  SB Bài Cho hình chóp S.ABC có SA  a và các cạnh còn lại a ( a  ) Gọi I là trung điểm BC Chứng minh SI   ABC  Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA   ABCD  và SA  AB Gọi H và M là trung điểm SB và SD Chứng minh OM   AHD  Bài 10 Cho  ABC cân A , I và H là trung điểm các cạnh AB và BC Dựng SH  mp  ABC  , trên đoạn CI và SA lấy hai điểm M và N cho MC  2MI và NA  2NS Chứng minh MN  mp  ABC  Bài 11 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A , cạnh SB vuông góc với đáy  ABC  Qua B kẻ BH vuông góc với SA , BK vuông góc với SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (BHK) và tính diện tích tam giác BHK biết AC  a , BC  a và SB  a Bài 12 Cho hình chóp O.ABC có cạnh OA , OB , OC đôi vuông góc với và OA  OB  OC  a Kí hiệu K , M , N là trung điểm các cạnh AB , BC , CA Gọi E là điểm đối xứng O qua K và I là giao điểm CE với mặt phẳng  OMN  1) Chứng minh CE vuông góc với mặt phẳng  OMN  2) Tính diện tích tứ giác OMIN theo a Bài 13 Cho hình chóp S.ABCD , đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I , J là trung điểm AB và CD 1) Tính các cạnh tam giác SIJ theo a Chứng minh SI vuông góc với mặt phẳng  SCD và SJ vuông với mặt phẳng  SAB  2) Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên IJ Chứng minh SH vuông góc với AC 3) Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD cho BM vuông góc với SA Tính độ dài đoạn thẳng AM theo a 10 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44   AOC   60o , BOC   900 Bài 14 Cho tứ diện OABC có OA  OB  OC  a và AOB 1) Tính độ dài các cạnh còn lại tứ diện và chứng minh tam giác ABC vuông 2) Chứng minh OA  CB Bài 15 [ĐHB12] Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA  2a , AB  a Gọi H là hình chiếu vuông góc A lên cạnh SC Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng  ABH  11 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 12 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Loại Hai mặt phẳng vuông góc A Nguyên tắc chung * Góc hai mặt phẳng chính là góc hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến * Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, ta thường sử dụng các phương pháp sau đây +) Sử dụng định nghĩa: chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại +) Sử dụng góc hai mặt phẳng: chứng minh góc hai mặt phẳng 90 13 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 B Một số ví dụ Ví dụ Cho tứ diện ABCD có mặt ACD và BCD là các tam giác cạnh a Biết AB  a , chứng minh  ACD    BCD  Giải Lấy E là trung điểm CD AE là trung tuyến tam giác A cân ACD nên đồng thời là đường cao, đó: CD  AE (1) Tương tự, ta chứng minh CD  BE (2) Từ (1), (2) D B suy ra: góc hai mặt phẳng  ACD  và  BCD  chính là E  Ta thấy AE  BE   a   3a   a  góc AEB         C   90 (ĐPCM)  AEB vuông E  AEB Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông B và SA vuông góc với đáy Gọi H , K là hình chiếu A lên SB , SC Chứng minh  SAC    AHK  Giải * Theo giả thiết thì SC  AK (1) S * Ta chứng minh SC  HK : K Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông, ta có A H C B  SH.SB  SA  SH.SB  SK SC Từ đây suy HKBC   SK.SC  SA là tứ giác nội tiếp (2) Lại có: CB  AB (giả thiết), CB  SA (do SA   ABC  )  SB   SAB   CB  SB (3) Từ (2), (3) suy SC  HK (4) Từ (3), (4) suy SC   AHK    SAC    AHK  (ĐPCM) 14 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Ví dụ [ĐHB06] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB  a , AD  a , SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm AD Chứng minh  SAC    SMB  Giải Đặt I  AC  BD Áp dụng định lý Pitago, tính được: S AC  a , BM  a a A a Vì hai tam giác IAM và ICB đồng dạng nên D M a I B IA IC IA  IC AC    AM BC AM  BC AM  BC C a a AM.AC a  IA    AM  BC a  a a a AM.BM a Tương tự: IM    AM  BC a  a 2 2 a 3 a 6 a 2 Ta có: IA  IM           AM  IAM vuông I hay       2 BM  AC (1) Lại có SA  mp(ABCD) , BM  mp(ABCD)  BM  SA (2) Từ (1), (2) suy BM  mp(SAC)  mp(SMB)  mp(SAC) (ĐPCM) Ví dụ [ĐHA02] Cho hình chóp tam giác S.ABC có đỉnh S , có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N là trung điểm các cạnh SB , SC Tính theo a diện tích tam giác AMN , biết mặt phẳng  AMN  vuông góc với mặt phẳng  SBC  Giải 15 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 * Lấy I là trung điểm BC  ABC S  AI  BC ,  SBC cân  SI  BC Từ J đó suy BC   SAI   1 Lại có MN  BC N  2 M C A H Từ  1 ,   suy MN   SAI    MN  SI ( J  SI  MN )    MN  AJ I B  SI, AJ  chính là góc hai mặt phẳng  AMN  và  SBC * Dễ thấy J là trung điểm SI    90  AJI  SAI cân A  SA  AI  a Lại có AH  AI  a Do đó SH  SA  AH  a 15 3 Vậy VS.ABC  13 S ABC AH  13  12 a a  a 615  a 24   Ví dụ [ĐHA03] Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A 'B 'C 'D ' có các đáy là hình vuông cạnh a , AA '  b , M là trung điểm CC' Xác định tỷ số a cho  A'BD    MBD  b Giải C' D' Đặt I  AC  BD Ta thấy A'BD cân A nên B' A' trung tuyến A'I đồng thời là đường cao Như M b Tương tự ta chứng minh MI  BD (2) D a A A'I  BD (1) C I a Từ (1), (2) suy góc hai mặt phẳng  A 'BD  và B  MBD chính là góc hai đường thẳng A'I và MI 16 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 Áp dụng định MI  A'I  Thành thử 2a2  lý Pitago, ta tính được: b2 A 'M  2a  2 , a2 A 'I   b2 , 2 a2 b2   A'BD   MBD    A 'IM  90  A 'M  A'I  MI    a2 b2  a b2  a2   b2            b    17 Lop12.net THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 C Bài tập Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi Các tam giác SAC và tam giác SBD là các tam giác cân S Chứng minh  SAC    SBD  Bài Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , SA vuông góc với đáy 1) Chứng minh  SAB    SBC  2) Gọi M là trung điểm AC Chứng minh  SAC    SBM  Bài Hai tam giác ACD và BCD nằm hai mặt phẳng vuông góc với Biết AC  AD  BC  BD  a và CD  2x Xác định x theo a cho  ABC    ABD  Bài Cho tam giác ABC cạnh a , I là trung điểm BC , D là điểm đối xứng A qua I dựng đoạn SD  a vuông góc với mp(ABC) Chứng minh 1)  SAB    SAC 2)  SBC    SAD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông C , mặt bên SAC là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy 1) Chứng minh mp  SBC   mp  SAC  2) Gọi I là trung điểm SC Chứng minh mp  ABI   mp  SBC  Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M và N là các trung điểm các cạnh SB và SC Tính diện tích tam giác AMN theo a biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Bài Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C'D' cạnh a Chứng minh  ACC'A'   A'BD  Bài Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất các cạnh Khi nào  AA'C'C    BB'D'D  18 Lop12.net