b Tìm m để hàm số 1 có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của Cm đến tiệm cận xiên của Cm bằng.. Chứng minh rằng với mọi m đồ thị Cm luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoả[r]
(1)Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 Phần 1: HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CHỦ ĐỀ 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆUVÀ TÌMCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Xét tính đơn điệu hs y = f(x) nhờ đạo hàm: Hs y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a;b) <=> y’ (y’ 0) x (a;b) ( y’ xảy số hữu hạn điểm thuộc khoảng (a;b)) Phương pháp tìm cực trị hàm số y = f(x): * PP1: B1: Tìm TXĐ B2: Tìm y ' và các điểm tới hạn x0 ( x0 TXĐ mà y ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) không XĐ) B3: Lập bảng biến thiên B4: Tìm cực trị có Chú ý: Khi x vượt qua x0 mà y / đổi dấu từ (+) sang (-) thì x0 hs đạt giá trị cực đại y / đổi dấu từ (-) sang (+) thì x0 hs đạt giá trị cực tiểu y / không đổi dấu thì x0 hs không đạt cực trị * PP2: B1: Tìm TXĐ B2: Tìm y ' và các điểm tới hạn x0 ( x0 TXĐ mà y ' ( x0 ) = y ' ( x0 ) không XĐ) B3: Tìm y”, y”( x0 ) và tìm cực trị có Chú ý: Nếu y”( x0 ) < thì x0 hs đạt giá trị cực đại Nếu y”( x0 ) > thì x0 hs đạt giá trị cực tiểu Nếu y”( x0 ) = thì ta chuyển PP1 để tìm cực trị Hàm số y = f(x) có n điểm cực trị <=> y / = có n nghiệm phân biệt f / ( x0 ) f / ( x0 ) f(x) đạt cực đại x0 // ; f(x) đạt cực tiểu x0 // f ( x0 ) f ( x0 ) / f ( x0 ) f(x) có đạo hàm và đạt cực trị c x x0 f ( x0 ) c * BÀI TẬP: (1) Tìm khoảng đơn điệu và cực trị Hs sau: 1/ y = x 8x 2/ y = 16x + 2x - 3/ y = (1 x )3 4/ y = ( x 1) (5 x) 5/ y = (x + 2) (x – 3) 6/ y = 7/ y = x 1 x2 x 48 8/ y = x x2 x x 1 9/ y = x ( x 5) 11/ y = (7 x) x 10/ y = x - x 12/ y = x ( x 3) 13/ y = x 2x 14/ y = 15/ y = x x 20 16/ y = 17/ y = x3 18/ y = 25 x x x 100 x 10 x 20/ y = sin 2x x2 19/ y = cosx - sinx Lop12.net 16 x x4 (2) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 (2) Chứng minh bất đẳng thức: a/ tanx > x (0<x< c/ sinx + tanx > 2x (0<x< e/ x (3) Cho hàm số: x2 x 1 x 1 ) x3 b/ tanx > x + ) d/ 22sinx 2t anx 2 (0<x< 3x ( < x < + ) y = x3 mx m g/ a - 1 (0<x< a3 < sina < a ) ) ( a >0 ) (m: tham số) a/ Tùy theo m, hãy xét biến thiên y b/ Tìm m để hàm số nghịch biến khoảng (1; 2) (4) Tìm m để hàm số: x3 (m 2) x (2m 7) x 3m x3 x2 b/ y = (3m 1) (2m 2m) x m đồng biến khoảng (0; + ) a/ y = đồng biến khoảng (0; 2) (5) Tìm m để hàm số: a/ y = (2m 1) x 2m mx + m nghịch biến trên KXĐ nó x mx 2m xm x (2m 1) x m c/ y = x 1 b/ y = nghịch biến khoảng (0;2) đồng biến khoảng (- ; -1) (6) Tìm m để hs: x3 (m m 2) x (3m 1) x m b/ y = (m 1) x 3mx m c/ y = x3 mx (m m 1) x x mx +1 d/ y = x+m a/ y = đạt cực trị x = -2 có ba điểm cực trị đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = (7) Tìm a ; b để hs : y = x + ax + b có cực trị x = (8) Cho hàm số y x3 mx x m (Cm ) a CMR : với m hàm số đã cho luôn có cực trị b Hãy xác định m cho khoảng cách từ các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ (9) Cho hàm số y x 2mx 2m m Tìm m để hàm số luôn có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác (10) Tìm m để hàm số y x (m 1) x m có cực trị (11) Cho hàm số y x 2mx m Xác định m để hàm số có CĐ, CT thoả mãn a) Lập thành tam giác b) Lập thành tam giác vuông c) Lập thành tam giác có diện tích Lop12.net (3) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 (12) Cho hàm số y x mx Xác định m để mx a) Hàm số có cực trị b) Hàm số có cực đại , cực tiểu với hoành độ thoả mãn x1 + x2 = 4x1x2 c) Hàm số có cực đại , cực tiểu có hoành độ dương (13) Cho hàm số y x mx Xác định m để xm a Hàm số có cực trị b Hàm số có cực tiểu khoảng (0;m) (m > 0) c Hàm số có cực đại x = (14) Cho hàm số y x mx m Xác định m để xm a Hàm số có cực trị b Với m vừa tìm câu a) , hãy viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu đồ thị hàm số (15) Cho hàm số y x 2mx 3m Xác định m để x 2m Hàm số có cực đại và cực tiểu và điểm cực đại , cực tiểu nằm hai phía trục Ox (16) Cho hàm số y x mx m Xác định m để x 1 Hàm số có cực đại và cực tiểu và điểm cực đại , cực tiểu nằm hai phía đường thẳng có phương trình 9x – 7y – = (17) Cho hàm số y x (m 1) x m 4m Xác định m để x 1 a Hàm số có cực trị b Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ (18) Tìm a; b để hs : y = x0= - a x 2ax 9x + b có cực đại, cực tiểu là số dương và là điểm cực đại (19) Cho hàm số: y = f ( x) (m 1) x 2mx - m3 m xm với m -1 a/ Với giá trị nào m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu b/ Với giá trị nào m thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu khoảng (0 ; 2) (20) Cho hàm số: y= x3 x2 a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm phương trình: x + = m x (21) Cho hàm số: y= xm x2 a/ Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số b/ Tùy theo m, biện luận số nghiệm phương trình: x + m = m x (22) Tìm a để hàm số: y = x 8ax3 3(1 2a) x có cực tiểu mà không có cực đại (23) Xác định hàm số a cho hàm số: y = -2x + + a x x có cực đại Lop12.net (4) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 (24) Cho hàm số: f(x) = x n (c x) n đó c > 0, n là số nguyên dương lớn a/ Khảo sát biến thiên hàm số b/ Từ kết trên hãy chứng minh: ( a b n a n bn ) với a, b R thỏa a + b 0, n Z 2 Xét xem đẳng thức nào xảy (25) CMR pt: (n 1) x n 3(n 2) x n 1 a n không có nghiệm n chẵn và a > x n2 x n2 x a 0 2n n 2 (26) Biện luận theo a số nghiệm pt: (27) Chứng minh: 3( x2 y x y ) 8( ) 10 32 với x.y < y x y x (28) Cho x, y, z dương thỏa x y z C/m: x y z 3 2 y z z x x y 2 CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ CỰC TRỊ VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ y f ( x) ax3 bx cx d (a 0) y / f / ( x) 3ax 2bx c * HÀM BẬC BA: (C) Để Hs có cực trị thì y’ = phải có hai nghiệm phân biệt x ; x ( y ' > 0) Chia f(x) cho f/(x) ta y f ( x) f / ( x).q( x) x y x1 Gọi (x ;y ), (x ;y ) là hai điểm cực trị, ta có: y2 x2 => Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: y x * HÀM HỮU TỈ: Ta có: y / y ax bx c a1 x b1 (aa1 0) aa1 x 2ab1 x bb1 a1c (a1 x b1 ) Hàm số có cực trị phương trình g(x) = aa1 x 2ab1 x bb1 a1c = / b1 <=> a1 g ( x0 ) 2ax1 b y1 a Gọi (x ;y ), (x ;y ) là hai điểm cực trị, ta có: y 2ax2 b a1 có hai nghiệm phân biệt khác x0 = => Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị: y * BÀI TẬP: (29) Tìm cực trị Hs sau: x3 2x x (30) Cho hàm số : y = x3 3mx x 3m a/ y = b/ y = x 2x+3 x-1 a/ Xác định m để đồ thị có điểm cực trị b/ Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị Lop12.net 2ax b a1 (5) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 (31) Cho hàm số : y = x (m 1) x m xm a/ Chứng minh với m, hàm số luôn luôn có cực đại, cực tiểu b/ Định m để giá trị cực đại và giá cực tiểu có cùng dấu c/ Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu đồ thị (32) Cho hàm số : y = x 3x m x4 Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : ymax ymin x 3x m (33) Cho hàm số : y = xm Tìm m để hàm số y có cực đại, cực tiểu thỏa mãn : ymax ymin (34) Cho hàm số : y = x3 x 3(m 2) x m Xác định m để : a/ Hàm số có cực trị b/ Hàm số có cực trị cùng dấu c/ Phương trình x3 x 3(m 2) x m = có ba nghiệm phân biệt (35) Cho y = f(x) = ( x a)3 ( x b)3 x3 a/ Các số a, b thỏa mãn điều kiện gì để hàm số có cực đại và cực tiểu b/ Chứng minh với a, b phương trình: ( x a)3 ( x b)3 x3 = không thể có nghiệm phân biệt CHỦ ĐỀ 3: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ (C) : y = f(x) 1/ Phương pháp tìm tiệm cận: - Đứng: - Ngang: - Xiên: 2/ BÀI TẬP: (36) Tìm các tiệm cận đồ thị hàm số: 2x 5x +1 a) y = x -2 d) y = 2x + x 3x b) y = ( x 1).( x 2) e) y = x2 x + c) y = x -1 g) y = x2 x 3x +1 x2 x 1 (37) Tùy theo m, tìm các tiệm cận đồ thị hàm số: m x 2mx b) y = x 1 x+2 a) y = x 4x + m (38) Tìm m để đồ thị hs: mx 2m(m 1) x 3m m có tiệm cận xiên qua điiểm A(-1; -3) x2 x mx 1 c) y = có tiệm cận xiên tạo với các trục tọa độ tam giác có diện tích x -1 b) y = Lop12.net (6) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 d) y = -3x mx có tiệm cận vuông góc với tiếp tuyến điểm có hoành độ x = 4x m (39) Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số : 2x 3x + y= x2 đến hai tiệm cận không phụ thuộc vào vị trí điểm đó x2 x 1 (40) Cho hs : y = có đồ thị (C) 1 x Tìm M (C) cho tổng khoảng cách từ M tới hai tiệm cận đạt giá trị nhỏ ax +bx + c (41) Tìm a, b, c để hs: y = có cực trị x = và t/c xiên vuông góc với x -2 đường thẳng y = (1- x) CHỦ ĐỀ 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HS y = f(x) B1: Tập xác định B2: Giới hạn- Tiệm cận (nếu có) B3: Chiều biến thiên: (Tìm y’; nghiệm y’; lập bảng biến thiên) B4: Điểm uốn (Tìm y’’ ; xét dấu y’’ ; suy khoảng lồi lõm và điểm uốn) B5: Vẽ đồ thị: (Tìm điểm đặc biệt, vẽ tiệm cận, vẽ đồ thị hs, nx dạng đồ thị) CHỦ ĐỀ 5: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐỒ THỊ Cho đường: (C1) : y = f(x) và (C2) : y = g(x) Pt hoành độ giao điểm hai đường là : f(x) = g(x) (*) Số nghiệm Pt (*) là số giao điiểm hai đường (C1) & (C2) f ( x) g ( x) có nghiệm f '( x) g '( x) Điều kiện tiếp xúc: để (C1) tiếp xúc (C2), điều kiện là hệ Pt : * BÀI TẬP: (42) Cho (C) : y = x - 5x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để (C) tiếp xúc với (P) : y = x + m Tìm tọa độ các tiếp điểm (43) Cho (C) : y = x - (m + 10)x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs với m = b) CMR với m 0, đồ thị luôn cắt Ox điểm phân biệt Trong các giao điểm đó có hai điểm nằm khoảng (-3 ; 3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3 ; 3) (44) Cho (C m ) : y = 2x + 3(m – 3)x + 11 – 3m a) Tìm pt các đường thẳng qua A( 19 ; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C ) hs 12 b) Tìm m để (C m ) có cực trị, đồng thời các điểm cực trị M ; M và B(0 ; -1) thẳng hàng (45) Cho (C) : y = 2x - x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để (d): y = m cắt (C) ba điểm có hoành độ x ; x ; x Tính tổng: x12 x22 x32 ? (46) Cho (C) : y = 2x 1 x 1 Lop12.net (7) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx + 2m - cắt (C) hai điểm trên cùng nhánh (47) Cho hs : y = x +1 x -1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) CMR đường thẳng (d): 2x – y + m = luôn cắt (C) hai điểm phân biệt A, B trên nhánh (C) c) Tìm m để đoạn AB ngắn (48) Cho (C) : y = 2 x x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = – x + 3m cắt (C) hai điểm A, B cho AB = 2 Tìm tọa độ A ; B (49) Cho (C) : y = 2x 1 x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – m + cắt (C) hai điểm phân biệt A(x ;y ), B(x ;y ) Tìm hệ thức x ; x độc lập với m (50) Cho hàm số y x2 2x x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + – 2m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt (51) Cho (C) : y = x2 x m xm a) Tìm m để tiệm cận xiên qua điểm M(2 ;0) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs với m tìm b) Tìm m để đường thẳng y = x – luôn cắt (C) điểm phân biệt A(x ;y ), B(x ;y ) Tìm hệ thức y ; y không phụ thuộc vào m (52) Cho (C) : y = x2 x x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Gọi A là điểm cực đại (C) Tìm m để đường thẳng (d) : x + 2y – 2m = cắt (C) hai điểm B ; C cho ABC vuông A (53) Cho (C) : y = x2 2x x2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B cho đường thẳng AB cùng phương với y = - x ; đồng thời độ dài AB ngắn (54) Cho (C) : y = 2x2 2x 2x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs Lop12.net (8) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt (C) điểm phân biệt A ; B cho OAB có diện tích 10 (đvdt) CHỦ ĐỀ 6: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN VỚI Đ/CONG y = f(x) Điều kiện tiếp xúc : Cho hai hs : y = f(x) và y = g(x) có đồ thị là (C) và (C’) f ( x) g ( x) có nghiệm x (x là hoành độ tiếp điểm) f '( x) g '( x) (C) tiếp xúc với (C’) <=> Các dạng bài tập Phương trình tiếp tuyến (pttt) : Dạng : Viết pttt với (C) : y = f(x) điểm M ( x0 ; y0 ) PPG : - Tìm y’(x ) => Pttt : y = y’(x ).(x - x ) + y Dạng : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt qua điểm A( x A ; y A ) PPG : - Pttt có dạng : y = k.(x - x A ) + y A f ( x) k.(x - x A ) + y A f '( x) k - Áp dụng điều kiện tiếp xúc để tìm k => Pttt Dạng : Viết pttt với (C) : y = f(x) biết tt có hệ số góc k PPG : - Pttt có dạng : y = k.x + b f ( x) k.x + b f '( x) k - Áp dụng điều kiện tiếp xúc để tìm b => Pttt * BÀI TẬP : (55) a Cho hàm số y x3 3x (C ) Viết pttt đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với : 3x y b Cho hàm số y x x (C ) Viết pttt đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với : x y 1 2 x2 , (C ) Viết pttt qua điểm A(-6;5) với đồ thị hàm số d Cho hàm số y x2 3( x 1) , (C ) (56) Cho hàm số y x2 c Cho hàm số y x x , (C ) Viết pttt kẻ từ gốc toạ độ đến đồ thị hàm số a Viết pttt qua điểm O(0 ; 0) với đồ thị hàm số b Tìm các điểm trên (C) có tọa độ là các số nguyên (57) a Cho hàm số y x x 4m Với giá trị nào m thì đồ thị hàm số có tiếp tuyến vuông x 1 góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất? b Tìm các điểm trên đồ thị hàm số y x2 2x cho tiếp tuyến đó vuông góc x 1 với tiệm cận xiên (C) c Cho hàm số y x3 3x, (C ) Tìm trên đường thẳng y = điểm mà từ đó c1 Kẻ tiếp tuyến với (C) c2 Kẻ tiếp tuyến với (C) c3 Kẻ tiếp tuyến với (C) d Cho hàm số y x x 1, (C ) Tìm trên trục tung điểm mà từ đó d1 Kẻ tiếp tuyến với (C) d2 Kẻ tiếp tuyến với (C) Lop12.net (9) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 d3 Kẻ tiếp tuyến với (C) d4 Kẻ tiếp tuyến với (C) (58) Cho hàm số y x3 m x (Cm ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) m = b) Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ – Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x – y = (59) Cho hs : y = 4x 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) điểm A(- ; 1) và tìm giao điểm B (khác A) (d) và (C) (60) Cho hàm số y x 3x c) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs d) Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ x M = a Tìm a để tiếp tuyến (C) điểm M cắt (C) hai điểm khác M (61) Cho hs : y = 2x 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) CMR qua điểm A(- ; -1) ta kẻ ba tiếp tuyến với (C), đó có hai tiếp tuyến 27 vuông góc với (62) Cho hs : y = x3 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm trên trục hoành các điểm từ đó có thể kẻ ba tiếp tuyến với (C) ; đó có hai tiếp tuyến vuông góc với (63) Cho hs : y = x3 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Lập Pttt với (C) qua điểm A( 23 ; -2) c) Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc với (64) Cho hs : y = x 3x mx +1 có đồ thị là (C m ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs m = b) Tìm m để (C m ) cắt đường thẳng y = ba điểm A(0 ; 1), B, C cho tiếp tuyến (C m ) B và C vuông góc với (65) Cho hs : y = x 3x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm điểm M (C) cho qua M ta kẻ và tiếp tuyến với (C) (66) Cho hs : y = x2 x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Viết Pttt ( ) với (C) điểm A(a ; y) với a -1 c) Tính khoảng cách từ M(-1 ; 1) tới ( ) Tìm a để khoảng cách đó lớn (67) Cho hs : y = x3 x 1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs Lop12.net (10) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 b) Tiếp tuyến điểm S (C) cắt hai tiệm cận P và Q Chứng minh S là trung điểm PQ (68) Cho hs : y = x 3x m và y = x a) Tìm m để đồ thị các hs trên tiếp xúc b) Viết Pttt chung hai đồ thị ứng với m tìm x 2mx m (69) Cho hs : y = xm a) CMR đồ thị hs cắt Ox x = x thì hệ số góc tiếp tuyến đó là : k = x0 2m x0 m b) Tìm m để đồ thị cắt Ox điểm và hai tiếp tuyến điểm đó vuông góc với CHỦ ĐỀ : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PT : F(x,m) = BẰNG ĐỒ THỊ * Chú ý : Số nghiệm pt : f(x) = g(x) là số giao điểm hai đường y = f(x) và y = g(x) (70) Cho hs : y = x 2x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm và xét dấu các nghiệm Pt : x 2x m (71) Cho hs : y = - (x +1) (x + 4) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm Pt : (x +1) (x + 4) = (m +1) (m + 4) (72) Cho hs : y = (x +1) (2 x ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm Pt : (x +1) (2 x) = (m +1) (2 m) CHỦ ĐỀ : ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Từ đồ thị (C) hàm số y f ( x) , suy ra: Đồ thị hàm số (C1): y1 f ( x ) Ta có y1 f ( x ) f ( x ) : đây là hàm số chẵn nên (C1) nhận trục tung làm trục đối xứng Đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) cách: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy Bỏ phần đồ thị (C) bên trái trục Oy và lấy đối xứng phần bên phải (C) qua trục Oy Đồ thị hàm số (C1): y1 f ( x) y nêu f(x) -y nêu f(x) Ta có: y1 Vì y1 nên (C1) phía trên trục Ox Đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) cách: Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trên trục Ox Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox và lấy đối xứng phần đồ thị này qua trục Ox Đồ thị hàm số y1 f ( x) Nếu y1 y1 f ( x) : (C1 ) (C ) trên trục Ox Nếu y1 y1 f ( x) : (C1 ) đối xứng với (C) trên trục Ox qua Ox Đồ thị (C1) suy từ (C) cách Giữ nguyên phần đồ thị (C) phía trên Ox 10 Lop12.net (11) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 Bỏ phần đồ thị Ox và lấy đối xứng phần đồ thị (C) trên trục Ox qua trục Ox P( x) có đồ thị (C) Q( x) P( x) nêu Q(x) > P( x) Q( x) a Vẽ đồ thị (C1): y1 Q( x) P(x) nêu Q( x) Q(x) Cho hàm số y Đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) cách: Phần đồ thị (C) miền Q( x) giữ nguyên Bỏ phần đồ thị (C) miền Q( x) và lấy đối xứng phần này qua trục Ox P( x) nêu P(x) P( x) Q( x) b Vẽ đồ thị (C1): y1 Q( x) P(x) nêu P( x) Q(x) Đồ thị (C1) suy từ đồ thị (C) cách: Phần đồ thị (C) miền P( x) giữ nguyên Bỏ phần đồ thị (C) miền P( x) và lấy đối xứng phần này qua trục Ox * BÀI TẬP: (73) Cho hs : y = x - 3x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để Pt : x - 3x + - 2m + m = có nghiệm phân biệt (74) Cho hs : y = - x 2x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để Pt : - 3m + 2m - (1 - x ) = có nghiệm phân biệt (75) Cho hs : y = - x x a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để Pt : x + x m 3m = có nghiệm phân biệt (76) Cho hs : y = x - 3mx + (m – 1)x + a) Tìm m để hs có cực tiểu x = khảo sát và vẽ đồ thị với m tìm b) Biện luận số nghiệm Pt : (x - 2x – 2) x 1 = k theo tham số k (77) Cho hs : y = x 1 2x + a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm m để Pt : 2m 4x 4x+1 = x - có đúng nghiệm (78) Cho hs : y = 3x x-2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm trên (C) hai điểm M ; N đối xứng qua điểm A(-2 ; -1) c) Từ (C) suy đồ thị hs y = (79) Cho hs : y = x 1 x -2 x2 x x+2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs C/m đồ thị có tâm đối xứng 11 Lop12.net (12) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 b) Tìm trên (C) điểm có tọa độ là các số nguyên c) Từ (C) suy đồ thị hs y = x2 x x+2 CHỦ ĐỀ 9: BIỆN LUẬN SỐ GIAO ĐIỂM CỦA (C) VỚI TRỤC HOÀNH I Hàm số bậc ba: y f ( x, m) ax3 bx cx d (C) Tìm m để (C) cắt Ox điểm phân biệt y / c ó nghiêm x1 ; x2 ĐK f ( x1 ) f ( x2 ) PP1: PP2: Giải hệ này tìm m - Đoán nhận x là nghiệm f(x; m) = (1) - Chia f(x; m) cho (x - x ) đưa (1) dạng: (x - x ).g(x) = ; g ( x0 ) đó g(x) là tam thức bậc hai thỏa Giải hệ này tìm m Tìm m để (C) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ dương y / c ó nghiêm x1 ; x2 f ( x ) f ( x2 ) PP1: ĐK ĐK 0 x1 x2 a y (0) PP2: - Giải hệ này tìm m Đoán nhận x >0 là nghiệm f(x; m) = (1) Chia f(x; m) cho (x - x ) đưa (1) dạng: (x - x ).g(x) = ; P đó g(x) là tam thức bậc hai thỏa: S g ( x0 ) Giải hệ này tìm m y / co nghiêm x1 x2 y y Tìm m để (C) cắt Ox điểm phân biệt có hoành độ âm max a y (0) x x / y co nghiêm x1 x2 y y (C) cắt Ox điểm có hoành độ lớn max a y ( ) x x / y co nghiêm x1 x2 y y * (C) cắt Ox điểm có hoành độ nhỏ max a y ( ) x x y / co nghiêm x1 x2 y y * (C) cắt Ox điểm, đó có hai điểm có hoành độ âm max a y (0) x 12 Lop12.net (13) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 y / co nghiêm x1 x2 y y * (C) cắt Ox điểm, đó hai điểm có hoành độ dương max a y (0) x Tìm m để (C) cắt Ox điểm phân biệt PP1: y / c ó nghiêm x1 ; x2 ĐK f ( x1 ) f ( x2 ) PP2: - Đoán nhận x là nghiệm f(x; m) = (1) Chia f(x; m) cho (x - x ) đưa (1) dạng: (x - x ).g(x) = ; Giải hệ này tìm m hoac g ( x ) đó g(x) là tam thức bậc hai thỏa Giải hệ tìm m g ( x ) Tìm m để (C) cắt Ox điểm PP1: y' ĐK y / c ó nghiêm x1 ; x2 f ( x1 ) f ( x2 ) PP2: - Đoán nhận x là nghiệm f(x; m) = (1) Chia f(x; m) cho (x - x ) đưa (1) dạng: (x - x ).g(x) = ; Giải tìm m Giải hệ tìm m g ( x0 ) đó g(x) là tam thức bậc hai thỏa hoac Tìm m để (C) có hai điểm cực trị M ( x1 ; y1 ); M ( x2 ; y2 ) nằm khác phía đường y / c ó nghiêm x1 ; x2 thẳng (D): Ax By C ( Ax1 By1 C )( Ax2 By2 C ) Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 ; x2 thỏa mãn hệ thức F ( x1 ; x2 ) (1) Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu là: a => điều kiện tham số m y / có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 y / b x1 x2 a c x1 và x2 thỏa mãn hệ thức (1) x1.x2 a F ( x1 ; x2 ) Chú ý: Giải hệ suy m So sánh điều kiện nhận hay loại giá trị m Để tính ymax ; ymin ta nên làm theo thứ tự sau: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số y x Nếu x1 ; x2 đơn giản thì tính thẳng x1 ; x2 Khi đó ymax ymin ( x1 )( x2 ) Nếu x1 ; x2 phức tạp thì sử dụng định lí Viet ymax ymin ( x1 )( x2 ) P S II HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: y ax bx c 13 Lop12.net (14) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 x y / 4ax3 2bx x(2ax b) Cho y / x(2ax b) 2ax b (1) (2) Hàm số có cực trị <=> (2) có hai nghiệm phân biệt khác <=> a.b < Hàm số có cực trị <=> (2) VN có nghiệm có nghiệm kép a & b a & ab ax bx c y III HÀM SỐ HỮU TỈ b/ x c/ y / g ( x) ab / x 2ac / x bc / cb / (b / x c / 0) ab / Hàm số có cực đại và cực tiểu <=> y có nghiệm phân biệt g Hàm số không có cực trị y / vô nghiệm có nghiệm kép / ab / ab / g Đ.thị có cực trị nằm cùng phía với Ox g y co nghiêm phân biêt ymax ymin ab / ab / Đ.thị có cực trị nằm phía với Ox g y vô nghiêm y y max * BÀI TẬP: (80) a Tìm m để hs : y = m 1 x + mx + (3m – 2)x cắt trục hoành điểm phân biệt b Tìm m để pt : x + 3x - 9x + m = có nghiệm phân biệt (81) a Tìm m để hs : y = x - 3x - 9x + m cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Tìm cấp số cộng đó b Tìm a, b để pt : x + ax + b = có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Tìm cấp số cộng đó (82) a Giả sử pt : x - x + ax + b = có nghiệm phân biệt CMR : a + 3b > d Tìm a để pt : x - x + 18ax – 2a = có nghiệm dương phân biệt b Tìm a để pt : x - 3x + a = có nghiệm phân biệt, đó có hai nghiệm lớn c Cho HS: y = x - 3(m + 1)x + 2(m + 4m + 1)x – 4m(m + 1) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lớn e Cho HS: y = x - 3mx + 3(m - 1)x – m + (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ âm (83) Cho HS: y = x - mx + (2m + 1)x – (m + 2) (C m ) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt A(1 ; 0) ; B ; C thỏa : 2 OA OA 19 48 OB OC (84) Cho HS: y = x - mx - x + m + 3 (C m ) 14 Lop12.net (15) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ x ; x ; x thỏa : x12 x22 x32 > 15 (85) Cho HS: y = 2x - 3(m + 2)x + 6(m + 1)x – 3m + (C m ) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs m = - b) Tìm m để (C m ) cắt trục hoành điểm phân biệt (86) Cho hs : y = (x + a) + (x + b) - x (1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs a = , b = b) Tìm điều kiện a, b để hs (1) có cực đại cực tiểu c) CMR a, b phương trình (x + a) + (x + b) - x = không thể có nghiệm phân biệt (87) Cho hs : y = x - 2(m + 1)x + 3(m – 1) a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs m = b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Tìm cấp số cộng đó (88) Cho hs : y = - x + 2(m + 1)x - 2m – a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs m = b) Tìm m để đồ thị hs cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng Tìm cấp số cộng đó CHỦ ĐỀ 10: BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH Các công thức : * Khoảng cách hai điểm A(x ; y ) ; B(x ; y ) là : AB = (x - x1 ) + (y - y1 ) - Nếu AB // Ox thì AB = x2 x1 - Nếu AB // Ox thì AB = y2 y1 * Khoảng cách từ M( x ; y0 ) tới đường thẳng ( ): Ax + By + C = là: d = BÀI TẬP: (89) Cho hs : y = Ax By0 C A2 B 2x 1 x+1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm điểm M (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận bé (90) Cho hs : y = x 1 x-1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) CMR đường thẳng 2x – y + m = luôn cắt đồ thị hai điểm A, B trên nhánh (C) c) Tìm m để đoạn AB ngắn (91) Cho hs : y = x 1 x+1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm điểm M (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé 15 Lop12.net (16) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 (92) Cho hs : y = x2 x-2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm điểm M (C) mà tổng khoảng cách từ đó đến hai trục tọa độ bé (93) Cho hs : y = x2 x x+ a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm điểm M (C) và cách hai trục tọa độ (94) Cho hs : y = 2x 1 x-1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm điểm M (C) cho khoảng cách từ M đến đường thẳng ( ): y = - x đạt giá trị bé Trong trường hợp này, c/m ( ) song song với tiếp tuyến (C) M (95) Cho hs : y = x + 3x - a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Gọi A, B là hai điểm cực trị (C) Tìm m để tổng k/c từ A và B đến đường thẳng ( ): 3mx + 3y + 2m + = đạt GTLN, NN CHỦ ĐỀ 11: TÍNH ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ Kiến thức liên quan : - Tập D gọi là đối xứng x D thì –x D - Hàm số y = f(x) gọi là hs chẵn thỏa ĐK : Tập xác định D đối xứng f(–x) = f(x) - Hàm số y = f(x) gọi là hs lẻ thỏa ĐK : Tập xác định D đối xứng f(–x) = – f(x) - Đồ thị hs chẵn nhận Oy làm trục đối xứng ; Đồ thị hs lẻ nhận gốc O làm tâm đối xứng BÀI TẬP: (96) Xác định tính chẵn, lẻ hs : a/ y = (x – 1) 2010 + (x + 1) 2010 1 x b/ y = log 1 x 2011 c/ y = sinx + cosx (97) CM đồ thị hs : b 2a a/ y = ax + bx + c (a 0) có trục đối xứng là đường thẳng x = - b/ y = (x – a) 2010 + (x – b) 2010 có trục đối xứng là đường thẳng x = ab c/ y = (x – a) 2010 + (x – b) 2010 có trục đối xứng là đường thẳng x = ab 16 Lop12.net (17) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 d/ y = (x – a) 2011 + (x – b) 2011 có tâm đối xứng là I( ab ; 0) e/ y = x - 4x - 2x + 12x - có trục đối xứng là đường thẳng x = Tìm giao đồ thị với trục hoành g/ y = x - 4x + 8x + có trục đối xứng là đường thẳng x = Tìm giao đồ thị với trục hoành (98) Cho hs : y = x 1 x+1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) CMR đường thẳng (d): y = x + là trục đối xứng (C) x2 (99) Cho hs : y = x-1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hs b) Tìm trên (C) hai điểm A ; B đối xứng qua đường thẳng (d): y = x - x2 2x ; (D1) : y = x + ; (D2) : y = - x + m x 1 (100) Cho các đường : (C) : y = Tìm m để (D2) cắt (C) hai điểm A ; B đối xứng qua (D1) MộT Số BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH : mx (3m 2) x (1), với m là tham số thực Câu : (A08) Cho hàm số y x 3m a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm các giá trị tham số m để góc hai đường tiệm cận đồ thị hàm số (1) tạo với góc 450 1 : ax by c HD: b Tìm hai đường tiệm cận: : a x b y c Câu 2: (B08) Cho hàm số y x x (2) / / / => cos(1 ; ) 2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (2), biết tiếp tuyến đó qua điểm M(-1;-9) Câu 3: (D08) Cho hàm số y x3 3x (3) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (3) b Chứng minh đường thẳng qua điểm I(1;2) với hệ số góc (k > -3) cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm đoạn thẳng AB HD: b) Gọi d là đường thẳng qua I và có hệ số góc k Lập phương trình hoành độ giao điểm d với (C) Điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có ba nghiệm thỏa điều kiện x A xB xI Câu 4: (A07) Cho hàm số y x 2(m 1) x m 4m (1), với m là tham số thực x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = - b Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời hai điểm cực trị đồ thị cùng với góc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O. HD:b) – Tìm hai điểm cực trị A; B ; - Giải phương trình OA.OB => m là giá trị cần tìm Câu 5: (B07) Cho hàm số y x3 3x 3(m 1) x 3m (1), m là tham số 17 Lop12.net (18) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị đồ thị hàm số (1) cách gốc tọa độ HD: b) Tìm hai điểm cực trị A; B Giải phương trình OA OB => m là giá trị cần tìm Câu 6: (D07) Cho hàm số y 2x (1) x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M cắt hai trục tọa độ Ox, Oy A, B và tam giác OAB có diện tích 1 AO.OB => điểm M Câu 7: (A06) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y x3 x 12 x HD: Gọi M ( x0 ; y0 ) (C ) => tọa độ điểm A, B => a Tìm tham số m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x x 12 x m HD: Vẽ đồ thị hs y x x 12 x , biện luận số giao điểm (C) với đường thẳng y = m Câu 8: (B06) Cho hàm số y x2 x (1) x2 b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b) Viết pt tiếp tuyến đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên đồ thi Câu 9: (D06) Cho hàm số y x3 3x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số (1) b Gọi d là đường thẳng qua điểm M(3;20) và có hệ số góc là m Tìm m để đường thẳng d cắt (C) ba điểm phân biệt x Câu 10: (A05) Cho hàm số y mx (1), m là tham số c Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m b) Tìm m để hàm số (1) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến tiệm cận xiên (Cm) HD:b) – Tìm điểm cực tiểu ; - Tìm tiệm cận xiên (Cm) => d ( M , d ) 2 x (m 1) x m (1) Câu 11: (B05) Cho hàm số y x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Chứng minh với m đồ thị (Cm) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách hai điểm đó 20 Câu 12D05) Cho hàm số y x3 m x , (1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ – Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm M song song với đường thẳng 5x – y = Câu 13: (A04) Cho hàm số y x 3x (1) 2( x 1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) điểm A, B cho AB = 18 Lop12.net (19) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 Câu 14: (B04) Cho hàm số y x3 x 3x(1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm uốn và chứng minh là tiếp tuyến (C) có hệ số góc nhỏ HD:b) – Tìm tiếp tuyến - Gọi M ( x0 ; y0 ) (C ) , chứng minh f / ( x0 ) hsg Câu 15: (D04) Cho hàm số y x3 3mx x 1(1) a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để điểm uốn đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + Câu 16A03) Cho hàm số y mx x m (1) x 1 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = -1 b Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương Câu 17B03) Cho hàm số y x3 3x m(1) a Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc tọa độ O b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = HD: a) Gọi A(x;y) => B(-x; -y) Vì A,B thuộc (C) suy hệ pt => m x2 2x (1) Câu 18: (D03) Cho hàm số y x2 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm m để đường thẳng dm: y mx 2m cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt Câu 19: (DBA03) Cho hàm số y 2x2 4x (1) 2x a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) b Tìm m để phương trình x x 2m x có hai nghiệm phân biệt Câu 20: (DBA03) Cho hàm số y x (2m 1) x m m 2( x m) a Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m = Câu 21(DBB03) Cho hàm số y 2x 1 (1) x 1 b Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) c Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M vuông góc với đường thẳng IM Câu 22: (DBD03) cho hàm số y x x m2 (1) x3 a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (1; ) HDb): ĐK y / x ; Đs: g ( x) m , x m 16 x 1 Câu 23: (DBA04) Cho hàm số y x 2m x 1(1) d Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = e Tìm mđể đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị là đỉnh tam giác vuông cân HDb) ĐK: OA.OB 19 Lop12.net (20) Tài liệu ôn thi Đại học năm học 2012 – 2013 Câu 24: (DBA05) Cho hàm số y x 2mx 3m (1) có (Cm) xm a Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = b Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung HDb) ĐK: y / có hai nghiệm phân biệt thỏa: x1 x2 P 20 Lop12.net (21)